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高二文科圆锥曲线测试题及答案


高二数学(文科)综合强化测试题
一.选择题 1. 设抛物线的顶点在原点,准线方程为 x ? ?2 ,则抛物线的方程是 A. y ? ?8x
2

( B)
2

B. y ? 8 x
2

C. y ? ?4x
2

D. y ? 4 x

2.设双曲线 A.4

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0) 的渐近线方程为 3x ? 2 y ? 0 ,则 a 的值为 (C) a2 9
B.3
2 2

C.2

D.1 (D)4 2 ( C )

3.双曲线 2x

? y ? 8 的实轴长是 (C)
(B) 2

(A)2

2

(C) 4

4.设双曲线以椭圆 A.±2

x2 y 2 =1 长轴的两个端点为焦点,其准线过椭圆的焦点,则双曲线的渐近线的斜率为 ? 25 9 4 1 3 B.± C.± D.± 3 2 4

5.设椭圆的两个焦点分别为 F1、F2,过 F2 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点 P,若△FlPF2 为等腰直角三角形,则椭圆的离心率是 ( D )
A. 2 2 B. 2 ?1 2 C.2 ? 2 D. 2 ? 1

6. 已知直线 l 过双曲线 C 的一个焦点,且与 C 的对称轴垂直,l 与 C 交于 A,B 两点, 率为( B) (A) 2 (B) 3
x
2

AB

为 C 的实轴长的 2 倍,C 的离心

(C) 2
a2 ? y
2

(D) 3

7. 已知 F1, F2 为双曲线

b2

=1(a>0,b>0)的两个焦点, 过 F2 作垂直 x 轴的直线, 它与双曲线的一个交点为 P, 且∠ PF 1F2 =30°, ) C. y

则双 曲线的渐近线方程为 (D A. y

??

2 x 2

B. y ? ?

3x

??

3 x D. y ? ? 2 x 3
x2 m2 ? y2 n2

8.从集合{1,2,3…,11}中任选两个元素作为椭圆方程 |y|<9}内的椭圆个数为 ( B ) A.43 B.72 C.86 D.90 9. 已知 F 是抛物线 y A.
2

=1 中的 m 和 n,则能组成落在矩形区域 B={(x,y)‖x|<11,且

3 4

B.1

? x 的焦点,A,B 是该抛物线上的两点, AF + BF ? 3 ,则线段 AB 的中点到 y 轴的距离为( C ) 5 7 C. (D) 4 4
PF1 : F1F2 : PF2
2 3 或 2 D. 3
=4:3:2,则曲线 r 的离心率等于(A)

10.设圆锥曲线 r 的两个焦点分别为 F1,F2,若曲线 r 上存在点 P 满足 A.
1 3 或 2 2

2 B. 3 或 2

1 或 C. 2 2

二.填空题 11.若曲线

x2 y2 ? ? 1 表示双曲线,则 k 的取值范围是___ (??, ?4) ? (1, ??) _________. 4 ? k 1? k
5 ___; 4

12. 在直角坐标系 xOy 中,有一定点 A(2,1) 。若线段 OA 的垂直平分线过抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点,则该抛物线的准线方程 是___ x ? ?

p 5 5 , 0)代入可求得焦参数 p ? , 从而得到准线方程 x ? ? 。 2 4 2 2 2 13.已知抛物线 y ? 8x , F 为其焦点, P 为抛物线上的任意点,则线段 PF 中点的轨迹方程是 y ? 4x ? 4 .
【解析】 依题意我们容易求得直线的方程为 4x+2y-5=0, 把焦点坐标( 试题分析:设中点为 ? x, y ? ? F ? 2,0? ? P ? 2 x ? 2, 2 y? 代入 y ? 8x 得 4 y ? 8 ? 2 x ? 2? 化简得 y ? 4x ? 4
2

2

2

14.设 F1 , F2 是椭圆

???? ???? x2 ? y 2 ? 1 的两个焦点,点 P 在椭圆上,且 F1 P ? PF2 ? 0 ,则△ F1 PF2 的面积为 4
2

1

.

15 . 如 果 P 1, P 2 , ... , P 8 是 抛 物 线 y ? 4x 上 的 点 , 它 们 的 横 坐 标 依 次 为

x1 , x2 , ... , x8 , F 是 抛 物 线 的 焦 点 , 若

x1 ? x2 ? ... ? x8 ? 10 ,则 P 1F ? P 2 F ? ... ? P 8 F ? _______18________.
16.设 F1 , F2 分别是椭圆

x2 y 2 ? ? 1 的左、右焦点, P 为椭圆上任一点,点 M 的坐标为 (6,4) ,则 PM ? PF1 的最大值为 8 4

. 【解析】本试题主要考查了椭圆的性质的运用,结合三点共线求解最值。 由题意 F2(2,0) ,|MF2|= 4 2 ,由椭圆的定义可得,|PM|+|PF1|=2a+|PM|-|PF2|= 4 当 P,F2,M 三点共线时取等号,

8 2

2 +|PM|-|PF2|≤ 4 2 +|MF2|= 8 2 ,当且仅

1

17.已知以 F 为焦点的抛物线 y 2 ? 4 x 上的两点 A、B 满足 AF ? 3FB ,则弦 AB 的中点到准线的距离为____

??? ?

??? ?

8 _______. 3

【解析】设 BF=m,由抛物线的定义知 AA 1 ? 3m, BB 1 ? m ? ?ABC 中,AC=2m,AB=4m, k AB ? 3 , 直线 AB 方程为 y ? 3( x ? 1) , 与抛物线方程联立消 y 得 3x 2 ? 10x ? 3 ? 0 ,所以 AB 中点到准线距离为 三.解答题 18.已知双曲线与椭圆 程。

x1 ? x 2 5 8 ?1 ? ?1 ? 2 3 3

x2 y2 ? ? 1 有相同焦点,且经过点 ( 15, 4) ,求该双曲线方程,并求出其离心率、渐近线方程,准线方 27 36

y 2 x2 y2 x2 ? ? 1 的焦点为 (0, ?3), c ? 3 ,设双曲线方程为 2 ? ?1 解:椭圆 36 27 a 9 ? a2 16 15 ? 1 ,得 a 2 ? 4, 或36 ,而 a 2 ? 9 , 过点 ( 15, 4) ,则 2 ? 2 a 9?a y 2 x2 2 ? a ? 4 ,双曲线方程为 ? ? 1 。 4 5 3 2 5 4 其离心率为 ,渐近线方程为 y?? x, 准线方程为y ? ? . 2 5 3
19. 求一条渐近线是 3x ? 4 y 解:

? 0 ,一个焦点是(4,0)的双曲线的标准方程。

x y ? ?1 256 144 25 25
Y B A F O X

2

2

20. 已知直线 l 经过抛物线 x2 ? 4 y 的焦点,且与抛物线交于 A, B 两点,点 O 为坐标原点.

(Ⅰ)证明: ?AOB 为钝角.(Ⅱ)若 ?AOB 的面积为 4 ,求直线 l 的方程;。 解:(I)依题意设直线 l 的方程为: y ? kx ? 1 ( k 必存在)

? y ? kx ? 1 ? x 2 ? 4kx ? 4 ? 0 , ? ? ? 16k 2 ? 16 ? 0 ? 设 直 线 l 与 抛 物 线 的 交 点 坐 标 为 A( x1, y1 ), B( x2 , y2 ) , 则 有 ? 2 ? x ? 4y x12 x2 2 cos ?AOB ? 0 即证 ?AOB 为钝角 x1 x2 ? ?4, y1 y2 ? ? 1, ? x1x 2? y y 1 ? 2 ?3 ? 0 ,依向量的数量积定义, 4 4 1 2 2 (Ⅱ) 由(I)可知: AB ? 1 ? k x1 ? x2 ? 4(k ? 1) , d ? , k 2 ?1 1 ? S?AOB ? AB d ? 2 k 2 ? 1 ? 4 ,? k ? ? 3 , ? 直线方程为 y ? 3x ? 1, y ? ? 3x ? 1 2 21.已知点 F (1, 0) ,直线 l : x ? ?1 交 x 轴于点 H ,点 M 是 l 上的动点,过点 M 垂直于 l 的直线与线段 MF 的垂直平分线交于
点P . (Ⅰ)求点 P 的轨迹 C 的方程; (Ⅱ)若 A、B 为轨迹 C 上的两个动点,且 OA ? OB ? ?4, 证明直线 AB 必过一定点,并求出该定 点. 【解析】 (1) 根据线段垂直平分线的定义所以点 P 到 F 的距离等于到直线 l 的距离. 所以,点 P 的轨迹是以 F 为焦点, l 为准线的抛物线,且 所以所求的轨迹方程为 y ? 4 x
2

??? ? ??? ?

p ? 1, p ? 2 , 2
代入到抛物线方程整理得 则 y - 4ty - 4m ? 0 ,根据韦达定理
2

---------3 分 …………8 分

(2) 设 A?x A , y A ?, B?x B , y B ? ,直线 AB 的方程为 x ? ty ? m ,

y A ? yB ? 4t ,即 y A yB ? ?4m ,
2

xA xB ? (tyA ? m)(tyB ? m) ? t yA yB ? tm( yA ? yB ) ? m2

2

??? ? ??? ? ?OA ? OB ? xA xB +yA yB =(1+t 2 )y A yB +tm(y A +yB )+m2 = ? 4,
即 m2 - 4m ? -4 ,解得 m=2,
2

显然,不论 t 为何值,直线 AB 恒过定点 (2 , 0) .

x y2 ? ? 1 的焦点为顶点,顶点为焦点的椭圆 C 长轴的左、右端点,点 F 是椭圆的右焦点,点 P 22.点 A、B 分别是以双曲线 16 20 在椭圆 C 上,且位于 x 轴上方, PA ? PF ? 0
(1)求椭圆 C 的的方程; (2)求点 P 的坐标; (3)设 M 是椭圆长轴 AB 上的一点,点 M 到直线 AP 的距离等于|MB|,求椭圆上的点到 M 的距离 d 的最小值。 【解析】 (1)已知双曲线实半轴 a1=4,虚半轴 b1=2 5 ,半焦距 c1= 16 ? 20 ? 6 , ∴椭圆的长半轴 a2=c1=6,椭圆的半焦距 c2=a1=4,椭圆的短半轴 b2 = 62 ? 42 ?

20 ,

x2 y2 ? ?1 …………4 分 36 20 (2)由已知 A(?6,0) , F (4,0) ,设点 P 的坐标为 ( x, y ) ,则
∴所求的椭圆方程为

AP ? ( x ? 6, y), FP ? ( x ? 4, y), 由已知得 ? x2 y 2 ? ?1 ? …………6 分 36 20 ? 2 ?( x ? 6)( x ? 4) ? y ? 0 ? 3 2 则 2 x ? 9 x ? 18 ? 0 ,解之得 x ? 或x ? ?6 , 2 3 5 ?3 5 ? 3 ,所以点 P 的坐标为 ? , 由于 y>0,所以只能取 x ? ,于是 y ? 3 ? ……8 分 2 2 ?2 2 ? m?6 m?6 (3)直线 AP : x ? 3 y ? 6 ? 0 ,设点 M 是 (m,0) ,则点 M 到直线 AP 的距离是 ,于是 ? m ? 6 ,又∵点 M 在椭圆 2 2 的长轴上,即 ? 6 ? m ? 6 ? m ? 2 ∴当 m ? 2 时,椭圆上的点到 M (2,0) 的距离
d 2 ? ( x ? 2)2 ? y 2 ? x 2 ? 4 x ? 4 ? 20 ?
又 ?6 ? x ? 6 ∴当 x ?

5x2 4 9 ? ( x ? ) 2 ? 15 9 9 2

9 时,d 取最小值 15 2

3


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