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天津市十二区县重点学校2015届高三毕业班联考(二)数学(文)试题


2015 年天津市十二区县重点高中高三毕业班联考(二) 数 学(文)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.共 150 分.考试时间 120 分钟. 祝各位考生考试顺利! 第 I 卷(选择题,共 40 分) 注意事项: 1.答第Ⅰ卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。 2.选出答案后,用铅笔把答题卡上对应的题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后, 再填涂其它答案,不能答在试卷上。 参考公式: 1 ? 锥体的体积公式 V ? Sh . 其中 S 表示锥体的底面积, h 表示锥体的高. 3 一、选择题(本题共 8 个小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题给出的四个选项中,只有一 个是正确的)

? 1 ? 2i ?( ) 3 ? 4i 1 2 1 2 1 ? 2i ? i A. B. ? ? i C. D. ? 1 ? 2i 5 5 5 5 ?x ? y ? 3 ? 0 ? 2.设变量 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 3 ? 0 ,则目标函数 z ? x ? 3 y 的最小值是( ) ? y ?1 ? A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 3.已知命题 p : ?x ? 0 ,总有 ( x ? 1) ln x ? 1 ,则 ? p 为( ) A. ?x0 ? 0, 使得( x0 ? 1) ln x0 ? 1 B. ?x0 ? 0, 使得( x0 ? 1) ln x0 ? 1 C. ?x0 ? 0, 总有( x0 ? 1) ln x0 ? 1 D. ?x0 ? 0, 总有( x0 ? 1) ln x0 ? 1
1. i 是虚数单位,复数

3 1 , c ? log 3 ,则( ) 4 3 4 B. a ? c ? b C. b ? a ? c D. c ? a ? b ? ? 5.将 y ? sin(2 x ? ) 的图像上所有点向左平移 后得到 y ? f ( x) 的图像,则 y ? f ( x) 在 4 4 ? [ ? ,0]上的最小值为( ) 2 2 3 A. ? 1 B. ? C. 0 D. ? 2 2 2 2 x y 2 6. 已知抛物线 y ? 4 x 与双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的一条渐近线交于点 M ( M 异于原 a b M 点) ,且点 到抛物线焦点的距离等于 3,则双曲线的离心率是( )
4.已知 a ? ( ) 3 , b ? log 3

3 4 A. a ? b ? c

1

A.

7.已知函数 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,且在区间 ?0,??? 上单调递增,若 a , b 均为不等于1 的 正实数,则 a ? b 是 f (

5 2

B.

6 2

C. 2

D. 3

1 ) ? f (log1 b) ? 0 成立的( loga 2 2



A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 8. 已知在直角梯形 ABCD 中,AB //CD ,AB ? AD ,AB ? AD ? 2 ,CD ? 1 ,P 为线段 BC 上一个动点,设 BP ? ? BC ,则当 PA ? PD 取得最小值时 ? 的值是( ) D. 1

1 A. 2

4 B. 5

C.

0

第Ⅱ卷 (非选择题,共 110 分) 二.填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.把答案填在答题卷中相应的横线上. 9. 设集合 S ? ? x ? N

? ?

5 ? ? 1? , T ? ?2,4,6? ,则集合 S ? T 中元素个数为________. x ?


10. 一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是 开始

s?0
2
[来源:学_科_网 Z_X_X_K]

i ?1
1 1 侧视图

B

O

A

2 正视图

2

i ? 4?


N C

M

D

P

s?s?
俯视图 10 题图

i 2
2 ?i

输出 s 结束 13 题图

i ? i ?1
11 题图

11. 执行如图所示的程序框图,则输出的 S 的值是________. 12. 已知 a , b 均为正实数,圆 x ? y ? 2ax ? a (1 ? b) ? 0 与圆 x ? y ? 2 y ? 1 ? a b ? 0 外
2 2 2 2 2 2

切,则 ab 的最小值为________. 13. 如图 AB 是圆 O 的直径,过 B 作圆 O 的切线交弦 AD 的延长线于点 P , M 为 AD 上一点, 且 PB ? PM ? 6 , PD ? 4 ,连接 BM 并延长交圆 O 于点 C ,连接 OC 交 AD 于点 N ,则 CN =________.

14. 已知函数 f ( x) ? ?

?3 x ? 1 ? 5, ( x ? 0) ? ln x, ( x ? 0)

, 若函数 y ? f ( x) ? kx ? 2 恰有 3 个零点, 则实数 k 的

取值范围为________. 三.解答题:本大题 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分 13 分) 某市为缓解交通压力,计划在某路段实施“交通限行”,为了解公众对该路段“交通限行”的态 度,某机构从经过该路段的人员中随机抽查了 40 人进行调查,将调查情况进行整理,制成下表: 年龄(岁)

?15,30?

?30,45?

?45,60?

?60,75?

人数 13 8 7 12 x 5 3 赞成人数 7 (Ⅰ)如果经过该路段人员对“交通限行”的赞成率为 0.45 ,则 x 的值为; (Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,若从年龄在 ?45,60? , ?60,75? 两组赞成“交通限行”的人中再随机选 取 2 人进行进一步的采访, 记选中的 2 人至少有 1 人来自 ?60,75? 年龄段为事件 M , 求事件 M 的 概率.

16. (本小题满分 13 分) 在 ?ABC 中,内角 A, B, C 所对边分别为 a, b, c ,已知 a sin C ? 2c sin B , b ? 2 , cos A ? ? (Ⅰ)求 c 的值; (Ⅱ)求 cos(2 A ?

1 . 4

?
3

).

17.(本小题满分 13 分) 如图四边形 PDCE 是正方形,四边形 ABCD 为直角梯 形, AB // DC , ?ADC ? 90 ,且平面 PDCE ^ 平 面 ABCD . (Ⅰ)若 M 为 PA 中点,求证: AC ∥平面 MDE ; (Ⅱ)求证:直线 PC ? 平面 ADE ; (Ⅲ)若正方形 PDCE 边长为 2 a , AB ? AD ? a , 求直线 BE 与平面 PDCE 所成角的余弦.
0

P

E

M

D A B

C

18.(本小题满分 13 分) 己知数列 {an } 前 n 项的和为 Sn ,且满足 Sn ?n ? 2(an ? 2) (n ? N ? ) . (Ⅰ) 证明数列 an ?1 ? 为等比数列. (Ⅱ)若 bn ? an ? log2 (an ?1) ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn .

?

19. (本小题满分 14 分)

x2 y 2 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,其左顶点到上顶点的距离为 3 . 2 a b 2 (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)直线 l 是过椭圆右焦点 F 且斜率为 k 的直线,已知直线 l 交椭圆于 M , N 两点,若椭圆上
已知椭圆 C : 存在一点 P ,满足 OM ? ON ? ? OP ,求当 OP ? 2 k 时, k 的值.

20. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? x ?
3

3 2 ax (a ? 0), x ? R 2

(Ⅰ)求函数 f ( x) 的单调区间和极值;

(Ⅱ)已知 f ' ( x) 是 f ( x) 的导函数,若 ?x1 , x2 ? ?0,1? ,使得 f ( x1 ) ? f ' ( x2 ) ? 3x2 ? 2a ,求实 数 a 的取值范围.

2015 年天津市十二区县重点高中高三毕业班联考(二) 数学试卷(文科) 评分标准 一、选择题:本题共 8 个小题,每小题 5 分,共 40 分. 题号 1 2 3 4 5 A 6 D 7 C 8
来源:学科网 ZXXK]

A C B C 答案 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9.2; 10.

B

[

20 1 17 5 ; 11. ; 12. ; 13. ; 14.?k | ? 3 ? k ? 0或k ? e 2 3 2 2

?

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分. 15. 某市为缓解交通压力,计划在某路段实施“交通限行”,为了解公众对该路段“交通限行” 的态度,某机构从经过该路段的人员随机抽查了 40 人进行调查,将调查情况进行整理,制成下 表: 年龄(岁)

?15,30?

?30,45?

?45,60?

?60,75?

13 8 7 频数 12 x 5 3 7 赞成人数 (Ⅰ)如果经过该路段人员对“交通限行”的赞成率为 0.45 ,则 x 的值为; (Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,若从年龄在 ?45,60? , ?60,75? 两组赞成“交通限行”的人中再随机选
取 2 人进行进一步的采访, 记选中的 2 人至少有 1 人来自 ?60,75? 年龄段为事件 M , 求事件 M 的 概率. 解答:(1)经过该路段人员中赞成的人数为 5 ? 7 ? x ? 3 因此,样本中的赞成率为 解得 x ? 3 ----------------2 分 -----------------3 分 -----------------4 分

5?7? x?3 ? 0.45 40

(2)设年龄在 ?45,60?的 3 位被调查者为 A, B, C ,年龄在 [65, 75] 的 3 位被调查 a, b, c , ---------------5 分 则 从 6 位 调 查 者 中 抽 出 2 人 包 括 : (a, b),(a, c),(a, A),(a, B),(a, C ) ,

(b, C ),(b, A),(b, B),(b, C ) , (c, A),(c, B),(c, C) , ( A, B),( A, C ),( B, C ) 共 15 个基本事件,且
每个基本事件等可能。 其 中 事 件 -----------------8 分 包 括

M

(a, A),(a, B),(a, C )

,

(b, A), (b, B), (b, C )



(c, A), (c, B), (c, C ) , (a, b),(a, c),(b, c) 共 12 个基本事件, -------11 分

根据古典概率模型公式得 p ( M ) ?

12 4 ? 15 5

-----------------13 分

16.在 ?ABC 中,内角 A, B, C 所对边分别为 a,b,c ,已知 a sinC ? 2 csinB ,

b ? 2 , cosA ? ?
(Ⅰ)求 c 的值

1 . 4

(Ⅱ)求 cos(2 A ?

?
3

)
----------------------------2 分 ---------------------------3 分

解(Ⅰ)在 ?ABC 中,由 a sinC ? 2 csinB 得 ac ? 2cb ,? a ? 2b , 又 b ? 2,? a ? 4 ,

cosA ? ?

1 4
---------------------------4 分 ---------------------------5 分

1 ? 由 a2 ? b2 ? c2 ? 2bc cos A 得 16 ? 4 ? c 2 ? 4c(? ) 4

? c 2 ? c ? 12 ? 0 ,又 c ? 0,?c ? 3
(Ⅱ)在 ?ABC 中,由 cos A ? ?

1 15 2 得 sin A ? 1 ? cos A ? 4 4

-------------7 分

? sin 2 A ? 2sin A cos A ? ?
cos 2 A ? cos 2 A ? sin 2 A ? ?

15 8
7 8

---------------------------9 分 ---------------------------11 分

? cos(2 A ? ) ? cos 2 A cos ? sin 2 A sin 3 3 3

?

?

?

--------------- ------------12 分

7 1 15 3 7?3 5 ? ? ? ? (? )? ?? 8 2 8 2 16

---------------------------13 分
0

17、如图,四边形 PDCE 是正方形,四边形 ABCD 为直角梯形, AB // DC , ?ADC ? 90 , 且平面 PDCE ^ 平面 ABCD . (Ⅰ)若 M 为 PA 中点,求证: AC ∥平面 MDE ; (Ⅱ)求证直线 PC ? 平面 ADE . (III)若正方形 PDCE 边长为 2 a , AB ? AD ? a ,求直线 BE 与平面 PDCE 所成角的余弦;

证明: (Ⅰ)连接 PC ? DE ? O ,连接 MO ,因为四边形 PDCE 是正方形,所以 O 是 PC 的中 点, M 为 PA 中点,则 MO // AC , 又 MO ? 平面 MDE , -------------------------1 分 ----------------------------2 分
[来源:Z&xx&k.Com]

AC ? 平面 MDE ,
所以 AC ∥平面 MDE 。

----------------------------3 分 ----------------------------4 分

(2)平面 PDCE ^ 平面 ABCD ,平面 PDCE ? 平面 ABCD = CD .

?ADC ? 900
所以 AD ? DC 所以 AD ? 平面 PDCE 又 PC ? 平面 PDCE ,所以 AD ? PC 又正方形 PDCE 中 PC ? DE ----------------------------5 分 ----------------------------6 分 ----------------------------7 分 ---------------------------8 分

DE ? AD ? D
所以直线 PC ? 平面 ADE (3)取 AD 的中点 N ,连接 BN ,则 BN // AD 则 BN ? 平 面 PDCE 连接 NE ,则 NE 是 BE 在平面 PDCE 内的射影, 所以 ?BEN 是直线 BE 与平面 PDCE 所成角 ----------------------------11 分 ----------------------------10 分 ----------------------------9 分

Rt ?BCN 中 BC ? BN 2 ? CN 2 ? 2a Rt ?BCE 中 BE ? BC 2 ? CE 2 ? 6a
所以 Rt ?BEN 中 sin ?BEN ?

BN 6 ? BE 6 30 6

----------------------------12 分

直线 BE 与平面 PDCE 所成角的余弦

----------------------------13 分
?

18:己知数列 {an } 前 n 项的和为 Sn ,且满足 Sn ?n ? 2(an ? 2) , (n ? N ) (Ⅰ)证明数列 an ?1 ? 为等比数列. (II)若 bn ? an ? log2 (an ?1) ,数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Tn ,求 Tn

?

解(Ⅰ)

Sn ?n ? 2(an ? 2)
----------------------------1 分

? n ? 2 时 Sn ?1 ?(n ?1) ? 2(an?1 ? 2) ,
两式相减得

an ?1 ? 2an ? 2an?1 ?an ? 2an?1 ?1 ? an ?1 ? 2 a ( n?1 ? 1 )
----------------------------3 分 又由 a1 ? 1 ? 2(a1 ? 2) 得 a1 ? 3, a1 ? 1 ? 2 所以 an ?1 ? 是以 2 为首项,2 为公比的等比数列. (II)由(Ⅰ) an ?1 ? 2 ? 2n?1 ? 2n ,? an ? 2n ? 1 , 又 bn ? an ? log2 (an ?1) ----------------------------4 分 ----------------------------5 分 ----------------------------6 分 ----------------------------7 分 ----------------------------8 分

?

?bn ? n(2n ? 1)

?Tn ? (1? 2 ? 2 ? 22 ???? ? n ? 2n ) + (1 ? 2 ? ??? ? n)
设 M n ? 1? 2 ? 2 ? 2 ? ??? ? n ? 2
2 2 3 n

则 2M n ? 1? 2 ? 2 ? 2 ? ??? ? n ? 2

n ?1

两式相减得

?M n ? 2 ? 22 ? ??? ? 2n ?n ? 2n?1 ? =

2(1 ? 2n ) ? n ? 2n ?1 ? ?2 ? 2n ?1 ? n ? 2n?1 1? 2
---------------------------11 分 ---------------------------12 分

? M n ? (n ?1) ? 2n?1 ? 2 ,
又 1 ? 2 ? ??? ? n ?

n(n ? 1) 2 n(n ? 1) 2

? Tn ? (n ?1) ? 2n?1 ? 2 ?

------------ ---------------13 分

x2 y 2 2 19、已知椭圆 C : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,其左顶点到上顶点的距离为 3 . a b 2
(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)直线 l 是过椭圆右焦点 F 且斜率为 k 的直线,已知直线 l 交椭圆于 M , N 两点,若椭圆 上存在一点 P ,满足 OM ? ON ? ?OP ,求当 OP ? 2 k 时, k 的值.

?c 2 ? ? 解(Ⅰ)依题意 ? a 2 ? 2 2 ? a ?b ? 3
解得 ?
2 ? ?a ? 2 2 ? ?b ? 1

----------------------------2 分

----------------------------3 分

所以椭圆方程为

x2 ? y2 ? 1 2

----------------------------4 分

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 F (1, 0) ,所以直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 1) ----------------------------5 分

? x2 2 ? ? y ?1 设 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ) ,由 ? 2 ? (1 ? 2k 2 ) x2 ? 4k 2 x ? 2k 2 ? 2 ? 0 -- -----7 分 ? y ? k ( x ? 1) ?
?2k 4k 2 , y1 ? y2 ? k ( x1 ? x2 ? 2) ? --------8 分 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k

? x1 ? x2 ?

所以 OP ?

1

?

(OM ? ON ) ?

1 4k 2 1 ?2k ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) = ( ? , ? ) ? ? 1 ? 2k 2 ? 1 ? 2k 2
1
----------------------------9 分

由点 P 在椭圆上得

1 1 16k 4 1 4k 2 ? 2? ? ? ?1 2 ? (1 ? 2k 2 )2 ? 2 (1 ? 2k 2 )2

........(1) ----------------------------10 分

由 OP ? 2 k 得

1

?

? 2

16k 4 1 4k 2 ? ? ? 4k 2 (1 ? 2k 2 )2 ? 2 (1 ? 2k 2 )2

........(2) ----------------------------11 分

由(1) (2)得 ?8k ? 4k
4

2

? 4k 2 ? 1,
----------------------------13 分

?k4 ?

1 8

,? k ? ?

4

2 2

----------------------------14 分

20.已知函数 f ( x) ? x ?
3

3 2 ax (a ? 0), x ? R 2

(1) 求函数 f ( x) 的单调区间和极值; (2) 已知 f ' ( x) 是 f ( x) 的导函数, ?x1 , x2 ? ?0,1? ,使得 f ( x1 ) ? f ' ( x2 ) ? 3x2 ? 2a ,求实 数 a 的取值范围 解答(1)由已知,有 f ' ( x) ? 3x 2 ? 3ax ? 3x( x ? a), (a ? 0) . 令 f ' ( x) ? 0 ,解得 x ? 0 或 x ? a . 当 x 变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表: a ?0, a ? x 0 (-∞,0) + 0 0 f′(x) f(x) 单增 0 单减 -------------1 分 -------------2 分

?a,???
+ 单增
[来源:Z§xx§k.Com]

?

所以,f(x)的单调递增区间是 ?? ?,0? , ?a,??? ;单调递减区间是 ?0, a ? . 当 x=0 时,f(x)有极大值,且极大值 f(0)=0; 当 x= a 时,f(x)有极小值,且极小值 f ( a ) ? ?

a 2

3

-------------4 分 -------------5 分 -------------6 分

1 3 a . 2

(2)法 1:?x1 , x2 ? ?0,1? ,使得 f ( x1 ) ? f ' ( x2 ) ? 3x2 ? 2a ,等价于 f ( x) 在 ?0,1? 上最小值 M 与
----------7 分 g( x ) ? f ' ( x ) ? 3x ? 2a ? 3x2 ? (3a ? 3) x ? 2a 在 ?0,1? 上最大值 N 满足 M ? N 。 由函数 y ? f ( x) 的变化情况及 y ? g ( x) 在 (?? , (a)当 0 ? a ? 1 时,

a ?1 a ?1 ) 上单减,在 ( ,?? ) 上单增; 2 2

f ( x) 在 ?0, a ? 上为减函数,在 ?a,1? 上为增函数, M ? f (a) ? ?
由于当 0 ? a ? 1 时

a3 , 2

a ?1 ? 0 , g ( x) 在 ?0,1? 上为增函数, N ? g (1) ? 6 ? 5a , 2

a3 ? 5a ? 6 ? 0 , 由M ? N 得? 2
3 即 a ? 10a ? 12 ? 0 ,因为 a ? 10(1 ? a) ? 2 ? 0 (或 ?
3

a3 a3 ? 5a ? 6 ? ? ? 5 ? 6 ? 0 ) 2 2
---------------------------9 分
[来源:

所以 M ? N 对任意的 0 ? a ? 1 成立。

学科网]

(也可以对 ? (a) ? a 3 ? 10a ? 12 求导,判定 ? (a) ? a 3 ? 10a ? 12 ? 0 在 0 ? a ? 1 上恒成立) (b)当 1 ? a ? 3 时, 0 ?

a ?1 ? 1 f ( x) 在 ?0,1? 上为减函数 , g ( x) 在 ?0,1? 上先减后增, 2

3a , N ? g (0) ? ?2a 或者 N ? g (1) ? 6 ? 5a , 2 3a 3a ? ?2a 或者 1 ? ? 6 ? 5a , 由 M ? N 得,只需满足 1 ? 2 2 10 所以 1 ? a ? ---------------------------11 分 7 a ?1 ? 1, (c)当 a ? 3 时, 2 3a f ( x), g ( x) 均在 ?0,1? 上均为减函数 M ? f (1) ? 1 ? , N ? g (0) ? ?2a , 2 3a ? ?2a ,即 a ? ?2 由 M ? N 得1 ? 舍 ---------------------------13 分 2 10 由(a),(b),(c)得, 0 ? a ? --------------------------14 分 7 M ? f (1) ? 1 ?

方法二:

?x1 , x2 ? ?0,1? , 使 得 f ( x1 ) ? f ' ( x2 ) ? 3x2 ? 2a , 等 价 于 f ( x) 在 ?0,1? 上 最 小 值 M 与
----------7 分 g( x ) ? f ' ( x ) ? 3x ? 2a ? 3x2 ? (3a ? 3) x ? 2a 在 ?0,1? 上最大值 N 满足 M ? N 。 由函数 y ? f ( x) 的变化情况及 y ? g ( x) 在 (?? , (a)当 0 ? a ? 1 时,

a ?1 a ?1 ) 上单减,在 ( ,?? ) 上单增; 2 2

f ( x) 在 ?0, a ? 上为减函数,在 ?a,1? 上为增函数, M ? f (a) ? ?
由于当 0 ? a ? 1 时 由M ? N 得?

a3 , 2

a ?1 ? 0 , g ( x) 在 ?0,1? 上为增函数, N ? g (1) ? 6 ? 5a , 2

a3 ? 5a ? 6 ? 0 , 2
a3 a3 ? 5a ? 6 ? ? ? 5 ? 6 ? 0 ) 2 2

3 即 a ? 10a ? 12 ? 0 ,因为 a ? 10(1 ? a) ? 2 ? 0 (或 ?
3

所以 M ? N 对任意的 0 ? a ? 1 成立。

---------------------------9 分

(也可对 ? (a) ? a 3 ? 10a ? 12 求导,判定 ? (a) ? a 3 ? 10a ? 12 ? 0 在 0 ? a ? 1 上恒成立) (b)当 a ? 1 时, f ( x) 在 ?0,1? 上为减函数, M ? f (1) ? 1 ? 因为 g ( x) 是开口向上的二次函数且对称轴 x ?

a ?1 ?0 2

3a ,---------------------------10 分 2
---------------------------11 分 ---------------------------12 分

所以 N ? g (0) ? ?2a 或者 N ? g (1) ? 6 ? 5a , 由 M ? N 得,只需满足 1 ? 所以 1 ? a ?

3a 3a ? ?2a 或者 1 ? ? 6 ? 5a , 2 2
- --------------------------13 分

10 7 10 7

由(a),(b)得, 0 ? a ?

---------------------------14 分


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