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指数型函数的对称、平移与绝对值函数图像,必修一数学 经典函数题


一、函数图像间的对称性

?1? A、函数y ? 2 与函数y ? ? ? 的图像关于______对称。 ? 2?
x

x

若 f ( x) ? 2 x , 则f (? x) ? ___ , 这两个函数的图像关于____对称。 抽象化:函数 y ? f ( x)与y ? f (? x)的图像关于____对称

。 回顾:① 点(x, y)与点(? x, y)关于y 轴对称。 ② 点(x, y)与点( x,? y)关于____对称。 ③ 点(x, y)与点(? x,? y)关于____对称。 扩展为函数性质:

y ? f ( x)与y ? f (? x)的图像关于____对称。
y ? f ( x)与y ? ? f ( x)的图像关于____对称。y ? f ( x)与y ? ? f (? x)的图像关于____对称。

B、函数y ? 3x 与函数y ? ?3? x 的图像关于 (
C、自对称与他对称的区 别

)对称。

(1) 函数y ? x 2是偶函数,本身图像关 于y轴对称。

?1? (2) 函数y ? 2 与函数y ? ? ? 的图像关于 y轴对称。 ? 2?
x

x

二、函数图像的平移

A、已知f ( x) ? 2 x , 则函数f ( x ? 1) ? ____,分别画出这两个函数的 图像。
发现:函数 y = f ( x ? 1) 的图像相当于把函数 y = f ( x) 的图像向____移动____个单位。 类似:函数 y = f ( x ? 1) 的图像相当于把函数 y = f ( x) 的图像向____移动____个单位。

B、已知f ( x) ? 2 x , 则函数 f ( x) ? 1 ? ____,分别画出这两个函数的 图像。
发现:函数 y = f ( x) ? 1 的图像相当于把函数 y = f ( x) 的图像向____移动____个单位。 那么:函数 y = f ( x) ? 1 的图像相当于把函数 y = f ( x) 的图像向____移动____个单位。 C、已知f ( x)为偶函数 , 则函数f ( x ? 2)的对称轴为________ 。

已知f ( x ? 2)为奇函数 , 则函数f ( x)的对称中心为 ________ 。 思考题:函数 f ( x ? 1)与函数f (3 ? x)的图像是什么样的关 系?
二、指数类绝对值函数图像

A、画出函数 y ? 2 的图像,思考如何通过 y ? 2 x 的图像变换得来。

x

思考:如何通过 y ? 2 x 的图像变换得到 y?2

x?1

的图像。

x x B、 画出函数 y ? 2 ? 1 的图像,思考如何通过 y ? 2 ? 1 图像变换得来。

思考:如何通过 y ? 2 x 变换出函数 y ? 2 x ? 1 的图像
应用: 方程2 ? x ? 2的实根的个数是____个 画图:
x

y ? 2x

y ? 2 x?1

y ? 2 x?1

y ? 2? x

y?2

x

y?2

x ?1

y?2

x ?1

y ? ?2 x

y ? 2x ? 1

y?2

x ?1

y ? log2 x

y ? log2 x

y ? log2 (? x)

y ? log2 ( x ? 1)

y ? log2 (? x ? 1)

y ? log2 x ?1

y ? log2 x ? 1

y ? log2 ( x ?1)

y ? log2 x

y ? log 2 x ? 1

例题:已知定义在 R 上的函数 f ( x) ? {

x( x ?1),x?1 ,若直线 y ? a 与 2 x ? 2, x?1
)

函数 f ( x) 恰好有两个公共点,则 a 的取值范围是 (

A. (0,2)

B.[0,2)

C.(0,2]

D.[1,2]

练习: 1.已知函数①y=2 ;②y=log2x;③y=x ;④ y ? x ,则下列函数图象(在第一象限部分)从左到右依次与函 数序号正确对应的顺序是( )
x
-1

1 2

A.②①③④ C.④①③②

B.②③①④ D.④③①②

2.为了得到函数 y=2

x-3

+1 的图象,只需把 y=2 的图象上所有点(

x

)

A.向左平移 3 个长度单位,再向上平移 1 个单位 B.向右平移 3 个长度单位,再向上平移 1 个单位 C.向左平移 3 个长度单位,再向下平移 1 个单位 D.向右平移 3 个长度单位,再向下平移 1 个单位 3.若方程 f(x)-2=0 在(-∞,0)内有解,则 y=f(x)的图象是( )

4.已知函数 f(x)=log2x,则函数 y=f(1-x)的大致图象是(

)

5.设奇函数 f(x)的定义域为[-5,5],若当 x∈[0,5]时,f(x)的图象如图, 则不等式 f(x)<0 的解集是____. 6.使 log2(-x)<x+1 成立的 x 的取值范围为________. 7.函数 y=2 -x 的图象大致是(
x
2

)

1.函数

f ( x) ? 3x ? x 在下列哪个区间内有零点
B. ? ??1,0? ?
3

(
? D. ? ?1,2?

)

A. ? ??2, ?1? ?

? C. ? ?0,1?

2. 用二分法求方程 x ? 2 x ? 5 ? 0 在区间 [2,3] 上的实根,取区间中点 x0 ? 2.5 ,则下一个有根区间是( A. [2,2.5] B. [2.5,3] C. [ ,



5 11 ] 2 4

D. 以上都不对 )

3.已知函数 f(x)的定义域为[a,b],函数 y=f(x)的图象如图所示,则函数 f(|x|)的图象是(

3. 已知 f ( x) 是定义在 [ ?1,1] 上的奇函数, 而且 f (1) ? ?1 , 若 m、n ? [?1,1], m ? n ? 0 时有 (1)证明 f ( x) 在 [ ?1,1] 上为减函数; (2)解不等式: f ( x ? ) ? f ( ? x ) ;
2

f ( m) ? f ( n) ? 0. m?n

1 2

3 2

(3)若 f ( x) ? t 2 ? 2at ? 1 对所有 x ? [ ?1,1] , a ? [?1,1] 恒成立,求实数 t 的取值范围.

最后一波试题:

?1? 1.设 a ? log1 5 , b ? 3 , c ? ? ? ,则有( ) ?5? 3 A. a ? b ? c B. c ? b ? a C. c ? a ? b

1 5

0.3

D. a ? c ? b )

2.已知定义域为 R 的函数 f ( x) 在 (4, ? ?) 上为减函数,且函数 y ? f ( x) 的对称轴为 x ? 4 ,则( A. f (2) ? f (3) B. f (2) ? f (5) C. f (3) ? f (5) D. f (3) ? f (6) 3.函数 y ? lg x 的图象是( )

4.下列等式能够成立的是(
6 A. 6 (3 ? ? ) ? 3 ? ?


4 B. 12 (?2) ? 3

?2

C.

3

9 ?33

D. 4 x ? y ? ( x ? y ) 4
3 3

3

5.若偶函数 f ( x) 在 ?? ?,?1?上是增函数,则下列关系式中成立的是( A.f ( ? ) ? f ( ?1) ? f ( 2)



3 2

B.f ( 2) ? f ( ? ) ? f ( ?1)

3 2

C.f ( 2) ? f ( ?1) ? f ( ? ) D.f ( ?1) ? f ( ? ) ? f ( 2)

3 2

3 2

6.已知函数 y ? log a (2 ? ax) 在区间 [0,1] 上是 x 的减函数,则 a 的取值范围是( ) A. (0,1) B. (1, 2) C. (0, 2) D. (2, ??)

7.已知 f ( x ) ? A
(0,1)

?(3a ? 1) x ? 4a, x ? 1 ? 是 ( ??, ??) 上的减函数,那么 a 的取值范围是 log a x, x ? 1 ?
B
1 (0, ) 3

( )

C

1 1 [ , ) 7 3

D

1 [ ,1) 7
x

?1? 8.定义在 R 上的偶函数 f ( x) 满足 f ( x ? 1) ? ? f ( x) ,且当 x ? [?1,0] 时 f ( x) ? ? ? ,则 f (log 2 8) 等于 ( ) ?2? 1 A. 3 B. C. ?2 D. 2 8 9.函数 f ( x) ? 1 ? log 2 x 与 g ( x) ? 2? x ?1 在同一直角坐标系下的图象大致是( )

? x 2 ? 1( x ? 0) 10.已知 f(x)= ? 若 f ( x) ? 10 ,则 x ? ? 2 x( x ? 0)



11. 设函数 f ?x ? 在 (0,2) 上是增函数, 函数 f ?x ? 2? 是偶函数, 则 f ?1? 、 f ? ? 、 f ? ? 的大小关系是______. 12.若 f(x)=(a-2)x +(a-1)x+3 是偶函数,则函数 f(x)的增区间是
2

?5? ?2?

?7? ?2?



2 13.设 f ( x) ? 4 x ? 4(a ? 1) x ? 3a ? 3(a ? R) ,若 f ( x) =0 有两个均小于 2 的不同的实数根,则此时关于 x 的

不等式 (a ? 1) x ? ax ? a ? 1 ? 0 是否对一切实数 x 都成立?请说明理由。
2


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