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拉普拉斯逆变换


§ 4.4 拉普拉斯逆变换
主要内容 由象函数求原函数的三种方法 部分分式法求拉氏逆变换 两种特殊情况 一.由象函数求原函数的三种方法 (1)部分分式法 部分分式法 (2)利用留数定理——围线积分法 利用留数定理 利用留数定 围线积分法 数值计算方法——利用计算机 (3)数值计算方法 数值计算方法 利用计算机

二.F(s)的一般形式

r />通常 F (s )具有如下的有理分式形 式 :

A( s ) am s m + a m ?1 s m ?1 + L + a1 s + a0 F ( s) = = B( s ) bn s n + bn?1 s n?1 + L + b1 s + b0
A( s ) a m ( s ? z1 )( s ? z 2 )L( s ? z m ) = B( s ) bn ( s ? p1 )( s ? p2 )L( s ? pn )

为实数, 为正整数。 ai,bi 为实数,m,n 为正整数。当 m < n , F ( s )为有理真分式 分解

F ( s) =

零点

z1 , z 2 , z 3 L zm 是A(s ) = 0的根 , 称为 F (s )的零点
p1 , p2 , p3 L pn 是B(s ) = 0的根 , 称为F (s )的极点

(Q A( s ) = 0 ? F ( s ) = 0)

极点

(Q B( s ) = 0 ? F ( s ) = ∞ )
三.拉氏逆变换的过程

找出F (s )的极点
将F (s )展成部分分式 查拉氏变换表求 f (t )
四.部分分式展开法(m<n) 1.第一种情况:单阶实数极点

F ( s) =

A( s ) ( s ? p1 )( s ? p 2 )L( s ? p n ) p1 , p2 , p 3 L p n为不同的实数根 k1 k2 kn + +L+ s ? p1 s ? p2 s ? pn

F ( s) =

求出k1 , k 2 , k 3 L k n , 即可将F (s )展开为部分分式
第一种情况:单阶实数极点

2s 2 + 3s + 3 F ( s) = 3 s + 6 s 2 + 11s + 6
(1)找极点 找极点

F (s ) =
F (s ) =

2s 2 + 3s + 3 ( s + 1)( s + 2)( s + 3)

(2)展成部分分式 展成部分分式

k1 k k + 2 + 3 s+1 s+ 2 s+ 3 1 6 ?5 + + s +1 s+ 2 s + 3

求系数

∴ F (s) =

(3)逆变换 逆变换

根据L e ?αt u(t ) =

[

]

1 s +α

得 : f ( t ) = e ? t ? 5e ? 2 t + 6e ? 3 t
如何求系数 k1, k2, k3``````?

(t ≥ 0)

对等式两边同乘以 s + 1, 且令s = ?1
k ? k ? k 右边 = ( s + 1)? 1 + 2 + 3 ? = k1 s + 1 s + 2 s + 3 ? s = ?1 ?

左边 = ( s + 1)F ( s ) s = ?1

= ( s + 1)

2s 2 + 3s + 3 =1 ( s + 1)( s + 2)( s + 3) s = ?1

∴ k1 = 1

同理 : k 2 = ( s + 2)F ( s ) s = ?2 = ?5,

∴ F ( s) =

1 6 ?5 + + s+1 s+ 2 s+ 3
F1 (s ) (s + α ? jβ )(s + α + jβ )

第二种情况:极点为共轭复数

F (s ) =

A(s ) 2 D(s ) (s + α ) + β 2

[

]

=

共轭极点出现在 ? α ± jβ

F (s ) =

K1 K2 + + ...... s + α ? jβ s + α + jβ
= F1 (? α + jβ ) 2 jβ F2 (? α ? jβ ) ? 2 jβ

K 1 = (s + α ? jβ )F (s )

s = ?α + jβ

K 2 = (s + α ? jβ )F (s )

s = ?α ? jβ

=

成共轭关系: 可见K 1 , K 2成共轭关系:
K 1 = A + jB

K 2 = A ? jB = K 1

*

求 f(t)

K 1 = A + jB

K 2 = A ? jB = K 1

*

K1 K2 ? ? f C (t ) = L?1 ? + ? ? s + α ? jβ s + α + jβ ?

= e ? α t K 1e β t + K 1 e ? β t
*

(

)

= 2e ?α t [ A cos(βt ) ? B sin(βt )]

例题

s2 + 3 求F ( s ) = 的逆变换 f ( t )。 ( s + 2)( s 2 + 2 s + 5)
s2 + 3 F (s ) = ( s + 1 + j 2)( s + 1 ? j 2)( s + 2)
= K0 K1 K2 + + s + 2 s + 1 ? j2 s + 1 + j2

α = ?1, β = 2, 取β > 0

K 0 = ( s + 2 ) F ( s ) s = ?2 =

7 5
1 2 A = ? ,B = 5 5

s2 + 3 ? 1 + j2 K1 = = ( s + 2)( s + 1 + j 2) s = ?1+ j 2 2 5 7 ? 1 ? f (t ) = e ? 2 t + 2e ? t ? ? cos(2t ) ? sin(2t )? 5 5 ? 5 ?
另一种方法 求下示函数 F(s) 的逆变换 f(t): :

(t ≥ 0)

F (s ) =

解: F(s)具有共轭极点,不必用部分分式展开法 具有共轭极点, 具有共轭极点

( s + γ )2 + β 2

s+γ

1 2 A = ? ,B = 5 5

s2 + 3 ? 1 + j2 K1 = = ( s + 2)( s + 1 + j 2) s = ?1+ j 2 5
利用 L e ?α t sin β t = L e ?α t cos β t =

[ [

]

β β + ( s + α )2
s β + ( s + α )2
2

]

f (t ) =

7 ? 2t 2 ? 1 ? e + 2e ? t ? ? cos(2t ) ? sin(2t )? 5 5 ? 5 ?

(t ≥ 0)

α ?γ β s +α β F (s ) = ? (s + γ )2 + β 2 (s + γ )2 + β 2
?

求得

f (t ) = e ?αt cos(βt ) ?

α ? γ ?αt e sin(βt ) (t ≥ 0) β

3. 第三种情况:有重根存在

F ( s) =

k3 s2 k k = 1 + 2 + 2 ( s + 2)( s + 1) s + 2 s + 1 ( s + 1) 2

k1 为单根系数 , k 3为重根最高次系数

s2 k1 = ( s + 2 ) ( s + 2)( s + 1) 2
k 3 = ( s + 1) 2 s2 ( s + 2)( s + 1) 2

=4
s = ?2

=1
s = ?1

如何求 k2 ? 设法使部分分式只保留 k2,其它分式为 0 ,

对原式两边乘以 ( s + 1) 2

s2 k = ( s + 1) 2 1 + k 2 ( s + 1) + k 3 s+2 s+2

令s = ?1时, 只能求出 k 3 = 1, 若求k 2 , 两边再求导

k 3 = ( s + 3) F ( s )

右边 =
=

d ? ? 2 k1 ?( s + 1) s + 2 + ( s + 1)k 2 + k 3 ? ds ? ?

s = ?3

=6

2( s + 1)( s + 2)k1 ? k1 ( s + 1) 2 + k2 + 0 ( s + 2) 2 2 2 d ? 2 ? 左边 = ( s + 1) 2 F ( s ) = d ? s ? = 2 s( s + 2) ? s = s + 4 s ds d s ? s + 2? ( s + 2) 2 ( s + 2) 2

[

]

此时令s = ?1, 右 = k 2 ∴ k 2 = ?3

左边 =

s 2 + 4s ( s + 2) 2

= ?3
s = ?1

逆变换

F ( s) =

4 1 ?3 + + s + 2 s + 1 ( s + 1)2

∴ f ( t ) = L?1 [F ( s )] = 4e ?2 t ? 3e ? t + te ? t
一般情况

(t ≥ 0)

k 1( k ? 1 ) A( s ) k11 k12 k = + + 1k k k k ?1 + L + 2 ( s ? p1 ) ( s ? p1 ) ( s ? p1 ) s ? p1 ( s ? p1 )
求 k11,方法同第一种情况: ,方法同第一种情况

k11 = F1 ( s ) s = p = ( s ? p1 )k F ( s )
1

s = p1

求其它系数, 求其它系数,要用下式

1 d i ?1 k1 i = F1 ( s ) ( i ? 1)! d s i ?1 s= p

i = 1,2,3,L k

1

当i = 2, K 12 =

d F1 ( s ) s = p1 ds

1 d2 F1 ( s ) s = p1 当i = 3, K 13 = 2 d s2
五.F(s)两种特殊情况 非真分式------化为真分式+多项式 化为真分式+ 非真分式 化为真分式

含e ? s的非有理式
1.非真分式--真分式+多项式

F ( s) =

s 3 + 5s 2 + 9s + 7 s 2 + 3s + 2

作长除法

s+2 s + 3s + 2 s + 5s + 9s + 7
2 3 2

s3 + 3s2 + 2s
2s2 + 7s + 7
F ( s) = s + 2 + s+3 = s + 2 + F1 ( s ) (s + 1)(s + 2)

2s 2 + 6s + 4 s+3

F1 ( s ) =

2 1 ? s+1 s+ 2

f (t ) = δ ′(t ) + 2δ (t )
2.含 e-s 的非有理式

+ 2e ? t u( t ) ? e ?2 t u( t )

e ? s 项不参加部分分式运算 , 求解时利用时移性质 。

e ?2 s = F1 ( s )e ? 2 s 2 s + 3s + 2
F1 ( s ) = 1 ?1 + s+1 s+ 2

∴ f 1 ( t ) = L?1 [F1 ( s )] = e ? t ? e ?2 t u( t )
∴ f (t ) = f 1 (t ? 2 ) = e ? ( t ? 2 ) ? e ?2( t ? 2 ) u( t ? 2)

(

)

[

]


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