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【数学】2.5.2 向量在物理中的应用举例2


一、向量与物理学的联系
向量是从物理学中抽象出来的数学概念,在物理中,通常被 称为矢量!在物理学,工程技术中有广泛的应用,因此,我们 要明确掌握用向量研究物理问题的相关知识! 1、向量既是有大小又有方向的量,物理学中,力、速度、 加速度、位移等都是向量! 2、力、加速度、位移等的合成和分解就是向量的加减 法,运动的叠加也用到向量的合成! 3、功的定义即是F与所产生位移S的数量值

例题 例1:同一平面内,互成120? 的三个大小相等的共 点力的合力为零。
a A

证:如图,用a,b,c表示这3个共点力, 且a,b,c互成120°,模相等,按照向 量的加法运算法则,有:
a +b +c = a +(b +c)=a +OD 又由三角形的知识知:三角形OBD 为等边三角形,故 a与OD共线且模相等 B

120? O

b

c
C D

所以:OD = -a ,即有:
a+ b+ c =0

例2:在生活中,你是否有这样的经验:两个人共提一个旅行 包,夹角越大越费力;在单杠上做引体向上运动,两臂夹角越 小越省力!你能从数学的角度解释这个现象吗? 分析:上述的问题跟如图所示 的是同个问题,抽象为数学模 型如下: 用向量F1,F2,表示两个提力, 它们的合向量为F,物体的重力 用向量G来表示, F1,F2的夹 角为θ,如右图所示,只要分清 F,G和θ三者的关系,就得到 了问题得数学解释! F1 θ F

F2

G

解:不妨设 F1 = F2 ,由向量的 平行四 边形法则,力的平衡以及直角三角形的知识, 可以知道: G F1 = ( *) θ 2cos 2 F 通过上面的式子,有:当θ由0? 到180? 逐渐变 θ θ cos 大时, 由0? 到90? 逐渐变大, 2 的值由大逐 2 渐变小,因此 : F1 由小逐渐变大,即F1 ,F2之间 的夹角越大越费力,夹角越小越省力! 探究:

F

F2

1

F2 θ cos θ 2

G

(1)θ为何值时, F1 最小,最小值是多少?
G θ 答:在(*)式中,当θ =0? 时, cos 2 最大, F1 最小且等于 2 (2)F1 能等于 G 吗?为什么? 答:在(*)中,当 cos θ = 1 即θ=120? 时,F1 = G 2 2

小结: (1)、为了能用数学描述这个问题,我们要先把这一物 理问题转化成数学问题。如上题目,只考虑绳子和物体的 受力平衡,画出相关图形! (2)、由物理中的矢量问题化成数学中的向量问题, 用向量的有关法则解决问题! (3)、用数学的结果解决物理问题,回答相关的物理现象。

例4:如图,一条河流的两岸平行,河的宽度d = 500m,一 艘船从A处出发到河对岸。已知船的速度 v1 =10km/h,水流 的速度 v2 = 2km/h。 问:(1)行驶航程最短时,所用的时间是多少? 500m A 分析:(1)因为两平行线之间的最短距离是它们的公垂线段。所 以只有当小船的实际运动方向(即合运动方向)是垂直于河岸的 方向时,小船的航程最小。 (2)小船过河的问题有一个特点,就是小船在垂直于河 岸的方向上的位移是不变的,我们只要使得在垂直于河岸方向上 的速度最大,小船过河所用的时间就最短,河水的速度是沿河岸 方向的,这个分速度和垂直于河岸的方向没有关系,所以使小船 垂直于河岸方向行驶(小船自身的速度,方向指向河对岸),小 船过河所用时间才最短。

(2)行驶时间最短时,所用的时间是多少?

把物理问题转化为数学模型为:
解(1) v = v1 0.5 96
2

(1)

B v1 A v

-

v2

2

= 96

所以
t= d v

=

60 ~ ~ 3.1(min)

v2

(2)
答:行驶的航程最短时,所用的时间 是3.1min。

(2) t = d = 0.5 60 = 3 (min) 10 v1 答:行驶的时间最短时,所用的时间是3min

v1

v
v2

练习; (1)如图所示,用两条成120? 的等长的绳子悬挂一 个灯具,已知灯具的重量为10N,则每根绳子的拉力是 10N ————。 如图,今有一艘小船位于d = 60m宽的河边 P处,从这里起,在下游 l =80m处河流有一 处瀑布,若河水的流速方向由上游指向下游 (与河岸平行),水速大小为5m/s为了使小 船能安全过河,船的划速不能小于多少?当 划速最小时,划速方向如何? 60m P 120?

Q
θ

瀑 布

l

Q,

分析:用向量来分别表示河流的水流速度、船速 和它们的合速度为 V 、 V 和 V ,由题意, 船 合 船的实际速度为向量 水

θ 瀑 布 P

V合 = V船+ V水 其方向为临界方向 PQ ,船只要朝着这个方向行
驶,它就不会掉下瀑布,如(右)图所示:

l

Q Q

提问:表示划船速度的向量怎样画? 从图上看,哪个速度(向量的模)最小?

解:由题意知:V = V + V V合的方向 合 船 水 V船 其方向为临界方向 PQ ,设 V合 和 V水 夹角为 θ P θ,则最小划速为: v船 = v水 sinθ V水 sinθ =

d
2

d ?l

2

=

3 ? 602 ? 802 5

60

所以:最小的船速应为: v船 = 5 ×

3 sinθ =5 × 5

=3(m/s)

总结:向量有关知识在物理学中应用非常广泛,它也是解释某些 物理现象的重要基础知识。通过这节课的学习,我们应掌握什么 内容?
如何解决物理中与向量有关的问题: (1)、弄清物理现象中蕴含的物理量间的关系(数学模型); (2)、灵活运用数学模型研究有关物理问题;

(3)、综合运用有关向量的知识,三角等和物理知识解决实际 问题;
(4)、用所得的结果解释物理现象。


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