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唐山市2014~2015学年度高二年级第一学期期末考试题 文科数学 答案


唐山市 2014~2015 学年度高二年级第一学期期末考试

文科数学参考答案及评分标准
一、选择题: A 卷:AACDB B 卷:BDCDB 二、填空题: 1 (13)y=- 16 三、解答题: (17)解: 若命题 p 为真,则有?=m2-6<0,解得- 6 <m< 6 .
?m-1>0, 若命题 q 为真,则有? 解得 1<m<3. ?m-3<0,

BCCBD ACACD

CD BD

(14)2 3

(15)30?

(16)2

?6 分

因为“p∧q”为真命题,所以 p,q 均为真命题,
?- 6 <m< 6 , 故有? 解得 1<m< 6 . ?1<m<3,

故所求实数 m 的取值范围是 1<m< 6 . (18)解:

?10 分

(Ⅰ)设圆 C 的方程为 x2+y2+Dx+Ey+F=0. 因为 O,A,B 三点都在圆 C 上,所以它们的坐标都是圆 C 方程的解,

? ?F=0, 故?50-D-7E+F=0, 解此方程组,得 D=-6,E=8,F=0. ? ?80+8D-4E+F=0,
故所求圆 C 的方程为 x2+y2-6x+8y=0. ?6 分 (Ⅱ)直线 AB 的方程为 x-3y-20=0,故设直线 l 的方程为 3x+y+m=0. 由题意,圆心 C (3,-4)到直线 AB 与直线 l 的距离相等, |3-3×(-4)-20| |3×3+(-4)+m| 故有 = , 12+(-3)2 32+12 解得 m=0 或 m=-10. 所以直线 l 的方程为 3x+y=0 或 3x+y-10=0. ?12 分

(19)解: 连结 BD,设 BD∩AC=O,易知 O 为 DB 的中点. 又 E 为 PD 的中点, 所以在△PDB 中,OE 为其一条中位线, 所以 PB∥OE. 又 OE?平面 EAC,PB ? / 平面 EAC, 故 PB∥平面 EAC. 1 (Ⅱ)因为 FD= PD, 3 ?6 分
D

P

E F A O C B

所以点 F 到平面 ACD(也是平面 ABCD)的距离 与点 P 到平面 ABCD 的距离比为 1∶3, 又易知△ACD 的面积等于四边形 ABCD 面积的一半, 所以三棱锥 F -ADC 与四棱锥 P -ABCD 的体积比为 1∶6. (20)解: p (Ⅰ)抛物线 y2=2px(p>0)的准线方程为 x=- , 2 由抛物线的定义可知:|MF|=1- -

?12 分

(

p =2,解得 p=2, 2

)

因此,抛物线 C 的方程为 y2=4x. ?5 分 (Ⅱ)设正三角形 OAB 的顶点 A,B 在抛物线上,且 A (x1,y1),B (x2,y2), 2 则 y2 1=4x1,y2=4x2. 2 2 2 ∵|OA|=|OB|,∴x2 1+y1=x2+y2,即 2 x2 1-x2+4x1-4x2=0?(x1-x2)(x1+x2+4)=0. ∵x1>0,x2>0,∴x1=x2,即|y1|=|y2|,即线段 AB 关于 x 轴对称.?8 分 y1 3 因为 x 轴垂直于 AB,且∠AOx=30?,不妨取 y1>0,所以 =tan 30?= . x1 3 y2 1 因为 x1= ,所以 y1=4 3 , 4 故正三角形的边长|AB|=2y1=8 3 . (21)解: ? (Ⅰ)因为 BC= 2 ,CC1=BB1=2,∠BCC1= , 4 在△BCC1 中,由余弦定理,可求得 C1B= 2 , 所以 C1B2+BC2=CC2 1,C1B⊥BC. 又 AB⊥侧面 BCC1B1,故 AB⊥BC1, 又 CB∩AB=B,所以 C1B⊥平面 ABC. ?12 分

?6 分

(Ⅱ)易知 BB1∥平面 ACC1,又点 E 在 BB1 上, 所以点 E 到平面 ACC1 的距离等于点 B 到平面 ACC1 的距离. 在 Rt△ABC 中,AB=2,BC= 2 ,所以 AC= 6 . 同理可求得 AC1= 6 . 设点 B 到平面 ACC1 的距离为 d,在四面体 C1-ABC 中, 1 1 VB-ACC1=VA-BCC1,即 S△ACC1×d= S△BCC1×AB, 3 3 1 1 1 1 2 5 所以 × ×2× 5 ×d= × × 2 × 2 ×2,解得 d= . 3 2 3 2 5 2 5 即点 E 到平面 ACC1 的距离为 . 5 (22)解: b2 2 x2 y2 (Ⅰ)由题意,有 e2=1- 2= ,所以得 a2=3b2,即椭圆 C 的方程为 2+ 2=1. a 3 3b b 因为点 P 在 C 上,将点 P ?12 分

( 23 , 23 )的坐标代入,得 b =1,进而 a =3,
2 2

x2 所以椭圆 C 的方程为 +y2=1. 3

?5 分

x2 (Ⅱ)当直线 l 的斜率不存在时,不妨设 l 的方程为 x=1,代入 +y2=1, 3 得 M 1,

(

6 6 2 6 ,N 1,- ,|MN|= ≠ 3 ,不合题意. 3 3 3

)

(

)

?7 分

当直线 l 的斜率存在时,设 l 的方程为 y=kx+m, |m| 由题意,有 =1,即 m2=k2+1. 1+k2 x2 将 y=kx+m 代入 +y2=1,得(1+3k2)x2+6kmx+3m2-3=0, 3 -6km 3m2-3 设 M (x1,y1),N (x2,y2),则 x1+x2= ,所以 2,x1x2= 1+3k 1+3k2 |MN|= (1+k2)(x2-x1)2 = (1+k2)[(x2+x1)2-4x1x2] = 1+k2 × 2 3(3k2+1-m2) 1+3k2

2 6 |k| 1+k2 = = 3 ,整理,得 k4-2k2+1=0,解得 k2=1,k=±1. 1+3k2 综上,可知直线 l 的斜率为±1. ?12 分


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