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圆与方程教案


高三数学问题导学教学案例——圆与方程
课题:圆与方程
一、复习目标: 圆与方程 了解确定圆的几何要素(圆心和半径、不在同一直线上的三个点等). 掌握圆的标准方程与一般方程,能根据问题的条件选择恰当的形式求圆的方程;理解圆的标 准方程与一般方程之间的关系,会进行互化. 能根据直线与圆的方程判断其位置关系(相交、相切、相离) ;能根据圆的方程判断圆与圆的 位置关系(外离、外切、相交、内切、内含). 能用直线和圆的方程解决一些简单的问题. 用代数方法处理几何问题的思想 体会用代数方法处理几何问题的思想,感受“形”与“数”的对立和统一;初步掌握数形结 合的思想方法在研究数学问题中的应用. 二、复习重难点:圆的标准方程和一般方程 三、高考内容及要求: 内 平面解析几何初步 四、知识回顾: 1、圆的方程: ⑴标准方程: ?x ? a ? ? ? y ? b ? ? r
2 2 2

课时安排: 2 课时



要 A B √

求 C √

圆的标准方程和一般方程 直线与圆、圆与圆的位置关系

⑵一般方程: x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0 .
2 2

2、两圆位置关系: d ? O1O2 ⑴外离: d ? R ? r ; ⑵外切: d ? R ? r ; ⑶相交: R ? r ? d ? R ? r ; ⑷内切: d ? R ? r ; ⑸内含: d ? R ? r . 五、课堂教学: 问题导学一:我们在解决直线和圆相切时应注意哪些要点?

例 1、基础训练:求以 N (1,3) 为圆心,并且与直线 3x ? 4 y ? 7 ? 0 相切的圆的方程.

探究 1:过坐标原点且与圆 x 2 ? y 2 ? 4 x ? 2 y ?

5 ? 0 相切的直线的方程为 2 5 ,∴圆心为(2, 2

解:设直线方程为 y ? kx ,即 kx ? y ? 0 .∵圆方程可化为 ( x ? 2) 2 ? ( y ? 1) 2 ?

-1) ,半径为

2k ? 1 10 10 1 ? .依题意有 ,解得 k ? ?3 或 k ? ,∴直线方程为 y ? ?3x 或 2 2 2 3 k ?1

y?

1 x. 3
2 2

探究 2:已知直线 5x ? 12 y ? a ? 0 与圆 x ? 2 x ? y ? 0 相切,则 a 的值为 解:∵圆 ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 1 的圆心为(1,0) ,半径为 1,∴

.

5?a 5 2 ? 12 2

? 1 ,解得 a ? 8 或 a ? ?18 .

练习巩固:求经过点 A(0,5) ,且与直线 x ? 2 y ? 0 和 2 x ? y ? 0 都相切的圆的方程.

?a 2 ? (5 ? b) 2 ? r 2 ? 解:设所求圆的方程为 ( x ? a) 2 ? ( y ? b) 2 ? r 2 ,则 ? a ? 2b , 2a ? b ? ?r ? 5 ? 5
?a ? 1 ?a ? 5 ? 解得 ?b ? 3 或 ?b ? 15 ,∴圆的方程为 ( x ? 1) 2 ? ( y ? 3) 2 ? 5 或 ( x ? 5) 2 ? ( y ? 15) 2 ? 125 . ? ? ? ? r ? 5 ?r ? 5 5
问题导学二:直线被圆所截弦长的处理策略是什么?关键是借助圆的什么性质? 例 2、基础训练:求直线 l : 3x ? y ? 6 ? 0 被圆 C : x ? y ? 2 x ? 4 y ? 0 截得的弦 AB 的长.
2 2

探究 1:直线 3 x ? y ? 2 3 ? 0 截圆 x ? y ? 4 得的劣弧所对的圆心角为
2 2

解:依题意得,弦心距 d ?

3 ,故弦长 AB ? 2 r 2 ? d 2 ? 2 ,从而△OAB 是等边三角形,故

截得的劣弧所对的圆心角为 ?AOB ?

?
3

.
2 2

探究 2:设直线 ax ? y ? 3 ? 0 与圆 ( x ? 1) ? ( y ? 2) ? 4 相交于 A 、 B 两点,且弦 AB 的长为

2 3 ,则 a ?

.

解:由弦心距、半弦长、半径构成直角三角形,得 (

a ?1 a ?1
2

) 2 ? ( 3 ) 2 ? 2 2 ,解得 a ? 0 .

练习巩固:已知圆 C : ( x ? 1) ? ( y ? 2) ? 6 ,直线 l : mx ? y ? 1 ? m ? 0 .
2 2

(1)求证:不论 m 取什么实数,直线 l 与圆 C 恒交于两点; (2)求直线 l 被圆 C 截得的弦长最小时 l 的方程. 解: (1)∵直线 l : y ? 1 ? m( x ? 1) 恒过定点 P(1,1) ,且 PC ?

5 ? r ? 6 ,∴点 P 在圆内,∴

直线 l 与圆 C 恒交于两点. (2)由平面几何性质可知,当过圆内的定点 P 的直线 l 垂直于 PC 时,直线 l 被圆 C 截得的弦长 最小,此时 k l ? ?

1 k PC

? 2 ,∴所求直线 l 的方程为 y ? 1 ? 2( x ? 1) 即 2 x ? y ? 1 ? 0 .

问题导学三:如何判断直线与圆的位置关系? 例 3、基础训练:已知直线 3 x ? y ? 2 3 ? 0 和圆 x ? y ? 4 ,判断此直线与已知圆的位置关
2 2

系.

探究 1:直线 x ? y ? 1 与圆 x ? y ? 2ay ? 0 (a ? 0) 没有公共点,则 a 的取值范围是
2 2

解:依题意有

a ?1 2

? a ,解得 ? 2 ? 1 ? a ? 2 ? 1.∵ a ? 0 ,∴ 0 ? a ? 2 ? 1 .
2 2

探究 2:若直线 y ? kx ? 2 与圆 ( x ? 2) ? ( y ? 3) ? 1 有两个不同的交点,则 k 的取值范围 是 .

解:依题意有

2k ? 1 k 2 ?1

? 1 ,解得 0 ? k ?

4 4 ,∴ k 的取值范围是 (0, ) . 3 3
4 ? x 2 有且只有一个公共点,求实数 m 的取值范围.

练习巩固:若直线 y ? x ? m 与曲线 y ? 解:∵曲线 y ?

4 ? x 2 表示半圆 x 2 ? y 2 ? 4( y ? 0) ,∴利用数形结合法,可得实数 m 的取值

范围是 ? 2 ? m ? 2 或 m ? 2 2 . 问题导学四:圆与圆位置关系如何确定?

例 4、基础训练:判断圆 C1 : x ? y ? 2 x ? 6 y ? 26 ? 0 与圆 C 2 : x ? y ? 4 x ? 2 y ? 4 ? 0 的
2 2 2 2

位置关系,并画出图形.

探究 1:圆 x ? y ? 2 x ? 0 和圆 x ? y ? 4 y ? 0 的位置关系是
2 2 2 2

解 : ∵ 圆 ( x ? 1) ? y ? 1 的 圆 心 为 O1 (1,0) , 半 径 r1 ? 1 , 圆 x ? ( y ? 2) ? 4 的 圆 心 为
2 2 2 2

O2 (0,?2) ,半径 r2 ? 2 ,∴ O1O2 ? 5 , r1 ? r2 ? 3, r2 ? r1 ? 1 .∵ r2 ? r1 ? O1O2 ? r1 ? r2 ,∴
两圆相交. 探究 2: 若圆 x ? y ? 2mx ? m ? 4 ? 0 与圆 x ? y ? 2 x ? 4my ? 4m ? 8 ? 0 相切, 则实数 m
2 2 2 2 2 2

的取值集合是
2 2

.
2 2

解:∵圆 ( x ? m) ? y ? 4 的圆心为 O1 (m,0) ,半径 r1 ? 2 ,圆 ( x ? 1) ? ( y ? 2m) ? 9 的圆心 为 O2 (?1,2m) , 半 径 r2 ? 3 , 且 两 圆 相 切 , ∴ O1O2 ? r1 ? r2 或 O1O2 ? r2 ? r1 , ∴

(m ? 1) 2 ? (2m) 2 ? 5 或

(m ? 1) 2 ? (2m) 2 ? 1 , 解 得 m ? ?

12 或 m?2 ,或 m?0 或 5

5 12 5 m ? ? ,∴实数 m 的取值集合是 {? , ? , 0, 2} . 2 5 2
练习巩固:求与圆 x ? y ? 5 外切于点 P(?1,2) ,且半径为 2 5 的圆的方程.
2 2

解: 设所求圆的圆心为 O1 (a, b) , 则所求圆的方程为 ( x ? a) ? ( y ? b) ? 20 .∵两圆外切于点 P ,
2 2

1 1 ∴ OP ? OO1 , ∴ (?1,2) ? (a, b) , ∴ a ? ?3, b ? 6 , ∴ 所 求 圆 的 方 程 为 3 3
( x ? 3) 2 ? ( y ? 6) 2 ? 20 .
问题导学五:和圆相关的最值有哪些解决途径,体现那些思想方法? 例 5 、 基 础 训 练 : 已 知 点 A(?2,?2), B(?2,6), C (4,?2) , 点 P 在 圆 x 2 ? y 2 ? 4 上 运 动 , 求
PA ? PB ? PC 的最大值和最小值.
2 2 2

探究 1: x ? y ? 4 x ? 4 y ? 10 ? 0 上的点到直线 x ? y ? 14 ? 0 的最大距离与最小距离的差是 圆
2 2

解 : ∵ 圆 ( x ? 2) ? ( y ? 2) ? 18 的 圆 心 为 ( 2 , 2 ) 半 径 r ? 3 2 , ∴ 圆 心 到 直 线 的 距 离 ,
2 2

d?

10 2

? 5 2 ? r ,∴直线与圆相离,∴圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是

( d ? r ) ? ( d ? r ) ? 2r ? 6 2 .
2 2 探究 2:已知 A(?2,0) , B(2,0) ,点 P 在圆 ( x ? 3) ? ( y ? 4) ? 4 上运动,则 PA ? PB 的最
2 2

小值是

.
2 2 2

解:设 P( x, y ) ,则 PA ? PB ? ( x ? 2) 2 ? y 2 ? ( x ? 2) 2 ? y 2 ? 2( x 2 ? y 2 ) ? 8 ? 2 OP ? 8 .设圆 心为 C (3,4) ,则 OP min ? OC ? r ? 5 ? 2 ? 3 ,∴ PA ? PB 的最小值为 2 ? 32 ? 8 ? 26 . 练习巩固:已知点 P( x, y ) 在圆 x ? ( y ? 1) ? 1 上运动.
2 2
2 2

y ?1 的最大值与最小值; (2)求 2 x ? y 的最大值与最小值. x?2 y ?1 解: (1)设 ? k ,则 k 表示点 P( x, y ) 与点(2,1)连线的斜率.当该直线与圆相切时, k 取 x?2
(1)求 得最大值与最小值.由

2k k 2 ?1

? 1 ,解得 k ? ?

3 3 3 y ?1 ,∴ 的最大值为 ,最小值为 ? . 3 3 3 x?2

(2)设 2 x ? y ? m ,则 m 表示直线 2 x ? y ? m 在 y 轴上的截距. 当该直线与圆相切时, m 取得

最大值与最小值.由

1? m 5

? 1, 解得 m ? 1 ? 5 , 2 x ? y 的最大值为 1? 5 , ∴ 最小值为 1? 5 .

问题导学六:如何利用已知条件挖掘求圆的方程的重要信息? 例 6、基础训练:已知点 M 与两个定点 O(0,0) , A(3,0) 的距离的比为

1 ,求点 M 的轨迹方程. 2

探究 1:已知两定点 A(?2,0) , B(1,0) ,如果动点 P 满足 PA ? 2 PB ,则点 P 的轨迹所包围的 面积等于 解 : 设 点 P 的 坐 标 是 ( x, y ) . 由 PA ? 2 PB , 得 ( x ? 2) 2 ? y 2 ? 2 ( x ? 1) 2 ? y 2 , 化 简 得

( x ? 2) 2 ? y 2 ? 4 ,∴点 P 的轨迹是以(2,0)为圆心,2 为半径的圆,∴所求面积为 4? .

探究 2:由动点 P 向圆 x ? y ? 1 引两条切线 PA 、 PB ,切点分别为 A 、 B , ?APB =60 ,则
2 2
0

动点 P 的轨迹方程是
0

. =30 .∵ OA ? AP , OP ? 2 OA ? 2 , x 2 ? y 2 ? 2 , ∴ ∴
0

解: P( x, y ) .∵ ?APB =60 , ?O 设 ∴ P A
2 2

化简得 x ? y ? 4 ,∴动点 P 的轨迹方程是 x ? y ? 4 .
2 2

练习巩固: A(?c,0), B(c,0)(c ? 0) 为两定点, 设 动点 P 到 A 点的距离与到 B 点的距离的比为定值

a(a ? 0) ,求 P 点的轨迹.
解:设动点 P 的坐标为 P( x, y ) .由

PA PB

? a (a ? 0) ,得

( x ? c) 2 ? y 2 ( x ? c) 2 ? y 2

?a,

化简得 (1 ? a 2 ) x 2 ? (1 ? a 2 ) y 2 ? 2c(1 ? a 2 ) x ? c 2 (1 ? a 2 ) ? 0 . 当 a ? 1 时,化简得 x 2 ? y 2 ? 当 a ? 1 时,化简得 x ? 0 . 所以当 a ? 1 时, P 点的轨迹是以 (

1? a 2ac 2c(1 ? a 2 ) c) 2 ? y 2 ? ( 2 ) 2 ; x ? c 2 ? 0 ,整理得 ( x ? 2 2 a ?1 a ?1 1? a
2

1? a2 2ac c, 0) 为圆心, 2 为半径的圆; 2 a ?1 a ?1

当 a ? 1 时, P 点的轨迹是 y 轴.

问题导学七:圆中动点的变化,带来求其轨迹方程的方法是什么? 例 7、基础训练:已知线段 AB 的端点 B 的坐标是(4,3) ,端点 A 在圆 ( x ? 1) ? y ? 4 上运动,
2 2

求线段 AB 的中点 M 的轨迹方程.

探 究 1 : 已 知 定 点 B(3,0) , 点 A 在 圆 x ? y ? 1 上 运 动 , M 是 线 段 AB 上 的 一 点 , 且
2 2

1 AM ? MB ,则点 M 的轨迹方程是 3 1 1 解:设 M ( x, y), A( x1 , y1 ) .∵ AM ? MB ,∴ ( x ? x1 , y ? y1 ) ? (3 ? x,? y ) , 3 3

1 4 ? ? ? x ? x1 ? 3 (3 ? x) ? x1 ? 3 x ? 1 ? ? 2 2 2 2 ∴? ,∴ ? .∵点 A 在圆 x ? y ? 1 上运动,∴ x1 ? y1 ? 1 ,∴ 1 4 ?y ? y ? ? y ?y ? y 1 ? ? 1 3 3 ? ?
4 4 3 9 3 9 ( x ? 1) 2 ? ( y) 2 ? 1 ,即 ( x ? ) 2 ? y 2 ? ,∴点 M 的轨迹方程是 ( x ? ) 2 ? y 2 ? . 3 3 4 16 4 16
探究 2:已知定点 B(3,0) ,点 A 在圆 x ? y ? 1 上运动, ?AOB 的平分线交 AB 于点 M ,则点
2 2

M 的轨迹方程是

.

解:设 M ( x, y), A( x1 , y1 ) .∵ OM 是 ?AOB 的平分线,∴ AM ? OA ? 1 , ∴ AM ? 1 MB .由变 3 MB OB 3

3 9 式 1 可得点 M 的轨迹方程是 ( x ? ) 2 ? y 2 ? . 4 16
练习巩固:已知直线 y ? kx ? 1 与圆 x ? y ? 4 相交于 A 、 B 两点,以 OA 、 OB 为邻边作平行
2 2

四边形 OAPB ,求点 P 的轨迹方程. 解:设 P( x, y ) , AB 的中点为 M .∵ OAPB 是平行四边形,∴ M 是 OP 的中点,∴点 M 的坐标 为 ( , ) , 且 OM ? AB . ∵ 直 线 y ? kx ? 1 经 过 定 点 C (0,1) , ∴ OM ? CM , ∴

x y 2 2

x y x y x y y 2 2 OM ? CM ? ( , ) ? ( , ? 1) ? ( ) 2 ? ( ? 1) ? 0 ,化简得 x ? ( y ? 1) ? 1 .∴点 P 的轨迹方程 2 2 2 2 2 2 2
是 x ? ( y ? 1) ? 1 .
2 2

问题导学八:实际生活中我们又该如何利用所学的圆知识进行“数学化” ,来解决问题? 例 8、基础训练:某圆拱桥的水面跨度 20 m ,拱高 4 m .现有一船宽 10 m ,水面以上高 3 m ,这 条船能否从桥下通过?

探究 1:某圆拱桥的水面跨度是 20 m ,拱高为 4 m .现有一船宽 9 m ,在水面以上部分高 3 m ,故 通行无阻.近日水位暴涨了 1.5 m ,为此,必须加重船载,降低船身.当船身至少应降低 m 时,船才能通过桥洞.(结果精确到 0.01 m ) 解:建立直角坐标系,设圆拱所在圆的方程为 x ? ( y ? b) ? r .
2 2 2

?100 ? b 2 ? r 2 ?b ? ?10 .5 ? ∵圆经过点(10,0)(0,4) , ,∴ ? ,解得 ? . ?( 4 ? b) 2 ? r 2 ?r ? 14 .5 ?
∴圆的方程是 x ? ( y ? 10.5) ? 14.5 (0 ? y ? 4) .
2 2 2

令 x ? 4.5 ,得 y ? 3.28(m) .

故当水位暴涨 1.5 m 后,船身至少应降低 1.5 ? (3.28 ? 3) ? 1.22m ,船才能通过桥洞. 探究 2:据气象台预报:在 A 城正东方 300 km 的海面 B 处有一台风中心,正以每小时 40 km 的速 度向西北方向移动,在距台风中心 250 km 以内的地区将受其影响.从现在起经过约 h ,台风将影响 A 城,持续时间约为 h .(结果精确到 0.1 h ) 解:以 B 为原点, 正东方向所在直线为 x 轴,建立直角坐标系, 则台风中心的移动轨迹是 y ? ?x , 受台风影响的区域边界的曲线方程是 ( x ? a) ? ( y ? a) ? 250 .
2 2 2

依题意有 (?300 ? a) ? a ? 250 ,解得 ? 150 ? 25 14 ? a ? ?150 ? 25 14 .
2 2 2

∴ t1 ?

2 a1 40

?

2 ? 150 ? 25 14 40

? 2.0, ?t ?

2 a 2 ? a1 40

?

2 ? 50 14 ? 6.6 . 40

∴从现在起经过约 2.0 h ,台风将影响 A 城,持续时间约为 6.6 h . 练习巩固:有一种商品, A 、 B 两地均有出售,且两地价格相同.某地区的居民从两地购买此种商 品后往回贩运时,单位距离的运费 A 地是 B 地的 3 倍.已知 A 、 B 两地的距离是 10 km ,顾客购 买这种商品选择 A 地或 B 地的标准是:包括运费在内的总费用比较便宜.求 A 、 B 两地的售货区 域的分界线的曲线形状,并指出在曲线上、曲线内、曲线外的居民如何选择购货地点. 解: AB 的中点为原点,AB 所在直线为 x 轴, 以 建立直角坐标系, A(?5,0) ,B(5,0) .设 P( x, y ) 则 是 售 货 区 域 分 界 线 上 的 任 意 一 点 , 单 位 距 离 的 运 费 为 a 元 / km , 则 3a PA ? a PB , ∴

3a ( x ? 5) 2 ? y 2 ? a ( x ? 5) 2 ? y 2 ,化简得 ( x ?
的分界线是以 (?

25 2 15 ) ? y 2 ? ( ) 2 .∴ A 、 B 两地售货区域 4 4

25 15 ,0) 为圆心, 为半径的圆.因此在曲线内的居民选择去 A 地购货,在曲线外 4 4 的居民选择去 B 地购货,在曲线上的居民去 A 、 B 两地购货均可.
六、反思总结:1、圆的标准方程和一般方程 2、直线与圆、圆与圆的位置关系的要点 3、复习、学到哪些解决问题策略,掌握了哪些数学思想方法 七、作业安排:配套专题练习 八、教学反馈: 问题导学法通过创设特定的问题情景,引导学生在解决面临的问题中,主动获取和运用知识、 技能;激发其学习主动性、自主学习能力和创造性解决问题的能力的课堂教学方式.本教学方式的 三个基本特征是:①以问题的提出和解决为中心.即教学过程不是简单的知识传递讲解过程,而是 根据课本知识要求和学生的知识经验,把教学问题问题化.问题的提出和解决贯穿教学过程.②以 发展学生运用知识综合解决问题能力和创新意识及学习能力为重点.③教师引导学生自主合作探 索学习为关键.即教师是教学过程中问题情境的创设者,解决问题过程的指导者,学生学习的鼓励

者. 在新课程的高三复习中我们数学教师要把握好《新课程标准》《教学要求》和《考试说明》 、 中的重要信息,从学生实际出发,在复习内容上要进一步创新,要以问题为纽带,编制教案和学 案,促进学生加深对复习内容的理解和学习负担的减轻,从被动接受向主动探求转变从而促进高 三课堂复习效益的提高.使“双案制”教学成为问题导学的载体、提高学习质量的抓手.


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