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湖南省澧县一中2014-2015学年高二上学期特色班周考数学理试题(9月14日)


2014.9.14 高二理科特色班数学周考试题
总分:100 分 时量:75 分钟 组题人:龚光元 一、选择题( 5? ?10 ? 50? ,请将答案填写在答题区。 )

1、命题“对任意 x ? R ,都有 x 2 ? 0 ”的否定为( ) 2 2 A.对任意 x ? R ,都有 x ? 0 B.不存在 x ? R ,都有 x ? 0 C.存在 x0 ? R ,使得 x0 2 ? 0 D.存在 x0 ? R ,使得 x0 2 ? 0 2、在一次跳伞训练中,甲、乙两位学员各跳一次,设命题 p 是“甲降落在指定范围”, q 是
“乙降落在指定范围”,则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为( A. ? ?p ? ? ? ?q ? B. p ? ? ?q ? C. ? ?p ? ? ? ?q ? D. p ? q 1 )

3、直线 l:y=kx+1 与圆 O:x2+y2=1 相交于 A,B 两点,则“△OAB 的面积为2”是“k
=1”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件 ?x+y≥1, ? 4、不等式组? 的解集记为 D,有下面四个命题: ?x-2y≤4 ? p1:?(x,y)∈D,x+2y≥-2, p2:?(x,y)∈D,x+2y≥2, p3:?(x,y)∈D,x+2y≤3, p4:?(x,y)∈D,x+2y≤-1. 其中的真命题是( ) A.p2,p3 B.p1,p2 C.p1,p4 D.p1,p3

5、已知双曲线 C :

x2 y 2 5 ? 2 ? 1 ( a ? 0, b ? 0 )的离心率为 ,则 C 的渐近线方程( 2 a b 2 1 1 1 A. y ? ? x B. y ? ? x C. y ? ? x D. y ? ? x 2 4 3



6、设 F 为抛物线 C: y 2 ? 3x 的焦点,过 F 且倾斜角为 30°的直线交 C 于 A,B 两点,O 为
坐标原点,则△OAB 的面积为( ) A.

3 3 4
2 2

B.

9 3 8

C.

63 32

D. 9

4

x y - 2 = 1 (a > 0, b > 0) 的一条渐近线平行于直线 l : y = 2 x + 10 ,双 2 a b 曲线的一个焦点在直线 l 上,则双曲线的方程为( ) 2 2 2 x y x y2 =1 =1 A. B. 20 5 5 20 3x 2 3 y 2 3x 2 3 y 2 =1 =1 C. D. 25 100 100 25 8、如右上图,中心均为原点 O 的双曲线与椭圆有公共焦点,M,N 是双曲线的两顶点.若

7、已知双曲线

M,O,N 将椭圆长轴四等分,则双曲线与椭圆的离心率的比值是( ) A.3 B.2 C. 3 D. 2

9、设抛物线 C : y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点为 F ,点 M 在 C 上, MF ? 5 ,若以 MF 为直径的 圆过点 (0,2) ,则 C 的方程为( ) 2 2 2 2 A. y ? 4 x 或 y ? 8 x B. y ? 2 x 或 y ? 8 x 2 2 2 C. y ? 4 x 或 y ? 16 x D. y ? 2 x 或 y y 2 ? 16 x
A F1 O B F2 x

x2 ? y 2 ? 1 与双曲线 C2 的公共焦点, A, B 分别是 C1 , C2 在 4 第二、四象限的公共点.若四边形 AF ) 1BF 2 为矩形,则 C2 的离心率是(

10、如右图, F1 , F2 是椭圆 C1 :

A. 2

B. 3

C.

3 2

D.

6 2

二、填空题( 5? ? 5 ? 25? ,请将答案填写在答题区。 ) 11、双曲线
x2 y 2 5 ? ? 1 的离心率为 , 则 m 等于_______. 4 16 m

12、抛物线 x2 ? 2 py( p ? 0) 的焦点为 F,其准线与双曲线
?ABF 为等边三角形,则 p ? _____________.

x2 y 2 ? ? 1 相交于 A, B 两点,若 3 3

x2 y 2 13 、 设 F1 , F2 是 双 曲 线 C : 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的 两 个 焦 点 , P 是 C 上 一 点 , 若 a b PF1 ? PF2 ? 6a, 且 ?PF1F2 的最小内角为 30? ,则 C 的离心率为___.

14 、 如 右 图 , 正 方 形 ABCD和正方形DEFG 的 边 长 分 别 为 a, b( a ? b) , 原点 O 为 AD 的中点, 抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 经 b 过 C , F 两点,则 ? a 2 x y2 15、 已知椭圆 C : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左焦点为 F , C 与过原点 a b , B, F若 的 直 线 相 交 于 A, B 两 点 , 连 接 A F 4 AB ? 10, AF ? 6, cos ? ABF ? ,则 C 的离心率 e ? ____. 5 选择题答题区: 1 2 3 4 5 6 7 8 题号 答案 D A B B C D A B 填空题答题区: 11、 14、 2+1 9 12、 15、
5 7

9 C

10 D

6

13、

3

三、解答题( 12? ? 13? ? 25? ,请将答案填写在答题区。 ) 2 2 x y 16、 (本小题 12 分)如图,点 P(0,?1) 是椭圆 C1 : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的一个顶点, C1 的 a b 2 2 P 长轴是圆 C2 : x ? y ? 4 的直径 . l1 , l2 是过点 且互相垂直的两条直线 ,其中 l1 交圆 C2 于 两点, l 2 交椭圆 C1 于另一点 D . y ⑴求椭圆 C1 的方程;(3 分) ⑵求 ?ABD 面积取最大值时直线 l1 的方程. l1
解:(Ⅰ)由已知得到 b ? 1 , 且 2a ? 4 ? a ? 2 ,所以
D O P A (第 16 题图) l2 B x

x2 ? y2 ? 1; 4 (Ⅱ)因为直线 l1 ? l2 ,且都过点 P(0, ?1) ,所以设直线 l1 : y ? kx ? 1 ? kx ? y ? 1 ? 0 , 1 y ? x1 ? ? x ? k y, 0 ? 所 k ?以 圆 心 ( 0 , 到 直 线 l2 : ? 0 直 ) 线 k 1 , 所以直线 l1 被圆 x2 ? y 2 ? 4 l1 : ? y k? 1 x ? k? x1 的距离为 ? y0 ? d ? 1? k2
椭圆的方程是 所截的弦 AB ? 2 4 ? d
2

?

2 3 ? 4k 2 1? k2

;

? x ? ky ? k ? 0 ? 由 ? x2 ? k 2 x 2 ? 4 x 2 ? 8kx ? 0 ,所以 2 ? ? y ?1 ?4
xD ? xP ? ? S?ABD ? 8k 1 64k 2 8 k2 ?1 ? | DP | ? (1 ? ) ? ,所以 k2 ? 4 k 2 (k 2 ? 4) 2 k2 ? 4

1 1 2 3 ? 4k 2 8 k 2 ? 1 8 4k 2 ? 3 4 ? 8 4 k 2 ? 3 | AB || DP |? ? ? 2 ? ? 2 2 k ?4 k2 ? 4 4k 2 ? 3 ? 13 1? k2 32 32 32 16 ? ? ? ? 13 , 2 13 13 4k ? 3 13 2 2 13 4k ? 3 ? ? 2 2 4k 2 ? 3 4k ? 3 4k ? 3 13 5 10 当 4k 2 ? 3 ? 时 等 号 成 立 , 此 时 直 线 ? k2 ? ? k ? ? 2 2 4k 2 ? 3

l1 : y ? ?

10 x ?1 2

2 17、 (本小题 13 分)过抛物线 E : x ? 2 py( p ? 0) 的焦点 F 作斜率分别为 k1 , k2 的两条不同 的直线 l1 , l2 ,且 k1 ? k2 ? 2 , l1与E 相交于点 A,B, l2与E 相交于点 C,D.以 AB,CD 为直径的 圆 M,圆 N(M,N 为圆心)的公共弦所在的直线记为 l . ???? ? ??? ? ⑴若 k1 ? 0, k2 ? 0 ,证明; FM · FN ? 2 p2 ;

⑵若点 M 到直线 l 的距离的最小值为

7 5 ,求抛物线 E 的方程. 5

p 解:⑴ F (0, ).设A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), C ( x3 , y3 ), D( x4 , y4 ), M ( x12 , y12 ), N ( x34 , y34 ), 2 p 直线l1方程:y ? k1 x ? , 与抛物线E方程联立,化简整理得: ? x 2 ? 2 pk1 x ? p 2 ? 0 2 x ?x p 2 2 ? x1 ? x2 ? 2k1 p, x1 ? x2 ? ? p 2 ? 0 ? x12 ? 1 2 ? k1 p, y12 ? k1 p ? ? FM ? (k1 p,?k1 p) 2 2 x ?x p 2 2 同理, ? x34 ? 1 2 ? k2 p, y34 ? k2 p ? ? FN ? (k2 p,?k2 p ) . 2 2

? FM ? FN ? k1k 2 p 2 ? k1 k 2 p 2 ? p 2 k1k 2 (k1k 2 ? 1)
? k1 ? 0, k 2 ? 0, k1 ? k 2 ,2 ? k1 ? k 2 ? 2 k1 k 2 ? k1 k 2 ? 1, ? FM ? FN ? p 2 k1 k 2 (k1 k 2 ? 1) ? p 2 ? 1 ? (1 ? 1) ? 2 p 2
所以, FM

2

2

? FN ? 2 p 2 成立.

1 p p ⑵设圆M、N的半径分别为r1 , r2 ? r1 ? [( ? y1 ) ? ( ? y 2 )] 2 2 2 1 p 2 2 2 2 ? [ p ? 2(k1 p ? )] ? k1 p ? p, ? r1 ? k1 p ? p,同理2r1 ? k2 p ? p, 2 2 设圆M、N的半径分别为r1 , r2 . 则 M、N的方程分别为( x ? x12 ) 2 ? ( y ? y12 ) 2 ? r12 ,

( x ? x34 ) 2 ? ( y ? y34 ) 2 ? r2 ,直线l的方程为: 2( x34 ? x12 ) x ? 2( y34 ? y12 ) y ? x12 ? x34 ? y12 ? y34 - r1 ? r2 ? 0 .
? 2 p (k2 ? k1 ) x ? 2 p (k2 ? k1 ) y ? ( x12 ? x34 )( x12 ? x34 ) ? ( y12 ? y34 )( y12 ? y34 ) ? (r2 - r1 )(r2 ? r1 ) ? 0
? 2 p (k 2 ? k1 ) x ? 2 p (k 2 ? k1 ) y ? 2 p 2 (k1 ? k 2 ) ? p 2 (k1 ? k 2 )(k1 ? k 2 ? 1) ? p 2 (k 2 ? k1 )(k1 ? k 2 ? 2) ? 0
? x ? 2 y ? p ? p (k1 ? k 2 ? 1) ? p (k1 ? k 2 ? 2) ? 0 ? x ? 2 y ? 0
2 2 2 2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

点M ( x12 , y12 )到直线l的距离d ?|

x12 ? 2 y12 5

|? p? |

2 k1 ? k1 ? 1 5

2

|

1 1 2(? ) 2 ? (? ) ? 1 7p 7 4 4 ? p? ? ? 5 5 8 5 5 ? p ? 8 ? 抛物线的方程为x 2 ? 16 y


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