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【与名师对话】2015高考数学(文,北师大版)质量检测5 立体几何 Word版含解析]


质量检测(五)
测试内容:立体几何 (时间:120 分钟 满分:150 分)

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四 个选项中,只有一项是符合题目要求的)

1.(2012 年大连期末)一几何体的三视图如图所示,已知这个几何体的体积 为 10 3,则 h= 3 A. 2 C.2 3 B.

3 D.5 3 ( )

解析:分析几何体的三视图,可知该几何体是底面为矩形的四棱锥,体积 V 1 =3×5×6×h=10 3,解得 h= 3. 答案:B 2.设 m,n 是平面 α 内的两条不同直线;l1,l2 是平面 β 内的两条相交直线, 则 α∥β 的一个充分而不必要条件是 A.m∥β 且 l1∥α C.m∥β 且 n∥β l1∥m? ??l1∥α, 解析: m?α ? 答案:B B.m∥l1 且 n∥l2 D.m∥β 且 n∥l2 同理l2∥α l1,l2?β l1与l2相交??α∥β. ( )

? ?

3. (2012 年郑州质检)一个几何体的三视图及其尺寸如下图所示, 其中正(主) 视图是直角三角形,侧(左)视图是半圆,俯视图是等腰三角形,则这个几何体的 体积是(单位:cm3) π A.2 π C.4 π B.3 D.π ( )

解析:依三视图可知,该几何体是半个圆锥,且底面半径为 1,高为 3,故 1 ?1 ? 1 ?1 ? π V=2×?3×Sh?=2×?3×π×12×3?=2,选 A. ? ? ? ? 答案:A 4.(2012 年杭州质检)将长方体截去一个四棱锥,得到的几何体如图所示, 则该几何体的侧视图为 ( )

解析:由几何体的直观图可知,侧视图为一矩形(内有从左下到右上的对角 线,因为该对角线看不到轮廓线,故用虚线).故选 D. 答案:D 5.(2012 年广州高三调研)在正四棱锥 V-ABCD 中,底面正方形 ABCD 的 边长为 1,侧棱长为 2,则异面直线 VA 与 BD 所成角的大小为 π A.6 π C.3 π B.4 π D.2

解析:取 BD 的中点 O,则 VO⊥BD,AC⊥BD,所以 BD⊥平面 VAC,则异 π 面直线 VA 与 BD 所成角的大小为2.

答案:D 6.给定下列四个命题: (1)若一个平面内的两条直线与另外一个平面都平行,那么这两个平面相互 平行; (2)若一个平面经过另一个平面的垂线,那么这两个平面相互垂直; (3)垂直于同一直线的两条直线相互平行; (4)若两个平面垂直,那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个 平面也不垂直. 其中为真命题的是 A.(1)和(2) C.(3)和(4) B.(2)和(3) D.(2)和(4) ( )

解析: 对于(1), 两条直线必须相交, 否则不能证明面面平行, 错误; 对于(3), 垂直于同一条直线的两条直线还可能异面,错误;(2)(4)正确.所以选 D. 答案:D

7.如图是一个几何体的正视图、侧视图、俯视图,且正视图、侧视图都是 矩形,则该几何体的体积是 A.24 C.8 B.12 D.4 ( )

解析:依题意知, 该几何体是从一个长方体中挖去一个三棱柱后剩下的几何 1 体,因此其体积等于 2×3×4-2×(2×3)×4=12,选 B. 答案:B

8.如图是某一几何体的三视图,则这个几何体的侧面积和体积分别是 ( A.8 2+2 5+6,8 B.2 2+8 5+6,8 C.4 2+8 5+12,16 D.8 2+4 5+12,16 1 解析:几何体的侧面积有四部分,左侧面面积 S1=2×2×2 5=2 5,右侧 1 1 1 面面积 S2=2×2×4 2=4 2,后侧面面积 S3=2×6×4=12,前侧面面积 S4=2 1 1 ×6×2 5=6 5, 所以侧面积为 S=4 2+8 5+12, 体积为 V=3Sh=3×2×6×4 =16,故选 C. 答案:C )

9.如图所示,直线 PA 垂直于⊙O 所在的平面,△ABC 内接于⊙O,且 AB 为⊙O 的直径,点 M 为线段 PB 的中点.现有结论:①BC⊥PC;②OM∥平面 APC;③点 B 到平面 PAC 的距离等于线段 BC 的长. 其中正确的是 A.①② C.① B.①②③ D.②③ ( )

解析:对于①,∵PA⊥平面 ABC,∴PA⊥BC,∵AB 为⊙O 的直径,∴BC ⊥AC,∴BC⊥平面 PAC,又 PC?平面 PAC,∴BC⊥PC;对于②,∵点 M 为线

段 PB 的中点,∴OM∥PA,∵PA?平面 PAC,∴OM∥平面 PAC;对于③,由① 知 BC⊥平面 PAC,∴线段 BC 的长即是点 B 到平面 PAC 的距离,故①②③都正 确. 答案:B

10.(2012 年沈阳质检)如图,正方体 AC1 的棱长为 1,过点 A 作平面 A1BD 的垂线,垂足为点 H,则以下命题中,错误的命题是 A.点 H 是△A1BD 的垂心 B.AH 的延长线经过点 C1 C.AH 垂直平面 CB1D1 D.直线 AH 和 BB1 所成角为 45° 3 3 解析:计算得 AH= 3 ,直线 AH 和 BB1 所成角为 arccos 3 ,故 D 项错误, 选项 A,B,C 是正确的. 答案:D ( )

11. (2012 年唐山模拟)把一个皮球放入如图所示的由 8 根长均为 20 cm 的铁 丝接成的四棱锥形骨架内, 使皮球的表面与 8 根铁丝都有接触点,则皮球的半径 为 ( A.10 3 cm C.10 2 cm B.10 cm D.30 cm )

解析:该骨架为一个棱长为 20 cm 的正四棱锥,设为 G-ABCD,与各棱均 相切的球的球心记为 O,则 O 在棱锥的高 GT 上,如图示,设球半径为 R,与棱 GB,CD 分别交于点 H,M,设 OT=h,由正四棱锥性质可知, 1 1 |TM|=2|BC|=10, |BT|=2|BD|=10 2, |GT|= |GB|2-|BT|2=10 2, 在△OTM 10 2-h |GO| |OH| R 中, 有 R2=h2+102①, 由△GHO∽△GTB 可得 |GB| = |BT| , 即 20 = ②, 10 2 联立①②可得 R=10 或 R=30(舍),故选 B. 答案:B 12.在正方形 ABCD 中,AB=4,沿对角线 AC 将正方形 ABCD 折成一个直 二面角 B-AC-D,则点 B 到直线 CD 的距离为 A.2 2 C.2 3 B.3 2 D.2+2 2 ( )

解析:如图,取 AC 中点 E,连接 DE,BE,易知∠DEB 是二面角 A-DC- B 的平面角, π 由于两平面垂直,故∠DEB=2,即平面 BE⊥平面 ADC,过点 E 作 EF⊥DC 于 F,连接 BF,则 DC⊥平面 BEF,所以 BF⊥DC,故线段 BF 即为点 B 到 DC 1 的距离,由于 EF=2AD=2,BE=2 2,故 BF= 22+?2 2?2=2 3. 答案:C 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.将答案填在题中的横 线上) 4 3 13.已知正三棱锥的底面边长为 2,侧棱长为 3 ,则它的体积为________.

4 3 2 3 解析:如图,在正三棱锥 P-ABC 中,由于 PA= 3 ,AO= 3 ,在直角 1 3 2 3 三角形 PAO 中可得 PO=2,故 VP-ABC=3× 4 ×22×2= 3 . 2 3 答案: 3

14.如图,已知△ABC 和△BCD 所在平面互相垂直,∠ABC=∠BCD=90° , AB=a,BC=b,CD=c,且 a2+b2+c2=1,则三棱锥 A-BCD 的外接球的表面 积为________. 解析:如图所示,可将该三棱锥补体为一个长方体,该长方体的体对角线长 即为 AD,由 AB=a,BC=b,CD=c,

且 a2+b2+c2=1, 可得该三棱锥外接球即为长方体的外接球的直径为 1,其外接球的表面积为 ?1? S=4π×?2?2=π. ? ? 答案:π

15.如果一个几何体的正视图、侧视图、俯视图均为如图所示的面积为 2 的等腰直角三角形,那么该几何体的表面积等于________. 解析:由题可得几何体如图所示,其中 AP⊥PC,PC⊥CB,并且 AP=PC =CB=2,PB=AC=2 2,△PBC,△PAC 的面积都是 2;CB⊥面 PAC,所以 CB⊥AC,又 AP⊥面 PBC,所以 AP⊥PB,进而可求得△PAB,△ABC 的面积都 是 2 2,所以该几何体的表面积等于 4+4 2.

答案:4+4 2 16.在三棱锥 P-ABC 中,三条侧棱 PA,PB,PC 两两互相垂直,且 PA= PB=PC,M 为 AB 的中点,则 PM 与平面 ABC 所成角的正弦值为________.

解析:如图,将三棱锥补为正方体,由于三棱锥 P-ABC 为正三棱锥,故点 P 在底面 ABC 的射影为其中心 N, 连接 MN, 则∠PMN 即为直线 PM 与平面 ABC 2 3 PN 6 所成角,设 PA=PB=PC=a,则 PM= 2 a,PN= 3 a,故 sin∠PMN=PM= 3 . 6 答案: 3 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,17 题 10 分,18~22 题,每题 12 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.)

17.如图,在直四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中,四边形 ABCD 是梯形,AD∥ BC,AC⊥CD,E 是 AA1 上的一点. (1)求证:CD⊥平面 ACE; (2)若平面 CBE 交 DD1 于点 F,求证:EF∥AD. 证明:(1)因为 ABCD-A1B1C1D1 为直四棱柱,所以 AA1⊥平面 ABCD. 因为 CD?平面 ABCD,所以 AA1⊥CD,即 AE⊥CD. 因为 AC⊥CD,AE?平面 AEC,AC?平面 AEC,AE∩AC=A,所以 CD⊥ 平面 AEC. (2)因为 AD∥BC,AD?平面 ADD1A1,BC?平面 ADD1A1,所以 BC∥平面 ADD1A1. 因为 BC?平面 BCE,平面 BCE∩平面 ADD1A1=EF,所以 EF∥BC. 因为 AD∥BC,所以 EF∥AD.

18.如图,在四棱锥 P-ABCD 中,PA⊥平面 ABCD,底面 ABCD 为平行四 π 边形,且 AB=1,BC=2,∠ABC=3,E,F 分别为 AD,BC 的中点. (1)求证:EF∥平面 PCD; (2)求证:AC⊥平面 PAB. 证明:(1)如图,因为在平行四边形 ABCD 中,E,F 分别为 AD,BC 的中点, 所以 ED=FC,ED∥FC,可得 EFCD 为平行四边形,所以 EF∥CD.

又因为 EF?平面 PCD,CD?平面 PCD,所以 EF∥平面 PCD. (2)因为 PA⊥平面 ABCD,AC?平面 ABCD,故 PA⊥AC. π 在△ABC 中,AB=1,BC=2,∠ABC=3,由余弦定理得 AC= AB2+BC2-2AB· BC· cos∠ABC = π 1+4-2×1×2cos3= 3.

故 AB2+AC2=BC2,所以 AB⊥AC. 而 PA∩AB=A,且 AB,PA?平面 PAB,所以 AC⊥平面 PAB. 19.一个多面体的三视图和直观图分别如图(1)(2)所示,其中 M、N 分别为 AB、AC 的中点,G 是 DF 上的一动点. (1)求证:GN⊥AC; (2)当 FG=GD 时,在棱 AB 上确定一点 P,使得 GP∥平面 FMC,并给出证 明.

证明:(1)如图,连接 DB,可知 B,N,D 共线,且 AC⊥DN. 又∵FD⊥AD,FD⊥CD,AD∩CD=D,∴FD⊥平面 ABCD.

又∵AC?平面 ABCD,∴FD⊥AC. 又∵DN∩FD=D,∴AC⊥平面 FDN. 又 GN?平面 FDN,∴GN⊥AC. (2)点 P 与点 A 重合时,GP∥平面 FMC. 证明:取 FC 中点 H,连接 GH,GA,MH. 1 ∵G 是 DF 的中点,∴GH 綊2CD. 1 ∵M 是 AB 的中点,∴AM 綊2CD. ∴GH 綊 AM,∴四边形 GHMA 是平行四边形. ∴GA∥MH.又∵MH?平面 FMC,GA?平面 FMC, ∴GA∥平面 FMC,即 GP∥平面 FMC.

20.(2013 年西安质检)如图,在四棱锥 P-ABCD 中,PA⊥平面 ABCD,底 面 ABCD 是菱形,AB=2,∠BAD=60° . (1)求证:BD⊥平面 PAC; (2)若 PA=PB,求 PB 与 AC 所成角的余弦值. 解:证明:(1)因为四边形 ABCD 是菱形,所以 AC⊥BD. 又因为 PA⊥平面 ABCD, 所以 PA⊥BD, 而 PA∩AC=A, 所以 BD⊥平面 PAC. (2)设 AC∩BD=O. 因为∠BAD=60° ,PA=PB=2,所以 BO=1,AO=CO= 3.

如图,以 O 为坐标原点,OB 为 x 轴正方向,OC 为 y 轴正方向,与 AP 平行

的方向为 z 轴正方向,建立空间直角坐标系 O-xyz,则点 P(0,- 3,2),A(0, - 3,0),B(1,0,0),C(0, 3,0). → → 所以PB=(1, 3,-2),AC=(0,2 3,0). 设 PB 与 AC 所成角为 θ,则 → → ? PB · AC ? cosθ=? = → →? 2 ?|PB|· |AC|? 6 6 =4. 2×2 3

21.(2012 年长沙联考)如图,在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AC=3,BC=4, AB=5,AA1=4,点 D 是 AB 的中点. (1)求证:AC⊥BC1; (2)求二面角 D-CB1-B 的平面角的正切值. 解:(1)证明:在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,底面三边长 AC=3,BC=4, AB=5. 因为 AC2+BC2=AB2,所以 AC⊥BC. 又 AC⊥C1C,且 BC∩C1C=C,所以 AC⊥平面 BCC1. 又 BC1?平面 BCC1,所以 AC⊥BC1.

(2)解法一:取 BC 中点 E,过点 D 作 DF⊥B1C 于点 F,连接 EF,ED. 因为 D 是 AB 中点,所以 DE∥AC,又 AC⊥平面 BB1C1C,所以 DE⊥平面 BB1C1C.又因为 BC1?平面 BB1C1C,所以 B1C⊥DE. 而 DF⊥B1C 且 DE∩DF=D,所以 B1C⊥平面 DEF,EF?平面 DEF,所以 B1C⊥EF,所以∠EFD 是二面角 D-CB1-B 的平面角.

3 因为 AC=3,BC=4,AA1=4,所以在△DEF 中,DE⊥EF,DE=2,EF= 3 DE 2 3 2 2,所以 tan∠EFD= EF = = 4 . 2 3 2 所以二面角 D-CB1-B 的正切值为 4 .

解法二:以 CA,CB,CC1 分别为 x,y,z 轴建立如图所示空间直角坐标系. ?3 ? 因为 AC=3, BC=4, AA1=4, 所以点 A(3,0,0), B(0,4,0), C(0,0,0), D?2,2,0?, ? ? → ?3 ? → B1(0,4,4),所以CD=?2,2,0?,CB1=(0,4,4). ? ? 平面 CBB1C1 的法向量 n1=(1,0,0),设平面 DB1C 的法向量 n2=(x0,y0,z0), 则 n1,n2 的夹角(或其补角)的大小就是二面角 D-CB1-B 的大小. → ?n2· CD=0, 则由? → ?n2· CB1=0, 3 ? ? x0+2y0=0, 即?2 ? ?4y0+4z0=0.

令 x0=4,则 y0=-3,z0=3,所以 n2=(4,-3,3). n1· n2 4 3 2 cos〈n1,n2〉=|n |· = ,则 tan 〈 n 1,n2〉= 4 . 1 |n2| 34 因为二面角 D-CB1-B 是锐二面角,所以二面角 D-CB1-B 的正切值为 3 2 4 . 22.将两块全等的三角板的一对直角边拼接在一起,使得一块三角板的直角 边与另一块三角板所在平面垂直,如图,AB=BC=CD=2,∠ABC=∠BCD= 90° ,E,F,G 分别为 AB,BC,AC 的中点,P 为 BD 上的点.

(1)当点 P 为 BD 的中点时,求证:BG⊥PF; 2π (2)线段 BD 上是否存在点 P,使得二面角 B-EF-P 的大小为 3 ?若存在, BP 求出PD的值;若不存在,说明理由. 解:(1)证明:如图,以 B 为坐标原点,以 BC,BA 所在直线为 y 轴,z 轴, 以过 B 作 DC 的平行线为 x 轴,建立空间直角坐标系,

则 B(0,0,0),E(0,0,1),F(0,1,0),G(0,1,1),C(0,2,0),D(2,2,0), 当点 P 为 BD 的中点时,P(1,1,0),

→ → ∴BG=(0,1,1),FP=(1,0,0), → → ∴BG· FP=0,∴BG⊥PF. (2)假设线段 BD 上存在点 P(t,t,0)(0≤t≤2), 2π 使得二面角 B-EF-P 的大小为 3 , → → 由(1)得EF=(0,1,-1),FP=(t,t-1,0). 设平面 EFP 的一个法向量为 n=(x,y,1), → ?n· EF=0, 则? → ?n· FP=0, ?0+y-1=0, 即? ?tx+?t-1?y=0,

? 1-t ?x= t , 解方程组得? ? ?y=1,

?1-t ? 从而 n=? ,1,1?, t ? ?

又取平面 BEF 的一个法向量为 m=(1,0,0), m· n ∴cos〈m,n〉=|m|· |n|= 1-t ; 3t -2t+1
2

2π 又二面角 B-EF-P 的大小为 3 , 2π 1 ∴〈m,n〉= 3 ,故-2= 1-t , 3t -2t+1
2

解得 t=3± 6,经检验不符合题意. 2π 故线段 BD 上不存在点 P,使得二面角 B-EF-P 的大小为 3 .


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