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几何概型


复习
? 古典概型的两个基本特点:

(1)每个基本事件出现的可能性相等; (2)试验中所有可能出现的基本事件只有 有限个.
那么对于有无限多个试验结果的情况 相应的概率应如何求呢?

问题:
有三个转盘,甲乙2人玩转盘游戏,规定当指 针指向蓝色区域时,甲获胜,否则乙获胜。游戏公 平吗?

思考:甲获胜的概率与区域的位置有关吗?

? 事实上,甲获胜的概率与字母B所在扇

形区域的圆弧的长度有关,而与字母B 所在区域的位置无关。因为转盘时, 指针指向圆弧上哪一点都是等可能的。 不管这些区域是相邻,还是不相邻, 甲获胜的概率是不变的。

几何概型的定义
? 如果每个事件发生的概率只与构成该事件区

域的长度(面积或体积)成比例,则称这样的概 率模型为几何概率模型,简称为几何概型. 几何概型的特点:

(1)试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无 限多个. (2)每个基本事件出现的可能性相等.

古典概型与几何概型的区别:
它们都要求基本事件发生的等可能性,但 古典概型要求基本事件有限,几何概型要求基 本事件无限。

几何概率计算公式:
构成事件A的区域长度(面积或体积) P(A)= 试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积)

思考:“必然事件的概率为1,但概率为1的事件一定 是必然事件。”这种说法对吗?为什么?

? 不对。在几何概型中,如果随机事件所在区 域是一个单点,由于单点的长度、面积、体 积为0,则它出现的概率为0,但它不是不可 能事件;如果一个随机事件所在区域是全部 区域扣除一个单点,则它出现的概率为1,但 它不是必然事件。
概率为0的事件不一定是不可能事件 概率为1的事件不一定是必然事件

例1、某人午觉醒来,发现表停了,他打开收音机,想听电 台报时,求他等待的时间不多于10分钟的概率. 解:设A={等待的时间不多于10 分钟}.我们所关心的事件A恰 好是打开收音机的时刻位于 [50,60]时间段内,因此由几何 概型的求概率的公式得

60 ? 50 1 P( A) ? ? , 60 6
即“等待的时间不超过10分钟” 的概率为1/6

注意:1、几何概型适用于试验结果是无穷多 而且是等可能发生的概率类型. 2、几何概型只要用于解决与长度、面积、体 积有关的题目。 3、计算几何概型就要先计算基本事件总体与 事件A所包含的基本事件对应的区域的长度 (角度、面积、体积)

二、有关角度的几何概率 例、在直角坐标系中,射 线OT落在60度的终边上, 任作一条射线OA,求射线 OA落在∠XOT内的概率。 解:记B={射线OA落在∠XOT} A O

T

所以P(B)=60/360=1/6

三、与面积有关的几何概型的求法: 在1万平方千米的海域中40平方千米的 大陆架储藏着石油,假设在海的任意一点 采探,采探到油层面的概率是多少? 解:记A={采探到油层面} 则P(A)=贮藏石油的大陆架面积/所有海 域大陆架的面积=40/10000=0.004

四、与体积有关的几何概率的求法:
有一饮水机装有12升的水,其中含有 1个细菌,用一个下面的奥运福娃纪念杯 从这饮水机中取出一满杯水,求这杯水 中含有这个细菌的概率.

1 P? 40

例2 假设你家订了一份报纸,送报人可能在早
上6:30—7:30之间把报纸送到你家,你父亲 离开家去工作的时间在早上7:00—8:00之间, 问你父亲在离开家前能得到报纸(称为事件A) 的概率是多少?
父亲离家时间

报纸送到时间

? 对于复杂的实际问题,解题的关键是要建立

模型,找出随机事件与所有基本事件相对应 的几何区域,把问题转化为几何概率问题,利 用几何概率公式求解.

变式引申:已知地铁列车每10分一班, 在车站停1分,求乘客到达站台立即乘上 车的概率。
分析: 前一列车刚走 后一列车来 等11分

乘客同时 此刻到达

解:由几何概型可知,所求事件A的 概率为P(A)=1/11

例 3 (会面问题)甲、乙二人约定在 12 点到 5
点之间在某地会面,先到者等一个小时后即离去 设二人在这段时间内的各时刻到达是等可能的, 且二人互不影响。求二人能会面的概率。

解: 以 X , Y 分别表示甲乙二人到达的时刻, 于是 0 ? X ? 5, 0 ? Y ? 5. y 即 点 M 落在图中的阴影部 5 分。所有的点构成一个正

方形,即有无穷多个结果。
由于每人在任一时刻到达

4 3 2 1

.M(X,Y)

都是等可能的,所以落在正
方形内各点是等可能的。

0

1

2 3 4

5 x

二人会面的条件是: | X ? Y | ? 1,
阴影部分的面积 p? 正方形的面积 1 2 25 ? 2 ? ? 4 9 2 ? ? 25 25.

y
5 4 3 2 1

y-x =1 y-x = -1

0

1

2 3 4

5 x

例4 甲、乙两人约定在下午1 时到2 时之间到某 站乘公共汽车 , 又这段时间内有四班公共汽车它 们的开车时刻分别为 1:15、1:30、1:45、2:00.如 果它们约定 见车就乘; 求甲、乙同乘一车 的概率.假定甲、乙两人到达 车站的时刻是互相不牵连的, 且每人在1时到2 时的任何时 刻到达车站是等可能的.


设 x, y 分别为 甲、乙两人到 达的时刻, 则有

y 2?
1 : 45 ?

? ? ?
1 1 : 15 1 : 30 1 : 45 2
?

1 : 30 ?
1 : 15 ?

1 ? x ? 2,
1 ? y ? 2.

1?

o

?

?

?

?

x

2 见车就乘 4 ? ( 1 4 ) 1 阴影部分面积 ? ? . p ? 2 的概率为 ( 2 ? 1) 4 正方形面积

一般会面问题
甲、乙两人相约在 0 到 T 这段时间内, 在预

定地点会面. 先到的人等候另一个人, 经过时间 t
( t<T ) 后离去.设每人在0 到T 这段时间内各时刻 到达该地是等可能的 , 且两人到达的时刻互不牵 连.求甲、乙两人能会面的概率. 解 设 x , y 分别为甲,乙两人到达的时
刻, 那末 0 ? x ? T , 0 ? y ? T .

两人会面的充要条件为 x ? y ? t ,

若以 x, y 表示平面 上点的坐标 , 则有 故所求的概率为

T?
o

y

y? x?t

x? y?t

阴影部分面积 p? 正方形面积

t

?

T

?

x

T 2 ? (T ? t )2 ? T2 t 2 ? 1 ? (1 ? ) . T

蒲丰实验
? 1777年的一天,法国数学家蒲丰(Buffon)忽 发奇想,邀请了许多亲朋好友来到他家里。他 要做一个实验。 ? 蒲丰事先准备好一张白纸铺在桌上,纸上 画满了一条条距离相等的平行线。他又拿出许 许多多的小针,小针的长度刚好等于相邻两条 平行直线之间距离的一半。 ? 实验开始了,蒲丰让客人把小针一根一根 随手往纸面上投去,这些针有的落在白纸上的 两条平行直线之间,不与直线相交,有的与某 一条直线相交。

蒲丰实验
? 蒲丰关心的是针与直线相交的情况。 他在一旁数着投针的次数和相交的次数。 结果,共投针2212次,与直线相交的有704 次,蒲丰做了一个简单的除法: 2212÷704≈3.142。 ? 他宣布这就是π的近似值,众人惊讶不 已。这就是著名的蒲丰投针问题。后来他 把这个试验写进了他的论文《或然性算术 尝试》中。

蒲丰投针试验
平面上画有等距离为a(>0)的一些平行直 线,现向此平面任意投掷一根长为b( <a )的针, 试求针与任一平行直线相交的概率. 解   以x表示针投到平面上时 ,

a

针的中点M到最近的一条平行 直线的距离, ?表示针与该平行直线的 夹角.

M ? x

那么针落在平面上的位 置可由( x ,? )完全确定.

投 针 试 验 的 所 有 可 能果 结 与矩形区域 a ? ? {( x , ? ) | 0 ? x ? ,0 ? ? ? ? } 2 中的所有点一一对应 . 由投掷的任意性可知, 这是一个几何概型问题.

a

M ? x

所关心的事件 A ? {针与任一平行直线相交 } 发生的充分必要条件为 ?中的点满足 b 0 ? x ? sin ? ,0 ? ? ? π 2

m(G ) G的面积 P ( A) ? ? m(? ) ?的面积

?

?0

π

b sin?d? 2 a ?π 2
2b ? . aπ

?

b a ?π 2

蒲丰投针试验的应用及意义
2b P ( A) ? aπ   根据频率的稳定性 ,当投针试验次数 n很大时, m 算出针与平行直线相交 的次数m , 则频率值 即可 n 作为P ( A)的近似值代入上式 , 那么 m 2b 2bn ? , ?π? . n aπ am
利用上式可计算圆周率π 的近似值.

历史上一些学者的计算结果(直线距离a=1)
试验者 Wolf Smith 时间 1850 1855 针长 0.8 0.6 投掷次数 相交次数 π的近似值 5000 3204 2532 1218 3.1596 3.1554

De Morgan 1860
Fox Lazzerini Reina 1884 1901 1925

1.0
0.75 0.83 0.5419

600
1030 3408 2520

382
489 1808 859

3.137
3.1595 3.1415929 3.1795

利用蒙特卡罗(Monte-Carlo)法进行计算机模拟 取a ? 1, b ? 0.85.

课堂小结
? 1.几何概型的特点. ? 2.几何概型的概率公式.

构成事件A的区域的度量(长度、面积或体积) P( A) ? 全部结果所构成的区域度量
? 3.公式的运用. ? 作业:


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