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二次函数导学案全章


2.1 二次函数
第 6 课时 主备人:唐学民 审核人:薛磊 【学习目标】 1. 了解二次函数的有关概念. 2. 会确定二次函数关系式中各项的系数。 3. 确定实际问题中二次函数的关系式。 【学法指导】 类比一次函数,反比例函数来学习二次函数,注意知识结构的建立。 【学习过程】 一、知识链接: 1.若在一个变化过程中有两个变量 x 和 y,如果对于 x 的每一个值, y 都有唯一的值与 它对应,那么就说 y 是 x 的 ,x 叫做 。
(k ? 0) 的函数是一次函数,当 ______ ? 0 时,它是 2. 形如 y ? ___________

函数;

二、自主学习: 1.用 16m 长的篱笆围成长方形圈养小兔,圈的面积 y(㎡)与长方形的长 x(m)之间的函 数关系式为 。 分析:在这个问题中,可设长方形生物园的长为 x 米,则宽为 米,如果将面 积记为 y 平方米,那么 y 与 x 之间的函数关系式为 y =
y=

,整理为

.

2.n 支球队参加比赛,每两队之间进行一场比赛.写出比赛的场次数 m 与球队数 n 之间 的关系式_______________________. 3.用一根长为 40 cm 的铁丝围成一个半径为 r 的扇形, 求扇形的面积 S 与它的半径 r 之间 的函数关系式是 。 4.观察上述函数函数关系有哪些共同之处? 5.归纳:一般地,形如 , ( a, b, c是常数,且a )的函数为二次函

数。其中 x 是自变量, a 是_______,b 是_______,c 是_____________. 三、合作交流: (1)二次项系数 a 为什么不等于 0? 答 (2)一次项系数 b 和常数项 c 可以为 0 吗? 答 四、跟踪练习
2 2 3 1 .观察:① y ? 6x ;② y ? ?3x ? 5 ;③ y = 200x2 + 400x + 200 ;④ y ? x ? 2 x ;⑤

y ? x2 ?

1 2 ?3 y ? ?x ? 1? ? x 2 x ;⑥ .这六个式子中二次函数有
m2 ?m

。 (只填序号)

2. y ? (m ?1) x

? 3x ?1 是二次函数,则 m 的值为______________.

2 3.若物体运动的路段 s(米)与时间 t(秒)之间的关系为 s ? 5t ? 2t ,则当 t=4 秒时,

该物体所经过的路程为

。 .

2 4.二次函数 y ? ? x ? bx ? 3 . 当 x=2 时, y=3, 则这个二次函数解析式为

5.为了改善小区环境,某小区决定要在一块一边靠墙(墙长 25m)的空地上修建一个矩 形绿化带 ABCD,绿化带一边靠墙,另三边用总长为 40m 的栅栏围住(如图) .若设绿化 2 带的 BC 边长为 x m,绿化带的面积为 y m .求 y 与 x 之间的函数关系式,并写出自变量 x 的取值范围.

小结:

反思:

1.2 二次函数

y ? ax 2 的图象

【学习目标】 1.知道二次函数的图象是一条抛物线; 2.会画二次函数 y=ax2 的图象; 3.掌握二次函数 y=ax2 的性质,并会灵活应用. (重点) 【学法指导】 数形结合是学习函数图象的精髓所在,一定要善于从图象上学习认识函数. 【学习过程】 一、知识链接: 1.画一个函数图象的一般过程是① ;② ;③ 。 2.一次函数图象的形状是 ; 二、自主学习 (一)画二次函数 y=x2 的图象. 列表: x ? -3 -2 -1 0 1 2 3 ? 2 y=x ? ? 在图(3)中描点,并连线
10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 y

x

10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 ?2

y

y 8 7 6 5 4 3 2 1 O 1 2 3 4 ?4 ?3 ?2 ?? 11 ?2
(3)

x

O 1 2 3 4 ?4 ?3 ?2 ?? 11 ?2

O 1 2 3 4 ?4 ?3 ?2 ?? 11

x

(1)

(2)

1.思考:图(1)和图(2)中的连线正确吗?为什么?连线中我们应该注意什么? 答: 2.归纳: ① 由图象可知二次函数 y ? x 的图象是一条曲线,它的形状类似于投篮球时球在空中
2

所经过的路线,即抛出物体所经过的路线,所以这条曲线叫做

线;

②抛物线 y ? x 是轴对称图形,对称轴是
2



③ y ? x 的图象开口_______;
2





的交点叫做抛物线的顶点。抛物线 y ? x 的顶点坐标是
2



它是抛物线的最 点(填“高”或“低” ) ,即当 x=0 时,y 有最 值等于 0. ⑤在对称轴的左侧,图象从左往右呈 趋势,在对称轴的右侧,图象从左往右呈 趋 势 ; 即 x <0 时 , y 随 x 的 增 大 而 而 。
y? 1 2 x 2 2 2 , y ? x , y ? 2x 的图象.

, x >0 时 , y 随 x 的 增 大

(二)例 1 在图(4)中,画出函数 解:列表: x ? 1 y ? x2 ? 2 x -4 -3 -2

-1

0

1

2

3

4

? ?

? -2 ?
y??

-1. 5

-1

-0. 5

0

0.5 1

1.5 2

? ?

y ? 2x 2

归纳:抛物线

1 2 x 2 2 2 , y ? ? x , y ? ?2 x 的 的 图 象 的 形 状 都

是 ;顶点都是__________;对称轴都是_________;二次项系 a 数 _______0; 开口都 ; 顶点都是抛物线的最_________点 (填 “高”或“低” ) .
1 2 x 2 2 2 , y ? ? x , y ? ?2 x 的图象.

例 2 请在图(4)中画出函数 列表: x 1 y ? ? x2 2 ? ? -4 -3 -2

y??

10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 ?2 ?3 ?4 ?5 ?6 ?7 ?8 ?9 ?10 (4)

y

x

O 1 2 3 4 5 ?5 ?4 ?3 ?2 ?? 11

-1

0

1

2

3

4

? ?

?

-3

-2

-1

0

1

2

3

? ?

y ? ?x 2

?

x

? -2 ?

-1. 5

-1

-0. 5

0

0.5 1

1.5 2

? ?

y ? ?2 x 2

三、合作交流: 归纳: 抛物线 y ? ax 的性质
2

图象(草图)

对 称 顶点 轴

开 口 有最高或 最值 方向 最低点 当 x=____时, y 有最_______ 值,是______.

a >0

a <0

当 x=____时, y 有最_______ 值,是______.

2.当 a >0 时,在对称轴的左侧,即 x 称轴的右侧,即 x

0 时, y 随 x 的增大而 。

;在对

0 时 y 随 x 的增大而

3.在前面图(4)中,关于 x 轴对称的抛物线有 答: 线 y ? ax 关于 x 轴对称的抛物线是
2

对,它们分别是哪些? 。由此可知和抛物



4.当 a >0 时, a 越大,抛物线的开口越___________;当 a <0 时, a 越大,抛物线 的开口越_________;因此, 四、课堂训练

a

越大,抛物线的开口越________。

1.函数

y?

3 2 x 7 的图象顶点是__________,对称轴是________,开口向_______,当 x

=___________时,有最_________值是_________. 2. 函数 y ? ?6 x 的图象顶点是__________,对称轴是________,开口向_______,当 x
2

=___________时,有最_________值是_________. 3. 二次函数 y ? ?m ? 3?x 的图象开口向下,则 m___________.
2

4. 二次函数 y=mx

m2 ?2

有最高点,则 m=___________.

5. 二次函数 y=(k+1)x2 的图象如图所示, 则 k 的取值范围为___________. 6.若二次函数 y ? ax 的图象过点(1,-2) ,则 a 的值是___________.
2

2 2 7 . 抛 物 线 ① y ? ?5x ② y ? ?2 x

2 2 ③ y ? 5x ④ y ? 7 x

开口从小到大排列是

______________________________ ; (只填序号)其中关于 x 轴对称的两条抛物线是 和 。
1 2 8.点 A( 2 ,b)是抛物线 y ? x 上的一点,则 b=

;过点 A 作 x 轴的平行线交

抛物线另一点 B 的坐标是
2



9.如图,A、B 分别为 y ? ax 上两点,且线段 AB⊥y 轴于点(0,6) ,若 AB=6, 则该抛物线的表达式为 10. 当 m= 时,抛物线 y ? (m ? 1) x
2


m ?m
2

开口向下.

11.二次函数 y ? ax 与直线 y ? 2 x ? 3 交于点 P(1,b) . (1)求 a、b 的值; (2)写出二次函数的关系式,并指出 x 取何值时,该函数的 y 随 x 的增大而减小.

1.3 二次函数 y ? a?x ? h? ? k 的图象(一)
2

【学习目标】
2 2 1.知道二次函数 y ? ax ? k 与 y ? ax 的联系. 2 2.掌握二次函数 y ? ax ? k 的性质,并会应用;

【学法指导】 类比一次函数的平移和二次函数 y ? ax 的性质学习,要构建一个知识体系。
2

【学习过程】 一、知识链接:直线 y ? 2 x ? 1 可以看做是由直线 y ? 2 x 得到的。

练:若一个一次函数的图象是由 y ? ?2 x 平移得到,并且过点(-1,3) ,求这个函数的解 析式。 解:
2 2 由此你能推测二次函数 y ? x 与 y ? x ? 2 的图象之间又有何关系吗?

猜想 二、自主学习



2 2 2 (一)在同一直角坐标系中,画出二次函数 y ? x , y ? x ? 1 , y ? x ? 1 的图象

列表 1.填表: 开 口 方 向
y ? x2

顶点

对称轴

有最高 增 减 (低) 性 点

y

y = x2

y ? x2 ?1
O 1 x

y ? x2 ?1

2 2 2.可以发现,把抛物线 y ? x 向______平移______个单位,就得到抛物线 y ? x ? 1 ; 2 2 把抛物线 y ? x 向_______平移______个单位,就得到抛物线 y ? x ? 1 . 2 2 2 3.抛物线 y ? x , y ? x ? 1 , y ? x ? 1 的形状_____________.开口大小相同。 2 三、知识梳理: (一)抛物线 y ? ax ? k 特点:

1.当 a ? 0 时,开口向 2. 顶点坐标是 3. 对称轴是 。

;当 a ? 0 时,开口 ;



2 2 2 2 ( 二 ) 抛 物 线 y ? ax ? k 与 y ? ax 形 状 相 同 , 位 置 不 同 , y ? ax ? k 是 由 y ? a x

平移得到的。 (填上下或左右) 二次函数图象的平移规律:上 (三) a 的正负决定开口的

下 ;



a

决定开口的

,即

a

不变,则抛物线的

形状 。因为平移没有改变抛物线的开口方向和形状,所以平移前后的两条抛 a 物线 值 。 三、跟踪练习:
2 1.抛物线 y ? 2 x 向上平移 3 个单位,就得到抛物线__________________; 2 抛物线 y ? 2 x 向下平移 4 个单位,就得到抛物线__________________. 2 2.抛物线 y ? ?3x ? 2 向上平移 3 个单位后的解析式为

,它们的形状

__________,当 x =

时, y 有最

值是

。 ,是

2 3.由抛物线 y ? 5x ? 3 平移,且经过(1,7)点的抛物线的解析式是

把原抛物线向

平移

个单位得到的。
2

4. 写出一个顶点坐标为(0,-3) ,开口方向与抛物线 y ? ? x 的方向相反,形状相同 的抛物线解析式____________________________.
2 5. 抛物线 y ? 4x ? 1 关于 x 轴对称的抛物线解析式为______________________.

2 6.二次函数 y ? ax ? k ?a ? 0? 的经过点 A(1,-1) 、B(2,5).

⑴求该函数的表达式; ⑵ 若点 C(-2, m ),D( n ,7)也在函数的上,求 m 、 n 的值。

二次函数 y ? a?x ? h? ? k 的图象(二)
2

【学习目标】 1.会画二次函数 y ? a( x ? h) 的图象;
2

2.知道二次函数 y ? a( x ? h) 与 y ? ax 的联系.
2 2

3.掌握二次函数 y ? a( x ? h) 的性质,并会应用;
2

【学习过程】 一、知识链接: 1.将二次函数 y ? 2x 的图象向上平移 2 个单位,所得图象的解析式为
2

。 。

2 2.将抛物线 y ? ?4x ? 1 的图象向下平移 3 个单位后的抛物线的解析式为

二、自主学习 画出二次函数 y ? ( x ? 1) , y ? ( x ? 1) 的图象;先列表:
2 2

x
y ? ( x ? 1) 2 y ? ( x ? 1) 2

?

- 4

3

2

1

0

1

2

3

4

?

? ?
y

? ?

2 归纳: (1) y ? ( x ? 1) 的开口向



对称轴是直线 是 。 图象有最 最 值是 点,即 x = ;

,顶点坐标 时, y 有 时,y 随 x 的 ;在对称轴的右

在对称轴的左侧, 即x 增大而

10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

y = x2

–7 –6 –5 –4 –3 –2 –1O 1 1 2 3 4 5 6 7 8 –1 –2

x

侧,即 x

时 y 随 x 的增大而 平移

。 个单位形成的。 , 顶点坐标是 ; ;在对称轴的右侧,即 x
2

y ? ( x ? 1) 2 可以看作由 y ? x 2 向
(2)y ? ( x ? 1) 的开口向
2

, 对称轴是直线 时, y 有最 值是

,图

象有最

点,即 x =

在对称轴的左侧,即 x 时 y 随 x 的增大而 位形成的。 三、知识梳理

时, y 随 x 的增大而
2

。 y ? ( x ? 1) 可以看作由 y ? x 向

平移

个单

(一)抛物线 y ? a( x ? h) 特点:
2

1.当 a ? 0 时,开口向 2. 顶点坐标是

;当 a ? 0 时,开口 ;3. 对称轴是直线

; 。

2 2 2 2 (二)抛物线 y ? a( x ? h) 与 y ? ax 形状相同,位置不同, y ? a( x ? h) 是由 y ? ax

平移得到的。 (填上下或左右) 结合学案和课本第 8 页可知二次函数图象的平移规律:左



,上





a 的正负决定开口的 (三)

。 因为平移没有改变抛物线的开口方向和形状,所以平移前后的两条抛物线 a 值 。 四、课堂训练 1.抛物线 当x
y ? 2 ? x ? 3?
2

a ; 决定开口的

, 即

a

不变, 则抛物线的形状

的开口_______;顶点坐标为_________;对称轴是直线_______; 时, y 随 x 的增大而增大。

时, y 随 x 的增大而减小;当 x
2

2. 抛物线 y ? ?2( x ? 1) 的开口_______;顶点坐标为_________;对称轴是直线_______; 当x 时, y 随 x 的增大而减小;当 x 时, y 随 x 的增大而增大。

2 3. 抛物线 y ? 2 x ? 1的开口_______;顶点坐标为_________;对称轴是_______;

4.抛物线 y ? 5 x 向右平移 4 个单位后,得到的抛物线的表达式为______________.
2

5. 抛物线 y ? ?4 x 向左平移 3 个单位后,得到的抛物线的表达式为______________.
2

6.将抛物线 7.抛物线

y??

1 2 ? x ? 2? 3 向右平移 1 个单位后,得到的抛物线解析式为__________.
2

y ? 4 ? x ? 2?

与 y 轴的交点坐标是_______,与 x 轴的交点坐标为________.
2

8. 写出一个顶点是(5,0) ,形状、开口方向与抛物线 y ? ?2 x 都相同的二次函数解析 式_______________. .1.3 二次函数 y ? a?x ? h? ? k 的图象(三)
2

【学习目标】1.会画二次函数的顶点式 y ? a?x ? h? ? k 的图象;
2

2.掌握二次函数 y ? a?x ? h? ? k 的性质;
2

【学习过程】 一、知识链接: 1.将二次函数 y ? -5x 的图象向上平移 2 个单位,所得图象的解析式为
2



2.将抛物线 y ? ? x 的图象向左平移 3 个单位后的抛物
2

线的解析式为 二、自主学习 在右图中做出
y ? ? x ? 1? ? 2
2 2



的图象: 开口向 ; 。 ,位

观察:1. 抛物线 顶点坐标是 2. 抛物线 置 3. 抛物线 答:

y ? ? x ? 1? ? 2

;对称轴是直线
2

y ? ? x ? 1? ? 2 y ? ? x ? 1? ? 2
2

2 和 y ? x 的形状

。 (填“相同”或“不同” ) 是由 y ? x 如何平移得到的?
2

10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 ?2 ?3

y
y = x2

x

O 1 2 3 4 5 ?4 ?3 ?2 ?? 11

。 三、合作交流 平移前后的两条抛物线 a 值变化吗?为什么? 答: 四、知识梳理 结合上图和课本第 9 页例 3 归纳:
2 (一)抛物线 y ? a( x ? h) +k 的特点:



1.当 a ? 0 时,开口向

;当 a ? 0 时,开口



2. 顶点坐标是

;3. 对称轴是直线


2 ,位置不同, y ? a( x ? h) +k 是由

2 2 (二)抛物线 y ? a( x ? h) + k 与 y ? ax 形状

y ? ax2 平移得到的。
二次函数图象的平移规律:左 右 a (三)平移前后的两条抛物线 值 五、跟踪训练 1.二次函数
y?

,上 。





1 1 ( x ? 1) 2 ? 2 y ? x2 2 2 的图象( 的图象可由



A.向左平移 1 个单位,再向下平移 2 个单位得到 B.向左平移 1 个单位,再向上平移 2 个单位得到 C.向右平移 1 个单位,再向下平移 2 个单位得到 D.向右平移 1 个单位,再向上平移 2 个单位得到 2. 抛 物 线 是 3.填表: 4. 函
y?? 1 2 ? x ? 6? ? 5 3 开口

,顶点坐标是 值为 。

,对称轴

,当 x=

时,y 有最



y ? 3x 2
开口方向 顶点 对称轴
y ? 2 ? x ? 3? ? 1
2

y ? ? x2 ? 3

y ? 2( x ? 3)2

y ? ?4( x ? 5)2 ? 3

的图象可由函数
2

y ? 2 x2

的图象沿 x 轴向

平移

个单位,再沿

y 轴向
5.若把函数 为

平移

个单位得到。 的图象分别向下、向左移动 2 个单位,则得到的函数解析式
1 2 x 2 相同的解析式为(

y ? 5 ? x ? 2? ? 3


y?

6. 顶点坐标为(-2,3) ,开口方向和大小与抛物线
y? 1 2 ? x ? 2? ? 3 2 1 2 ? x ? 2? ? 3 2 y? 1 2 ? x ? 2? ? 3 2 y?? 1 2 ? x ? 2? ? 3 2



A.

B.

C.

y?

D.

2 y ? ? x ? 2? y ? 2 x 7.一条抛物线的形状、开口方向与抛物线 相同,对称轴和抛物线 相
2

同,且顶点纵坐标为 0,求此抛物线的解析式.

1.3 二次函数 y ? a?x ? h? ? k 的图象(四)
2

【学习目标】 会用二次函数 y ? a?x ? h? ? k 的性质解决问题;
2

【学习过程】 一、知识链接:
2 1.抛物线 y ? ?2( x+1) ? 3 开口向

, 顶点坐标是 。当 x

, 对称轴是 时, y 随 x 的增大而增大.



当 x=

时,y 有最

值为

2 2 2. 抛物线 y ? ?2( x+1) ? 3 是由 y ? ?2 x 如何平移得到的?答:

。 二、自主学习 1.抛物线的顶点坐标为(2,-3) ,且经过点(3,2)求该函数的解析式? 分析:如何设函数解析式?写出完整的解题过程。

2.仔细阅读课本第 10 页例 4: 分析: 由题意可知: 池中心是 , 水管是 , 是喷头,线段 的长度是 1 米,线段 的长 3 米。 由 已 知 条 件 可 设 抛 物 线 的 解 析 式 为 。 抛物线的解析式中有一个待 数,所以只需再确定 个点的坐标即可,这个点 是 。 求水管的长就是通过求点 的 坐标。

3 A 2 1

y B

点 度 是

D ?1 O ?1 1 2

C x 3

定 系

二、跟踪练习: 如图,某隧道横截面的上下轮廓线分别由抛物线对称的一部分和矩形的一部分构成,最 大高度为 6 米,底部宽度为 12 米. AO= 3 米,现以 O 点为原点,OM 所在直线为 x 轴建 立直角坐标系. y y (1) 直接写出点 A 及抛物线顶点 P 的坐标; P (2) 求出这条抛物线的函数解析式; B A 三、能力拓展 x

O

A O

B

x

M
C

D

1.知识准备 如图抛物线 (1) (2) (3) (4)
y ? ? x ? 1? ? 4
2

与 x 轴交于 A,B 两点,交 y 轴于点 D,抛物线的顶点为点 C

求△ABD 的面积。求△ABC 的面积。 点 P 是抛物线上一动点, 当△ABP 的面积为 4 时, 求所有符合条件的点 P 的坐标。 点 P 是抛物线上一动点, 当△ABP 的面积为 8 时, 求所有符合条件的点 P 的坐标。 点 P 是抛物线上一动点, 当△ABP 的面积为 10 时, 求所有符合条件的点 P 的坐标。

2 26.1.4 二次函数 y ? ax ? bx ? c 的图象

【学习目标】
2 2 1.能通过配方把二次函数 y ? ax ? bx ? c 化成 y ? a( x ? h) +k 的形式,从而确定开口方

向、对称轴和顶点坐标。
2 2.熟记二次函数 y ? ax ? bx ? c 的顶点坐标公式; 2 3.会画二次函数一般式 y ? ax ? bx ? c 的图象.

【学习过程】 一、知识链接: 1.抛物线 最
y ? 2 ? x ? 3? ? 1
2

的顶点坐标是

;对称轴是直线

;当 x =

时y有

值是

;当 x

时, y 随 x 的增大而增大;当 x

时, y 随 x 的

增大而减小。
2 2. 二次函数解析式 y ? a( x ? h) +k 中,很容易确定抛物线的顶点坐标为

,所以

这种形式被称作二次函数的顶点式。 二、自主学习:
2 (一) 、问题: (1)你能直接说出函数 y ? x ? 2 x ? 2 的图像的对称轴和顶点坐标吗?

(2)你有办法解决问题(1)吗? 解:

y ? x 2 ? 2 x ? 2 的顶点坐标是

,对称轴是

. 的方法转化为 式从

(3) 像这样我们可以把一个一般形式的二次函数用 而直接得到它的图像性质. (4)用配方法把下列二次函数化成顶点式: ① y ? x ? 2x ? 2
2



y?

1 2 x ? 2x ? 5 2

2 ③ y ? ax ? bx ? c

2 ( 5 ) 归 纳 : 二 次 函 数 的 一 般 形 式 y ? ax ? bx ? c 可 以 用 配 方 法 转 化 成 顶 点 2 , 因 此 抛 物 线 y ? ax ? bx ? c 的 顶 点 坐 标

式:

是 ;对称轴是 , (6)用顶点坐标和对称轴公式也可以直接求出抛物线的顶点坐标和对称轴,这种方法 叫做公式法。 用公式法写出下列抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标。
2 ① y ? 2x ? 3x ? 4 2 ② y ? ?2x ? x ? 2 2 ③ y ? ? x ? 4x

(二) 、用描点法画出

y?

1 2 x ? 2x ? 1 2 的图像.

(1)顶点坐标为 (2)列表:顶点坐标填在

; ; (列表时一般以对称轴为中心,对称取值. ) ? ( 3 )描点,并 连线: (4)观察:

x
1 y ? x 2 ? 2x ? 1 2

? ?

①图象有最 是 ②x ;

点, 即x=

时, y 有最

值 时y

时,y 随 x 的增大而增大;x

随 x 的增大而减小。 ③该抛物线与 y 轴交于点 ④该抛物线与 x 轴有 三、合作交流 求出
y?

。 个交点.

6 5 4 3 2 1 ?2 ?3 ?4

y

x

1 2 x ? 2x ? 1 2 顶点的横坐标 x ? ?2 后,可

O 1 2 3 ?7 ?6 ?5 ?4 ?3 ?2 ?? 11

以用哪些方法计算顶点的纵坐标?计算并比较。

1.5 用待定系数法求二次函数的解析式 【学习目标】 1.能根据已知条件选择合适的二次函数解析式; 2.会用待定系数法求二次函数的解析式。 【学习过程】 一、知识链接: 已知抛物线的顶点坐标为(-1,2) ,且经过点(0,4)求该函数的解析式. 解: 二、自主学习 1.一次函数 y ? kx ? b 经过点 A(-1,2)和点 B(2,5),求该一次函数的解析式。 分析:要求出函数解析式,需求出 k , b 的值,因为有两个待定系数,所以需要知道两个 点的坐标,列出关于 k , b 的二元一次方程组即可。 解:

2. 已知一个二次函数的图象过(1,5) 、 ( ? 1,?1 ) 、 (2,11)三点,求这个二次函数的 解析式。 分析:如何设函数解析式?顶点式还是一般式?答: 析式中有 个待定系数,它们分别是 ,所以一般需要 请你写出完整的解题过程。 解: ;所设解 个点的坐标;

三、知识梳理 用待定系数法求二次函数的解析式通常用以下 2 种方法:设顶点式 y ? a?x ? h? ? k 和一
2
2 般式 y ? ax ? bx ? c 。

1.已知抛物线过三点,通常设函数解析式为 ; 2.已知抛物线顶点坐标及其余一点,通常设函数解析式为 。 四、跟踪练习: 1.已知二次函数的图象的顶点坐标为(-2,-3) ,且图像过点(-3,-1) ,求这个 二次函数的解析式.

2 2.已知二次函数 y ? x ? x ? m 的图象过点(1,2) ,则 m 的值为________________.

3.一个二次函数的图象过(0,1) 、 (1,0) 、 (2,3)三点,求这个二次函数的解析式。

4. 已知双曲线

y?

k 2 x 与抛物线 y ? ax ? bx ? c 交于 A(2,3)、B( m ,2)、c(-3, n )三点.

(1)求双曲线与抛物线的解析式; (2)在平面直角坐标系中描出点 A、点 B、点 求出△ABC 的面积,

y 4 3 2 1 O 1 2 3 ?4 ?3 ?2 ?? 11 ?2 ?3 y ?4
点 B, C, 并

x

5.如图,直线 y ? 3x ? 3 交 x 轴于点 A,交 y 轴于

过 A,B 两点的抛物线交 x 轴于另一点 C(3,0) , (1)求该抛物线的解析式; ⑵ 在抛物线的对称轴上是否存在点 Q,使△ABQ 腰三角形?若存在,求出符合条件的 Q 点坐标;若不 说明理由.

B A O C x

是等 存在,请

2 用函数观点看一元二次方程(一) 【学习目标】 1、体会二次函数与方程之间的联系。 2、 理解二次函数图象与 x 轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系, 【学习过程】 一、知识链接: 1.直线 y ? 2 x ? 4 与 y 轴交于点
2 2.一元二次方程 ax ? bx ? c ? 0 ,当Δ

,与 x 轴交于点



时,方程有两个不相等的实数根;当 Δ 时,方程没有实数根;

时,方程有两个相等的实数根;当Δ 二、自主学习 1.解下列方程
2 (1) x ? 2 x ? 3 ? 0 2 (2) x ? 6 x ? 9 ? 0

2 (3) x ? 2 x ? 3 ? 0

2.观察二次函数的图象,写出它们与 x 轴的交点坐标: 函 y ? x 2 ? 2x ? 3 y ? x 2 ? 6x ? 9 y ? x 2 ? 2x ? 3 数
xO = -0.38 xO?xO-2?xO-3 = -2.10

y y=x2-2x-3

7

y
11

y=x2-6x+9

y y=x2-2x+3
11 10 9

6
10

图 象
-8 -6 -4 -2

5
9
8

4
8

xO = -0.22

?xO?xO-2?xO?+3 = 3.48

7

3

xO = 1.58

?xO?xO-6?xO?+9 = 2.02

7

6

2
6
5

1
5

4

O
-1 -2

2

4

x

3

6

8

10

12

4
2

3
1

2
-8 -6 -4 -2

-3
1

O
-1

2

4

x

6

8

10

12

-4
-8 -6 -4 -2

O

2

4

6

x
8

10

12

-5

交 点

与 x 轴交点坐标是

与 x 轴交点坐标是

与 x 轴交点坐标是

3.对比第 1 题各方程的解,你发现什么? 三、知识梳理:
2 2 ⑴一元二次方程 ax ? bx ? c ? 0 的实数根就是对应的二次函数 y ? ax ? bx ? c 与 x 轴交

点的

2 .(即把 y ? 0 代入 y ? ax ? bx ? c )

⑵二次函数与一元二次方程的关系如下: (一元二次方程的实数根记为 x1、x2 )
2 二次函数 y ? ax ? bx ? c
y



2 一元二次方程 ax ? bx ? c ? 0

( , )
O

( , )
x

与 x 轴有

个交点

?

b 2 ? 4ac

0 , 方 程 有

的实数根 与 x 轴有 个交点是 个交点;这 点
b 2 ? 4ac

y

(
O

,

)
x

?

0,方程有

实数根

y
O

x

与 x 轴有

个交点

?

b 2 ? 4ac

0,方程



数根.
2 ⑶二次函数 y ? ax ? bx ? c 与 y 轴交点坐标是

.

四、跟踪练习
2 1. 二次函数 y ? x ? 3x ? 2 ,当 x =1 时, y =______;当 y =0 时, x =______. 2 2.抛物线 y ? x ? 4 x ? 3 与 x 轴的交点坐标是

,与 y 轴的交点坐标是



2 3.二次函数 y ? x ? 4 x ? 6 ,当 x =________时, y =3.

(4)

4. 如图,一 。

(5)

元二次方程

ax2 ? bx ? c ? 0 的解为

2 5.如图,一元二次方程 ax ? bx ? c ? 3 的解为



2 6. 已知抛物线 y ? x ? 2kx ? 9 的顶点在 x 轴上,则 k =____________. 2 7.已知抛物线 y ? kx ? 2x ? 1 与 x 轴有两个交点,则 k 的取值范围是_________.

26.2 用函数观点看一元二次方程(二) 【学习目标】 1. 能根据图象判断二次函数 a、b、c 的符号; 2.能根据图象判断一些特殊方程或不等式是否成立。 【学习过程】 一、知识链接:
2 2 根据 y ? ax ? bx ? c 的图象和性质填表: ( ax ? bx ? c ? 0 的实数根记为 x1、x2 ) 2 2 (1)抛物线 y ? ax ? bx ? c 与 x 轴有两个交点 ? b ? 4ac 2 2 (2)抛物线 y ? ax ? bx ? c 与 x 轴有一个交点 ? b ? 4ac 2 2 (3)抛物线 y ? ax ? bx ? c 与 x 轴没有交点 ? b ? 4ac

0; 0; 0.

二、自主学习:
2 2 1. 抛 物 线 y ? 2 x ? 4 x ? 2和 抛 物 线 y ? ? x ? 2 x ? 3 与 y 轴 的 交 点 坐 标 分 别 是



2 。抛物线 y ? ax ? bx ? c 与 y 轴的交点坐标分别是

.

2 2.抛物线 y ? ax ? bx ? c 的图象如右图 ① 开口向上,所以可以判断 a

。 >0,

② 对称轴是直线 x = 已知 a

,由图象可知对称轴在 y 轴的右侧,则 x >0,即 0. 0. 0;

0,所以可以判定 b

③ 因为抛物线与 y 轴交于正半轴,所以 c

2 2 ④ 抛物线 y ? ax ? bx ? c 与 x 轴有两个交点,所以 b ? 4ac

三、知识梳理: ⑴ a 的符号由 ? a ①开口向 ⑵ b 的符号由

决定: 0;②开口向

? a

0.

决定:

① ② ③ ⑶ c 的符号由

在 y 轴的左侧 ? a、 b 在 y 轴的右侧 ? a、 b 是y轴 ?b 0.

; ;

决定: 0;②点(0, c )在原点 ? c 0. 决定:
2 交点 ? b ? 4ac 2 交点 ? b ? 4ac 2 交点 ? b ? 4ac

①点(0, c )在 y 轴正半轴 ? c ③点(0, c )在 y 轴负半轴 ? c
2 ⑷ b ? 4ac 的符号由

0;

①抛物线与 x 轴有 ②抛物线与 x 轴有 ③抛物线与 x 轴有

0 ? 方程有 0 ? 方程有 0 ? 方程

实数根; 实数根; 实数根; 点.

④特别的,当抛物线与 x 轴只有一个交点时,这个交点就是抛物线的 四、典型例题:
2 抛物线 y ? ax ? bx ? c 如图所示:看图填空:

(1) a _____0; (2) b
2 (4) b ? 4ac

0; (3) c

0;

0 ;(5) 2a ? b ______0;

(6) a ? b ? c????0 ; (7) a ? b ? c????0 ; (8) 9a ? 3b ? c????0 ; (9) 4a ? 2b ? c????0 五、跟踪练习: 1.利用抛物线图象求解一元二次方程及二次不等式
2 (1)方程 ax ? bx ? c ? 0 的根为__________;
2 (2)方程 ax ? bx ? c ? ?3 的根为__________; 2 (3)方程 ax ? bx ? c ? ?4 的根为__________; 2 (4)不等式 ax ? bx ? c ? 0 的解集为________; 2 (5)不等式 ax ? bx ? c ? 0 的解集为_____

___;

2.根据图象填空: (1) a _____0; (2) b 0; (3) c 0;

2 (4) b ? 4ac

0 ;(5) 2a ? b ______0;

(6) a ? b ? c????0 ; (7) a ? b ? c????0 ;


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