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求以定点为中心的弦所在直线方程


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、 

求 以 定 点 为 中 心 的 弦 所 在 直 线 方 程 
( 重 庆 潼 南古 溪 中 学 求 二次 曲 线 的 中 点弦 所 在直 线 方 程 , 是  考 纲要 求 的一个 内容, 解 这 类 题 的方 法 较 多 ,   4 。 2 6 7 3 ) 陈 本 平

 
— —  

G   3  6  。  
; ; . 6 o ) ,  

4 ( 3+  o )  +9 ( 2 +  0   =1 4 4 …( 1 ) , 4 ( 3一z 0 )  
+9 ( 2一Y 0 )  = 1 4 4 …( 2) , 由( 1 ) 一( 2 ) 得 6 z 0  

本 文从 两 个 例 子谈 此 类 试 题 的 几 种 常 见 解  法, 供参 考 .  
倒 1 已知 椭 园 4 z   +9   =1 4 4 , M( 3 , 2 )   +9   0 =0 , 所 以  = 一   故 所 求弦 方 程 为 2 x  
z0   J 

+3   一t 2= 0.  

是椭 圆 内一 点, 求被 点 M 平分 的椭 圆的弦 所  在直 线方 程 .   解法 l : ( 直 接法 ) 设 所 求直 线 的方 程 为 


解法 4 : ( 相 减法 ) 设 所 求弦 为 A B, A( z 1 ,  


) , 8( z 2 ,  ) . 因 为 A、 B 在椭 圆 上, 则4   }  

+9   { =1 4 4 - - - ( 1 ) , 4   +9   =1 4 4 - , - ( 2 ) , 由  

2 =  ( z一3 ) , 将 变 形 后 的 方程  =  (  一  

( 1 ) 一( 2 ) 得4 (   { 一  i ) =一9 (   一照) . 所以 
二 丝 = 一生 
1一 z 2  

3 ) +2代入 椭 圆方 程 4   +9 y   =1 4 4中得 ( 4  
+9 ^ 0 ) X 2 +( 3 6 k 一5 4 k   ) z+( 8 1 k 2—1 0 8 k一  

9   Y l+

, 又 由 于 Y2一  

M( 3 , 2 ) 为 A B …  

1 0 8 ) =0由判 别 式 和 韦 达 定 理 得 

的中点, 所 以  1 +  2 =6 , y 1 +Y 2 =4 , 则 K牺  
t一  2  

f ( 3 6 . - 5 4 k 2 )   一 4 ( 4   9   ) ( 8 1 k 2 - 1 0  一 t o 8 )  ̄ o :   5 4 k 2 —3 6 k
,  

: 一 i 2 , 故 所 求 弦 所 在 直 线 方 程 为  
0 

【  
1 2= 0.  

。 。  

2 z + 3 y 一 1 2 = 0 .  
孵法 5 : ( 对称法) 椭园 缸  +9 y 2 =1 4 4 …  ( 1 ) 关于 M( 3 , 2 ) 对 称 的 方程 为 4 ( 6一z)  +9  
( 4 一  )   =1 4 4… ( 2 ) , 由( 1 )一 ( 2 ) 得 2  +3  


解之 得  = 一÷ . 故所 求 直线 方 程为 2 z+3  


解法 2 : ( 参数法 ) 设 所 求 直 线 的 参 数 方 

1 2 =0 , 故 所 求 弦 所 在 直 线 方 程 为 
1 2= 0.  

+3  

程 为   : :  (   为 参 数 . a 为 直 线 倾  
角) , 将直 线 方程 代 入 4 z   +9 y   =1 4 4整理 得 
5 s i n 2 a t   +( 2 4 o 0 s 2 口+3 6 s i n 口) f一6 8=0 , 由 于 



评注: 参 数 法 中设 弦 A B 的 中点 M, 由参  数t 的 几何意 义知 t 1 +t 2 =O , 是 解 问题 的 关  键. 解法 3 , 4 , 5十 分 简 捷 , 但 必 须 是 存 在 直 线 
的前提 下 , 才能 用 .  
2 

M 为 弦 的 中 点 , 则  l + t 2= 0 , 即 
24c o s  a +3 6 s i r a r
— — 一

 ̄s k n*口 

_ 了



:0 , 所以 t m a 口: 一   2


j  

又 由于 

例 2 已知双曲线 X 2 一等=1 , 试问是否 
存 在 能 被 点 P( 1 , 1 ) 所平 分 的弦 ?如果 存在 ,   求 出弦所 在的直线 方 程, 如果不 存在 , 说 明 理 
由.  

A= ( 2 4 e c  ̄ 口+3 6 s i n g )   一4 ( 5   s i n 2 口) ( 一6 8 ) > 

0 , 故 所 求直 线 的斜 率  = 一÷ , 则 所 求弦 所 
在 的直线方 程为 2 z+3 y一1 2=0 .   解法 3 : ( 增 量元 法 ) 由于 M ( 3 . 2 ) , 以 M  为 中点 的弦 . 4 t 3 , 设 A( 3+  0 . 2  y 0 ) 、 B( 3一  
X O , 2一y o )  ̄ J K 舶 =y o 又 A、   B 在椭 圆 上, 则 


解: 假设 存 在 这 样 的 直 线 , 由 于 双 曲 线 


一  

=1 , 关 于 P( 1 , 1 ) 对 称 的 方程 为 ( 2一  
=1 , 两方 程相 减得 4 z—Y一3  

)   一  

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多 
( 散 学教 学通 讯 ' 学 生版 2 O O O年 第 3期   重庆   .9  

隐 含 条 件 不 容 忽 视 
.  

《 }  6  
÷  
; 解得 1 <m<5故 应 

( 浙江绍兴县马山中学  3 1 2 0 8 5 )堡  
数 学试 题 中 常 常 由 于 忽 视 隐 含 条 件 而 造  成错 解 的现象 屡 见 不鲜 . 本 文 笔 者 列 举 几 类  易被 忽视的 隐含条件 , 旨在 抛 砖 引玉 .  
2 忽视 复合函数 定义域  1 忽 视 曲 线存 在 的 条 件 

由题 意 2 >  
选( B) .  

例 2 已知 函 数  =I Q g l (  ̄  一∞ +Ⅱ) 在  例 1 直线 4  一3   +5=0与 圆  +  


4 z 一2 y+ m =0没 有 交 点 的 充 要 条 件 是 
)   ( A) 0 < m<5   ( C) m >1   ( B) I < m<5   ( D) m<0  

区间( 一o 。 , √ 2 ) 上是递 增 函数 , 求 a的范 围.  
错解 : 因 y=   (   一 一 + a) 在 区 间 

( 一o o , √ 2 ) 上是 增 函数 , ÷ <1 , 故 由复 合 函数 
的单调性 , 要 使 原 函 数 是 增 函数 , 必 须 使 函 数 

错解: 直线 4 z一3  +5 =0与 圆 


, ( z ) =z   一一 一。在( 一c o √2 ) 上 是减 函数,  
.  .

4 z一2 y+m =0没 有 交 点 
+ 

甘方程组   I 4 x   - 3 3 ,
可 


只要 / 2 ≤  ,  
‘ 



 





罢  

即 口≥ 2   .  
.  .

无实 数解 .   由 ① 得  :   代入◎ 整理得 :  

口的取 值范 围是 【 2 √ 2 , +c o ) .  

评析 : 错解 只考虑 了复合 函数 的单调性 ,   忽视 了复合 函数的定 义域 .  

2 5 z  一2 0 z 一 5+ 9 m =0.  

由  一   +口 >O在  ∈( 一c o , √ 2 ) 上恒 
成立 , 必 须 

由 A<0得 m >1 , 故选 ( c) .   评析 : 忽视 圆的半径 为大于零 的数 .   圆方 程 即 为 ( z一2 )  +(   一1 )  =5 一m,   圆心 ( 2 , 1 ) 到 直 线  一3  +5=0的 距 离 


, ( 压) =   )   一   口+口 > o解得 口 / ≤ 
2   + 2,  

口∈ [ 2   , 2   +2 ]  

l  

=  

±  l 一,  

=0 , 即 在 假设 条 件 下 求 出的 直 线 方程 为 4 z  
—   一

平分 的弦 .  

3=0 . 事实上 4 z一   一3=0代 入 z  一  

评注 : 如果 用法 3 , 4也 同 上 的 解 法 一 样 ,   先假 设存 在, 求 出 直 线方 程 , 然 后 再 与 曲 线 方 

4 =1中 得 到 1 2 x 2 -2 4   +1 3=0 , 因为 △=  


4 8 <0 , 显然 4 z一   一3=0与 双 曲线 无 交 

程联 立 用判 别式 , 如果 A>0 , 说 明存 在这 样  的弦 ; 如 果 A<0 , 说 明 不 存 在 以 P( 1 , 1 ) 为 中 
点 的弦 .  

点, 所 以 假设 错误 , 即 不 存 在 能 被 P( 1 , 1 ) 所 


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