2013届高考压轴卷文科数学

2013 届高考压轴卷

数学（文）试题（2013.05.24）
参考公式： 锥体体积公式 V ?
1 3 Sh ，其中 S 为底面面积， h 为高

第Ⅰ卷（选择题

共 60 分）

一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的． 1.已知函数 f ( x) ? 1 ? x 定义域为 M ， g ( x) ? ln x 定义域为 N ，则 M ? N ? （****） A． ?x | x ? 1? B． ?x | 0 ? x ? 1? C． ?x | 0 ? x ? 1? D． ?x | 0 ? x ? 1?

2. 若 a ? b ? 0 ，则下列不等式成立的是（****） A. a ? b ? 2 ab B. 3．若函数 y ? f A． 4
a? b
x

C. log 1 a ? log 1 b
2 2

D. 0.2a ? 0.2b

? x ? 是函数 y
B． 2

? 2 的反函数，则 f

? 2 ? 的值是（****）
D． 0

C．

4. 设 a,β 分别为两个不同的平面，直线 l A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

a，则“l 丄β ”是“a 丄β 成立的（****） C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

5.要得到函数 y ? cos(2 x ? 1) 的图象,只要将函数 y ? cos 2 x 的图象（****）

A．向左平移 1 个单位 C．向左平移
1 2

B．向右平移 1 个单位 D．向右平移
1 2

个单位

个单位

开始

? x ? 2 y ? 0, ? 6．已知变量 x，y 满足约束条件 ? x ? y ? 0, 则 z=x+y 的 最 大 值 为 （****） ?0 ? x ? 3, ?

i=0
输入正整数n n为奇数?
是

A.3

B.4
e ?e
x ?x

C.5 ，则 f ( x) 是（****）
2

D.6

否

7．已知函数 f ( x) ? ln

n = 3n+1 i=i+1
否

n = n/2

A．非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上单调递增 B．奇函数，且在 R 上单调递增 C．非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上单调递减 D．偶函数，且在 R 上单调递减 8. 在右侧程序框图中，输入 n ? 5 ，按程序运行后输出的结果是（****） A．3 9.若双曲线 A． (1, 2)
x a
2 2

n = 1?
是

B．4
? y b
2 2

C．5

D.6

输出i

? 1( a ? 0, b ? 0) 与直线 y ?

结束 3 x 无交点，则离心率 e 的取值范围（****）

B． (1, 2]
??? ?

C． (1, 5)
??? ? ??? ? ?

D． (1, 5]

10.若 P 为 ?ABC 内一点，且 PB ? PC ? 2 PA ? 0 ，在 ?ABC 内随机撒一颗豆子，则此豆子落在

?PBC 内的概率为（****）

A．

1 2

B．

1 3

C．

1 4

D．

2 3

11.如图，矩形 An Bn C n Dn 的一边 An Bn 在 x 轴上，另外两个顶点 C n , Dn 在函数
f ?x ? ? x ? 1 x ( x ? 0) 的图象上.若点 Bn 的坐标为

y Dn Cn

?n,0?(n ? 2, n ? N ? ) ，记矩形 An Bn C n Dn 的周长
为 a n ，则 a 2 ? a3 ? ? ? a10 ? （****） A.208 B. 216 C. 212 D.220

O An

Bn

x

12．已知 ? x ? 表示大于 x 的最小整数，例如 ?3? ? 4, ? ?1.2 ? ? ?1 ．下列命题 ①函数 f ( x) ? ? x ? ? x 的值域是 ? 0,1? ；②若 ?an ? 是等差数列，则 ?? an ?? 也是等差数列； ③若 ?an ? 是等比数列，则 ?? an ?? 也是等比数列；④若 x ? ?1, 4 ? ，则方程 ? x ? ? x ? 正确的是（****）A．②④ B．③④ C．①③
1 2

有 3 个根．

D．①④

第Ⅱ卷（非选择题

共 90 分）

二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分．把答案填写在答题卡的相应位置． 13．已知复数 z1 ? 2 ? i , z2 ? 4 ? 3i 在复平面内的对应点分别为点 A、B，则线段 AB 的中点所对应的复数是**** 14．某班共有 52 人，现根据学生的学号，用系统抽样的方法，抽取一个容量为 4 的样本，已知 3 号、 29 号、42 号同学在样本中，那么样本中还有一个同学的学号是**** 15.已知平面上的线段及点 P ，在上任取一点 Q ，线段 PQ 长度的最小值称为点 P 到线段的距离，记 作 d ( P, l ) ．设是长为 2 的线段，点集 D ? {P | d ( P, l ) ? 1} 所表示图形的面积为**** 16.设 a,b,m 为正整数，若 a 和 b 除以 m 的余数相同，则称 a 和 b 对 m 同余.记 a ? b ? mod m ? ，已知
a ? 2 ? 2? 3 ? 2? 3 ??? 2? 3
2 2013

，b ? a ? mod 3? ，则 b 的值可以是****

（写出以下所有满足条件的

序号）①1007；②2013；③3003；④6002 三、解答题：本大题共 6 小题，共 74 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．把解答过程 填写在答题卡的相应位置． 17． （本小题满分 12 分） 已知函数 f ( x) ? 2 cos x ? sin 2 x
2

（1）求函数 f ( x) 的最小正周期和值域； （ 2 ） 已 知 ?ABC 的 内 角 A，B，C 所 对 的 边 分 别 为 a，b，c ， 若 a ? 2, b ?
2 ，且

? A? f ? ? ? 1, 求 ?ABC 的面积. ?2?

18. （本小题满分 12 分） 已知点（1,2）是函数 f ( x) ? a x ( a＞0且a ? 1) 的图象上一点，数列 ?an ? 的前 n 项和
S n ? f ( n) ? 1 .

（1）求数列 ?an ? 的通项公式； （2）将数列 ?an ? 前 30 项中的第 3 项，第 6 项，?，第 3k 项删去，求数列 ?an ? 前 30 项 中剩余项的和.

19． （本小题满分 12 分） 市民李生居住在甲地,工作在乙地,他的小孩就读的小学在丙地,三地之间的道路情况如图所 示.假设工作日不走其它道路,只在图示的道路中往返,每次在路口选择道路是随机的.同一条 道路去程与回程是否堵车互不影响.假设李生早上需要先开车送小孩去丙地小学，再返回经甲 地赶去乙地上班， （1）写出李生可能走的所有路线； （比如 DDA 表示走 D 路从甲到丙， 再走 D 路回到甲， 然后走
A B C D E

第 19 题图

A 路到达乙）;
（2）假设从丙地到甲地时若选择走道路 D 会 遇到拥堵，并且从甲地到乙地时若选择走道路 B 也会遇到拥堵，其它方向均通畅，但李生不 知道相关信息，那么从出发到回到上班地没有遇到过拥堵的概率是多少？ 20． （本小题满分 14 分） 如图， AB 是半圆 O 的直径， C 是半圆 O 上除 A 、 B 外的一个动点， DC ? 平面
ABC , DC // BE ， CD ? BE ， AB ? 4 ， tan ?EAB ?
1 4

．

⑴证明：平面 ADE ? 平面 ACD ； ⑵试探究当 C 在什么位置时三棱锥 C ? ADE 的 体积取得最大值，请说明理由并求出这个最大值．

D

C

E

A

O ? O

B

21． （本小题满分 12 分）

如图，已知抛物线
C2 : y ? 1 2 x ? 1 上．
2

C1 : x ? 2 py

2

的焦点在抛物线
C C1
M
2

y

（1）求抛物线 C1 的方程及其准线方程； （2） 过抛物线 C1 上的动点 P 作抛物线 C 2 的两条切线 PM 、
PN
N P

， 切点为 M 、 N ．若 PM 、 PN 的斜率乘积为 m ，
W w . x K b 1.c o M

O

x

且 m ? [2, 4] ，求 | OP | 的取值范围．w

（第 21 题）

22.（本小题满分 14 分） 已知函数 f ? x ? ? ln x, g ? x ? ?
1 2 ax ? bx ? 1 ，
2

（1）当 a ? 0 且 b ? 1 时，证明：对 ?x ? 0 ， f ? x ? ? g ? x ? ； （2）若 b ? 2 ，且 h? x ? ? f ? x ? ? g ? x ? 存在单调递减区间，求 a 的取值范围； （3）数列 ?a n ? ，若存在常数 M ? 0 ， ?n ? N ? ，都有 a n ? M ，则称数列 ?a n ? 有上界。 已知 bn ? 1 ?
1 2 ??? 1 n

，试判断数列 ?bn ? 是否有上界．

数学文科试题参考答案
1-5 BCCAC 6-10 DACBA 11-12 BD
13．3－i 14． 16 15. 4 ? ? 16.①④
2 cos(2 x ?

17．解： （1） f ( x) ? 2 cos 2 x ? sin 2 x ? 1 ? cos 2 x ? sin 2 x ? 所以函数 f ( x) 的最小正周期 T ?
? ?
2? 2 ? ? ，值域为 ? ? 2 ? 1, ?

?
4

) ?1

2 ? 1? ?

（ 备 注 ： 当 x ? ??
??

3? ? 3? ? ? ， ?x? ， 时 ， 求 函 数 f ( x) 的 单 调 区 间 和 值 域 ？ ? ? 8 4 8 4? ?

?
2

? 2x ?

?
4

?

3? 4

，令 ?

?
2

? 2x ?

?
4

? 0 ，则 ?

3? 8

?x?-

?
8

?? ? 3? ? ? ?? ，单调减区间为 ?? ， ? ? 函数 f ( x ) 的单调递增区间为 ? ， ? 8 ? 8? ? ? 8 4?
?
2

??

? 2x ?

?
4

?

3? 4

，? ?

?? ? ? cos ? 2 x ? ? ? 1 ，? 0 ? f 2 4? ?
2

? x? ?

2 ?1

? 函数 f ( x ) 的值域为 ? 0, ?

2 ? 1? ） ?

? 2?? f
?

? A? ? ?? ?2?

2 cos( A ?
5? 4

?
4

) ?1 ? 1

,
?
4

? cos( A ?

?
4

)?0

,

?0 ? A ? ?

,

?
4

? A?

?
4

?

?A?

?
4

?

?
2

,? A ?
2 sin

,
2 sin B
1 2

? a ? 2, b ?

2 ,由正弦定理得?

?
4

?

,? sin B ?

? a ? b,? A ? B

?B ?

?
6 7? 12

?C ? ? ? A ? B ?

? S ?ABC ?

1 2

ab sin C ?

1 2

? 2?

2 sin

7? 12
x

?

2?

2? 4

6

?

1? 2

3

18．解： （Ⅰ）把点（1,2）代入函数 f ( x) ? a ，得 a ? 2 .? S n ? f (n) ? 1 ? 2n ? 1, 当 n ? 1 时，
a1 ? S1 ? 2 ? 1 ? 1; 当 n≥2 时， an ? S n ? S n ?1 ? (2 ? 1) ? (2
1

n

n?1

? 1) ? 2

n?1

经验证可知 n ? 1 时，也适

合上式， ? an ? 2

n ?1

.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知数列 ?an ? 为等比数列，公比为 2，故其第 3 项，第 6 项，?，第 30 项也为等 比 数 列 ， 首 项
a3 ? 2
3?1

? 4,

公 比

2 ? 8,
3

a30

为 其 第

1 0

项

∴此数列的和为

4(1 ? 8 )
10

1? 8

?

4(2

30

? 1)

7 4(2
30

又数列 ?an ? 的前 30 项和为 S30 ?
30

1? (1 ? 2 )
30

1? 2

?2

30

? 1,

∴所求剩余项的和为 (2 ? 1) ?
30

? 1)

?

3(2

? 1)

新|课 | 标|第

|一| 网

7

7

19．⑴李生可能走的所有路线分别是：DDA，DDB，DDC，DEA，DEB，DEC，EEA，EEB， EEC，EDA， EDB，EDC 共 12 种情况。⑵从出发到回到上班地没有遇到过拥堵的走法有：DEA，DEC，EEA，EEC 共 4 种情况,所以从出发到回到上班地没有遇到过拥堵的概率 P? 20．证明与求解：⑴因为 AB 是直径，所以 BC ? AC ，因为
CD ? 平面 ABC ， CD ? BC ，因为 CD ? AC ? C ，所以 BC ? 平面 ACD
C

4 12

?

1 3

.

D

E

因为 CD // BE ， 又因为 CD ? BE ， 所以四边形 BCDE 是 平行四边形，所以 BC // DE ，所以 DE ? 平面，因为 DE ? 平面 ADE ，所以平面 ADE ? 平面 ACD ⑵依题意， EB ? AB ? tan ?EAB ? 4 ? 由⑴知 VC ? ADE ? V E ? ACD ?
? 1 6 ? AC ? BC 1 3 1 4 ? S ?ACD ? DE ?
2 2

A

O ? O

B

? 1， 1 3 1 12 ? 1 2 ? AB ?
2

? AC ? CD ? DE ， 4 3

， ?

1 12

? ( AC ? BC ) ?

， 等 号 当 且 仅 当

AC ? BC ? 2 2 时成立，所以当 C 为半圆弧中点时三棱锥 C ? ADE 的

体积取得最大值，最大值为
2

4 3

（备注：此时， AD ? 1 ? (2 2 ) ? 3 ， S ?ADE ?
2

1 2

? AD ? DE ? 3 2 ，设三棱锥

C ? ADE 的高为 h ，则 VC ? ADE ?

1 3

? S ?ADE ? h ?

4 3

，h ?

2 2 3

） ．

21．解： （1） C 1 的焦点为 F (0,

p 2

)，
C1

C

2

y

M

所以

p 2

? 0?1， p ? 2 ．

N P

故 C1 的 方 程 为 x ? 4 y ， 其 准 线 方 程 为
2

O

x

（第 22 题）

y ? ?1 ．

（2）任取点 P ( 2t , t 2 ) ，设过点 P 的 C 2 的切线方程为 y ? t 2
? y ? t 2 ? k ( x ? 2t ) ? 由? ，得 x 2 ? 2kx ? 4tk ? 2t 2 ? 2 ? 0 ． 1 2 y? x ?1 ? 2 ?

? k ( x ? 2t ) ．

由?

? ?2k ? ? 4( 4tk ? 2t
2

2

? 2) ? 0 ，化简得 k

2

? 4tk ? 2t

2

? 2 ? 0，

记 PM , PN 斜率分别为 k 1 , k 2 ，则 m 因为 m ? [2, 4] ，所以 t 2 ? [2, 3] 所以 OP 所以 OP
2

? k 1 k 2 ? 2t

2

?2，

? 4t ? t ? ( t ? 2) ? 4 ? [12, 21] ，
2 4 2 2

? [2 3 ,

21 ] ．

22． ⑴当 a ? 0 且 b ? 1 时， g ( x) ? f ? x ? ? g ? x ? ? ln x ? ( x ? 1) ? ln x ? x ? 1 ，?x ? 0 ， 解： 设
g ( x) ?
/

1 x

? 1 ??1 分，解 g ( x ) ? 0 得 x ? 1 。新课
/

标 第 一 网
/

当 0 ? x ? 1 时， / ( x) ? g

1 x

当 ? 1 ? 0 ， (x ) 单调递增； x ? 1 时， ( x ) ? g g

1 x

? 1 ? 0 ， (x ) g

单 调 递 减 ， 所 以 g (x) 在 x ? 1 处 取 最 大 值 ， 即 ?x ? 0 ， g ( x) ? g (1) ? ln 1 ? 1 ? 1 ? 0 ，
ln x ? x ? 1 即 f ? x ? ? g ? x ?

（2）若 b ? 2 ， h? x ? ? f ? x ? ? g ? x ? = ln x 所以 h ?? x ? ?
1 x - ax - 2 ? ? ax ? 2 x ? 1
2

1 2

ax - 2 x ? 1
2

x

因为函数 h? x ? 存在单调递减区间，所以 h ?? x ? ? 0 在 ?0,?? ? 上有解 所以 ax 2 ? 2 x ? 1 ? 0 在 ?0,?? ? 上有解 所以 a ? 令t ?
1 x
1 ? 2x x
2

2 ?1? 在 ?0,?? ? 上有解，即 ?x ? ?0,?? ? 使得 a ? ? ? ? x ? x?
2

2

, x ? 0 ，则 t ? 0 ，研究 y ? t ? 2t , t ? 0 ，当 t ? 1 时， y min ? ?1

所以 a ? ?1 （3）数列 ?bn ? 无上界
?n ? N ， 设 x ? 1 ?
?

1 n

， x ? 1?

1 n

， 由 ⑴ 得 ln(1 ?

1 n

)?

1 n

，

1 n

? ln

n ?1 n

，所以

bn ? 1 ?

1 2

???

1 n

? ln

2 1

? ln

3 2

? ? ? ln

n ?1 n

? ln(n ? 1) ， ?M ? 0 ，取 n 为任意一个不

小于 e M 的自然数，则 bn ? ln(n ? 1) ? ln e M ? M ，数列 ?bn ? 无上界。