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河北省石家庄市2013年高三数学高中毕业班第一次高考模拟考试(文)


2013 年石家庄市高中毕业班第一次模拟考试试卷数学(文科)
1.设集合 A={1,2}, B={1,2,3}, C={2,3, 4},则(A∩B)∪C= A.{1,2} B.{2,3,4} C.{1,2,3,4} D.{1,2,3} 2.下列函数中,周期为 ? 的是 A.y = sin

x 2

B.y = tan2x

/>?1

C.y = cos

x 4

D. y = sin2x

3.已知函数 f(x)的反函数 f (x)的图象经过 A(1,0)点,则函数 y= f(x-1)的图象必过点 A.(1,1) B.(-l,1) C.(-1,2) D. (0,1) 4.动点 P 到 A(0,2)点的距离比它到直线 l:y=-4 的距离小 2,则动点 P 的轨迹方程为 A.y = 4x
10
2

B.x = 8y
2

2

C.x = 4y
10

2

D. y = 8x D.-19

2

5.设(1-2x) =a 0 +a 1 x+a 2 x +…+ a 10 x ,则 a 0 +a 1 的值为 A.10 B.-24 C.21 6.若定义在[-1,1]上的函数 f(x)是偶函数,且它在[0,1]上的 图 象如图所示,则不等式 x ? f ( x) ? 0 的解集为

1 1 1 , ) B.(- ,0) 2 2 2 1 1 1 1 C. (-1,- )∪(0, ) D.(- ,0)∪( ,1) 2 2 2 2 2 2 7.过直线 y ? x 上一点 P 引圆 x +y -6x +7=0 的切线,则切线
A.(长的最小值为 A.

2 2

B.

2

C.

3 2 2

D.

10 2

8.如图,长方体 ABCD—A 1 B 1 C 1 D 1 中,AB=AA 1 =2,AD=1,E 为 CC 1 的中点,则 A 1 E 与 BD 所成角的余弦值为 A.

3 5

B.

7 7

C.

9. 等腰直角三角形 ABC 中, A=

AM 的取值范围是 界上运动,则即 BP · A.[-l,0] B.[-2,0] C.[-2,-1]
10.函数 f(x)=x +2x f ? (1), f ? (x)为 f(x)的导函数,令 a=3

??? ???? ? ?

? , AB=AC=2, 是 BC 的中点, 点在 ? ABC 内部或其 边 M P 2
D.[1,2]

3 4

D.

30 10

1 ,b=log 3 2,则下列关系正确的是 2

A.f(a) > f(b) B.f(|a|) < f(b) C.f(a) = f(b) D.f(a) < f(b) 11.如图,棋盘式街道中,某人从 A 地出发到达 B 地.若限制行进的 方向只能向右或向上,则不同的走法数为

1 3 3 2 B. C. D. 2 7 5 5 2 2 y x 12.椭圆 2 + 2 =1(a>b>0)上一点 A 关于原点的对称点为 B,F 为其 a b
A.

右焦点,若 AF⊥BF,设∠ABF= ? ,且 ? ∈[ A.[

2 ,1 ) 2

B.[

2 3 , ] 2 2

? ? , ],则该椭圆离心率的取值范围为 12 4 6 2 6 C.[ ,1) D.[ , ] 3 2 3

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分;共 20 分. 13.不等式

1 ? x 的解集为 x

14.已知数列{a n }为等差数列,a 1 +a 3 +a 5 =15,a 4 =7,则 S 6 的值为 15.奇函数 f(x)的图象按向量 a =(-

? ? ,1)平移得到函数 y=cos(2x- )+1 的图象,则函数 12 3

f(x)的解析式为 16.一个正三棱锥内接于球 O,且其底面的三个顶点恰好在同一个大圆上,若一个动点从三 棱锥的一个顶点出发沿球面运动,经过其余三点后返回,经过的最短距离 7 ? ,则球的表 面积为 三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文宇说明,证明过程或演算步骤 r 17.(本小题满分 l0 分)如图,已知平面四边形 ABCD 中, ? BCD 为正三角形,AB=AD=1, ∠BAD= ? ,记四边形 ABCD 的面积为 S. (I)将 S 表示为 ? 的函数; (Ⅱ)求 S 的最大值及此时 ? 的大小.

18. (本小题满分 12 分) 已知公比 q 为正数的等比数列{ an }的前 n 项和为 sn ,且 5s2 ? 4s4 . (I)求 q 的值; (Ⅱ)若 bn ? q ? Sn ?1, n ? 2, n ? N ? 且数列{ bn }也为等比数列,求数

?

?

列{ bn }的通过项公式.

19.(本小题满分 12 分)如图,平行六面体 ABCD— A1B1C1D1 中,底面 ABCD 是边长为 2 的 菱形,∠BAD=

? 其中 AC 与 BD 交于点 G, A1 点在面 ABCD 上的射影 0 恰好为线段 3 AD 的中点。 (I)求点 G 到平面 ADD A1 距离; 1
(Ⅱ)若 AA 1 = 2 ,求二面角 A 1 -BD-A 的大小.

20.(本小题满分 l2 分)为提高某篮球运动员的投篮水平,教练对其平时训练的表现作以详细 的数据记录:每次投中记 l 分,投不中记-1 分,统计平时的数据得该运动员每次投篮命 中的概率为

2 ,若在某场训练中,该运动员前 n 次投篮所得总分司为 sn ,且每次投篮是 3

否命中相互之间没有影响. (I)求该篮球运动员前三次投篮所得总分为 1 的概率; (Ⅱ)求出现 S8 ? 2 且 Si ? 0?i ? 1,2,3? 的概率。

21.(本小题满分 l2 分)已知函数 f(x) = x 3 -ax 2 -1(a≠0). (I)求函数 f(x)的单调区间; (Ⅱ)当 a>0 时,若过原点(0,0)与函数 f(x)的图象相切的直线恰有三条,求实数 a 的取 值范围.

x2 y 2 22.(本小题满分 12 分) 如图,已知双曲线 2 ? 2 ? 1 (b>a>O)且 a ?[1,2],它的左、右焦 a b 2 2 2 点分别为 F1 , F2 ,左、右顶点分别为 A、B.过 F2 作圆 x ? y ? a 的切线,切点为 T,
交双曲线于 P,Q 两点. (I) 求证:直线 PQ 与双曲线的一条渐近线垂直; (II) 若 M 为 PF2 的中点,0 为坐标原点,|OM|-|MT| = 1, |PQ|= ? |AB|,求实数 ? 的取值范围.

2010 年石家庄市第一次模拟考试文科数学答案
一. 选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分. 1-5 CDABD 6-10 CDDBA 11-12 BD 二、填空题: 本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分 13. ? ??, ?1? ? ? 0,1? 14. 36 15. f ( x) ? sin 2 x 17.解:(Ⅰ)在 ?ABD 中,由余弦定理得 BD ? 2 ? 2 cos? ,
2

16.

???

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写文字说明,证明过程或演算步骤.

又S

1 2 ? 3 所以 S ? sin(? ? ) ? 3 2

? S?ABD ? S?BCD = sin ? ? (2 ? 2 cos ? ) sin
, ? ? ? 0, ?)

1 2

? ……………………………3 分 3

………………………………………5 分

(Ⅱ)? ? ? ?0, ? ) 所以当 ? ?

??

….10 分 时,即? ? 时,S取得最大值,最大值为 ? 1 2 6 2 18. 解: (Ⅰ)若 q ? 1 , 则 5S 2 ? 10a1 , 4S 4 ? 16a1 , ? a1 ? 0, ∴ 5S 2 ? 4S 4 ,不合题意. …………………………………………………3 分

?

3

?

?

? ? 2? ?? ? ? ,……………………………….7 分 3 3 3 5? 3

若 q ? 1 ,由 5S 2 ? 4S 4 得 5 ? ∴q ?

a1 (1 ? q 2 ) a (1 ? q 4 ) 1 2 ,∴ q ? , 又 q ? 0, ? 4? 1 4 1? q 1? q

1 . ……………………………………………………………………………6 分 2 1 a1 [1 ? ( ) n ?1 ] 1 1 1 2 (Ⅱ) bn ? ? ? ? 2a1 ? a1 ? ( ) n ?2 ,……………………………..8 分 1 2 2 2 1? 2 1 1 由 ?bn ? 为等比数列知: ? 2a1 ? 0 ,得 a1 ? ? ,………………………………10 分 2 4 1 1 n?2 1 ? n . ……………………………………………………………12 分 ∴ bn ? ? ( ) 4 2 2 19. 解: Ⅰ)连结 BO ,取 DO 中点 H ,连结 GH , ( 因为 AO ? 平面 AC ,所以平面 AD1 ? 平面 AC ,…………………………….2 分 1 又底面为菱形, O 为 AD 中点, 所以 BO ? 平面 AD1 , 因为 GH ∥ BO ,所以 GH ? 平面 AD1 ,……….4 分
又 GH =

1 3 BD = , 2 2

所以点 G 到平面 ADD1 A 的距离为 1

3 ………….6 分 2

(Ⅱ)方法一:做 OM ? BD 于 M ,连结 A1M ,则 ?A MO 为所求二面角的平面角…..8 分 1 在直角三角形 AOA1 中, AO ? 1 ,由已知可得, 1

1 3 ,………………………………10 分 AG ? 2 2 1 2 3 则 tan ?A1MO ? , ? 3 3 2 2 3 所以二面角 A1 ? BD ? A 的大小为 arctan …12 分 3 方法二:分别以 OA, OB, OA1 所在直线为 x, y, z 轴,建立如图所示的坐标系, OM ?
因为 AA1 = 2 ,所以 AO =1, 1 面 ABD 的一个法向量为 n ? (0,0,1) ,…..8 分 设面 A BD 一个法向量为 m ? ( x, y, z ) , 1

???? ? ???? A1D ? (?1,0, ?1) , A1B ? (0, 3, ?1) ???? ? ?m ? A1 D ? 0; ?? x ? z ? 0; ? ? ?? ,取 y ? 3, ? ???? ? 3 y ? z ? 0. m ? A1 B ? 0. ? ? ?
3 21 ? 7 21
21 . ……………………………………..12 分 7

则 m ? (?3, 3,3) ,…………………………10 分 所以 cos n, m ?

所以二面角 A1 ? BD ? A 的大小为 arccos

20 解: (Ⅰ)该运动员前三次投篮的总分为 1, 说明三次投篮中有两次投中一次未投中,…………………………………………….2 分

? 2? ?1? 4 所以所求概率为 P ? C ? ? ? ? ? . …………………………………………………5 分 ? 3? ? 3? 9 (Ⅱ)若 S 8 ? 2 ,说明前八次投篮中,五次投中三次未投中,………………………6 分 又 S i ? 0(i ? 1,2,3) ,所以包含两种情况.
2 3

2

第一种情况:第一次投中,第二次未投中,第三次投中,后五次中任意两次未投中.
2 2 此时的概率为 P ? ? ?? ?? ? C5 ? ? ? ? = C5 ? ? ? ? ? ……………………8 分 1

? 2 ?? 1 ?? 2 ? ? 3 ?? 3 ?? 3 ?
3 3

?1? ? 2? ? 3? ? 3?
5

2

3

?2? ?3?

5

?1? ? 3?

3

第二种情况:第一次和第二次都投中,后六次中任意三次未投中.此时的概率为

?1? ? 2 ?? 2 ? 3 ? 1 ? ? 2 ? 3? 2 ? P2 ? ? ?? ? C6 ? ? ? ? = C6 ? ? ? ? ? ………………………………………10 分 ? 3 ?? 3 ? ? 3 ? ? 3 ? ? 3? ? 3? 320 320 所以出现 S8 ? 2 且 Si ? 0(i ? 1, 2,3) 的概率为: P ? P ? P2 ? 7 ? ………12 分 1 3 2187

3

2a ,……………2 分 3 2a 2a , 或 x ? 0 时, f ' ( x) ? 0, 所以当 a ? 0 时, f (x) 在 (?? ,0), ( ,?? ) 上 若 a ? 0 ,当 x ? 3 3 2a ) 上为减函数;…………………………………………………………4 分 为增函数,在 (0, 3 2a 2a , 或 x ? 0 时, f ' ( x) ? 0, 所以当 a ? 0 时, f (x) 在 (?? , ), (0,?? ) 上 若 a ? 0 ,当 x ? 3 3 2a ,0) 上为减函数. ………………………………………………………6 分 为增函数; ,在 ( 3 2 (Ⅱ)依题意设切点为( x0 , y0 ) ,则切线方程为 y ? (3x0 ? 2ax0 ) x ,
2 21.解(Ⅰ) f ' ( x) ? 3x 2 ? 2ax, 由 3 x ? 2ax ? 0 得 x ? 0 或 x ?

2 3 2 ∵切点在切线和 y ? f (x) 的图象上,则 y0 ? (3x0 ? 2ax0 ) x0 , y0 ? x0 ? ax0 ? 1,

3 2 ∴ 2x0 ? ax0 ? 1 ? 0 ,

由题意知满足条件的切线恰有三条, 则方程 2x3 ? ax2 ? 1 ? 0 有三个不同的解……………………………………..8 分 令 g ( x) ? 2x3 ? ax2 ? 1,

g ' ( x) ? 6x2 ? 2ax , a ' 由 g ( x) ? 0 得 x ? 0 或 x ? , 3 a ∵ a ? 0 ,分析可知 f (x) 在 ( ?? ,0), ( ,?? ) 上为增函数, 3 a 在 (0, ) 上为减函数;…………………………………………………………10 分 3 a a3 又当 x ? 0 时, g (x) 的极大值为 1,恒大于 0,当 x ? 时, g (x) 的极小值为 1 ? , 3 27 a3 ? 0 即可,∴ a ? 3. ………………………………………………12 分 ∴只需 1 ? 27
故 a 的取值范围为(3,+∞). 22. 解: (Ⅰ)双曲线

b x2 y 2 ? 2 ? 1(b ? a ? 0) 的渐近线为 y ? ? x , 2 a a b 2 2 2 设直线 PQ 的方程为 y ? k ( x ? c) ,(不妨设 k ? 0 ),由于与圆 x ? y ? a 相切,

?

a a2 ,直线 PQ 的斜率 k ? ? ,……………………….3 分 2 b b k 2 ?1 b 因为一三象限的渐近线为 , a a b ? ? ? ?1 .所以直线 PQ 与双曲线的一条渐近线垂直;………………………….5 分 b a

| kc |

? a ,即 k 2 ?

? y ? k ( x ? c) ? (Ⅱ) ? x 2 y 2 得 (b2 ? a2k 2 ) x2 ? 2a2k 2cx ? a2k 2c2 ? a2b2 ? 0 , ? 2 ? 2 ?1 ?a b 设 P( x1 , y1 ), Q( x2 , y2 ) ,
? ?2a 2 k 2c ? x1 ? x2 ? b2 ? a 2 k 2 ? 则? , ? a 2 k 2 c 2 ? a 2b 2 ?x x ? ? 1 2 b2 ? a 2 k 2 ?
所以 | PQ |? 因为 | OM |?

(1 ? k 2 )[( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ] ?

2ab 2 2ab2 (1 ? k 2 ) ? 2 ,…………7 分 | b2 ? a 2 k 2 | b ? a 2

1 1 | PF1 | , | F2 M |? | PF2 | , 2 2 1 | F2 M | ? | OM |? (| PF2 | ? | PF1 |) ? a , 2 | OM | ? | MT |? 1 ,代入上式得 | F2 M | ? | MT |? a ? 1,
c2 ? a2 ? b ,

又 | F2 M | ? | MT |?| F2T |? 因为 | AB |? 2a , | PQ |?

所以 b ? a ? 1 . …………………………………………………………………….9 分

2ab2 , b2 ? a 2 b2 (a ? 1)2 a2 ? ? 2 ? ? ? 1 ,…………………………………………………10 分 b ? a2 2 a ? 1 2a ? 1 t ?1 1 1? 1 ? , t ?[3,5] ,? ? ?t ? ? 2? ? 1 ,因为 t ? 在 [3,5] 为增函数,所以 令 t ? 2a ? 1, 则 a ? 2 t 4? t ? ?4 9? ? ? ? , ? . ……………………………………12 分 ?3 5?


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