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数列通项及其求和


1.求下列数列的前 n 项和 Sn : (1)5,55,555,5555,…, (3) an

5 n (10 ? 1) ,…; 9

(2)

1 1 1 , , , 1? 3 2 ? 4 3 ? 5
2

,

1 , n(n ? 2)




n ? n ?1 (5) 1? 3, 2 ? 4,3 ? 5, , n(n ? 2),

?

1



(4) a, 2a ;

,3a3 ,
2

, nan ,

(6) sin

1 ? sin 2 2 ? sin 2 3 ?

? sin 2 89

2.已知数列 {an } 的通项 an

?6n ? 5 (n为奇数) ,求其前 n 项和 Sn . ?? n (n为偶数) ?2

例 1. {an }满足a1

? 1且8an?1an ? 16an?1 ? 2an ? 5 ? 0(n ? 1). 记 bn ?

(Ⅰ)求 b1、b2、b3、b4 的值;

(n ? 1). 1 an ? 2 (Ⅱ)求数列 {bn } 的通项公式及数列 {a n bn } 的前 n 项和 S n .

1

变式.数列

2, 3, ?an ? 中, a1 ? 2 , an?1 ? an ? cn ( c 是常数, n ? 1, (I)求 c 的值; (II)求 ?an ? 的通项公式.

) ,且 a1,a2,a3 成公比不为 1 的等比数列.

1) an 例 2.设数列 {an } 的首项 a1 ? (0,,
(1)求 {an } 的通项公式; (2)设 bn

?

? an

3 ? an ?1 ,n ? 2, 3, 4,… . 2 3 ? 2an ,证明 bn ? bn?1 ,其中 n 为正整数.

变式.已知数列

2 ?an ?中,对一切自然数 n ,都有 an ? ?0, 1? 且 an ? an ?1 ? 2an?1 ? an ? 0 . 1 求证:(1) an?1 ? an ; (2)若 S n 表示数列 ?an ?的前 n 项之和,则 S n ? 2a1 .

2

例 3.由坐标原点 O 向曲线
2

y ? x 3 ? 3ax2 ? bx(a ? 0) 引切线,切于 O 以外的点 P ( x2 , y 2 ) ,如此进行下去,得到点列{ P ( x n , y n }. 求: (Ⅰ) xn 与xn?1 (n ? 2) 的关系式; (Ⅱ)数列 {xn } 的通项公式;
n }

P1 ( x1 , y1 ) ,再由 P1 引此曲线的切线,切于 P1 以外的点

例 4. 设数列

2? ,? 3? ,? ? ?an ? 的前 n 项的和 Sn ? 3 a n ? 3 ? 2n?1 ? 3 , n ? 1, ?

4

1

2

(Ⅰ)求首项 a1 与通项 an ;

2n (Ⅱ)设 Tn ? Sn



n ? 1? ,? 2? ,? 3? ,? ? ,证明: ? Ti ?
i ?1

n

3 2


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