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以“kPA·kpB=常数”为背景的试题赏析


?

专 论荟 萃 ?  

数学通讯 ——2 O l 4年 第 9期 ( 上 半 月)  

3 3  



6 ) z , 所 以 
. 

同理 , 1 3 0? c o s LO B F— B F — Y; 所 以 

+亩 .   +  .  
一   一

.  





( 6 一c ) x+ ( c— a ) y+ ( n— b ) z  

.  

葡 . ( 葫 一   )   葡 
一   .



(  — y ) s c +  一 z ) y+ ( 3 , 一x ) z= 0 .  

B A ?B 0 ?C O S (  ̄ 一  O BF) 一 B C ?B 0  ?C O S  ( ) BD 

( 4 ) 若 0是 △A B C的旁心( 如 
图8 ) , 过 。作 ∞ 上  于 D,   J -  
A C交 A C的延长线于 E, O F上 A B  




B A ?B O ?c o s L0 BF — BC ? B 0 

?C O S   0B D 
一 一

交A B 的延 长线 于 F, 因 为 0 是 
AA B C的 旁 心 , 所 以 AF = A E,  
B F—B D, ∞ 一  , 设A F— A E  
— z, BF = BD — Y, ④ = C E  图 8  

( c+ a ) y;  

同理可 得 :  
. 

.  
.  

=( n +6 )  , 所 以 
十  .  

+ 



( 6 一 c ) x一 ( c +a ) y+ ( 口+ 6 ) 2   ( 3 , 一z ) x一 (  + z ) y+ ( z+   ) z  
0.  



f s c—   — c ,  

r D—   —   — z’  



由   —  — b , 得  c + 口一  + z ,  

由 以上证 明可 知 , 无 论 0是 / x A BC 的重 心或 

l   3 , +z 一日   【 口 +b 一. 7 C +   .  
在 Rt AA O E 中, 因为 c 。 s LO AE 一  A E
4 0 ?C O S   O A E — AE —  .  


垂 心或内心或旁心 , 都 ̄a - X d. -   +   .   +茄  
所 以  .   一 0成 立 .  

定 义  三角 形 的外 心 、 重心、 垂心、 内心 及旁 


心统 称 为三 角形 的五 心.   由此 得 三 角 形 的 五 心 的 一 个 统 一 性 质 : 若 0   是 AA B C的五 心之一 , 则 
.   一 0 .  

同理 , A O? C O S  O AF : AF —  , 所 以 

- a d. -  
一   . 

一  
一  

. (   一   )  
. 

.  

+  .  

+ 



AC ? AOc o s   OAE — AB ? AO c o s   O A F 



( 6一 c ) x.  


( 收稿 日期 : 2 0 1 4 —0 6— 0 3 )  

在 Rt AB O D 中, 因为 c 。 s LO BD 一 丽 B D 所 以 
B O ?C O S   OBD — BD — Y .  

以“   P A  

? 





常数 ” 为 背 景 的试 题 赏 析 
袁家锋  
( 安 徽 省 六 安 一 中 ,2 3 7 o o 9 )  

教材 中有 这样 一 道经 典例 ( 习) 题:   已知平 面 内 的动点 P与两 定点 A、 B连 线 的斜 

当 m 一一 1 时, 方 程为 。 +Y  一 口 。 , 轨 迹是 圆  心在 原点 的 圆 ;  


率 之积 为定 值 , 即是 P ^? 忌 邝 一 非 零 常数  , 求 动点 
P的轨 迹.  

2  

.. 2   一  

当 一1 < m< 0 时, 方 程为  +— 
a 

一1 , 轨 

若 设 两 定 点 为 A( 一a , O ) 、 B( a , O ) , 则 易 知 动 
点 P的轨 迹方 程 为 mx   一  一 m a   ( 点 Al 、 A2的  坐标 也满 足 ) .  


迹是 焦点 在 z轴上 的 椭 圆 ;  


2  

. . 2  

当  > 0时 , 方程 为山 - 一 
口  撇  

一1 , 轨 迹是 焦 

点 在 z轴 上 的双 曲线 .  
2   2  

命题 1   当 m<一 1 时, 方程 为  . T g+—Y —  — 
a  — T r l 【 ‘  

特别 地 , 当  一 1时 , 轨 迹为 焦点 在 z轴上 的 
等 轴双 曲 线.2 0 1 3年 安 徽 高 考 理 科 数 学 1 8题 第  ( 2 )问就 是 以此为 背景 的 :  

1 , 轨迹是 焦点 在 Y轴上 的椭 圆 ;  

3 4  

数 学通 讯 — — 2 O 1 4年 第 9期 ( 上半月)  

? 专论荟 萃 ?  

如图 l , 设 椭 圆 E:   + 
口 。   2  
. .

定 直线 z+y一  上 , 这 就是题设 条 件将 b 。 取为 1  
一n 。的根 源 .  

,  

_ 
1 一 Ⅱ 

— 1的 焦 点 在 z轴 

最后, 椭 圆  4 -   一 1 ( n> b > 0 ) 上互 相垂 

上, F   、 F 2 分 别 是 椭 圆 E 的  左、 右 焦点 , P为 椭 圆 E上第 


象 限内 的点 , 直 线 F2 P交 

十  
图 l  

直 的两 条切 线 交 点 的轨 迹 称 为 该 椭 圆 的 准 圆 ( 蒙  日圆) , 其方 程 为 z 。 +y 。一 口   +b   . 准 圆与 X轴 、 Y   轴 正半 轴 的 两 交 点 所 在 的直 线 方 程 为 X+ Y一 

Y 轴 于 点 Q,并 且  P 上  F   Q . 证明: 当 n变化 时 , 点P  
在某 定直 线上.  

 ̄ / n 。 +b 。 , 当n   +b   为定值时 , 它是一条定直线 ,  

安徽 省考试 院 提供 的参考 答 案为 :  
设 P( x o , Y o ) , F 1 ( 一f , O ) , F 2 ( c , O ) , 其 中 C一 

且 始 终 与 椭 圆 相 切 于 点 P ‘ 南
, 所 以 
。c  

,  

) ‘  

在 推导 准 圆方 程 的 过 程 中 , 两 切 线 斜 率 满 足 的 关 
系式 k  ? k  一一 1起到 了至关 重要 的作用.   从逆 向思 维 的角 度 可 以得 出 , 椭 圆( 双曲线)  

 ̄ /   =_ r , 则有 忌 P F  一 
‘ 

, 忌 P F , 一 — 
0  T ‘   z 0

直线 P F 2 :   = — 一 (  — c ) , 求 得 Q( o ,  
X O — C  C —

_) } ,  
Z 0  
一  

上 的任 意一点 ( 除 顶点 外 ) 与两 顶 点连线 的斜 率 之  积 为常数 .  
命题 2   ( 1 )已知椭 圆 C:   +   一 1 ( 口> b  

从而志 Q P 。 =  Y o  , 由F l   P上 F 1   Q, 得k a F  ? 忌 尸 F

—   .  一 一

1 , 化简 得  一 z : 一( 2 口 z 一1 ) ,  

> 0 ) , A、 B是 椭 圆 长 轴 上 的 两 顶 点 , 点 P是 椭 圆 上 

L 

』 0  

- 1: 0  T

 C 

联  _  ̄ f x o   + 
口  l一

=l , 解得 X 0 一口 。 , Y o 一1 ~口 。 , 即 
口。  

异 于 A、 B的任 一 点 , 则有 点 P ^? 五 P B=一  o - ( 常数 ) ;  
( 2 )已知 双 曲线 C:   一  一 1 ( 口> 0 , b> 

点 P在定 直线  +y一 1 上.  

仔细 研究 可 以发 现 , 试题 题 干简 洁, 结 论 优 
美, 内涵丰 富 , 参 考答 案也 可进 一 步简 化.   首先 , 题设中的 F   P  
/J  

O ) , A、 B是双 曲线 实轴 上 的两顶 点 , 点 P是 双 曲线  上 异于 A、 B的任 一点 , 则有 五 P A. k 邶 一  ( 常数 ) .   以此 为背 景 , 可 以命 制基 础 试题 , 用 来考 查 椭 

上F   Q只是“ 魔 术 师 手 中  的魔 布” , 其 背 后 隐藏 的 实  质是 : 平 面 内 与 两 定 点 连 
线 的斜率 之 积 等 于 1的 点  的轨 迹是 以两 定 点 为 顶 点  的 等 轴 双 曲线 ( 除顶 点) .  
这是 因为, 只要 注 意 到 直 
, 

一  

圆、 双 曲线 的基 本量 计算 , 如:  

| o  
x 2  

题1 ( 2 0 1 0年 山东理 2 1 第( 2 )问)已知椭 圆 
y2
  T

|   |
. 

=1 ( 口> 6 > 0 ) 的离 心率 为  , 以该椭 圆 

上 的点 和 椭 圆的 左 、 右 焦点 F   、 F 2 为 顶 点 的 三 角  图2  

线P Q与 直线 F   Q关 于 Y轴 对称 , 即忌 P F   一  k  , ,   结合 F l   P- l -F 1 Q C = C k  ̄,? 忌  ,一一 1 , 便有 点  ,?   k v v ,一 1 , 此时 , 点 P 即为等 轴双 曲线 X 。 一Y 。 一C 。  


形 的周 长 为 4 ( √ 2- 4 - 1 ) . 一 等轴 双 曲线 的顶 点 是 该 
椭 圆的焦 点 , 设 P 为该 双 曲线 上 异 于 顶 点 的任 一 

点, 直线 P F  和 P F  与椭 圆 的交点 分别 为 A、 B和 
C 、 D. 设直 线 P F  和 P F  的斜 率 分 别 为 五 。 、 k 。 . 证 
明: k 1 忌 2 一 1 .   题 2 ( 2 0 1 1 年 江西 理 2 O 第( 1 ) 问) 设 P( x 。 ,   y o ) ( z 。 = / = - 4 - n ) 是 双 曲线 E:   一   =1 ( n >0 , 6 >  O )上一 点 , M、 N 分 别 是双 曲线 E 的左 、 右顶点, 直 

( 2 a   一1 ) 与椭 圆 E在 第一 象 限的交 点 ( 如图2 ) ,  

因此, 根本无需 求 出直线 P F  的 方 程 和 Q 点 的 
坐标 .  

其次 , 不难 解得 , 以椭 圆  + 百 Y一1 ( 口> b > 
O )的焦点 为顶 点 的等轴 双 曲线与 椭 圆在第 一 象 限 

的 交 点 坐 标 为 P   南 口 。 十 6   , 南 √ n   十 D 。   ) ’ 从 而 有 却  
4 - Y P一  ̄ / 口   +b   , 当口   +b  一 定 值 s 时, 点 P在 

线P M, P N 的斜率之积为軎 , 求双曲线的离心率.  
(   . )  

?

专论荟 萃 ?  

数 学通 讯 — — 2 O 1 4年 第 9期 ( 上半月)  

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题3 ( 2 0 1 2 年 天津 理 1 9 第( 1 ) 问) 设椭 圆   X -  
口 

本题 看 似复 杂 , 但 只要 注 意 到 P、 A 两 点 在 椭  圆上 且关 于 原点 对称 , 则易得 志 P B.忌 A B一一  = 

+  = 1 ( n> b >0 ) 的左 、 右 顶点 分 别为 A、 B, 点 


P 在椭 圆 上且 异 于 A、 B两点 , 0为坐 标原 点. 若直 
1  

÷, 设P ( x o ,   o ) , 则 A( -z o , 一  ) , C ( x o , 0 ) , 而 
忌 A B一 是   一  一 1


线 AP 与 BP 的 斜 率 之 积 为 一   , 求 椭 圆 的离 心 

k p A, 所以忌 雎?  

一一l , 即 

P A  L  P B.  

类 似 的例子 还 有 很 多 , 从 中可 以看 出 , 无 论是 
教 师 的“ 教” 还 是 学 生 的“ 学” , “ 回归 教 材 , 扎 根 基 

础” 都 具 有 重要 意 义 . 这 不 能是 一 句 空 话 , 而应 落  实 到具 体 的 行 动 上 去 , 要研 究教材 , 深 刻 理 解 教  材, 注重 对 教 材 中 的结 论 、 例( 习)题 进 行 变 式 、 推 

广, 挖掘 其 数学本 质 , 这样 , 才 能 真 正 实现 “ 以 不变 

( A ) [ 专 , 百 3 ] .  

( B ) [ 吾 ,   3 ] .  

应 万变 ” , 才 能 使 我 们 的高 考 复 习更 有 效 果 、 更 有  效率、 更 有 效益 .  
最后 , 笔者 给 出一 道 以命 题 2为背 景命制 的试 
题:  

已知 A、 B为椭 圆  +  : 1的左 、 右顶 点 , s   为 椭 圆上位 于 z轴上 方 的一 点 , 直线 S A、 S B 分 别 

命题 3  ( 1 )已知 椭 圆 C: - +告 一 1 山 ( n> b  
a。   D 。  

交直 线  一一   于 M、 N 两点 , 求l   MN   l 的最 
小值 .  

简析 : 本 题 的解 答 主 要 涉及 到 两个 问题 : 一是 

如何求出 I MN   I 的表 达式 , 重 点是如何表示 直线  S A、 S B 的方程 ; 二是如何根据表达式求 I   MN  I 的 
( 2 )已知 双 曲线 c:   一  一 1 ( 口> 0 , 6> 

最 小值 , 重点 是合 理选 择 求 最 值 的 方法 . 其 中关 键  是 如何合 理 表示 出两 条 直 线 的方 程 , 若处理不当,   则 后续 计算 变形 就会 显得 异 常繁 琐.  

只要利 用命 题 2 , 即可 得 志 s A. 是 S B一 一  一  


÷, 设直线 S A: Y —k ( x +2 ) , 显然走 >0 , 则直 

线S B 的 斜 率 为 一 表, 4 宠   从 而 直 线S B : Y 一 一 表 4 宠   ( z 一  

分 的 别 顶 是 点 椭 , 过 圆 坐   标 T 原   点 : = 的 1  l   一  / 二    
xz   yZ
_

2 ) . 解得 Y M一 - _  4 k
4 k. q -4 k 吖 一 3


一   ,

,  

所以l   MN  l 一   一  



÷ ( 忌 + 丢 ) ≥   8 , 当 且 仅 当 走 一 1  
. 

时取“ 一, ’ 号, 即l   MN   I   一了 8

( 收稿 日期 : 2 0 1 4 —0 5 —1 0 )  


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