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上海市重点中学高三数学综合卷理答案卷2014


2012 学年高三数学综合练习 (理科)
考试时间 120 分钟 满分 150 分
一. 填空题(本大题满分 56 分):本大题共有 14 题,每个空格填对得 4 分,否则一律得零分.
x 1.已知集合 A ? {x x ? 1 ? 2, x ? R}, B ? {x | 2 ? 1, x ? R} ,则 A ? B =

[0,

3)

.

2. 已知 f ( x ) ?

x ?1 ,其反函数为 f ?1 ( x) ,则 f ?1 (0) = 2x

?1

.

3.在等差数列 {an } 中 4. lim

a ? 8 , a5 ? 14 ,则其前 n 项和 Sn = , 3

3n 2 ? n ,n? N * 2

.

2n ? 3n = 3 . n ?? 2 n ? 2 ? 3n ?1 1 0 1 5.已知 0 lg x 3 ? 0 ,则 x= 1 3 0 4
6.抛物线 C : x2 ? y 的准线方程为 7.已知 tan x ? 3 ,则

.

y??
2

sin x ? 3cos x ? 2sin x ? 3cos x

1 4
.

.

8.一个圆柱的侧面展开图恰好是一个边长为 4 的正方形,则此圆柱的体积为 9.已知 (1 ? 3x)2013 ? a0 ? a1x ? a2 x2 ? ?? a2012 x2012 ? a2013 x2013 , 则 a0 ? a2 ? a4 ? ? ? a2010 ? a2012 =

16 ?

.

42013 ? 22013 2
7 2 x6
102

. .

10.一组数据 x1 , x2 ,?, x8 的值如下表,则这组数据的方差为

x1
100

x2
99

x3
98

x4
97

x5
101

x7
103

x8
100

2 2 11. 方程 | x ? 4 ? y | ? | y ? 4 ? x |? 0 所表示的曲线与直线 y ? x ? b 有交点,则实数 b 的取

值范围是_______. [2, 2 2] 12. 设函数 y ? sin x 定义域为 [ a, b] , 值域为 [m, n] , n ? m ? 若

3 , b ? a 的最大值为 则 2

.

4? 3

13. 在由正数构成的等比数列 {an } 中, a1 ? a2013 ? 1 ,那么,使不等式

1 1 1 1 . 4025 ) ? (a2 ? ) ? (a3 ? ) ? ? ? (am ? ) ? 0 成立的正整数 m 的最大值为 a1 a2 a3 am 1 1 2 14.已知函数 f ( x) ?| x ? | ? | x ? | ,若 F (x) ? f (x) ? ?f ( ) ? a x b 有 6 个不同的零点,则 a 的 x x 取值范围是 . a ? ?4 (a1 ?
二.选择题(本大题满分 20 分) 15. 任取 x,y ?{1, ?1,i, ?i} (其中 i 为虚数单位),则 x+y?R 的概率为 A. ( C )

1 4

B.

1 2

C.

3 8

D.

5 8

1

16. 已知 x,y?R,命题 M: x2 ? y 2 ? 9 ;命题 N: xy ? 9 ? 3x ? 3 y ,则 M 是 N 的( A A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 17. 已知极坐标系中圆 C 的方程为: ? ? 2 cos(? ? A. (1,



?

?
4

)

B. (1,

3? ) 4

C . (1, ?

?
4

4

) ,则圆心的极坐标为
D. (1, ?

(A



)

3? ) 4

18.已知点 P 是正四棱锥 V-ABCD 的侧棱 VA 上异于点 V 的一动点,则点 P 在面 VBC 上的射影落在 ( A ) A.△VBC 的外部 B.△VBC 的内部 C.△VBC 的一边上 D.以上皆有可能 三.解答题(本大题满分 74 分):本大题共有 5 题,解答下列各题必须写出必要的步骤. 19.(本题满分 12 分,第(1)小题满分 6 分,第(2)小题满分 6 分) 已知 a ? (cos x,sin x), b ? (cos x, 3 cos x) ,函数 f ( x) ? a ? b . (1)求 f ( x ) 的最小正周期及单调递增区间; (2) ?ABC 中, 、 、 分别是角 A、 、 的对边长, f (A) ? b 1 ? B 在 a b c B C 若 1 ? AC , , 求 a 的值. 的面积为

?

?

? ?

3 , 2

解: f ( x) ? cos2 x ? 3sin x cos x ----------------------------------------------------------1 分 (1)
1 ? cos 2 x 3 1 ? ? sin 2 x ? ? sin(2 x ? ) ,------- --------------------------------4 分 2 2 2 6 ?该函数的最小正周期为T=?; -----------------------------------------------------------5 分 ? ? 函数的单调递增区间为[k? ? , k? ? ], k ? Z .-----------------------------------6 分 3 6 ? 1 ? 5? ? (2) f ( A) ? 1,? sin(2 A ? ) ? ,? 2 A ? ? ,? A ? .------------------------------------8 分 6 2 6 6 3 1 1 ? S ?ABC ? bc sin A ? ?1? c ? sin ,? c ? 2 . ----------------------------------------------10 分 2 2 3 ? a 2 ? b 2 ? c 2 ? b c o s A 1 ? 4 ? 2 ? 1? 2 ? c o s ,? a ? 3 -----------------------12 分 2 ? ? 3 3 ?
20.(本题满分 14 分,第(1)小题满分 6 分,第(2) 小题满分 8 分) 在正方体 ABCD ? A B1C1D1 中,棱 AA ? 2 , 1 1

D1 A1 B1

C1

E 为棱 CC1 的中点.
(1)求异面直线 AE 与 BC1 所成角的大小; (2)求三棱锥 B1 ? ADE 的体积.

E

解 : (1) 连 接 AD1 , 可 知 AD1 / / BC1 , 所 以 ?D1 AE(或其补角 为异面直线 AE 与 BC1 所成的角. )
--------------------------------2 分

D A (第 20 题) B

C

?AD1E中,AD1 =2 2,D1E= 5,AE=3 ,
? cos ?D1 AE= 9+8-5 2 ? = , D1 AE= -----5 分 ?? 4 2 ? 3? 2 2 2 ? 所以异面直线 AE 与 BC1 所成的角的大小为 . --6 分 4

2

??? ? ???? A( 2 , 0 , 0E , ( 0 , B , 1 ) , (12 , 2 , 0 ), AE0 ,(?2,2,1), BC1 ? (?2,0,2) .-------2 分 ) 2 C , ( ? 2, 2) ??? ???? ? 设 AE与BC1所成的角为?, ??? ???? ? AE ? BC1 2 ? ,---------------------5 分 cos ? = ??? ???? = |AE||BC1| 2 ? ? ?? = ,异面直线 AE 与 BC1 所成的角的大小为 .6分 4 4 1 1 (2) S?DAE = ? AD ? DE= ? 2 ? 5= 5 ,---8 分 2 2 ? B1C1 / /平面ADE , ?B1到平面ADE的距离等于C1到平面ADE的距离 ---10 分 2 而C1到平面ADE的距离等于C1到直线DE的距离h= ,12 分5 1 1 2 2 ? VB1 -ADE = ? S?ADE ? h= ? 5 ? = . -----14 分 3 3 5 3
21.(本题满分 14 分,第(1)小题满分 6 分,第(2)小题满分 8 分) 在经济普查工作中, 研究人员常将研究对象按收入由低到高排列, 从收入最低的人开始,前 x % (0 ? x ? 100) 的人的收入之和与所有研 究对象的总收入之比为 y % ,这样可以得到函数关系 y ? f ( x) ,函数 f ( x) 的图像叫做洛伦兹曲线.当研究对象的收入全部相等,即没有 任何差距时,函数 f ( x ) 的图像是线段 y ? x(0 ? x ? 100) .将函数

另解:建立如图所示的坐标系

f ( x) 的图像与线段 y ? x(0 ? x ? 100) 围成图形的面积记为 S0 , S0
与原点 O、点 A(100,100)、点 B(100,0)形成的△OAB 的面积之比

S0 S?OAB

的值叫做基尼系数.按照国际一般标准,基尼系数不小于 0.6

(第 21 题)

时,表示收入差距悬殊. (1)已知 A 地区的洛伦兹曲线可以用圆弧来模拟,且从最低收入的人开始,前 50% 的人的收入之 和与所有研究对象的总收入之比为 (100 ? 50 3)% ,试求该地区洛伦兹曲线的方程; (2)试判断在(1)的条件下,按照国际一般标准,A 地区人们的收入差距是否悬殊,并说明理由. 解:A 地区洛伦兹曲线为圆弧,且经过三点(0,0),(100,100),(50,100-50 3 ), ---------------------------------------------2 分 易得 A 地 区 洛 伦 兹 曲 线 的 方 程 为 f ( x) ? 100 ? 10000 ? x 2 , x ?[0,100] . ----------------------------------------------6 分

1 1 1 ? (2)S0 = ? ?1002 ? ?1002 ? ?1002 ( ? 1) ,-------------------------------------------9 分 4 2 2 2 1 ? ?1002 ( ? 1) S0 ? 2 ?2 ? ? 1 ? 0.6 ,---------------------------------------------12 分 1 S?OAB 2 ?1002 2 所以A地区没有达到收入差距悬殊的国际一般标准 . ----------------------------14 分

3

22.(本题满分 16 分,第(1)小题满分 4 分,第(2)小题满分 6 分,第(3)小题满分 6 分). 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) 是函数 f ( x) ? 且 OM ?

1 x ? log 2 的图象上任意两点, 2 1? x

1 1 (OA ? OB ) ,其中 O 为坐标系原点,并已知点 M 的横坐标为 . 2 2 (1)求证:点 M 的纵坐标为定值; 1 2 n ?1 ), n ? N * ,且 n≥2,求 Sn ; (2)若 S n ? f ( ) ? f ( ) ??? f ( n n n ?2 n ?1 ?3 ? (3)已知 an ? ? ,其中 n ? N * , Tn 为数列 {an } 的前 n 项和,若 1 ? n?2 ? ( Sn ? 1)(Sn ?1 ? 1) ?

Tn ? ? (Sn?1 ? 1)对一切 n ? N * 都成立,试求 ? 的取值范围. 解:(1)设 M(x M , yM ) ,根据题意: x1 ? x 2 ? 2x M ? 1 .-----------------------1 分 x x x x 1 1 2yM ? y1 ? y2 ? ? log 2 1 ? ? log 2 2 ? 1 ? log 2 ( 1 ? 2 ) 2 1 ? x1 2 1? x2 1 ? x1 1 ? x 2 x1 ? x 2 x1 ? x 2 ? 1 ? log 2 ? 1 ? log 2 ? 1, (1 ? x1 )(1 ? x 2 ) 1 ? (x1 ? x 2 ) ? x1 ? x 2
? yM ?

1 . -----------------------------------------------------------------------------------4 分 2 1 2 n 1 ? ? ) ) (2) Sn ? f ( ) f ( ? ? ? f ( n n n 1 2 n ?1 1 n = (n ? 1) ? log 2 n ? l og 2 n ? ? ? l og 2 1 2 n ?1 2 1? 1? 1? n n n n ?1 1 2 n ?1 ? ? log2 ? ??? ----------------------------------------------8 分 2 n ?1 n ? 2 n ? (n ? 1) n ?1 ? Sn ? ----------------------------------------10 分 2 3 2 2 3 4 ( 3 ) 当 n ? 1 时 , T1 ? , S2 ? 1 ? , T1 ? ? ? (S2 ? 1) ? ? , ?? ? 2 3 3 2 9
-------------------------------11 分

.

1 4 1 1 当 n ? 2 时, a n ? ? ? 4( ? ) , (Sn ? 1)(Sn ?1 ? 1) (n ? 1)(n ? 2) n ?1 n ? 2 2 1 1 1 1 1 1 4 2n Tn ? ? 4 ( ? ? ? ? ? ? ? ) 2 ? ? ? .-----------13 分 3 3 4 4 5 ?n 1 ? n 2 ?n 2? n 2 2n n 4n 4 由 Tn ? ?(Sn ?1 ? 1) 得 对任意 n?N*,n?2 恒成立, ? ? ? ( ? 1) ? ? ? ? 2 4 n?2 2 (n ? 2) n ?4? n ? ? ? ? 1 1 4 1 ?? ? 当 n ? 2 时, ? ,----15 分,综上可知: ? ? . 16 分 ? ? 4 2 2 2, ? n ?4? ? ? n ?max
4

23.(本题满分 18 分,第(1)小题满分 4 分,第(2)小题满分 6 分,第(3)小题满分 8 分) 已 知 A(-2,0),B(2,0) 为 坐 标 平 面 上 两 个 定 点 , 动 点 M 在 x 轴 上 的 射 影 为 N , 且 满 足

M N ? 4 A N? B N.
2

(1)在直角坐标系中画出动点 M 的轨迹; (2)是否存在过原点的直线 l,它与(1)中轨迹有 4 个公共点,且相邻公共点之间的距离都相等?若 存在,求出直线 l 的方程;若不存在,请说明理由; (3)求动点 M 到定点 T(0,t) 距离的最小值,并指出取得最小值时点 M 的坐标. 解:(1)设 M(x,y)是轨迹上的任意一点,由题意可知:

y2 ? 4 x ? 2 ? x ? 2 ? 4 x 2 ? 4

? x ? (??, ?2] ? [2, ??), x ? (?2, 2),

x2 y 2 ? ? 1, 4 16

x2 y 2 ? ? 1 ---------------------2 分 4 16

画出完整的图形 ----4 分 (2)设直线 l 方程为 y ? kx ,它与(1)中曲线的交点从 下向上依次为 A、B、C、D, 设 C( xC , yC ), D( xD , yD ) , 由 OC ?

???? 1 ???? OD 可得 : 3

xC ?

1 xD , -------------------6 分 3 ? y ? kx 16 ? 2 , ? xC 2 ? ?x y2 4 ? k2 ?1 ? ? ? 4 16 ? y ? kx 16 ? 2 ,----------------------------------------------------8 分 ? xD 2 ? ?x y2 4 ? k2 ? ?1 ? ? 4 16 1 1 4 5 ? xC ? xD ,? xC 2 ? xD 2 可得k ? ? 3 9 5 4 5 所以存在满足条件的直线,方程为 y ? ? x ----------------------------------------10 分 5 2 2 2 (3) M ( x, y ) 是轨迹上的任意一点,由题意可知: | MT | ? x ? ( y ? t ) ,

y2 ? y?R , 4 y2 5 4 1 | MT |2 ? 4 ? ? ( y ? t )2 ? ( y ? t ) 2 ? 4 ? t 2 , 4 4 5 5 4 4 4 1 ?当y= t时,即M( ? 4 ? t 2 , t)时, 2 min =4+ t 2 ,---------------------------12 分 |MT| 5 25 5 5 2 y 当x ? (?2,时, x 2 ? 4- ? y ?[-4, , 2) 4] 4 y2 3 4 1 2 | MT | ? 4- ? ( y ? t ) 2 ? ( y ? t ) 2 +4- t 2 , 4 4 3 3 当x ? (??, ?2] ? [2, ??), x 2 ? 4 ?

5

4 1 4 4 ?当 t ?[?4, 4],即t ? [?3,3]时, MT| min =4- t 2 , 此时M( ? 4 ? t 2 , t),--------14 分 | 2 3 3 9 3 4 ?当 t ? (??, ?4),即t ? (??, ?3)时, MT| min =(t ? 4) 2 , 此时M(0,? 4), | 2 3 4 ?当 t ? (4, ??),即t ? (3, ??)时, MT|2 min =(t ? 4) 2 , 此时M(0, ).----------------------- 16 分 | 4 3 1 4 4 综上可知: ?当t ?[?3,3]时, MT|min = 4- t 2 , 此时M( ? 4 ? t 2 , t); | 3 9 3 1 4 4 当t ? (??, ?5 ? 10 )? (5 ? 10, ??)时, MT|min = 4+ t 2 , 此时M( ? 4 ? t 2 , t) | 5 25 5 当t ?[?5 ? 10, ?3)时,MT|min = | t ? 4 |, 此时M(0,? 4); |



当t ? (3,5 ? 10]时,MT| = | t ? 4 |, 此时M(0, ).--------------------------------------18 分 | min 4

6


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