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文科数学导数部分


文科数学导数部分
1.导数的概念与几何意义 1.1 导数的概念 函数 y=f(x),如果自变量 x 在 x 0 处有增量 ?x ,那么函数 y 相应地有增量 ?y =f(x 0 + ?x ) -f(x 0 ) 比值 ,

?y 叫 做 函 数 y=f ( x ) 在 x 0 到 x 0 + ?x 之 间 的 平 均 变 化 率 , 即 ?x

>
? y f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?y = 。如果当 ?x ? 0 时, 有极限,我们就说函数 y=f(x)在点 x 0 ?x ?x ?x
处可导,并把这个极限叫做 f(x)在点 x 0 处的导数,记作 f’(x 0 )或 y’| x? x0 。 即 f(x 0 )= lim

?x ?0

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?y = lim 。 ? x ?x ?0 ?x

1.2 导数的几何意义 函数 y=f(x)在点 x 0 处的导数的几何意义是曲线 y=f(x)在点 p(x 0 ,f(x 0 ) )处的切线 的斜率。也就是说,曲线 y=f(x)在点 p(x 0 ,f(x 0 ) )处的切线的斜率是 f’(x 0 ) 。相 应地,切线方程为 y-y 0 =f (x 0 ) (x-x 0 ) 。 1.3 几种常见函数的导数: ① C ? ? 0; ⑤ (e )? ? e ;
x x
/

② xn
x

? ?? ? nx
x

n ?1

;

③ (sin x)? ? cos x ; ⑦ ? ln x ?? ?

④ (cos x)? ? ? sin x ; ⑧ (e ) ? e
x ' x

⑥ (a )? ? a ln a ;
1 loga e x

1 ; x



(loga x) ' ?

1.4 两个函数的和、差、积的求导法则
(u ? v) ' ? u ' ? v ' ? y ? f1 ( x) ? f 2 ( x) ? ... ? f n ( x) ? y ' ? f1' ( x) ? f 2' ( x) ? ... ? f n' ( x)

(uv) ' ? vu ' ? v ' u ? (cv) ' ? c ' v ? cv ' ? cv ' ( c 为常数)
vu ' ? v ' u ?u? ( v ? 0) ? ? ? v2 ?v?
'

注:① v 必须是可导函数. u, ② 若两个函数可导,则它们和、差、积、商必可导;若两个函数均不可导,则它们的和、
1

差、积、商不一定不可导. 例如:设 f ( x) ? 2 si nx ?
2 2 , g ( x) ? cos x ? ,则 f ( x), g ( x) 在 x ? 0 处均不可导,但它们和 x x f ( x) ? g ( x) ? sinx ? cosx 在 x ? 0 处均可导.

2 导数与函数的单调性以及函数的极值 2.1 导数与函数的单调性 一般地,设函数 y ? f (x) 在某个区间[a,b]可导, 如果 f ' (x ) ? 0 ,则 f (x) 在区间[a,b]上为增函数; 如果 f ( x) ? 0 ,则 f (x) 在区间[a,b]上为减函数;
'

如果在某区间内恒有 f ( x) ? 0 ,则 f (x) 为常数;
'

2.2 极点与极值 曲线在极值点处切线的斜率为 0,极值点处的导数为 0;曲线在极大值点左侧切线的斜 率为正,右侧为负;曲线在极小值点左侧切线的斜率为负,右侧为正; 2.3 函数的最大值与最小值 一般地,在区间[a,b]上连续的函数 f (x ) 在[a,b]上必有最大值与最小值。求函数在区 间[a,b]上最大值与最小值的步骤如下: ①求函数? (x ) 在(a,b)内的极值; ②求函数? (x ) 在区间端点的值?(a)、?(b); ③将函数? (x ) 的各极值与?(a)、?(b)比较,其中最大的是最大值,其中最小的是最小值。 3 导数的综合应用题 3.1 导数的综合应用题,将导数内容和传统内容中有关不等式和函数的单调性、方程根的 分布、解析几何中的切线问题等有机地结合在一起,设计综合问题。包括: (1) 函数、导数、方程、不等式综合在一起,解决单调性、参数的范围等问题,这 类问题涉及含参数的不等式、不等式的恒成立的求解;高考资源网 (2) 函数、导数、方程、不等式综合在一起,解决极值、最值等问题,这类问题涉 及求极值和极值点、求最值,有时需要借助方程的知识求解; (3) 利用导数的几何意义求切线方程,解决与切线方程有关的问题; (4) 通过构造函数,以导数为工具证明不等式; (5) 导数与解析几何或函数图像的混合问题,这是一个重要问题,也是高考中考察 综合能力的一个方向

2

热点题型分析
题型一:利用导数研究函数的极值、最值。

??1,1? 上的最大值是 1. f ( x) ? x ? 3x ? 2 在区间
3 2

2 6

2 2.已知函数 y ? f ( x) ? x( x ? c) 在x ? 2 处有极大值,则常数 c=

3.函数 y ? 1 ? 3x ? x 有极小值 -1
3

,极大值

3

题型二:利用导数几何意义求切线方程 1.曲线 y ? 4 x ? x 在点
3

? ?1, ?3? 处的切线方程是

y ? x?2
(1,0)

4 2.若曲线 f ( x) ? x ? x 在 P 点处的切线平行于直线 3 x ? y ? 0 ,则 P 点的坐标为

3.若曲线 y ? x 的一条切线 l 与直线 x ? 4 y ? 8 ? 0 垂直,则 l 的方程为 4 x ? y ? 3 ? 0
4

4.求下列直线的方程:
3 2 (1)曲线 y ? x ? x ? 1 在 P(-1,1)处的切线;
2 (2)曲线 y ? x 过点 P(3,5)的切线;

3 2 / 2 / 解: (1) ? 点P(?1,1)在曲线y ? x ? x ? 1上, ? y ? 3x ? 2x ? k ? y |x ?-1? 3-2 ? 1

即 所以切线方程为 y ? 1 ? x ? 1 , x ? y ? 2 ? 0
2 (2)显然点 P(3,5)不在曲线上,所以可设切点为 A( x0 , y0 ) ,则 y0 ? x0 ①又函数的导数
/ k ? y / |x? x0 ? 2x0 为 y ? 2 x ,所以过 A( x0 , y0 ) 点的切线的斜率为 ,又切线过 A( x0 , y0 ) 、P(3,5)点,

所以有

2 x0 ?

y0 ? 5 x0 ? 3

? x0 ? 1 ? x0 ? 5 ? y ? 1 或 ? y ? 25 ? 0 ②,由①②联立方程组得, ? 0 ,即切点为(1,1)时,切

线斜率为 k1 ? 2 x0 ? 2; ;当切点为(5,25)时,切线斜率为 k2 ? 2 x0 ? 10 ;所以所求的切线有
即 两条,方程分别为 y ? 1 ? 2( x ? 1)或y ? 25 ? 10( x ? 5), y ? 2 x ? 1 或y ? 10 x ? 25

题型三:利用导数研究函数的单调性,极值、最值 1 .已知函 数 f ( x) ? x ? ax ? bx ? c, 过曲线y ? f ( x)上的点P(1, f (1)) 的切线方 程为
3 2

y=3x+1 (Ⅰ)若函数 f ( x)在x ? ?2 处有极值,求 f (x) 的表达式;
3

3 2 2 解: (1)由 f ( x) ? x ? ax ? bx ? c, 求导数得f ?( x) ? 3x ? 2ax ? b.

过 y ? f ( x)上点P(1, f (1)) 的切线方程为:

y ? f (1) ? f ?(1)(x ? 1),即y ? (a ? b ? c ? 1) ? (3 ? 2a ? b)(x ? 1).

的切线方程为 ? 3x ? 1. y 而过 y ? f ( x)上P[1, f (1)]
?3 ? 2a ? b ? 3 ? 故 ?a ? c ? ?3 ?2a ? b ? 0 即? ?a ? c ? ?3
① ② ③

, ∵ y ? f ( x)在x ? ?2时有极值 故f ?(?2) ? 0,? ?4a ? b ? ?12
由①②③得 a=2,b=-4,c=5

3 2 ∴ f ( x) ? x ? 2x ? 4x ? 5.

3 2 2.已知三次函数 f ( x) ? x ? ax ? bx ? c 在 x ? 1 和 x ? ?1 时取极值,且 f (?2) ? ?4 .

(1) 求函数 y ? f ( x) 的表达式; (2) 求函数 y ? f ( x) 的单调区间和极值;
2 ? 解:(1) f ( x) ? 3x ? 2ax ? b ,
2 由题意得, 1, ? 1 是 3x ? 2ax ? b ? 0 的两个根,解得, a ? 0, b ? ?3 .

3 再由 f (?2) ? ?4 可得 c ? ?2 .∴ f ( x) ? x ? 3x ? 2 . 2 ? (2) f ( x) ? 3x ? 3 ? 3( x ? 1)( x ? 1) ,

? ? 当 x ? ?1 时, f ( x) ? 0 ;当 x ? ?1 时, f ( x) ? 0 ; ? ? 当 ?1 ? x ? 1 时, f ( x) ? 0 ;当 x ? 1 时, f ( x) ? 0 ; ? 当 x ? 1 时, f ( x) ? 0 .∴函数 f ( x) 在区间 ( ??, ?1] 上是增函数;
] 在区间 [ ?1,1 上是减函数;在区间 [1, ? ?) 上是增函数.

函数 f ( x) 的极大值是 f (?1) ? 0 ,极小值是 f (1) ? ?4 .

4

3.设函数 f ( x) ? x( x ? a)( x ? b) . (1)若 f ( x) 的图象与直线 5x ? y ? 8 ? 0 相切,切点横坐标为2,且 f ( x) 在 x ? 1 处取极 值,求实数 a , b 的值; (2)当 b=1 时,试证明:不论 a 取何实数,函数 f ( x) 总有两个不同的极值点.

? 解: (1) f ( x) ? 3x ? 2(a ? b) x ? ab.
2

? ? 由题意 f (2) ? 5, f (1) ? 0 ,代入上式,解之得:a=1,b=1.

? (2)当 b=1 时, 令f ( x) ? 0得方程 3x ? 2(a ?1) x ? a ? 0.
2

因 ? ? 4(a ? a ? 1) ? 0, 故方程有两个不同实根 x1 , x 2 .
2

不妨设 x1 ? x 2 ,由 f ( x) ? 3( x ? x1 )(x ? x2 ) 可判断 f ( x) 的符号如下:
'
'

f f f 当 x ? x1时, ( x) >0;当 x1 ? x ? x2时, ( x) <0;当 x ? x2时, ( x) >0
' ' '

因此 x1 是极大值点, x2 是极小值点. ,当 b=1 时,不论 a 取何实数,函数 f ( x) 总有两个不 同的极值点。

题型四:利用导数研究函数的图象
/ 1. 如右图: f 是 (x) 的导函数, f ( x) 的图象如右图所示, f 则 (x) 的图象只可能是 D (



(A) 2.函数
y?

(B)
1 3 x ? 4 x ? 1的图像为 3 ( A

(C) )

(D)

6 4 2 -4 -2

y

o 2 4 -2 -4

x

6 4 2 -4 -2

y

6 4 2 x -4

y

6 4 2 x

y

o 2 4 -2 -4

o y 2 4 -2 -2 -4

o 2 4 -2 -4

x

5

3 2 3.方程 2 x ? 6 x ? 7 ? 0在(0,2)内根的个数为

( B D、3

)

A、0

B、1

C、2

题型五:利用单调性、极值、最值情况,求参数取值范围

1 f ( x) ? ? x 3 ? 2ax 2 ? 3a 2 x ? b,0 ? a ? 1. 3 1.设函数
(1)求函数 f (x) 的单调区间、极值.

? (2)若当 x ? [a ? 1, a ? 2] 时,恒有 | f ( x) |? a ,试确定 a 的取值范围.
2 2 x ? a, x2 ? 3a ? ? 解: (1) f ( x) ? ? x ? 4ax ? 3a = ?( x ? 3a)( x ? a) ,令 f ( x) ? 0 得 1

列表如下: x (-∞, a) a

(a,3a) 3a + 0 极大

(3a,+∞) -

f ?( x ) f ( x)

-

0 极小

?

?

?

∴ f ( x) 在(a,3a)上单调递增,在(-∞,a)和(3a,+∞)上单调递减

4 f极小 ( x) ? b ? a 3 3 , x ? 3a 时, f极小 ( x) ? b x ? a 时,

? (2) f ( x) ? ? x ? 4ax ? 3a ∵ 0 ? a ? 1 ,∴对称轴 x ? 2a ? a ? 1 ,
2 2

? ∴ f ( x ) 在[a+1,a+2]上单调递减


? ? f Max ? ?(a ? 1)2 ? 4a(a ? 1) ? 3a2 ? 2a ?1 , fmin ? ?(a ? 2)2 ? 4a(a ? 2) ? 3a2 ? 4a ? 4
即 | 2a ? 1|? a,| 4a ? 4 |? a

? | f ? |? a , | f min |? a ? 依题 | f ( x) |? a ? Max
4 ? a ?1 解得 5 ,又 0 ? a ? 1

4 [ ,1) ∴a 的取值范围是 5

2 2.已知函数 f(x)=x3+ax2+bx+c 在 x=- 3 与 x=1 时都取得极值(1)求 a、b 的值
与函数 f(x)的单调区间 (2)若对 x?〔-1,2〕 ,不等式 f(x)?c2 恒成立,求 c 的取值范围。
6

解: (1)f(x)=x3+ax2+bx+c,f?(x)=3x2+2ax+b


由 f?(

2 12 4 1 - a+b=0 - 3 )= 9 3 ,f?(1)=3+2a+b=0 得 a= 2 ,b=-2
1 (1,+?)

f?(x)=3x2-x-2=(3x+2) (x-1) ,函数 f(x)的单调区间如下表: x

2 2 (-?,- 3 ) - 3
0 极大值

2 (- 3 ,1)
- ?

f? x) + ( f(x) ?

0 极小值

+ ?

2 2 所以函数 f(x)的递增区间是(-?,- 3 )与(1,+?) ,递减区间是(- 3 ,1) 1 2 22 (2)f(x)=x3- 2 x2-2x+c,x?〔-1,2〕 ,当 x=- 3 时,f(x)= 27 +c
为极大值,而 f(2)=2+c,则 f(2)=2+c 为最大值。 要使 f(x)?c2(x?〔-1,2〕 )恒成立,只需 c2?f(2)=2+c,解得 c?-1 或 c?2

7


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