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向量加法运算及其几何意义(共34张PPT)


复习回顾:
1.向量、平行向量、相等向量的含义分别是什 么呢? 向量:既有方向又有大小的量 平行向量:方向相同或相反的向量 相等向量:方向相同并且长度相等的向量

1

复习回顾:
2.向量的大小和方向是如何用有向线段表示的 呢?什么叫零向量和单位向量? 向量的大小:有向线段的长度。 向量的方向:有向线段的方向。 零向

量:长度为零的向量叫零向量。 单位向量:长度等于1个单位长度的向量叫 单位向量。
2

2.2.1 向量加法运算及其几何意义

引例
由于以前大陆和台湾没有直航,因此要从台湾去上海探 亲,乘飞机要先从台北到香港,再从香港到上海,这两 次位移之和是什么?如何用向量表示?

上海

c
上海 台北 香港
b

台北

a
香港
4

已知a和b,求a ? b
已知向量a和b,在平面内任取一点O,作OA=a, AB=b,则向量OB叫做a和b的和,记作a+b.即a+b= OA+AB=OB.

求两个向量和的运算叫做向量的加 A B 法.
a a b
O

b

a+b 根据向量加法的定义得出的求向量和 的方法,称为向量加法的三角形法则.

首 尾 相 连 首 尾 连

探究:如图1表示橡皮条在两个力的作用下,沿着 GC的方向伸长了EO;图2表示撤去F1和F2,用一个力 F作用在橡皮条上,使橡皮条沿着相同的方向伸长了相 F1 同的长度. 图1 G E O E O C F2 图2 G

F

探究:如图1表示橡皮条在两个力的作用下,沿着 GC的方向伸长了EO;图2表示撤去F1和F2,用一个力 F作用在橡皮条上,使橡皮条沿着相同的方向伸长了相 同的长度.
F1 G E

O
F2

F

C

力F对橡皮条产生的效果,与力F1和F2共同作用产 生的效果相同.物理学中把力F 叫做F1与F2的合力.

探究:如图1表示橡皮条在两个力的作用下,沿着 GC的方向伸长了EO;图2表示撤去F1和F2,用一个力 F作用在橡皮条上,使橡皮条沿着相同的方向伸长了相 同的长度. F1 G E

O
F2

F

C

由图发现,力F在以F1、F2为邻边的平行四边形的 对角线上,并且大小等于平行四边形的对角线长.

B

a

C

b

a +b a
A

b

O

如图,以同一点O为起点的两个已知向量 a和b为邻边作平行四边形OACB,则以O为起 点的对角线OC就是a与b的和,我们把这种作 两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形 法则.
9

位移的合成可以看作向量加法三角 形法则的物理模型. 力的合成可以看作向量加法平行四 边形法则的物理模型.

对于零向量与任一向量 a .我们规 定

a ? 0 ? 0 ? a ? a.
4/26/2015 10

例1.如图,已知向量 a, b ,求做向量 b
a
O

a ? b。

A

作法1:
a +b

在平面内任取一点O.作 OA=a,AB=b,则OB=a+b.

B

例1.如图,已知向量 a, b ,求做向量
b

a ? b。

a
作法2:
O

在平面内任取一点O.作 OA=a,OB=b,以OA、OB为 邻边做平行四边形OACB,连 接OC,则

a +b a
B

A b

C

OC=OA+OB=a+b.

如图,已知a,b用向量加法的三角形法则作出a+b.

课本84页 1
( 2) B a+ b O

( 1)

b

a+ b

b

b a
A

a

如图,已知 a, b 用向量加法的平行四边形法则 作出 a ? b 课本84页 2

(1)

b

a?b b a
a?b
a a

(2)

b

7(2)是否存在 a, b, 使 | a ? b |?| a |?| b | ?
解:(2)存在,如图, OA ? a, OB ? b, OA ? OB ? OC, ?AOB ? 120?, ?AOC ? ?COB ? 60?。

15

思考:如下图,当在数轴上表示两个共线向 量时,它们的加法与数的加法有什么关系? 方向相同
a b a +b
O
A B B

方向相反
a

b
a +b
O A

a + b = OB

a + b = OB
16

探究:考察下列各图, |a+b|与|a|+|b|的大小关系如何? |a+b|与||a|-|b| |的大小关系如何?

B

C
a+b

何时取得等号?
A

a

b

D

a ?b



a?b ≤

a ? b
17

思考:如下图,当在数轴上表示两个共线向 量时,它们的加法与数的加法有什么关系? 方向相同
a b a +b
O
A B B

方向相反
a

b
a +b
O A

a + b = OB

a + b = OB
18

探究:当a、b处于什么位置时,
(1) |a+b|=|a|+|b|. (2) |a+b|=|a|-|b|(或|b|-|a| ). (1) 当a、b共线,且同向时, |a+b|=|a|+|b|. (2) 当a、b共线,且反向时, |a+b|=|a|-|b|(或|b|-|a| ).
19

【答案】D

A 1An (1) A1A2 + A2A3 +……+ An-1An =_______
(2)若平面内有n个向量首尾相接,构成一个封闭 图形, 那么A1A2 + A2A3 + 0 =_______ ……+ An-1An + A nA 1

【答案】②

探究:数的加法满足交换律与结合律, 即对任意的a,b∈R,有 a+b=b+a (a+b)+c=a+(b+c) 任意向量a,b的加法是否也满足交换律和结 合律?请画图进行探索.

23

数的加法满足交换律与结合律,即对任意 a,b∈R,有a+b=b+a,(a+b)+c=a+(b+c) 任意向量a,b的加法是否也满足交换律与 结合律?
D

D
b A a a+b

a b B

C

a+b+c A
a B b+c a+b

c
C b

向量加法的运算律
交换律

a ? b? b? a
(a ? b)? c ? a ? (b? c)

结合律

以上两个性质可以推广到任意多个向量

根据图示填空:

课本84页 3

DA (1)a+d=____________

CB (2)c+b=____________

D

C

d

c O b

a

A

B

练一练
根据图示填空
E
g

课本84页 4

e

f
a

D d

(1)a ? b ? ( 2) c ? d ? (3)a ? b ? d ? ( 4) c ? d ? e ?

c
f f g

A

c
B

b

C

【例 2】 化简下列各式: → → → → → → → → → (1)AB+DF+CD+BC+FA;(2)OP+RS+QR+PQ.

【解析】 → → → → → → → → → → (1)AB+DF+CD+BC+FA=AB+BC+CD+DF+FA → → → → → → → → → 0 =AC+CD+DF+FA=AD+DF+FA=AF+FA= ;

→ → → → → → → → (2)OP+RS+QR+PQ=OP+PQ+QR+RS → → → → → → =OQ+QR+RS=OR+RS=OS.
28

1.如图所示,O 为正六边形的中心,化简下列各式: → → → → → → → ①OA+OC;②BC+FE ;③OA+ED+FE.

【解析】 根据向量加法的三角形法则和平行四边形法 则及正六边形的边角关系可得: → → → ①OA+OC=OB; → → → → → ②BC+FE=AO+OD=AD; → → → → → → ③OA+ED+FE=OA+AB+BC → → → =OB+BC=OC.
29

例2.长江两岸之间没有大桥的地方,常常通过轮船进行运输, 如图所示,一艘船从长江南岸A点出发,以 2 3 km/h的速度向 垂直于对岸的方向行驶,同时江水的速度为向东2km/h. (1)试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度; (2)求船实际航行的速度的大小与方向(用与江水速度的夹 角来表示)。
D

C

解:

A

B

(1)如图所示, AD表示船速, AB表示水速, 以AD、AB为邻边作 ABCD, 则 AC表示 船实际航行的速度.

例2.长江两岸之间没有大桥的地方,常常通过轮船进行运输, 如图所示,一艘船从长江南岸A点出发,以 2 3 km/h的速度向 垂直于对岸的方向行驶,同时江水的速度为向东2km/h. (1)试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度; (2)求船实际航行的速度的大小与方向(用与江水速度的夹 角来表示)。

解: (2)在Rt ABC中, | AB |? 2,| BC |? 2 3

? | AC |? | AB |2 ? | BC |2
? 22 ? (2 3) 2 ?4

D

C

2 3 tan ?CAB ? ? 3 2

A

B

??CAB ? 60 .
答:船实际航行速度为4km/h,方向与水的流速间的夹角为60? 。

→ → 3.在矩形 ABCD 中,长 AB=12,宽 AD=5,求|AB+BC|.

【解析】由题意可得, → → → |AB+BC|=|AC|= 122+52=13.
Page 32

5.在?ABCD的对角线BD的延长线上取两 点E,F,使BE=DF,用向量的方法证明 四边形AECF也是平行四边形.

33

6.若D为△ABC的边BC的中点,△ABC所在平面内有一点 P, 满足PA ? BP ? CP ? 0, 设 | AP | | PD | ? ? , 则?的值为________ .

解析: ∵ PA ? BP ? CP ? 0, 即BA ? CP ? 0, ?四边形PCAB是平行四边形, 由D为△ ABC的边BC的中点, ? | PA | | PD | ? 2.

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