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高中数学第一章计数原理1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理1学案


1.1

分类加法计数原理与分步乘法计数原理(一)

[学习目标] 1.理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理. 2.会用这两个原理分析和解决一些简单的实际计数问题. [知识链接] 1.用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字给教室里的座位编号,总共能编出多少种不同 的号码? 答 因为英文字母共有 26 个,阿拉伯数字共有 10 个,所以总共可以编出 26+10=36(种) 不同的号码. 2.用前 6 个大写英文字母和 1~9 九个阿拉伯数字,以 A1,A2,?,B1,B2,?的方式给教 室里的座位编号,总共能编出多少个不同的号码? 答 编写一个号码要先确定一个英文字母, 后确定一个阿拉伯数字, 我们可以用树形图列出 所有可能的号码.如图:

由于前 6 个英文字母中的任意一个都能与 9 个数字中的任何一个组成一个号码, 而且它们各 不相同,因此共有 6×9=54(个)不同的号码. [预习导引] 1.分类加法计数原理 完成一件事有两类不同方案, 在第 1 类方案中有 m 种不同的方法, 在第 2 类方案中有 n 种不 同的方法,那么完成这件事共有 N=m+n 种不同的方法. 2.分步乘法计数原理 完成一件事需要两个步骤,做第 1 步有 m 种不同的方法,做第 2 步有 n 种不同的方法,那么 完成这件事共有 N=m×n 种不同的方法.

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要点一 分类加法计数原理的应用 例 1 高二·一班有学生 50 人,男 30 人;高二·二班有学生 60 人,女 30 人;高二·三班 有学生 55 人,男 35 人. (1)从中选一名学生任学生会主席,有多少种不同选法? (2)从一班、二班男生中,或从三班女生中选一名学生任学生会体育部长,有多少种不同的 选法? 解 (1)要完成“选一名学生任学生会主席”这件事有三类不同的选法: 第一类:从高二·一班选一名,有 50 种不同的方法; 第二类:从高二·二班选一名,有 60 种不同的方法; 第三类,从高二·三班选一名,有 55 种不同的方法; 故任选一名学生任学生会主席的选法共有 50+60+55=165 种不同的方法. (2)要完成“选一名学生任学生会体育部长”这件事有 3 类不同的选法: 第一类,从高二·一班男生中选有 30 种不同的方法; 第二类,从高二·二班男生中选有 30 种不同的方法; 第三类,从高二·三班女生中选有 20 种不同的方法. 故任选一名学生任学生会体育部长有 30+30+20=80 种不同的方法. 规律方法 应用分类加法计数原理应注意如下问题: (1)明确题目中所指的“完成一件事”是什么事,完成这件事可以有哪些方法,怎样才算是 完成这件事. (2)无论哪类方案中的哪种方法都可以独立完成这件事,而不需要再用到其他的方法.即各 类方法之间是互斥的,并列的,独立的. (3)不同方案的任意两种方法是不同的方法,也就是分类时必须做到既“不重复”也“不遗 漏”. 跟踪演练 1 书架上层放有 15 本不同的数学书, 中层放有 16 本不同的语文书, 下层放有 14 本不同的化学书,某人从中取出一本书,有多少种不同的取法? 解 要完成“取一本书”这件事有三类不同的取法: 第 1 类,从上层取一本数学书有 15 种不同的取法;
2

第 2 类,从中层取一本语文书有 16 种不同取法; 第 3 类,从下层取一本化学书有 14 种不同方法.故从中取一本书的方法种数为 15+16+14 =45. 要点二 分步乘法计数原理的应用 例 2 已知集合 M={-3,-2,-1,0,1,2},P(a,b)(a,b∈M)表示平面上的点,问: (1)点 P 可表示平面上多少个不同的点? (2)点 P 可表示平面上多少个第二象限内的点? 解 (1)确定平面上的点 P(a,b),可分两步完成:第一步确定 a 的值,有 6 种不同方法; 第二步确定 b 的值,也有 6 种不同方法.根据分步乘法计数原理,得到平面上点 P 的个数为 6×6=36. (2)确定平面上第二象限内的点 P,可分两步完成:第一步确定 a 的值,由于 a<0,所以有 3 种不同方法; 第二步确定 b 的值, 由于 b>0, 所以有 2 种不同方法. 由分步乘法计数原理, 得到平面上第二象限内的点 P 的个数为 3×2=6. 规律方法 应用分步乘法计数原理应注意如下问题: (1)明确题目中所指的“完成一件事”是什么事,单独用题目中所给的某种方法是不是能完 成这件事,也就是说要经过几步才能完成这件事. (2)完成这件事要分若干个步骤,只有每个步骤都完成了,才算完成这件事,缺少哪一步, 这件事都不可能完成.即各步之间是关联的,相互依存的,只有前步完成后步才能进行. (3)根据题意正确分步,要求各步之间必须连续,只有按照这几步逐步地去做,才能完成这 件事,缺少任何一步也不能完成这件事,即分步要做到步骤完整. 跟踪演练 2 若乒乓球队的 10 名队员中有 3 名主力队员, 派 5 名参加比赛, 3 名主力队员要 安排在第一、三、五位置,其余 7 名队员选 2 名安排在第二、四位置,求不同的出场安排共 有多少种? 解 按出场位置顺序逐一安排.第一位置队员的安排有 3 种方法;第二位置队员的安排有 7 种方法;第三位置队员的安排有 2 种方法;第四位置队员的安排有 6 种方法;第五位置队员 的安排只有 1 种方法. 由分步乘法计数原理知,不同的出场安排方法有 3×7×2×6×1=252(种). 要点三 两个原理的综合应用 例 3 现有高一年级的四个班的学生 34 人,其中一、二、三、四班各 7 人、8 人、9 人、10 人,他们自愿组成数学课外小组.
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(1)选其中一人为负责人,有多少种不同的选法? (2)每班选一名组长,有多少种不同的选法? (3)推选两人做中心发言,这两人需来自不同的班级,有多少种不同的选法? 解 (1)分四类:第一类,从一班学生中选 1 人,有 7 种选法;第二类,从二班学生中选 1 人,有 8 种选法;第三类,从三班学生中选 1 人,有 9 种选法;第四类,从四班学生中选 1 人,有 10 种选法. 所以,共有不同的选法 N=7+8+9+10=34(种) (2)分四步:第一、二、三、四步分别从一、二、三、四班学生中选一人任组长. 所以,共有不同的选法 N=7×8×9×10=5 040(种). (3)分六类,每类又分两步:从一、二班学生中各选 1 人,有 7×8 种不同的选法;从一、三 班学生中各选 1 人,有 7×9 种不同的选法;从一、四班学生中各选 1 人,有 7×10 种不同 的选法;从二、三班学生中各选 1 人,有 8×9 种不同的选法;从二、四班学生中各选 1 人, 有 8×10 种不同的选法;从三、四班学生中各选 1 人,有 9×10 种不同的选法. 所以,共有不同的选法 N=7×8+7×9+7×10+8×9+8×10+9×10=431(种). 规律方法 (1)在处理具体的应用题时,首先必须弄清是“分类”还是“分步”,其次要搞 清“分类”或“分步”的具体标准是什么, 选择合理的标准处理事件, 关键是看能否独立完 成这件事,避免计数的重复或遗漏. (2)对于一些比较复杂的既要运用分类加法计数原理又要运用分步乘法计数原理的问题,我 们可以恰当地画出示意图或列出表格,使问题更加直观、清晰. 跟踪演练 3 在 7 名学生中, 有 3 名会下象棋但不会下围棋, 有 2 名会下围棋但不会下象棋, 另 2 名既会下象棋又会下围棋, 现从这 7 人中选 2 人分别参加象棋比赛和围棋比赛, 共有多 少种不同的选法? 解 分四类求解:(1)从 3 名只会下象棋的学生中选 1 名参加象棋比赛,同时从 2 名只会下 围棋的学生中选 1 名参加围棋比赛有 3×2=6 种选法; (2)从 3 名只会下象棋的学生中选 1 名参加象棋比赛,同时从 2 名既会下象棋又会下围棋的 学生中选 1 名参加围棋比赛有 3×2=6 种选法; (3)从 2 名只会下围棋的学生中选 1 名参加围棋比赛,同时从 2 名既会下象棋又会下围棋的 学生中选 1 名参加象棋比赛有 2×2=4 种选法; (4)从 2 名既会下象棋又会下围棋的学生中选 1 名参加象棋比赛, 剩下的一名参加围棋比赛, 有 2×1=2 种选法.
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根据分类加法计数原理,一共有 6+6+4+2=18 种不同的选法.

1.现有 4 件不同款式的上衣和 3 条不同颜色的长裤,如果一条长裤与一件上衣配成一套, 则不同的配法种数为( A.7 B.12 答案 B 解析 要完成配套,分两步:第 1 步,选上衣,从 4 件上衣中任选一件,有 4 种不同选法; 第 2 步,选长裤,从 3 条长裤中任选一条,有 3 种不同选法.故共有 4×3=12(种)不同的 配法. 2.从 A 地到 B 地,可乘汽车、火车、轮船三种交通工具,如果一天内汽车发 3 次,火车发 4 次,轮船发 2 次,那么一天内乘坐这三种交通工具的不同走法为( A.1+1+1=3 B.3+4+2=9 C.3×4×2=24 D.以上都不对 答案 B 解析 分三类:第一类,乘汽车,从 3 次中选 1 次有 3 种走法;第二类,乘火车,从 4 次中 选 1 次有 4 种走法;第三类,乘轮船,从 2 次中选 1 次有 2 种走法.所以,共有 3+4+2= 9 种不同的走法. 3.从集合{0,1,2,3,4,5,6}中任取两个互不相等的数 a,b 组成复数 a+bi,其中虚 数有________个. 答案 36 解析 第一步取 b 的数,有 6 种方法,第二步取 a 的数,也有 6 种方法,根据分步乘法计数 原理,共有 6×6=36(种)方法. 4.将 3 封信投入 6 个信箱内,不同的投法有________种. 答案 216 解析 分三步,每一步投一封信.每封信都有 6 种投法,共有 6×6×6=216(种)不同的投 法. ) )

C.64 D.81

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1.应用两个原理时,要仔细区分原理的不同,加法原理关键在于分类,不同类之间互相排 斥,互相独立;乘法原理关键在于分步,各步之间互相依存,互相联系. 2. 通过对这两个原理的学习, 要进一步体会分类讨论思想及等价转化思想在解题中的应用.

一、基础达标 1.某班有男生 26 人,女生 24 人,从中选一位同学为数学课代表,则不同选法的种数有 ( A.50 答案 A 解析 根据分类加法计数原理,因数学科代表可为男生,也可为女生,因此选法共有 26+ 24=50(种).故选 A. 2.已知 x∈{2,3,7},y∈{-3,-4,8},则 x·y 可表示不同的值的个数为( A.8 答案 D 解析 分两步: 第一步,在集合{2,3,7}中任取一个值,有 3 种不同的取法; 第二步,在集合{-3,-4,8}中任取一个值,有 3 种不同取法. 故 x·y 可表示 3×3=9(个)不同的值. 3.某班小张等 4 位同学报名参加 A,B,C 三个课外活动小组,每位同学限报其中一个小组, 且小张不能报 A 小组,则不同的报名方法有 A.27 种 答案 C 解析 小张的报名方法有 2 种,其他 3 位同学各有 3 种,所以由分步乘法计数原理知共有 2×3×3×3=54(种)不同的报名方法,选 C. 4.如图,一条电路从 A 处到 B 处接通时,可构成线路的条数为 ( ) B.36 种 C.54 种 ( ) B.12 C.10 D.9 ) B.26 C.24 D.616 )

D.81 种

A.8

B.6

C.5

D.3
6

答案 B 解析 从 A 处到 B 处的电路接通可分两步: 第一步:前一个并联电路接通有 2 条线路; 第二步:后一个并联电路接通有 3 条线路. 由分步乘法计数原理知电路从 A 处到 B 处接通时,可构成线路的条数为 2×3=6,故选 B. 5.张华去书店,发现 3 本好书,决定至少买其中 1 本,则购买方式共有____种. 答案 7 解析 分 3 类:买 1 本书、买 2 本书、买 3 本书.各类的购买方式依次有 3 种、3 种和 1 种, 故购买方式共有 3+3+1=7(种). 6.4 名学生参加跳高、跳远、游泳比赛,4 人都来争夺这三项冠军,则冠军分配的种数有 ________. 答案 64 解析 本题中要完成的一件事:“将比赛的各项冠军逐一分配给 4 名参赛学生” . ∵跳高冠军的分配有 4 种不同的方法. 跳远冠军的分配有 4 种不同的方法. 游泳冠军的分配有 4 种不同的方法. ∴根据分步乘法计数原理,冠军的分配方法有 4×4×4=64(种). 7.如图是某校的校园设施平面图,现用不同的颜色作为各区域的 底色,为了便于区分,要求相邻区域不能使用同一种颜色.若有 6 种不同的颜色可选,问有多少种不同的着色方案? 解 操场可从 6 种颜色中任选 1 种着色;餐厅可从剩下的 5 种颜色 中任选 1 种着色;宿舍区和操场、餐厅颜色都不能相同,故可从剩 下的 4 种颜色中任选 1 种着色;教学区和宿舍区、餐厅的颜色都不能相同,故可从剩下的 4 种颜色中任选 1 种着色.根据分步乘法计数原理,知共有 6×5×4×4=480(种)着色方案. 二、能力提升 8.植树节那天,四位同学植树,现有 3 棵不同的树,若一棵树限 1 人完成,则不同的植树 方法种数有 A.1×2×3 C.3
4

( B.1×3 D.4
3

)

答案 D
7

解析 完成这件事分三步: 第一步,植第一棵树,有 4 种不同的方法; 第二步,植第二棵树,有 4 种不同的方法; 第三步,植第三棵树,也有 4 种不同的方法. 由分步乘法计数原理得:N=4×4×4=4 ,故选 D. 9. 现有 6 名同学去听同时进行的 5 个课外知识讲座, 每名同学可自由选择其中的一个讲座, 不同选法的种数是 A.5
6 3

( B.6
5

)

5×6×5×4×3×2 C. 2 答案 A

D.6×5×4×3×2

解析 每位同学都有 5 种选择,共 5×5×5×5×5×5=5 (种). 10.如图所示,在连接正八边形的三个顶点而成的三角形中与正八边形 有公共边的三角形有________个. 答案 40 解析 满足条件的有两类: 第一类:与正八边形有两条公共边的三角形有 m1=8(个); 第二类:与正八边形有一条公共边的三角形有 m2=8×4=32(个), 所以满足条件的三角形共有 8+32=40(个). 11.已知集合 A={2,4,6,8,10},B={1,3,5,7,9},在 A 中任取一元素 m 和在 B 中 任取一元素 n,组成数对(m,n),问:(1)有多少个不同的数对?(2)其中所取两数 m>n 的 数对有多少个? 解 (1)∵集合 A={2,4,6,8,10},B={1,3,5,7,9},在 A 中任取一元素 m 和在 B

6

中任取一元素 n,组成数对(m,n),先选出 m 有 5 种结果,再选出 n 有 5 种结果,根据分步 乘法计数原理知共有 5×5=25 个不同的数对. (2)在(1)中的 25 个数对中所取两数 m>n 的数对可以分类来解,当 m=2 时,n=1,有 1 种 结果,当 m=4 时,n=1,3 有 2 种结果,当 m=6 时,n=1,3,5 有 3 种结果,当 m=8 时,

n=1,3,5,7 有 4 种结果,当 m=10 时,n=
1,3,5,7,9 有 5 种结果.综上所述共有 1+2+3+4+5=15 种结果. 12.设椭圆的方程为 2+ 2=1(a>b>0),a∈{1,2,3,4,5,6,7},b∈{1,2,3,4,5},

x2 y2 a b

8

这样的椭圆共有多少个? 解 依题意按 a,b 的取值分为 6 类, 第一类:a=2,b=1; 第二类:a=3,b=1,2; 第三类:a=4,b=1,2,3; 第四类:a=5,b=1,2,3,4; 第五类:a=6,b=1,2,3,4,5; 第六类:a=7,b=1,2,3,4,5. 由分类加法计数原理得: 这样的椭圆共有 1+2+3+4+5+5=20(个). 三、探究与创新 13.某艺术小组有 9 人,每人至少会钢琴和小号中的一种乐器,其中 7 人会钢琴,3 人会小 号,从中选出会钢琴与会小号的各 1 人,有多少种不同的选法? 解 由题意可知,在艺术小组 9 人中,有且仅有 1 人既会钢琴又会小号(把该人称为“多面 手”),只会钢琴的有 6 人,只会小号的有 2 人,把选出会钢琴、小号各 1 人的方法分为两 类: 第一类:多面手入选,另 1 人只需从其他 8 人中任选一个,故这类选法共有 8 种; 第二类:多面手不入选,则会钢琴者只能从 6 个只会钢琴的人中选出,会小号者也只能从只 会小号的 2 人中选出,故这类选法共有 6×2=12(种). 因此共有 8+12=20(种)不同的选法.

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