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暑假初升高数学衔接讲义 第4讲 绝对值不等式的解法(教师版)


暑假初升高数学衔接讲义 第四讲 绝对值不等式与一元二次不等式的解法 教师版

第四讲 绝对值不等式与一元二次不等式的解法
一、 【知识梳理】
知识点一 绝对值的几何意义及应用 1、绝对值的几何意义:

x

是指数轴上点 x 到原点的距离;

x ? x1 是指数轴上点 x 到点 x1 的距离。

? a ( a ? 0) 2、绝对值的意义: a ? ? ? ? a ( a ? 0) 知识点二 基本不等式的求解
1、

x ? a 与 x ? a ( a ? 0 )型的不等式的解法
x ? a 的解集是 x x ? a, 或x ? ? a ;不等式 x ? a 的解集是 x ? a ? x ? a 。

不等式

?

?

?

?

2、

ax ? b ? c 与 ax ? b ? c ( c ? 0 )型的不等式的解法
ax ? b
看作一个整体时,可化为



x ? a 与 x ? a 型的不等式来求解。
??0
有两个相等实根

知识点三 二次函数、 二次方程、二次不等式间的关系 判别式 ? ? b ? 4ac
2
2 方程 ax ? bx ? c ? 0

??0
有两个不等实根

??0
无实根

y
二次函数

y

y

y ? ax2 ? bx ? c(a ? 0)
的图象

O

x1

x2

x

O

x1 ? x2

x

O

x

不等式

ax 2 ? bx ? c ? 0 (a ? 0)
的解集 不等式 ax ? bx ? c ? 0
2

?x | x ? x1 或 x ? x2 ? ?x | x1 ? x ? x2?

? b ? ?x x ? ? ? 2a ? ?

R

(a ? 0) 的解集

?

?

知识点四 一元二次不等式的解法(化归思想)及应用 (1)先判断二次项系数的正负,若为负,化为正数; (2)判断方程的判别式大于 0 ,等于 0 ,或小于 0 ,解方程; (3)根据方程的根,结合变形后不等号的方向,写出不等式的解集, “大于(号)找两边,小于(号) 找中间”.

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二、 【典例剖析】
题型一 基本不等式的解法 【例 1】解不等式 ①

x?2 ?3
? ? 1 2



4 ?| 2 x ? 3 |? 7

答案:① ?x | ?1 ? x ? 5? ② ? x | ?2 ? x ? ? 或

7 ? ? x ? 5? 2 ?

【变式】解不等式①

2 x ? 5 ? 12 3



3 ?|

1 x ? 5 |? 9 2

答案:① ? x | ?

? ?

21 51? ? x ? ? ② ?x | ?8 ? x ? 4或16 ? x ? 28? 2 2?

【例 2】解不等式①

x x ? x?2 x?2



3x ? 4 ? x ? 1

答案:① ?x | ?2 ? x ? 0? ② ? x |

? ?

5 3? ?x? ? 4 2?

【变式】解不等式①

2x 2x ? 3x ? 1 3x ? 1



3 5 x ? ? 3x ? 2 2 4

答案:① ? x | ?

? ?

1 1? ? ? ? x ? 0? ② ? x | x ? ? ? 3 6? ? ?

题型二 一元二次不等式的解法 【例 3】求下列不等式的解集 (1) x ? 6 x ? 10 ? 0
2

(2) ?2 x ? 3x ? 2 ? 0
2

(3) 2 x ? 7 x ? 3 ? 0
2

(4) x ? 4 x ? 5 ? 0
2

(5) ?4 x 2 ? 18 x ?

81 ?0 4

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答: (1) ? (2)R(3) ? x | x ? ?

? ?

1 ? ? 或x ? ?3? (4) ?x | ?1 ? x ? 5? (5) ? x | x ? 2 ? ?

9? ? 4?

【变式】求下列不等式的解集 (1) x ? 3x ? 1 ? 0 ; (2) 3x ? 5 x ? 2 ? 0 ; (3) ?9 x ? 6 x ? 1 ? 0 .
2 2 2

答案: (1) ? x |

? ? ? ?

? 3? 5 3? 5 ? 1? 1? ? ? ?x? ? (2) ? x | x ? ?2或x ? ? (3) ? x | x ? ? 2 2 ? 3? 3? ? ? ?

【例 4】解关于 x 的不等式( a ? R ) (1) 2 x ? ax ? 2 ? 0 ;
2

(2) ax ? (a ? 1) x ? 1 ? 0 .
2

解:

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【变式】解关于 x 的不等式( a ? R ) (1) ax ? 2(a ? 1) x ? 4 ? 0
2

(2) x ? 2ax ? 2 ? 0
2

答案: (1)

(2)当 a ? ? 2, 或 a ? 当? 2 ? a ?

2 时, x | a ? a2 ? 2 ? x ? a ? a 2 ? 2

?

?

2 时, ?
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当 a ? ? 2 时, x | x ? ? 2

?

?
? ? 1 1? ? x ? ? ,求不等式 2 x 2 ? bx ? a ? 0 的解集 2 3?

题型三 不等式、方程、函数间的关系 【例 5 】已知不等式 ax 2 ? bx ? 2 ? 0 的解集为 ? x | ? ( ? 2? x ?3 )

【变式】若不等式 ax 2 ? bx ? c ? 0 的解集为 ?x ? ? x ? ? ? 0?,求不等式 cx 2 ? bx ? a ? 0 的解集

? 1 1? <x < ? ?x ? ?? 答案: ?

题型四 含参不等式恒成立的解法 【例 6】当 a 取何值时,关于 x 的不等式 (a2 ? 4a ? 5) x2 ? 4(a ?1) x ? 3 ? 0 的解集为全体实数.

5 0 ? 时, 解: 当 a ? 4a ? 原不等式变为 3 ? 0 恒成立, 此时解集为 x ? R ; a ? 1 或 a ? ?5 ;当 a ? 1 时,
2

? a ? ?5 ; 当 a ? 4a ? 5 ? 0 时, 当 a ? ?5 时, 不等式变为 24 x ? 3 ? 0 ,x ? ? , 显然不符合题意,
2

1 8

由题意 ?

?a 2 ? 4a ? 5 ? 0 ? ??0

,解得: 1 ? a ? 19

综上所述: 1 ? a ? 19 .

【变式 1】如果不等式

2 x 2 ? 2mx ? m ? 1 ,对一切实数 x 均成立,求实数 m 的取值范围( 1 ? m ? 3) 4x 2 ? 6x ? 3

【变式 2】 (1)已知不等式 2 x ? 1 ? m( x ? 1)
2

① 若对于所有实数 x 不等式恒成立,求 m 的取值范围. ② 若对于 m ? [?2, 2] 不等式恒成立,求实数 x 的取值范围. 解:①原不等式等价于: mx ? 2 x ? (1 ?m) ? 0 对 x ? R 成立. m?0 当且仅当 ? ,解得 m?? . ? ? ? 4 ? 4 m (1 ? m ) ? 0 ?
2

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f (2) ? 0 , ②设 f (m) ? ( x2 ?1)m ? (2 x ?1) ,由于 m ? ? ?2, 2? 时, f (m) ? 0 恒成立.当且仅当 ? ? ? f (?2) ? 0

? 2 x2 ? 2 x ?1 ? 0 ?1 ? 7 1? 3 1? ? ?1 ? 7 即? ,解得: 即所求的范围为 ? ?x? x ?x? ? 2 2 2 2 2 ??2 x ? 2 x ? 3 ? 0 ? ?
(2)已知关于 x 的不等式 kx2 ? 2 x ? 6k ? 0(k ? 0) ①若不等式的解集是 {x | x ? ?3 或 x ? ?2} ,求 k 的值( ? ②若不等式的解集是 {x | x ? } ,求 k 的值( ? ③若不等式的解集是 R ,求 k 的值( k ? ? 6 )
6

3? ?. ? ? ?

2 ) 5

1 k

6 6



④若不等式的解集是 ? ,求 k 的值( 0 ? k ? ?

6 6



课 后 作 业
1、解关于 x 的不等式

1 ?2 2x ? 3

3 ? ?2 x ? 3 ? 0 x? ? ? . 2 ? 2x ? 3 ? 1 ? ? 5 7 ? ? ?x? ? 2 ?4 4
( C )

2、若不等式

ax ? 2 ? 6 的解集为 ?x ?1 ? x ? 2? ,则实数 a 等于
B. 2 C. ? 4 D.

A. 8

?8

3、设集合 A ? x x ? 2 ? 2, x ? R , B

?

?

? ?y y ? ? x 2 ,?1 ? x ? 2?,则 CR ? A B ? 等于(
C.

B )

A.

R

B. ?x x ? R, x ? 0?

?0?

D. ?

4、设集合 A ? ?( x, y ) y ?

? ?

1 ? x ? 2 ? , B ? ?( x, y) y ? ? x ? b? , A B ? ? , 求 b 的取值范围. 2 ?

解 析 : 分 别 作 出 集 合 A, B 表 示 的 平 面 区 域 , 由 图 求 出 b 的 范 围

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5、若 x -2ax+2 ? 0 在 x ? R 上恒成立,则实数 a 的取值范围是( D )
2

A. (? 2, 2]
2

B. (? 2, 2)

C. [? 2, 2) )

D. [? 2, 2]

6、如果 A = {x | ax -ax+ 1<0}=? ,则实数 a 的集合为( D A. {a | 0<a<4} B. {a | 0 ? a<4}

C. {a | 0<a ? 4}

D. {a | 0 ? a ? 4}

2 1<0 的 解 集 为 {x | - 1<x<2} , 则 a = ________ , b = 7 、 若 关 于 x 的 不 等 式 ax +bx-

________. a ?

1 1 ,b ? ? . 2 2

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