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2014届高三北师大版数学(理)一轮复习限时规范训练 第七篇 第4讲 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题


第4讲 性

二元一次不等式(组)与简单的线 规划问题

A级

基础演练

(时间:30 分钟 满分:55 分)
一、选择题(每小题 5 分,共 20 分)

?x+2y≥2, 1.(2012· 山东)设变量 x,y 满足约束条件?2x+y≤4, ?4x-y≥-1,

r />的取值范围是 ? 3 ? A.?-2,6? ? ? C.[-1,6] 解析 ? 3 ? B.?-2,-1? ? ? 3? ? D.?-6,2? ? ?

则目标函数 z=3x-y

(

).

作出不等式组表示的可行域,如图阴影部分所

示,作直线 3x-y=0,并向上、下平移,由图可得,当 直线过点 A 时,z=3x-y 取最大值;当直线过点 B 时, ?x+2y-2=0, z=3x-y 取最小值.由? 解得 A(2,0); ?2x+y-4=0 ?4x-y+1=0, ?1 ? 由? 解得 B?2,3?. ? ? ?2x+y-4=0 1 3 ∴zmax=3×2-0=6,zmin=3×2-3=-2. ? 3 ? ∴z=3x-y 的取值范围是?-2,6?. ? ? 答案 A

?0≤x≤ 2. (2011· 广东)已知平面直角坐标系 xOy 上的区域 D 由不等式组?y≤2, ?x≤ 2y
值为 A.4 2 解析 B.3 2 C.4 D.3 (

2,

→· → 的最大 给定.若 M(x,y)为 D 上的动点,点 A 的坐标为( 2,1)则 z=OM OA ).

如图作出区域 D,目标函数 z= 2x

+y 过点 B( 2,2)时取最大值,故 z 的最 大值为 2× 2+2=4,故选 C. 答案 C

3.(2013· 榆林质检)若不等式组

?x-y+5≥0, ?y≥a, ?0≤x≤2
A.(-∞,5) C.[5,7) 解析

表示的平面区域是一个

三角形,则 a 的取值范围是 B.[7,+∞) D.(-∞,5)∪[7,+∞)

(

).

画出可行域,知当直线 y=a 在 x-y+5=0 与 y 轴的交点(0,5)和 x-y+

5=0 与 x=2 的交点(2,7)之间移动时平面区域是三角形.故 5≤a<7. 答案 C

4.(2013· 洛阳一模)某企业生产甲、乙两种产品,已知生产每吨甲产品要用 A 原 料 3 吨、B 原料 2 吨;生产每吨乙产品要用 A 原料 1 吨、B 原料 3 吨.销售每 吨甲产品可获得利润 1 万元, 每吨乙产品可获得利润 3 万元, 该企业在某个生 产周期内甲产品至少要生产 1 吨,乙产品至少要生产 2 吨,消耗 A 原料不超 过 13 吨,消耗 B 原料不超过 18 吨,那么该企业在这个生产周期内获得最大 利润时甲产品的产量应是 A.1 吨 B.2 吨 C.3 吨 11 D. 3 吨 ( ).

解析

设该企业在这个生产周期内生产 x

吨甲产品,生产 y 吨乙产品,x、y 满足的

?2x+3y≤18, 条件为? x≥1, ?y≥2.
3x+y≤13, 所获得的利润 z=x+3y,作出如图所示的 可行域. 16? ? 作直线 l0:x+3y=0,平移直线 l0,显然,当直线经过点 A?1, 3 ?时所获利润 ? ? 最大,此时甲产品的产量为 1 吨. 答案 A

二、填空题(每小题 5 分,共 10 分)

?x-y+1≥0, 5.(2012· 大纲全国)若 x,y 满足约束条件?x+y-3≤0, ?x+3y-3≥0,
为________. 解析 画出可行域,如图所示,将直线

则 z=3x-y 的最小值

y=3x-z 移至点 A(0,1)处直线在 y 轴上 截距最大,zmin=3×0-1=-1. 答案 -1

6 . (2012· 安徽)若 x,y 满足约束条件

?x≥0, ?x+2y≥3, ?2x+y≤3,
解析

则 x-y 的取值范围是________.

记 z=x-y,则 y=x-z,所以 z 为直线 y=x-z

在 y 轴上的截距的相反数,画出不等式组表示的可行 域如图中△ABC 区域所示.结合图形可知,当直线经 过点 B(1,1)时, x-y 取得最大值 0, 当直线经过点 C(0,3) 时,x-y 取得最小值-3. 答案 [-3,0]

三、解答题(共 25 分)

?x-y+5≥0, 7.(12 分)(2013· 合肥模拟)画出不等式组?x+y≥0, ?x≤3
答下列问题: (1)指出 x、y 的取值范围; (2)平面区域内有多少个整点? 解 (1)不等式 x-y+5≥0 表示直线 x-y+5=0

表示的平面区域,并回

上及其右下方的点的集合,x+y≥0 表示直线 x +y=0 上及其右上方的点的集合,x≤3 表示直 线 x=3 上及其左方的点的集合.

?x-y+5≥0, 所以,不等式组?x+y≥0, ?x≤3
表示的平面区域如图所示. ? 5 ? 结合图中可行域得 x∈?-2,3?,y∈[-3,8]. ? ? -x≤y≤x+5, ? ? (2)由图形及不等式组知? 5 - ≤x≤3,且x∈Z, ? ? 2 当 x=3 时,-3≤y≤8,有 12 个整点; 当 x=2 时,-2≤y≤7,有 10 个整点; 当 x=1 时,-1≤y≤6,有 8 个整点; 当 x=0 时,0≤y≤5,有 6 个整点; 当 x=-1 时,1≤y≤4,有 4 个整点; 当 x=-2 时,2≤y≤3,有 2 个整点; ∴平面区域内的整点共有 2+4+6+8+10+12=42(个). 8.(13 分)制订投资计划时,不仅要考虑可能获得的盈利,而且要考虑可能出现的 亏损.某投资人打算投资甲、乙两个项目,根据预测,甲、乙项目可能的最大 盈利率分别为 100%和 50%,可能的最大亏损率分别为 30%和 10%.若投资人 计划投资金额不超过 10 万元,要求确保可能的资金亏损不超过 1.8 万元,问

投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元,才能使可能的盈利最大? 解 设投资人分别用 x 万元、y 万元投资甲、乙两个项目, x+y≤10,

?0.3x+0.1y≤1.8, 由题意知? x≥0, ?y≥0,
影部分(含边界)即为可行域.

目标函数 z=x+0.5y.

上述不等式组表示的平面区域如图所示, 阴

将 z=x+0.5y 变形为 y=-2x+2z,这是斜 率为-2、随 z 变化的一组平行线,当直线 y=-2x+2z 经过可行域内的点 M 时, 直线 y=-2x+2z 在 y 轴上的截距 2z 最大,z 也 最大. 这里 M 点是直线 x+y=10 和 0.3x+0.1y=1.8 的交点. ?x+y=10, 解方程组? 得 x=4,y=6, ?0.3x+0.1y=1.8, 此时 z=4+0.5×6=7(万元). ∴当 x=4,y=6 时,z 取得最大值, 所以投资人用 4 万元投资甲项目、6 万元投资乙项目,才能在确保亏损不超过 1.8 万元的前提下,使可能的盈利最大.

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B级

能力突破(时间:30 分钟 满分:45 分)

一、选择题(每小题 5 分,共 10 分)

?x≥1, 1.(2013· 临沂一模)实数 x,y 满足?y≤a?a>1?, ?x-y≤0,
值 4,则实数 a 的值为 A.4 B.3 C.2

若目标函数 z=x+y 取得最大

( 3 D.2

).

解析 作出可行域, 由题意可知可行域 为△ABC 内部及边界,y=-x+z,则 z 的几何意义为直线在 y 轴上的截距,将 目标函数平移可知当直线经过点 A 时, 目标函数取得最大值 4,此时 A 点坐标 为(a,a),代入得 4=a+a=2a,所以 a =2. 答案 C 2.(2012· 四川)某公司生产甲、乙两种桶装产品.已知生产甲产品 1 桶需耗 A 原 料 1 千克、B 原料 2 千克;生产乙产品 1 桶需耗 A 原料 2 千克、B 原料 1 千 克.每桶甲产品的利润是 300 元,每桶乙产品的利润是 400 元.公司在生产 这两种产品的计划中,要求每天消耗 A、B 原料都不超过 12 千克.通过合理 安排生产计划,从每天生产的甲、乙两种产品中,公司共可获得的最大利润 是 A.1 800 元 B.2 400 元 C.2 800 元 ( D.3 100 元 ).

解析 设某公司生产甲产品 x 桶,生产乙产品 y 桶,获利为 z 元,则 x,y 满足的线性约束条件为

?2x+y≤12, ?x≥0且y∈Z, ?y≥0且y∈Z,
x+2y≤12,

目标函数 z=300x+400y.

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作出可行域,如图中四边形 OABC 的边界及其内部整点.作直线 l0:3x+4y ?2x+y=12, =0, 平移直线 l0 经可行域内点 B 时, z 取最大值, 由? 得 B(4,4), ?x+2y=12, 满足题意,所以 zmax=4×300+4×400=2 800. 答案 C 二、填空题(每小题 5 分,共 10 分)

?x-y-2≤0, 3. (2013· 咸阳一模)设实数 x、 y 满足?x+2y-4≥0, ?2y-3≤0,
解析 部分. y y 设x=t,则 y=tx,求x的最大值,即求 y=tx 的斜率的最大值.显然 y=tx 过 A 点时,t 最大. ?x+2y-4=0, 3? ? 由? 解得 A?1,2?. ? ? ?2y-3=0, 3 y 3 代入 y=tx,得 t=2.所以x的最大值为2. 3 答案 2 不等式组确定的平面区域如图阴影

y 则x的最大值是________.

?y≥x, 4.(2011· 湖南)设 m>1,在约束条件?y≤mx, ?x+y≤1
值小于 2,则 m 的取值范围为________.

下,目标函数 z=x+my 的最大

1 z 解析 目标函数 z=x+my 可变为 y=-mx+m, 1 z ∵m>1, ∴-1<-m<0, z 与m同时取到相应的最大值, m ? ? 1 如图,当目标函数经过点 P?m+1,m+1?时,取最大 ? ? 1 m2 值,∴ + <2,又 m>1,得 1<m<1+ 2. m+1 m+1 答案 (1,1+ 2)
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三、解答题(共 25 分)

?x+y≥1, 5.(12 分)(2013· 黄山模拟)若 x,y 满足约束条件?x-y≥-1, ?2x-y≤2,
1 1 (1)求目标函数 z=2x-y+2的最值. (2)若目标函数 z=ax+2y 仅在点(1,0)处取得最小值,求 a 的取值范围. 解 (1)作出可行域如图, 可求得 A(3,4), B(0,1), C(1,0). 1 平移初始直线2x-y=0, 过 A(3,4)取最小值-2, 过 C(1,0)取最大值 1. ∴z 的最大值为 1,最小值为-2. (2)直线 ax+2y=z 仅在点(1,0)处取得最小值, a 由图象可知-1<-2<2,解得-4<a<2. 故所求 a 的取值范围是(-4,2). 6.(13 分)某工厂生产甲、乙两种产品,每种产品都有一部分是一等品,其余是 二等品,已知甲产品为一等品的概率比乙产品为一等品的概率多 0.25,甲产 品为二等品的概率比乙产品为一等品的概率少 0.05. (1)分别求甲、乙产品为一等品的概率 P 甲,P 乙; (2)已知生产一件产品需要用的工人数和资金数如表所示,且该厂有工人 32 名,可用资金 55 万元.设 x,y 分别表示生产甲、乙产品的数量,在(1)的条 件下,求 x,y 为何值时,z=xP 甲+yP 乙最大,最大值是多少? 项目 用量 产品 甲 乙 工人(名) 4 8 资金(万元) 20 5

?P甲-P乙=0.25, 解 (1)依题意得? ?1-P甲=P乙-0.05,
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?P甲=0.65, 解得? ?P乙=0.4, 故甲产品为一等品的概率 P 甲=0.65,乙产品为一等品的概率 P 乙=0.4. (2)依题意得 x、y 应满足的约束条件为

?20x+5y≤55, ?x≥0, ?y≥0,
4x+8y≤32,

且 z=0.65x+0.4y.

作出不等式组所表示的平面区域,如 图阴影部分,即可行域.作直线 l0: 0.65x+0.4y=0 即 13x+8y=0,把直 线 l 向上方平移到 l1 的位置时,直线 经过可行域内的点 M,此时 z 取得最 ?x+2y=8, 大值.解方程组? ?4x+y=11, 得 x=2,y=3.故 M 的坐标为(2,3), 所以 z 的最大值为 zmax=0.65×2+0.4×3=2.5.所以,当 x=2,y=3 时,z 取 最大值为 2.5. 特别提醒:教师配赠习题、课件、视频、图片、文档等各种电子资源见《创新设 计· 高考总复习》光盘中内容.

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