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数学:《圆的标准方程》课件(北师大版必修2)(共17张PPT)


数学:《圆的标准方程》 课件(北师大版必修2)

问题:
(1) 求到点C(1, 2)距离为2的点的 轨迹方程. (x ?1)2 + ( y ? 2)2 = 4

(2) 方程(x ?1)2 + ( y ? 2)2 = 4表 示的曲线是什么?
以点C(1, 2)为圆心, 2为半径的圆.

1.圆的定义: 平面内与定点的距离等于定长的 点的集合(轨迹)叫做圆. 2.圆的标准方程: 求圆心为C(a, b), 半径为r的圆 的方程. (x ? a )2 + ( y ? b )2 = r 2 称之为圆的标准方程.

3. 特殊位置的圆的方程: 圆心在原点: x2 + y2 = r2 圆心在x轴上:
圆心在y轴上:

(x ? a )2 + y 2 = r 2
x2+ (y ? b)2 = r2

回答问题:

1. 说出下列圆的方程:
(1) 圆心在原点,半径为3.

(2) 圆心在点C(3, 4), 半径为7.

2. 说出下列方程所表示的圆的圆 心坐标和半径: (1) (x + 7)2 + ( y ? 4)2 = 36 圆心C(? 7, 4), r = 6 (2) x2 + y2 ? 4x + 10y + 28 = 0 圆心C(2,? 5), r = 1 (3) (x ? a)2 + y 2 = m2 圆心C(a, 0), r = |m|

5. 圆的方程的求法: ①代入法 ②待定系数法 例1(1)已知两点P1(4, 9)和P2(6, 3), 求以P1P2为直径的圆的方程. (x ? 5)2 + ( y ? 6)2 = 10 一般情形见P82.第3题. (2) 判断点M(6, 9)、N(3, 3)、Q(5, 3)是在圆上,在圆内,还是在圆外. M在圆上,N在圆外,Q在圆内.

小结: 点和圆之间存在有三种位置关系: 若已知圆的半径为 r,点P(x0,y0) 和圆心C 之间的距离为d,则 P在圆上? d=r? (x0 ?a)2 +( y0 ?b)2 =r2 P在圆外? d>r? (x0 ?a)2 +(y0 ?b)2 >r2 P在圆内?d<r? (x0 ?a)2 +(y0 ?b)2 < r2

练习:点(2a, 1 ? a)在圆x2 + y2 = 4 的内部,求实数 a 的取值范围. 3 ? <a<1 5 例2 求满足下列条件的圆的方程: (1) 圆心在 x 轴上,半径为5,且过 点A(2,? 3). (x ? 6)2 + y2 = 25或(x + 2)2 + y2 = 25

(2) 过点A(3,1)和B(? 1,3), 且圆心在直线3x ? y ? 2 = 0上.

(x ? 2)2 + ( y ? 4)2 = 10
(3)求以点C(1,3)为圆心,并且和 直线3x ? 4y ? 7 = 0相切的圆的方程. (x ? 1)2 + (y? 3)2
256 = 25

练习
求满足下列条件的圆的方程:

(1) 经过点A(3,5)和B(?3,7), 并且圆心在 x 轴上. (x + 2)2 + y2 = 50 (2) 经过点A(3,5)和B(?3,7), 并且圆心在 y 轴上. x2 + ( y ? 6)2 = 10
(3) 经过点 P(5 , 1) ,且圆心在 C(8,? 3). (x ? 8)2 + ( y + 3)2 = 25

例3 求圆心在C(1,? 2),半径为 2 5 的圆被x 轴所截得的弦长 . 法1(方程法) 圆的方程为 (x ? 1)2 + ( y + 2)2 = 20, 令y = 0,x ?1 = ? 4,可得弦长为8. 法2(几何法) 根据半弦、半径、弦心 距组成直角三角形求 ( 这里,弦心距 等于圆心C的纵坐标的绝对值).

例4 (教材P76.例3) 如图表示某圆拱桥 的一孔圆拱的示意 图 . 该圆拱跨度 AB = 20m, 拱高OP = 4m ,在建造时每隔 4m 需用一个支柱支 撑 , 求 支 柱 A2P2 的 长度(精确到0.01m).

y

P 2 P
A A1 A2 O A3 A4 B
x

约为3.86m

例 5 ( 教材 P75 例 2) 已知圆的方 程x2 + y2 = r2,求经过圆上一点 M(x0,y0)的切线方程. 看书,并思考P76旁批“想一 想”. 一般地,过圆(x ? a)2 + ( y ? b)2 = r2 上一点M(x0,y0)的切线方程为 (x0 ? a)(x ? a) + ( y0 ? b)( y ? b) = r2.

小结:

本课研究了圆的标准方程推导过 程,对于这个方程必须熟记并能灵活 应用. 从三道例题的解题过程,我们 不仅仅要理解和掌握解题的思想方法, 也要学会从中发现和总结出规律性的 内在联系.

作业
1.《数学之友》T7.23. 2. 阅读教材P75—76.

3. 教材 P77 练习第 1—4 题及 P81 习题7. 6第1—4题 (书上).


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