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2012年湖北省高考数学试卷A(理科)


2012 年湖北省高考数学试卷 A(理科)

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2012 年湖北省高考数学试卷 A(理科)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的 1. 分) (5 (2012?湖北)方程 x +6x+13=0 的一个根是( ) A.﹣3+2i B.3+2i C.﹣2+3i 2. 分) (5 (2012?湖北)命题“?x0∈CRQ, A.?x ?C Q, 0 R ∈Q B.?x ∈C Q, 0 R ∈Q”的否定是( ?Q ) ∈Q D.?x ∈C Q, 0 R ?Q
2

D.2+3i

C.?x ?C Q, 0 R

3. 分) (5 (2012?湖北)已知二次函数 y=f(x)的图象如图所示,则它与 X 轴所围图形的面积为 (



A.

B.

C.

D.

4. 分) (5 (2012?湖北)已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为(



A.

B.3π

C.

D.6π

5. 分) (5 (2012?湖北)设 a∈Z,且 0≤a≤13,若 51 A.0 B.1

2012

+a 能被 13 整除,则 a=( C.11
2 2 2 2 2 2

) D.12 = ( )

6. 分) (5 (2012?湖北)设 a,b,c,x,y,z 是正数, a +b +c =10, +y +z =40, 且 x ax+by+cz=20,则 A. B. C. D.

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www.jyeoo.com 7. 分) (5 (2012?湖北)定义在(﹣∞,0)∪ (0,+∞)上的函数 f(x) ,如果对于任意给定的等比数列{an},{f(an)} 2 仍是等比数列,则称 f(x)为“保等比数列函数”.现有定义在(﹣∞,0)∪ (0,+∞)上的如下函数:① f(x)=x ; x ② f(x)=2 ;③ f(x)= ;④ f(x)=ln|x|.则其中是“保等比数列函数”的 f(x)的序号为( ) ② ④ ③ ④ A.① B.③ C.① D.② 8. 分) (5 (2012?湖北)如图,在圆心角为直角的扇形 OAB 中,分别以 OA,OB 为直径作两个半圆.在扇形 OAB 内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率是( )

A.

1﹣

B.



C.

D.

9. 分) (5 (2012?湖北)函数 f(x)=xcosx 在区间[0,4]上的零点个数为( A.4 B.5 C.6

2

) D.7

10. 分) (5 (2012?湖北)我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰:置积尺数,以十六乘之,九而一,所得 开立方除之,即立圆径,“开立圆术”相当于给出了已知球的体积 V,求其直径 d 的一个近似公式 d≈ 用过一些类似的近似公式.根据 x=3.14159…..判断,下列近似公式中最精确的一个是( ) A. B. C. D. d≈ d≈ d≈ d≈ .人们还

二、填空题: (一)必考题(11-14 题)本大题共 4 小题,考试共需作答 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.请将答案 填在答题卡对应题号的位置上.答错位置,书写不清,模棱两可均不得分. 11. 分) (5 (2012?湖北)设△ ABC 的内角 A,B,C,所对的边分别是 a,b,c.若(a+b﹣c) (a+b+c)=ab,则角 C= _________ . 12. 分) (5 (2012?湖北)阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,输出的结果 s= _________ .

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www.jyeoo.com 13. 分) (5 (2012?湖北)回文数是指从左到右与从右到左读都一样的正整数.如 22, ,11,3443,94249 等.显然 2 位回文数有 9 个:11,22,33…,99.3 位回文数有 90 个:101,111,121,…,191,202,…,999.则: (Ⅰ 位回文数有 _________ 个; )4 (Ⅱ )2n+1(n∈N+)位回文数有 _________ 个.

14. 分) (5 (2012?湖北)如图,双曲线



=1(a,b>0)的两顶点为 A1,A2,虚轴两端点为 B1,B2,两焦点

为 F1,F2.若以 A1A2 为直径的圆内切于菱形 F1B1F2B2,切点分别为 A,B,C,D.则: (Ⅰ )双曲线的离心率 e= _________ ; (Ⅱ )菱形 F1B1F2B2 的面积 S1 与矩形 ABCD 的面积 S2 的比值 = _________ .

二、填空题: (二)选考题(请考生在第 15、16 两题中任选一题作答,请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号 后的方框用 2B 铅笔涂黑,如果全选,则按第 15 题作答结果计分. ) 15. 分) (5 (2012?湖北) (选修 4﹣1:几何证明选讲) 如图,点 D 在⊙ 的弦 AB 上移动,AB=4,连接 OD,过点 D 作 OD 的垂线交⊙ 于点 C,则 CD 的最大值为 O O _________ .

16. (2012?湖北) (选修 4﹣4:坐标系与参数方程) : 在直角坐标系 xOy 中, 以原点 O 为极点, 轴的正半轴为极轴建立极坐标系, x 已知射线 θ= (t 为参数)相较于 A,B 来两点,则线段 AB 的中点的直角坐标为 _________ . 与曲线

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (12 分) (2012?湖北)已知向量 =(cosωx﹣sinωx,sinωx) =(﹣cosωx﹣sinωx,2 , = ? +λ(x∈R)的图象关于直线 x=π 对称,其中 ω,λ 为常数,且 ω∈( ,1) cosωx) ,设函数 f(x)

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www.jyeoo.com (1)求函数 f(x)的最小正周期; (2)若 y=f(x)的图象经过点( ,0)求函数 f(x)在区间[0, ]上的取值范围.

18. (12 分) (2012?湖北)已知等差数列{an}前三项的和为﹣3,前三项的积为 8. (1)求等差数列{an}的通项公式; (2)若 a2,a3,a1 成等比数列,求数列{|an|}的前 n 项和. 19. (12 分) (2012?湖北)如图 1,∠ ACB=45°,BC=3,过动点 A 作 AD⊥ BC,垂足 D 在线段 BC 上且异于点 B,连 接 AB,沿 AD 将△ ABD 折起,使∠ BDC=90°(如图 2 所示) , (1)当 BD 的长为多少时,三棱锥 A﹣BCD 的体积最大; (2) 当三棱锥 A﹣BCD 的体积最大时, 设点 E, 分别为棱 BC, 的中点, M AC 试在棱 CD 上确定一点 N, 使得 EN⊥ BM, 并求 EN 与平面 BMN 所成角的大小.

20. (12 分) (2012?湖北)根据以往的经验,某工程施工期间的将数量 X(单位:mm)对工期的影响如下表: X≥900 降水量 X X<300 300≤X<700 700≤X<900 2 6 10 工期延误天数 Y 0 历年气象资料表明,该工程施工期间降水量 X 小于 300,700,900 的概率分别为 0.3,0.7,0.9,求: (I)工期延误天数 Y 的均值与方差; (Ⅱ )在降水量 X 至少是 300 的条件下,工期延误不超过 6 天的概率. 21. (13 分) (2012?湖北)设 A 是单位圆 x +y =1 上的任意一点,i 是过点 A 与 x 轴垂直的直线,D 是直线 i 与 x 轴的交点,点 M 在直线 l 上,且满足丨 DM 丨=m 丨 DA 丨(m>0,且 m≠1) .当点 A 在圆上运动时,记点 M 的轨 迹为曲线 C. (I)求曲线 C 的方程,判断曲线 C 为何种圆锥曲线,并求焦点坐标; (Ⅱ )过原点且斜率为 k 的直线交曲线 C 于 P、Q 两点,其中 P 在第一象限,它在 y 轴上的射影为点 N,直线 QN 交曲线 C 于另一点 H,是否存在 m,使得对任意的 k>0,都有 PQ⊥ PH?若存在,求 m 的值;若不存在,请说明理 由. 22. (14 分) (2012?湖北) (I)已知函数 f(x)=rx﹣x +(1﹣r) (x>0) ,其中 r 为有理数,且 0<r<1.求 f(x) 的最小值; b1 b2 (II)试用(I)的结果证明如下命题:设 a1≥0,a2≥0,b1,b2 为正有理数,若 b1+b2=1,则 a1 a2 ≤a1b1+a2b2; (III)请将(II)中的命题推广到一般形式,并用数学归纳法证明你所推广的命题.注:当 α 为正有理数时,有求 道公式(x ) =αx
α r α﹣1 r 2 2



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2012 年湖北省高考数学试卷 A(理科)
参考答案与试题解析
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的 2 1. 分) (5 (2012?湖北)方程 x +6x+13=0 的一个根是( ) A.﹣3+2i B.3+2i C.﹣2+3i D.2+3i 考点: 复数相等的充要条件. 专题: 计算题. 分析: 2 由方程 x +6x+13=0 中,△ =36﹣52=﹣16<0,知
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=﹣3±2i,由此能求出结果.

2 解答: 解:∵ 方程 x +6x+13=0 中, △ =36﹣52=﹣16<0,



=﹣3±2i,

故选 A. 点评: 本题考查在复数范围内求一元二次方程的解,是基础题.解题时要认真审题,仔细解答. 2. 分) (5 (2012?湖北)命题“?x0∈CRQ, A.?x ?C Q, 0 R ∈Q B.?x ∈C Q, 0 R ∈Q”的否定是( ?Q ) ∈Q D.?x ∈C Q, 0 R ?Q

C.?x ?C Q, 0 R

考点: 专题: 分析: 解答:

命题的否定. 应用题. 根据特称命题“?x∈A,p(A)”的否定是“?x∈A,非 p(A)”,结合已知中命题,即可得到答案.
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解:∵ 命题“?x0∈CRQ, ∴ 0∈CRQ, “?x

∈Q”是特称命题,而特称命题的否定是全称命题, ?Q

∈Q”的否定是?x0∈CRQ,

故选 D 点评: 本题考查的知识点是命题的否定,其中熟练掌握特称命题的否定方法“?x∈A,p(A)”的否定是“?x∈A,非 p(A)”,是解答本题的关键. 3. 分) (5 (2012?湖北)已知二次函数 y=f(x)的图象如图所示,则它与 X 轴所围图形的面积为 ( )

A.

B.

C.

D.

考点: 定积分在求面积中的应用.

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www.jyeoo.com 专题: 计算题. 分析: 先根据函数的图象求出函数的解析式,然后利用定积分表示所求面积,最后根据定积分运算法则求出所求. 解答: 解:根据函数的图象可知二次函数 y=f(x)图象过点(﹣1,0)(1,0)(0,1) , , 从而可知二次函数 y=f(x)=﹣x +1 ∴ 它与 X 轴所围图形的面积为 =( ) =(﹣ +1)﹣( ﹣1)=
2

故选 B. 点评: 本题主要考查了定积分在求面积中的应用,解题的关键是求出被积函数,属于基础题. 4. 分) (5 (2012?湖北)已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )

A.

B.3π

C.

D.6π

考点: 专题: 分析: 解答:

由三视图求面积、体积. 计算题. 通过三视图判断几何体的特征,利用三视图的数据,求出几何体的体积即可. 解:由三视图可知几何体是圆柱底面半径为 1 高为 6 的圆柱,被截的一部分,如图
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所求几何体的体积为: 故选 B.

=3π.

点评: 本题考查三视图与几何体的关系,正确判断几何体的特征是解题的关键,考查计算能力. 5. 分) (5 (2012?湖北)设 a∈Z,且 0≤a≤13,若 51 A.0 B.1
2012

+a 能被 13 整除,则 a=( C.11

) D.12

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www.jyeoo.com 考点: 二项式定理的应用. 专题: 计算题. 2012 2012 分析: 由二项式定理可知 51 +a=(52﹣1) +a 的展开式中的项
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含有因数 52,要使得能 51 能被 13 整除,结合已知 a 的范围可求 解答: 解:∵ 2012+a=(52﹣1)2012+a 51 = 由于 要使得能 51 +a 能被 13 整除,且 a∈Z,0≤a≤13 则可得 a+1=13 ∴ a=12
2012

2012

+a 能被 13 整除,只要 a+1

+…

+

+a

含有因数 52,故能被 52 整除

故选 D 点评: 本题考查的知识点是整除的定义,其中根据已知条件确定 a+1 是 13 的倍数是解答本题的关键. 6. 分) (5 (2012?湖北)设 a,b,c,x,y,z 是正数, a +b +c =10, +y +z =40, 且 x ax+by+cz=20,则 A. B. C. D.
2 2 2 2 2 2

= (



考点: 一般形式的柯西不等式. 专题: 综合题. 分析: 根据所给条件,利用柯西不等式求解,利用等号成立的条件即可. 解答: 2 2 2 2 2 2 2 解:由柯西不等式得, +b +c ) x + y + z )≥( ax+ by+ cz) , (a (
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当且仅当
2 2 2 2 2

时等号成立
2

∵ +b +c =10,x +y +z =40,ax+by+cz=20, a ∴ 等号成立 ∴



=

故选 C. 点评: 柯西不等式的特点:一边是平方和的积,而另一边为积的和的平方,因此,当欲证不等式的一边视为“积和 结构”或“平方和结构”,再结合不等式另一边的结构特点去尝试构造. 7. 分) (5 (2012?湖北)定义在(﹣∞,0)∪ (0,+∞)上的函数 f(x) ,如果对于任意给定的等比数列{an},{f(an)} 2 仍是等比数列,则称 f(x)为“保等比数列函数”.现有定义在(﹣∞,0)∪ (0,+∞)上的如下函数:① f(x)=x ; x ② f(x)=2 ;③ f(x)= ;④ f(x)=ln|x|.则其中是“保等比数列函数”的 f(x)的序号为( ) ② ④ ③ ④ A.① B.③ C.① D.② 考点: 等比关系的确定. 专题: 综合题.

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www.jyeoo.com 分析: 根据新定义,结合等比数列性质 解答: 解:由等比数列性质知 ① ② ③ ④ n)f(an+2)=ln|an|ln|an+2|≠ f(a =
2

,一一加以判断,即可得到结论. , =f (an+1) ,故正确; ≠ =f (an+1) ,故不正确; =f (an+1) ,故正确; =f (an+1) ,故不正确;
2 2 2

故选 C 点评: 本题考查等比数列性质及函数计算,正确运算,理解新定义是解题的关键. 8. 分) (5 (2012?湖北)如图,在圆心角为直角的扇形 OAB 中,分别以 OA,OB 为直径作两个半圆.在扇形 OAB 内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率是( )

A.

1﹣

B.



C.

D.

考点: 几何概型. 专题: 计算题. 分析: 设 OA 的中点是 D,则∠ CDO=90°,这样就可以求出弧 OC 与弦 OC 围成的弓形的面积,从而可求出两个圆 的弧 OC 围成的阴影部分的面积,用扇形 OAB 的面积减去两个半圆的面积,加上两个弧 OC 围成的面积的 2 倍就是阴影部分的面积,最后根据几何概型的概率公式解之即可. 解答: 解:设 OA 的中点是 D,则∠ CDO=90°,半径为 r
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S 扇形 OAB= πr S 半圆 OAC= π

2

= πr
2

2

S△ODC= × × = r

S 弧 OC= S 半圆 OAC﹣S△ODC=

πr ﹣ r

2

2

两个圆的弧 OC 围成的阴影部分的面积为 πr ﹣ r
2 2 2

2

2

图中阴影部分的面积为 πr ﹣2× πr +2( πr ﹣ r )=

2

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∴ 此点取自阴影部分的概率是

=1﹣

故选 A.

点评: 本题主要考查了几何概型,解题的关键是求阴影部分的面积,不规则图形的面积可以转化为几个不规则的 图形的面积的和或差的计算,属于中档题. 9. 分) (5 (2012?湖北)函数 f(x)=xcosx 在区间[0,4]上的零点个数为( A.4 B.5 C.6
2

) D.7

考点: 利用导数研究函数的极值;函数的零点与方程根的关系. 专题: 计算题. 分析: 令函数值为 0,构建方程,即可求出在区间[0,4]上的解,从而可得函数 f(x)=xcosx2 在区间[0,4]上的零 点个数 解答: 解:令 f(x)=0,可得 x=0 或 cosx2=0
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∴ 或x = x=0

2

,k∈Z

∵ x∈[0,4] ∴ k=0,1,2,3,4 ∴ 方程共有 6 个解 2 ∴ 函数 f(x)=xcosx 在区间[0,4]上的零点个数为 6 个 故选 C 点评: 本题考查三角函数的周期性以及零点的概念,属于基础题 10. 分) (5 (2012?湖北)我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰:置积尺数,以十六乘之,九而一,所得 开立方除之,即立圆径,“开立圆术”相当于给出了已知球的体积 V,求其直径 d 的一个近似公式 d≈ 用过一些类似的近似公式.根据 x=3.14159…..判断,下列近似公式中最精确的一个是( ) A. B. C. D. d≈ d≈ d≈ d≈ .人们还

考点: 进行简单的演绎推理. 专题: 计算题. 分析: 根据球的体积公式求出直径,然后选项中的常数为 ,表示出 π,将四个选项逐一代入,求出最接近真实值
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的那一个即可. 解答: 解:由 V= 选项 A 代入得 π= ,解得 d= 设选项中的常数为 ,则 π=

=3.375;选项 B 代入得 π= =3;

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www.jyeoo.com 选项 C 代入得 π= =3.14;选项 D 代入得 π= =3.142857

由于 D 的值最接近 π 的真实值 故选 D. 点评: 本题主要考查了球的体积公式及其估算,同时考查了计算能力,属于中档题. 二、填空题: (一)必考题(11-14 题)本大题共 4 小题,考试共需作答 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.请将答案 填在答题卡对应题号的位置上.答错位置,书写不清,模棱两可均不得分. 11. 分) (5 (2012?湖北)设△ ABC 的内角 A,B,C,所对的边分别是 a,b,c.若(a+b﹣c) (a+b+c)=ab,则角 C= .

考点: 专题: 分析: 解答:

余弦定理. 计算题. 利用已知条件(a+b﹣c) (a+b+c)=ab,以及余弦定理,可联立解得 cosB 的值,进一步求得角 B.
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解:由已知条件(a+b﹣c) (a+b+c)=ab 可得 a +b ﹣c +2ab=ab 2 2 2 即 a +b ﹣c =﹣ab 由余弦定理得:cosC= 又因为 0<B<π,所以 C= 故答案为: . =

2

2

2

点评: 本题考查了解三角形的知识,对余弦定理及其变式进行重点考查,属于基础题目. 12. 分) (5 (2012?湖北)阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,输出的结果 s= 9 .

考点: 专题: 分析: 解答:

循环结构. 计算题. 用列举法,通过循环过程直接得出 S 与 n 的值,得到 n=3 时退出循环,即可. 解:循环前,S=1,a=3,第 1 次判断后循环,n=2,s=4,a=5, 第 2 次判断并循环 n=3,s=9,a=7,第 3 次判断退出循环, 输出 S=9. 故答案为:9. 点评: 本题考查循环结构,判断框中 n=3 退出循环是解题的关键,考查计算能力.
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www.jyeoo.com 13. 分) (5 (2012?湖北)回文数是指从左到右与从右到左读都一样的正整数.如 22, ,11,3443,94249 等.显然 2 位回文数有 9 个:11,22,33…,99.3 位回文数有 90 个:101,111,121,…,191,202,…,999.则: (Ⅰ 位回文数有 90 个; )4 n (Ⅱ )2n+1(n∈N+)位回文数有 9×10 个. 考点: 计数原理的应用. 专题: 计算题. 分析: (I)利用回文数的定义,四位回文数只需从 10 个数字中选两个可重复数字即可,但要注意最两边的数字不 能为 0,利用分步计数原理即可计算 4 位回文数的个数;
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(II)将(I)中求法推广到一般,利用分步计数原理即可计算 2n+1(n∈N+)位回文数的个数 解答: 解: (I)4 位回文数的特点为中间两位相同,千位和个位数字相同但不能为零,第一步,选千位和个位数字, 共有 9 种选法;第二步,选中间两位数字,有 10 种选法; 故 4 位回文数有 9×10=90 个 故答案为 90 (II)第一步,选左边第一个数字,有 9 种选法; 第二步,分别选左边第 2、3、4、…、n、n+1 个数字,共有 10×10×10×…×10=10 种选法, n 故 2n+1(n∈N+)位回文数有 9×10 个 n 故答案为 9×10 点评: 本题主要考查了分步计数原理的运用,新定义数字问题的理解和运用,归纳推理的运用,属基础题
n

14. 分) (5 (2012?湖北)如图,双曲线



=1(a,b>0)的两顶点为 A1,A2,虚轴两端点为 B1,B2,两焦点

为 F1,F2.若以 A1A2 为直径的圆内切于菱形 F1B1F2B2,切点分别为 A,B,C,D.则: (Ⅰ )双曲线的离心率 e= ;

(Ⅱ )菱形 F1B1F2B2 的面积 S1 与矩形 ABCD 的面积 S2 的比值

=



考点: 圆锥曲线的综合. 专题: 综合题. 分析: (Ⅰ )直线 B2F1 的方程为 bx﹣cy+bc=0,所以 O 到直线的距离为
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,根据以 A1A2 为直径的圆内切于

菱形 F1B1F2B2,可得

,由此可求双曲线的离心率;

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www.jyeoo.com (Ⅱ )菱形 F1B1F2B2 的面积 S1=2bc,求出矩形 ABCD 的长与宽,从而求出面积 S2=4mn= 结论. 解答: 解: )直线 B2F1 的方程为 bx﹣cy+bc=0,所以 O 到直线的距离为 (Ⅰ ∵ A1A2 为直径的圆内切于菱形 F1B1F2B2, 以 ∴ ∴ ﹣a )c =(2c ﹣a )a (c 4 2 2 4 ∴ ﹣3a c +a =0 c 4 2 ∴ ﹣3e +1=0 e ∵ e>1 ∴ e= (Ⅱ )菱形 F1B1F2B2 的面积 S1=2bc 设矩形 ABCD,BC=2m,BA=2n,∴ ∵ +n =a ,∴ m
2 2 2 2 2 2 2 2 2

,由此可得



∴ 面积 S2=4mn=

∴ = ∵ bc=a =c ﹣b ∴
2 2

=
2

∴ =

故答案为:



点评: 本题考查圆与圆锥曲线的综合,考查双曲线的性质,面积的计算,解题的关键是确定几何量之间的关系. 二、填空题: (二)选考题(请考生在第 15、16 两题中任选一题作答,请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号 后的方框用 2B 铅笔涂黑,如果全选,则按第 15 题作答结果计分. ) 15. 分) (5 (2012?湖北) (选修 4﹣1:几何证明选讲) 如图,点 D 在⊙ 的弦 AB 上移动,AB=4,连接 OD,过点 D 作 OD 的垂线交⊙ 于点 C,则 CD 的最大值为 2 . O O

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考点: 综合法与分析法(选修) . 专题: 计算题. 分析: 由题意可得 CD2=OC2﹣OD2,故当半径 OC 最大且弦心距 OD 最小时,CD 取得最大值,故当 AB 为直径、 且 O 为 AB 的中点时,CD 取得最大值,为 AB 的一半. 2 2 2 解答: 解:由题意可得△ OCD 为直角三角形,故有 CD =OC ﹣OD ,故当半径 OC 最大且弦心距 OD 最小时,CD 取得最大值. 故当 AB 为直径、且 O 为 AB 的中点时,CD 取得最大值,为 AB 的一半,由于 AB=4,故 CD 的最大值为 2, 故答案为 2.
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点评: 本题主要考查用分析法求式子的最大值,体现了转化和数形结合的数学思想,判断当半径 OC 最大且弦心 距 OD 最小时,CD 取得最大值,是解题的关键,属于中档题. 16. (2012?湖北) (选修 4﹣4:坐标系与参数方程) : 在直角坐标系 xOy 中, 以原点 O 为极点, 轴的正半轴为极轴建立极坐标系, x 已知射线 θ= (t 为参数)相较于 A,B 来两点,则线段 AB 的中点的直角坐标为 (2.5,2.5) . 考点: 抛物线的参数方程;简单曲线的极坐标方程;点的极坐标和直角坐标的互化. 专题: 计算题. 分析: 化极坐标方程为直角坐标方程,参数方程为普通方程,联立可求线段 AB 的中点的直角坐标. 解答: 解:射线 θ= 的直角坐标方程为 y=x(x≥0) ,曲线 (t 为参数)化为普通方程为 y=(x﹣2)
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与曲线

, 2 联立方程并消元可得 x ﹣5x+4=0,∴ 方程的两个根分别为 1,4 ∴ 线段 AB 的中点的横坐标为 2.5,纵坐标为 2.5 ∴ 线段 AB 的中点的直角坐标为(2.5,2.5) 故答案为: (2.5,2.5) 点评: 本题考查化极坐标方程为直角坐标方程,参数方程为普通方程,考查直线与抛物线的交点,中点坐标公式, 属于基础题.
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www.jyeoo.com 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (12 分) (2012?湖北)已知向量 =(cosωx﹣sinωx,sinωx) =(﹣cosωx﹣sinωx,2 , = ? +λ(x∈R)的图象关于直线 x=π 对称,其中 ω,λ 为常数,且 ω∈( ,1) (1)求函数 f(x)的最小正周期; (2)若 y=f(x)的图象经过点( ,0)求函数 f(x)在区间[0, ]上的取值范围. cosωx) ,设函数 f(x)

考点: 三角函数中的恒等变换应用;数量积的坐标表达式;正弦函数的定义域和值域. 专题: 计算题. 分析: (1)先利用向量数量积运算性质,求函数 f(x)的解析式,再利用二倍角公式和两角差的余弦公式将函数 f(x)化为 y=Asin(ωx+φ)+k 型函数,最后利用函数的对称性和 ω 的范围,计算 ω 的值,从而得函数的 最小正周期; (2)先将已知点的坐标代入函数解析式,求得 λ 的值,再求内层函数的值域,最后将内层函数看做整体, 利用正弦函数的图象和性质即可求得函数 f(x)的值域. 解答: 解: (1)∵ f(x)= ? +λ=(cosωx﹣sinωx)×(﹣cosωx﹣sinωx)+sinωx×2 cosωx+λ
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=﹣(cos ωx﹣sin ωx)+ =

2

2

sin2ωx+λ )+λ = +kπ,k∈z

sin2ωx﹣cos2ωx+λ=2sin(2ωx﹣

∵ 图象关于直线 x=π 对称,∴ 2πω﹣ ∴ + ,又 ω∈( ,1) ω= ∴ 时,ω= k=1 ∴ 函数 f(x)的最小正周期为 =

(2)∵ f( ∴ 2sin(2× × ∴ λ=﹣

)=0 ﹣ )+λ=0

∴ f(x)=2sin( x﹣ 由 x∈[0, ∴ x﹣ ∈[﹣ ] ,

)﹣

]

∴ sin( x﹣ ∴ 2sin( x﹣

)∈[﹣ ,1] )﹣ =f(x)∈[﹣1﹣ ,2﹣ ] ,2﹣ ]

故函数 f(x)在区间[0,

]上的取值范围为[﹣1﹣

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www.jyeoo.com 点评: 本题主要考查了 y=Asin(ωx+φ)+k 型函数的图象和性质,向量数量积运算性质,复合函数值域的求法, 整体代入的思想方法,属基础题 18. (12 分) (2012?湖北)已知等差数列{an}前三项的和为﹣3,前三项的积为 8. (1)求等差数列{an}的通项公式; (2)若 a2,a3,a1 成等比数列,求数列{|an|}的前 n 项和. 考点: 数列的求和;等差数列的通项公式;等比数列的性质. 专题: 计算题. 分析: (I)设等差数列的公差为 d,由题意可得, 通项 (II) (I) 由 的通项可求满足条件 a2, 3, 1 成等比的通项为 an=3n﹣7, n|=|3n﹣7|= a a 则|a 根据等差数列的求和公式可求 解答: 解: (I)设等差数列的公差为 d,则 a2=a1+d,a3=a1+2d 由题意可得, ,

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,解方程可求 a1,d,进而可求

解得



由等差数列的通项公式可得,an=2﹣3(n﹣1)=﹣3n+5 或 an=﹣4+3(n﹣1)=3n﹣7 (II)当 an=﹣3n+5 时,a2,a3,a1 分别为﹣1,﹣4,2 不成等比 当 an=3n﹣7 时,a2,a3,a1 分别为﹣1,2,﹣4 成等比数列,满足条件 故|an|=|3n﹣7|= 设数列{|an|}的前 n 项和为 Sn 当 n=1 时,S1=4,当 n=2 时,S2=5 当 n≥3 时,Sn=|a1|+|a2|+…+|an|=5+(3×3﹣7)+(3×4﹣7)+…+(3n﹣7) =5+ = ,当 n=2 时,满足此式

综上可得

点评: 本题主要考查了利用等差数列的基本量表示等差数列的通项,等差数列与等比数列的通项公式的综合应用 及等差数列的求和公式的应用,要注意分类讨论思想的应用 19. (12 分) (2012?湖北)如图 1,∠ ACB=45°,BC=3,过动点 A 作 AD⊥ BC,垂足 D 在线段 BC 上且异于点 B,连 接 AB,沿 AD 将△ ABD 折起,使∠ BDC=90°(如图 2 所示) , (1)当 BD 的长为多少时,三棱锥 A﹣BCD 的体积最大; (2) 当三棱锥 A﹣BCD 的体积最大时, 设点 E, 分别为棱 BC, 的中点, M AC 试在棱 CD 上确定一点 N, 使得 EN⊥ BM, 并求 EN 与平面 BMN 所成角的大小.
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考点: 用空间向量求直线与平面的夹角;棱柱、棱锥、棱台的体积. 专题: 计算题. 分析: (1)设 BD=x,先利用线面垂直的判定定理证明 AD 即为三棱锥 A﹣BCD 的高,再将三棱锥的体积表示为 x 的函数,最后利用导数求函数的最大值即可; (2)由(1)可先建立空间直角坐标系,写出相关点的坐标和相关向量的坐标,设出动点 N 的坐标,先利 用线线垂直的充要条件计算出 N 点坐标,从而确定 N 点位置,再求平面 BMN 的法向量,从而利用夹角公 式即可求得所求线面角 解答: 解: (1)设 BD=x,则 CD=3﹣x ∵ACB=45°,AD⊥ ∠ BC,∴ AD=CD=3﹣x ∵ 折起前 AD⊥ BC,∴ 折起后 AD⊥ BD,AD⊥ CD,BD∩ DC=D ∴ 平面 BCD AD⊥
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∴ A﹣BCD= ×AD×S△BCD= ×(3﹣x)× ×x(3﹣x)= (x ﹣6x +9x) V 设 f(x)= (x ﹣6x +9x) x∈(0,3) , ∵ (x)= (x﹣1) f′ (x﹣3) f(x)在(0,1)上为增函数,在(1,3)上为减函数 ,∴ ∴ x=1 时,函数 f(x)取最大值 当 ∴ BD=1 时,三棱锥 A﹣BCD 的体积最大; 当 (2)以 D 为原点,建立如图直角坐标系 D﹣xyz, 由(1)知,三棱锥 A﹣BCD 的体积最大时,BD=1,AD=CD=2 ∴ D(0,0,0) ,B(1,0,0) ,C(0,2,0) ,A(0,0,2) ,M(0,1,1) ,E( ,1,0) ,且 1,1) 设 N(0,λ,0) ,则 ∵ BM,∴ ? EN⊥ =0 =(﹣ ,λ﹣1,0) =(﹣1,
3 2

3

2

即(﹣1,1,1)?(﹣ ,λ﹣1,0)= +λ﹣1=0,∴ ,∴ λ= N(0, ,0) ∴ DN= 时,EN⊥ 当 BM

设平面 BMN 的一个法向量为 =(x,y,z) ,由



=(﹣1, ,0)



,取 =(1,2,﹣1)

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www.jyeoo.com 设 EN 与平面 BMN 所成角为 θ,则 =(﹣ , ,0)

sinθ=|cos<

, >|=|

|=

=

∴ θ=60° ∴ 与平面 BMN 所成角的大小为 60° EN

点评: 本题主要考查了线面垂直的判定,折叠问题中的不变量,空间线面角的计算方法,空间向量、空间直角坐 标系的运用,有一定的运算量,属中档题 20. (12 分) (2012?湖北)根据以往的经验,某工程施工期间的将数量 X(单位:mm)对工期的影响如下表: X≥900 降水量 X X<300 300≤X<700 700≤X<900 2 6 10 工期延误天数 Y 0 历年气象资料表明,该工程施工期间降水量 X 小于 300,700,900 的概率分别为 0.3,0.7,0.9,求: (I)工期延误天数 Y 的均值与方差; (Ⅱ )在降水量 X 至少是 300 的条件下,工期延误不超过 6 天的概率. 考点: 概率的应用;离散型随机变量的期望与方差. 专题: 综合题. 分析: (I)由题意,该工程施工期间降水量 X 小于 300,700,900 的概率分别为 0.3,0.7,0.9,结合某程施工期 间的降水量对工期的影响,可求相应的概率,进而可得期延误天数 Y 的均值与方差; (Ⅱ )利用概率的加法公式可得 P(X≥300)=1﹣P(X<300)=0.7,P(300≤X<900)=P(X<900)﹣P(X <300)=0.9﹣0.3=0.6,利用条件概率,即可得到结论 解答: (I)由题意,P(X<300)=0.3,P(300≤X<700)=P(X<700)﹣P(X<300)=0.7﹣0.3=0.4,P(700≤X <900)=P(X<900)﹣P(X<700)=0.9﹣0.7=0.2,P(X≥900)=1﹣0.9=0.1 Y 的分布列为 Y 0 2 6 10 P 0.3 0.4 0.2 0.1
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∴ E(Y)=0×0.3+2×0.4+6×0.2+10×0.1=3 2 2 2 2 D(Y)=(0﹣3) ×0.3+(2﹣3) ×0.4+(6﹣3) ×0.2+(10﹣3) ×0.1=9.8 ∴ 工期延误天数 Y 的均值为 3,方差为 9.8; (Ⅱ )P(X≥300)=1﹣P(X<300)=0.7,P(300≤X<900)=P(X<900)﹣P(X<300)=0.9﹣0.3=0.6 由条件概率可得 P(Y≤6|X≥300)= .

点评: 本题考查离散型随机变量的均值与方差,考查条件概率,正确理解题意,求出概率是关键. 21. (13 分) (2012?湖北)设 A 是单位圆 x +y =1 上的任意一点,i 是过点 A 与 x 轴垂直的直线,D 是直线 i 与 x 轴的交点,点 M 在直线 l 上,且满足丨 DM 丨=m 丨 DA 丨(m>0,且 m≠1) .当点 A 在圆上运动时,记点 M 的轨 迹为曲线 C.
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www.jyeoo.com (I)求曲线 C 的方程,判断曲线 C 为何种圆锥曲线,并求焦点坐标; (Ⅱ )过原点且斜率为 k 的直线交曲线 C 于 P、Q 两点,其中 P 在第一象限,它在 y 轴上的射影为点 N,直线 QN 交曲线 C 于另一点 H,是否存在 m,使得对任意的 k>0,都有 PQ⊥ PH?若存在,求 m 的值;若不存在,请说明理 由. 考点: 直线与圆锥曲线的综合问题;轨迹方程;圆锥曲线的轨迹问题. 专题: 综合题. 分析: (I)设 M(x,y) ,A(x0,y0) ,根据丨 DM 丨=m 丨 DA 丨,确定坐标之间的关系 x0=x,|y0|= |y|,利用
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点 A 在圆上运动即得所求曲线 C 的方程;根据 m∈(0,1)∪ (1,+∞) ,分类讨论,可确定焦点坐标; (Ⅱ )?x1∈(0,1) ,设 P(x1,y1) ,H(x2,y2) ,则 Q(x2,y2) ,N(0,y1) ,利用 P,H 两点在椭圆 C 上,可得 ,从而可得可得 .利用 Q,N,H 三点

共线,及 PQ⊥ PH,即可求得结论. 解答: 解: (I)如图 1,设 M(x,y) ,A(x0,y0) ∵ DM 丨=m 丨 DA 丨,∴ 0,|y|=m|y0| 丨 x=x ∴0=x,|y0|= |y|① x ∵ A 在圆上运动,∴ 点 ②

① 代入② 即得所求曲线 C 的方程为 ∵ m∈(0,1)∪ (1,+∞) , ∴ 0<m<1 时,曲线 C 是焦点在 x 轴上的椭圆,两焦点坐标分别为( m>1 时,曲线 C 是焦点在 y 轴上的椭圆,两焦点坐标分别为( ) , ) ,

(Ⅱ )如图 2、3,?x1∈(0,1) ,设 P(x1,y1) ,H(x2,y2) ,则 Q(x2,y2) ,N(0,y1) , ∵ P,H 两点在椭圆 C 上,∴

① 可得 ﹣②



∵ Q,N,H 三点共线,∴QN=kQH,∴ k

∴PQ?kPH= k ∵ PH,∴PQ?kPH=﹣1 PQ⊥ k ∴ ∵ m>0,∴

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www.jyeoo.com 故存在 ,使得在其对应的椭圆 上,对任意 k>0,都有 PQ⊥ PH

点评: 本题考查轨迹方程,考查直线与椭圆的位置关系,考查代入法求轨迹方程,计算要小心. 22. (14 分) (2012?湖北) (I)已知函数 f(x)=rx﹣x +(1﹣r) (x>0) ,其中 r 为有理数,且 0<r<1.求 f(x) 的最小值; b1 b2 (II)试用(I)的结果证明如下命题:设 a1≥0,a2≥0,b1,b2 为正有理数,若 b1+b2=1,则 a1 a2 ≤a1b1+a2b2; (III)请将(II)中的命题推广到一般形式,并用数学归纳法证明你所推广的命题.注:当 α 为正有理数时,有求 道公式(x ) =αx
α r α﹣1 r



考点: 数学归纳法;归纳推理. 专题: 综合题. 分析: (I)求导函数,令 f′ (x)=0,解得 x=1;确定函数在(0,1)上是减函数;在(0,1)上是增函数,从而 可求 f(x)的最小值; r (II)由(I)知,x∈(0,+∞)时,有 f(x)≥f(1)=0,即 x ≤rx+(1﹣r) ,分类讨论:若 a1,a2 中有一个
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为 0,则 a1 a2 ≤a1b1+a2b2 成立;若 a1,a2 均不为 0,

b1

b2

,可得 a1 a2 ≤a1b1+a2b2 成立

b1

b2

(III) 中的命题推广到一般形式为: a1≥0, 2≥0, an≥0, 1, 2, bn 为正有理数, b1+b2+…+bn=1, (II) 设 a …, b b …, 若 b1 b2 bn 则 a1 a2 …an ≤a1b1+a2b2+…anbn; 用数学归纳法证明: (1)当 n=1 时,b1=1,a1≤a1,推广命题成立; (2)假设当 n=k 时,推广命题成立,证 b1 b2 bk bk+1 b1 b2 bk 明当 n=k+1 时,利用 a1 a2 …ak ak+1 =(a1 a2 …ak )
bk+1 bk+1

ak+1

=


ak+1

,结合归纳假设,即可得到结论.

r 1 解答: (I)解:求导函数可得:f′ (x)=r(1﹣x ) ,令 f′ (x)=0,解得 x=1; 当 0<x<1 时,f′ (x)<0,所以 f(x)在(0,1)上是减函数; 当 x>1 时,f′ (x)>0,所以 f(x)在(0,1)上是增函数 所以 f(x)在 x=1 处取得最小值 f(1)=0; r (II)解:由(I)知,x∈(0,+∞)时,有 f(x)≥f(1)=0,即 x ≤rx+(1﹣r)① b1 b2 若 a1,a2 中有一个为 0,则 a1 a2 ≤a1b1+a2b2 成立; 若 a1,a2 均不为 0,∵1+b2=1,∴2=1﹣b1, b b

∴中令 ①

,可得 a1 a2 ≤a1b1+a2b2 成立
b1 b2

b1

b2

综上,对 a1≥0,a2≥0,b1,b2 为正有理数,若 b1+b2=1,则 a1 a2 ≤a1b1+a2b2;② (III) (II) 解: 中的命题推广到一般形式为: a1≥0,2≥0, an≥0,1,2, bn 为正有理数, b1+b2+…+bn=1, 设 a …, b b …, 若 b1 b2 bn 则 a1 a2 …an ≤a1b1+a2b2+…anbn;③ 用数学归纳法证明
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www.jyeoo.com (1)当 n=1 时,b1=1,a1≤a1,③ 成立 (2)假设当 n=k 时,③ 成立,即 a1≥0,a2≥0,…,ak≥0,b1,b2,…,bk 为正有理数,若 b1+b2+…+bk=1,则 b1 b2 bk a1 a2 …ak ≤a1b1+a2b2+…akbk. 当 n=k+1 时,a1≥0,a2≥0,…,ak+1≥0,b1,b2,…,bk+1 为正有理数,若 b1+b2+…+bk+1=1,则 1﹣bk+1>0
b1 b2 bk bk+1 b1 b2 bk bk+1 bk+1

于是 a1 a2 …ak ak+1 ∵ +

= 1 a2 …ak )k+1 (a a =1

=

ak+1

+…+







+

+…+

=


b1 b2 b bk+1

ak+1

bk+1



?(1﹣bk+1)+ak+1bk+1,

∴1 a2 …ak kak+1 a ≤a1b1+a2b2+…akbk+ak+1bk+1. ∴ n=k+1 时,③ 当 成立 由(1) (2)可知,对一切正整数,推广的命题成立. 点评: 本题考查导数知识的运用,考查不等式的证明,考查数学归纳法,解题的关键是分类讨论,正确运用已证 得的结论,掌握数学归纳法的证题步骤,属于难题.

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www.jyeoo.com 参与本试卷答题和审题的老师有:qiss;lcb001;minqi5;席泽林;caoqz;吕静;zlzhan(排名不分先后)
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