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【成才之路】2015-2016学年高中数学 2.2.2事件的独立性课时作业 新人教A版选修2-3


【成才之路】 2015-2016 学年高中数学 2.2.2 事件的独立性课时作业 新人教 A 版选修 2-3

一、选择题 1.(2015·周口市高二期末)甲、乙两人独立地解决同一个问题,甲能解决这个问题的 概率是 P1, 乙能解决这个问题的概率是 P2, 那么至少有一人能解决这个问题的概率是( A.P1+P2 C.1-P1P2 [答案] D [解析] 甲能解

决这个问题的概率是 P1,乙能解决这个问题的概率是 P2, 则甲不能解决这个问题的概率是 1-P1,乙不能解决这个问题的概率是 1-P2, 则甲、乙都不能解决这个问题的概率是(1-P1)(1-P2),则至少有一人能解决这个问题 的概率是 1-(1-P1)(1-P2),故选 D. 2.打靶时,甲每打 10 次可中靶 8 次,乙每打 10 次可中靶 7 次,若两人同时射击,则 他们同时中靶的概率是( 14 A. 25 3 C. 4 [答案] A 8 4 7 14 [解析] P 甲= = ,P 乙= ,所以 P=P 甲·P 乙= . 10 5 10 25 3.投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次,记“硬币正面向上”为事件 A,“骰子 向上的点数是 3”为事件 B,则事件 A、B 中至少有一件发生的概率是( 5 A. 12 7 C. 12 [答案] C 1 1 1 5 [解析] 由题意 P(A)= ,P(B)= ,事件 A、B 中至少有一个发生的概率 P=1- × = 2 6 2 6 7 . 12 4.如图所示,在两个圆盘中,指针落在本圆盘每个数所在区域的机会均等,那么两个 1 B. 2 3 D. 4 ) ) 12 B. 25 3 D. 5 B.P1P2 D.1-(1-P1)(1-P2) )

1

指针同时落在奇数所在区域的概率是(

)

4 A. 9 2 C. 3 [答案] A

2 B. 9 1 D. 3

2 [解析] 设 A 表示“第一个圆盘的指针落在奇数所在的区域”,则 P(A)= ,B 表示; 3 2 2 2 4 “第二个圆盘的指针落在奇数据在的区域”, 则 P(B)= .故 P(AB)=P(A)·P(B)= × = . 3 3 3 9 1 1 5.从甲袋内摸出 1 个白球的概率为 ,从乙袋内摸出 1 个白球的概率是 ,从两个袋内 3 2 5 各摸 1 个球,那么概率为 的事件是( 6 A.2 个球都是白球 C.2 个球不都是白球 [答案] C [解析] 从甲袋内摸出白球与从乙袋内摸出白球两事件相互独立, 故两个球都是白球的 1 1 1 5 概率为 P1= × = ,∴两个球不都是白球的概率为 P=1-P1= . 3 2 6 6 2 3 6.两个实习生每人加工一个零件,加工为一等品的概率分别为 和 ,两个零件是否加 3 4 工为一等品相互独立,则这两个零件中恰有一个一等品的概率为( 1 A. 2 1 C. 4 [答案] B 2 1 1 3 5 2 3 1 1 5 [解析] 所求概率为 × + × = 或 P=1- × - × = . 3 4 3 4 12 3 4 3 4 12 二、填空题 7. 已知 P(A)=0.3, P(B)=0.5,当事件 A、B 相互独立时,P(A∪B)=________,P(A|B) =________. [答案] 0.65 0.3
2

) B.2 个球都不是白球 D.2 个球中恰好有 1 个白球

)

5 B. 12 1 D. 6

[ 解析 ]

∵ A 、 B 相互独立,∴ P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A)·P(B) = 0.3 + 0.5 -

0.3×0.5=0.65.

P(A|B)=P(A)=0.3.
1 1 8.一道数学竞赛试题,甲生解出它的概率为 ,乙生解出它的概率为 ,丙生解出它的 2 3 1 概率为 . 由甲、乙、丙三人独立解答此题只有一人解出的概率为________. 4 [答案] 11 24

1 ? 1? ? 1? 1 [解析] 甲生解出,而乙、丙不能解出为事件 A1,则 P(A1)= ×?1- ?×?1- ?= , 4? 4 2 ? 3? ? 1 ? 1? ? 1? 1 乙生解出,而甲、丙不能解出为事件 A2,则 P(A2)= ×?1- ?×?1- ?= , 4? 8 3 ? 2? ? 1 ? 1? ? 1? 1 丙生解出,而甲、乙不能解出为事件 A3,则 P(A3)= ×?1- ?×?1- ?= . 3? 12 4 ? 2? ? 1 1 1 11 甲、乙、丙三人独立解答此题只有一人解出的概率为 P(A1+A2+A3)= + + = . 4 8 12 24 1 1 1 9.加工某一零件需经过三道工序,设第一、二、三道工序的次品率分别为 、 、 , 70 69 68 且各道工序互不影响,则加工出来的零件的次品率为__________. [答案] 3 70

[解析] 本题考查独立事件,对立事件有关概率的基本知识以及计算方法. 设加工出来的零件为次品为事件 A,则 A 为加工出来的零件为正品.

P(A)=1-P( A )=1-(1- )(1- )(1- )= .
三、解答题 10. 甲、乙、丙三台机床各自独立地加工同一种零件,已知甲机床加工的零件是一等品 1 而乙机床加工的零件不是一等品的概率为 ,乙机床加工的零件是一等品而丙机床加工的零 4 1 2 件不是一等品的概率为 .甲、丙两台机床加工的零件都是一等品的概率为 . 12 9 (1)分别求甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率; (2)从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验,求至少有一个一等品的概率. [解析] (1)设 A、B、C 分别为甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的事件.

1 70

1 69

1 68

3 70

3

P?A· B ?= , 4 ? ? 1 由题设条件有?P?B· C ?= , 12 2 ? ?P?A·C?=9,
1

? ? 1 即?P?B?·[1-P?C?]= , 12 2 ? ?P?A?·P?C?=9. ③
P?A?·[1-P?B?]= ,
1 4 27[P(C)] -51P(C)+22=0. 2 11 解得 P(C)= 或 (舍去). 3 9
2

① ②

9 由①、③得 P(B)=1- P(C),代入②得 8

2 1 将 P(C)= 分别代入③、②可得 P(A)= 、 3 3

P(B)= ,
1 1 2 即甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率分别是 、 、 . 3 4 3 (2)记 D 为从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验,至少有一个一等品的事件,则

1 4

P(D)=1-P( D )=1-[1-P(A)][1-P(B)][1-P(C)]=1- × × = .故从甲、乙、
5 丙加工的零件中各取一个检验,至少有一个一等品的概率为 . 6

2 3

3 4

1 3

5 6

一、选择题 11.荷花池中, 有一只青蛙在成品字形的三片荷叶上跳来跳去(每次跳跃时, 均从一片荷 叶跳到另一个荷叶), 而且逆时针方向跳的频率是顺时针方向跳的概率的两倍, 如图所示. 假 设现在青蛙在 A 荷叶上,则跳三次之后停在 A 荷叶上的概率是( )

4

1 A. 3 4 C. 9 [答案] A

2 B. 9 8 D. 27

2 1 [解析] 由已知逆时针跳一次的概率为 ,顺时针跳一次的概率为 .则逆时针跳三次停 3 3 2 2 2 8 1 1 1 1 在 A 上的概率为 P1= × × = ,顺时针跳三次停在 A 上的概率为 P2= × × = .所以 3 3 3 27 3 3 3 27 8 1 1 跳三次之后停在 A 上的概率为 P=P1+P2= + = . 27 27 3 12.袋中有 5 个小球(3 白 2 黑),现从袋中每次取一个球,不放回地抽取两次,则在第 一次取到白球的条件下,第二次取到白球的概率是( 3 A. 5 1 C. 2 [答案] C [解析] 解法 1:5 个球中含 3 个白球,第一次取到白球后不放回,则第二次是含 2 个 1 白球的 4 个球中任取一球,故取到白球的概率为 . 2 解法 2:设 A=“第一次取到白球”,B=“第二次取到白球”,则 3 B. 4 3 D. 10 )

P(A)= ,P(AB)= 2= ,
∴P(B|A)=

3 5

C3 C5

2

3 10

P?AB? 1 = . P?A? 2

二、填空题 13. (2014·湖南师大附中高二期中)某班有 4 位同学住在同一个小区, 上学路上要经过 1 1 个路口.假设每位同学在路口是否遇到红绿灯是相互独立的,且遇到红灯的概率都是 , 3 则最多 1 名同学遇到红灯的概率是________. [答案] 16 27

2 4 1 1 2 3 16 [解析] P=( ) +C4·( )·( ) = . 3 3 3 27
5

1 14. 已知随机变量 X 的分布列为: P(X=k)= k, k=1,2, ?, 则 P(2<X≤4)等于________. 2 [答案] 3 16

[解析] P(2<X≤4)=P(X=3)+P(X=4) 1 1 3 = 3+ 4= . 2 2 16 15.已知随机变量 ξ 只能取三个值:x1,x2,x3,其概率依次成等差数列,则公差 d 的 取值范围是________.

? 1 1? [答案] ?- , ? 3 3 ? ?
[解析] 由条件知,
? ?P?ξ =x3?+P?ξ =x1?=2P?ξ =x2? ? ?P?ξ =x1?+P?ξ =x2?+P?ξ =x3?=1 ?



1 ∴P(ξ =x2)= , 3 1 1 ∵P(ξ =xi)≥0,∴公差 d 取值满足- ≤d≤ . 3 3 三、解答题 16.某项选拔共有四轮考核,每轮设有一个问题,能正确回答者进入下一轮考核,否则 即被淘汰.已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮的问题的概率分别为 0.6、0.4、0.5、 0.2.已知各轮问题能否正确回答互不影响. (1)求该选手被淘汰的概率; (2)求该选手在选拔中至少回答了 2 个问题后最终被淘汰的概率. [解析] 记“该选手能正确回答第 i 轮的问题”为事件 Ai(i=1,2,3,4), 则 P(A1)=0.6,

P(A2)=0.4,P(A3)=0.5, P(A4)=0.2.
(1)方法一:该选手被淘汰的概率:

P = P( A1 ∪ A1 A2 ∪ A1A2 A3 ∪ A1A2A3 A4 ) = P( A 1) + P(A1)P( A 2) + P(A1)P(A2)P( A 3) + P(A1)P(A2)P(A3)P( A 4)=0.4+0.6×0.6+0.6×0.4×0.5+0.6×0.4×0.5×0.8=0.976.
方法二:P=1-P(A1A2A3A4)=1-P(A1)P(A2)P(A3)P(A4)=1-0.6×0.4×0.5×0.2=1- 0.024=0.976. (2) 方法一: P = P(A1 A 2 ∪ A1A2 A 3 ∪ A1A2A3 A 4) = P(A1)P( A 2) + P(A1)P(A2)P( A 3) +

6

P(A1)P(A2)P(A3)P( A 4)=0.6×0.6+0.6×0.4×0.5+0.6×0.4×0.5×0.8=0.576.
方法二:P=1-P( A 1)-P(A1A2A3A4)=1-(1-0.6)-0.6×0.4×0.5×0.2=0.576. 17.甲、乙两人参加一次英语口语考试,已知在备选的 10 道试题中,甲能答对其中的 6 题,乙能答对其中的 8 题.规定每次考试都从备选题中随机抽出 3 题进行测试,至少答对 2 题才算合格. (1)分别求甲、乙两人考试合格的概率; (2)求甲、乙两人至少有一人考试合格的概率. C6C4+C6 60+20 2 [解析] (1)设甲、 乙两人考试合格的事件分别为 A、 B, 则 P(A)= = = , 3 C10 120 3 C8C2+C8 56+56 14 P(B)= = = . 3 C10 120 15 (2)方法 1:因为事件 A、B 相互独立,所以甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为
2 1 3 2 1 3

P = P(A· B ) + P( A ·B) + P(A·B) = P(A)·P( B ) + P( A )·P(B) + P(A)·P(B) =
1 1 14 2 14 44 × + × + × = . 15 3 15 3 15 45 44 答:甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为 . 45 方法 2:因为事件 A、B 相互独立,所以甲、乙两人考试均不合格的概率为

2 3

P( A · B )=P( A )·P( B )=?1- ?×?1- ?= . 3 15

? ?

2? ?

? ?

14?

?

1 45

所以甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为

P=1-P( A · B )=1- = .
44 答:甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为 . 45 18.(2015·新课标Ⅱ理,18)某公司为了解用户对其产品的满意度,从 A,B 两地区分别 随机调查了 20 个用户,得到用户对产品的满意度评分如下: A 地区:62 73 81 92 95 85 74 64 53 76 78 86 95 66 97 78 88 82 76 89

1 44 45 45

B 地区:73 83 62 51 91 46 53 73 64 82 93 48 65 81 74 56 54 76 65 79

(1)根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图,并通过茎叶图比较两地区满意 度评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值,给出结论即可); A 地区 B 地区

7

4 5 6 7 8 9

(2)根据用户满意度评分,将用户的满意度从低到高分为三个等级: 满意度评分 满意度等级 低于 70 分 不满意 70 分到 89 分 满意 不低于 90 分 非常满意

记事件 C:“A 地区用户的满意度等级高于 B 地区用户的满意度等级”.假设两地区用 户的评价结果相互独立.根据所给数据,以事件发生的频率作为相应事件发生的概率,求 C 的概率. [解析] (1)两地区用户满意度评分的茎叶图如下

通过茎叶图可以看出, A 地区用户满意度评分的平均值高于 B 地区用户满意度评分的平 均值;A 地区用户满意度评分比较集中,B 地区用户满意度评分比较分散. (2)记 CA1 表示事件:“A 地区用户满意度等级为满意或非常满意”;

CA2 表示事件:“A 地区用户满意度等级为非常满意”; CB1 表示事件:“B 地区用户满意度等级为不满意”; CB2 表示事件:“B 地区用户满意度等级为满意”.
则 CA1 与 CB1 独立,CA2 与 CB2 独立,CB1 与 CB2 互斥,

C=CB1CA1∪CB2CA2. P(C)=P(CB1CA1∪CB2CA2)=P(CB1CA1)+P(CB2CA2)
=P(CB1)P(CA1)+P(CB2)P(CA2). 16 4 10 8 4 1 1 2 由所给数据得 CA1,CA2,CB1,CB2 发生的频率分别为 , , , ,即 , , , .故 20 20 20 20 5 5 2 5

P(CA1)= ,P(CA2)= ,P(CB1)= ,P(CB2)= ,故 P(C)= × + × =0.48.

4 5

1 5

1 2

2 5

1 2

4 2 1 5 5 5

8


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