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【创新设计】2014高考数学人教A版(通用版,理)一轮复习讲义:第六章 不等式、推理与证明


第一节 不等关系与不等式

[备考方向要明了]

考 什 么 1.了解现实世界和日常生活 中的不等关系. 2.了解不等式(组)的实际背 景. 3.掌握不等式的性质及应 用.

怎 么 考 本节内容在高考中多与其他知识进行综合命题, 一般是以选择 题或填空题的形式出现: (1)依据不等式的性质,判断不等式或有关结论是否成立

; (2)利用不等式的性质进行大小关系的比较. (3)不等式的性质在不等式的证明或求解中的应用.

[归纳· 知识整合] 1.比较两个实数大小的法则 设 a,b∈R,则 (1)a>b?a-b>0; (2)a=b?a-b=0; (3)a<b?a-b<0. 2.不等式的基本性质 性质 对称性 传递性 可加性 性质内容 a>b?b<a a>b,b>c?a>c a>b?a+c>b+c 注意 ? ? ?

可乘性

a>b? ??ac>bc c>0 ? a>b? ??ac<bc c<0 ?

c 的符号
[来源:学科网][来源:Zxxk.Com]

同向可加性

a>b? ??a+c>b+d c>d ? a>b>0? ??ac>bd c>d>0 ? a>b>0?an>bn(n∈N,n≥2)

?

同向同正可乘性 可乘方性 可开方性

?

同正 n n a>b>0? a> b(n∈N,n≥2)

[探究] 1.同向不等式相加与相乘的条件是否一致? 提示:不一致.同向不等式相加,对两边字母无条件限制,而同向不等式相乘必须两边 字母为正,否则不一定成立. 1 1 2.(1)a>b? < 成立吗? a b (2)a>b?an>bn(n∈N,且 n>1)对吗? 提示:(1)不成立,当 a,b 同号时成立,异号时不成立. (2)不对,若 n 为奇数,成立,若 n 为偶数,则不一定成立. [自测· 牛刀小试] 1.(教材习题改编)给出下列命题:①a>b?ac2>bc2;②a>|b|?a2>b2;③a>b?a3>b3;④ |a|>b?a2>b2.其中正确的命题是( A.①② C.③④ ) B.②③ D.①④

解析:选 B 当 c=0 时,①不成立;当|a|=1,b=-2 时,④不成立. 2.如果 a∈R,且 a2+a<0,那么 a,a2,-a,-a2 的大小关系是( A.a2>a>-a2>-a C.-a>a2>a>-a2 解析:选 B ∵a2+a<0,∴-1<a<0. 1 不妨令 a=- ,易知选项 B 正确. 2 3.已知 a>b,c>d,且 c,d 不为 0,那么下列不等式成立的是( A.ad>bc C.a-c>b-d B.ac>bd D.a+c>b+d ) B.-a>a2>-a2>a D.a2>-a>a>-a2 )

解析:选 D 由不等式的性质知,a>b,c>d?a+c>b+d.

4.(教材习题改编)已知 a>b>0,c>d>0,则 1 1 解析:∵c>d>0,∴ > >0. d c a b 又∵a>b>0,∴ > >0.∴ d c 答案: a > d b c a > d b . c

a 与 d

b 的大小关系为________. c

5.已知 12<x<60,15<y<36,则 x-y 的取值范围是________. 解析:∵15<y<36, ∴-36<-y<-15. 又∵12<x<60 ∴12-36<x-y<60-15, 即-24<x-y<45. 答案:(-24,45)

用不等式(组)表示不等关系

[例 1] 某商人如果将进货单价为 8 元的商品按每件 10 元销售,每天可销售 100 件,现 在他采用提高售价,减少进货量的办法增加利润.已知这种商品的售价每提高 1 元,销售量 就可能相应减少 10 件.若把提价后商品的售价设为 x 元,怎样用不等式表示每天的利润不 低于 300 元? x-10 [自主解答] 若提价后商品的售价为 x 元,则销售量减少 ×10 件,因此,每天的 1 利润为(x-8)[100-10(x-10)]元,则“每天的利润不低于 300 元”可以表示为不等式(x- 8)[100-10(x-10)]≥300. ————— —————————————— 实际应用中不等关系与数学语言间的关系 将实际问题中的不等关系写成相应的不等式(组)时,应注意关键性的文字语言与对应数 学符号之间的正确转换,常见的文字语言及其转换关系如下表: 文字语言 符号语言 大于,高于, 超过 > 小于, 低于, 少于 < 大于等于,至少, 小于等于,至 不低于 ≥ 多,不超过 ≤

1.某厂拟生产甲、乙两种适销产品,甲、乙产品都需要在 A,B 两种设备上加工,在 每台 A,B 设备上加工一件甲产品所需工时分别为 1 小时和 2 小时,加工一件乙产品所需工 时分别为 2 小时和 1 小时,A,B 两种设备每月有效使用台时数分别为 400 和 500.写出满足 上述所有不等关系的不等式. 解:设甲、乙两种产品的产量分别为 x,y,

?x+2y≤400, ?2x+y≤500, 则由题意可知? x≥0,x∈N, ?y≥0,y∈N. ?
比较大小

[例 2] (1)已知 a1, 2∈(0,1), M=a1a2, a 记 N=a1+a2-1, M 与 N 的大小关系是( 则 A.M<N C.M=N B.M>N D.不确定

)

(2)甲、乙两人同时从寝室到教室,甲一半路程步行,一半路程跑步,乙一半时间步行, 一半时间跑步,如果两人步行速度、跑步速度均相同,则( A.甲先到教室 C.两人同时到教室 B.乙先到教室 D.谁先到教室不确定 )

[自主解答] (1)M-N=a1a2-(a1+a2-1) =a1a2-a1-a2+1 =a1(a2-1)-(a2-1)=(a1-1)(a2-1), 又∵a1∈(0,1),a2∈(0,1), ∴a1-1<0,a2-1<0. ∴(a1-1)(a2-1)>0,即 M-N>0. ∴M>N. s 2 (2)设甲用时间为 T,乙用时间为 2t,步行速度为 a,跑步速度为 b,距离为 s,则 T= + a s 2 s s s?a+b? = + = , b 2a 2b 2ab 2s s=ta+tb?2t= . a+b s?a+b? ?a+b?2-4ab s?a-b?2 2s T-2t= - =s× = >0,即乙先到教室. 2ab a+b 2ab?a+b? 2ab?a+b?

[答案] (1)B

(2)B

若将本例(1)中“a1,a2∈(0,1)”改为“a1,a2∈(1,+∞)”,试比较 M 与 N 的大小. 解:∵M-N=a1a2-(a1+a2-1)=(a1-1)(a2-1), ∴当 a1,a2∈(1,+∞)时,a1-1>0,a2-1>0. ∴(a1-1)· 2-1)>0. (a ∴M-N>0,即 M>N.

—————

—————————————— 比较大小的常用方法

(1)作差法 一般步骤是:①作差;②变形;③定号;④结论.其中关键是变形,常采用配方、因式 分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式.当两个式子都为正数时,有时也可以 先平方再作差. ?2?作商法 一般步骤是:①作商;②变形;③判断商与 1 的大小;④结论?注意所比较的两个数的 符号?. ?3?特值法 若是选择题、填空题可以用特值法比较大小;若是解答题,可以用特值法探究思路.

2.比较下列各组中两个代数式的大小: (1)3x2-x+1 与 2x2+x-1; (2)当 a>0,b>0 且 a≠b 时,aabb 与 abba. 解:(1)∵3x2-x+1-2x2-x+1=x2-2x+2 =(x-1)2+1>0, ∴3x2-x+1>2x2+x-1. a - aabb - - - 1 - (2) b a=aa bbb a=aa b?b?a b=?b?a b. ? ? ? ? ab a - a ∵当 a>b,即 a-b>0, >1 时,?b?a b>1,∴aabb>abba. ? ? b a - a 当 a<b,即 a-b<0, <1 时,?b?a b>1,∴aabb>abba. ? ? b ∴当 a>0,b>0 且 a≠b 时,aabb>abba.

不等式性质的简单应用

[例 3] (1)(2012· 湖南高考)设 a>b>1,c<0,给出下列三个结论: c c ① > ;②ac<bc;③logb(a-c)>loga(b-c). a b 其中所有的正确结论的序号是( A.① C.②③ ) B.①② D.①②③

c d (2)已知三个不等式:ab>0,bc-ad>0, - >0(其中 a,b,c,d 均为实数),用其中两 a b 个不等式作为条件, 余下的一个不等式作为结论组成一个命题, 可组成的正确命题的个数是 ( ) A.0 C.2 a>b>1? a>b 所以①正确; a ? ?a?c ? ? a>b>1? >1? b ? ? ?b? <1? ?ac<bc, ② ? ? ? c<0 bc>0 ? 所以②正确; ③ a>b>1? c<0
?? ? a>1 ? a-c>b-c? ??loga(a-c)>loga(b-c), ? ?

B.1 D.3 1 ? 1 1? >0? > ? 1 1 ab ? ?a· >b· ? b a??c <c 即c >c , ab ab b a a b ? ? ? c<0 ?

[自主解答] (1)①

a>b>1? ??a-c>1?logb(a-c)>loga(a-c), c<0 ? 所以 logb(a-c)>loga(b-c).所以③正确. (2)①由 ab>0,bc-ad>0,即 bc>ad, c d c d 得 > ,即 - >0; a b a b c d c d ②由 ab>0, - >0,即 > ,得 bc>ad, a b a b 即 bc-ad>0; c d ③由 bc-ad>0, - >0, a b 即 bc-ad >0,得 ab>0; ab

故可组成 3 个正确的命题.

[答案] (1)D —————

(2)D —————————————— 与不等式有关的命题的真假判断

在判断一个关于不等式的命题真假时,先把要判断的命题和不等式性质联系起来考虑, 找到与命题相近的性质,并应用性质判断命题真假,当然判断的同时还要用到其他知识,比 如对数函数、指数函数的性质等.

a b 3.(2013· 包头模拟)若 a>0>b>-a,c<d<0,则下列命题:(1)ad>bc;(2) + <0;(3)a- d c c>b-d; (4)a(d-c)>b(d-c)中能成立的个数是( A.1 C.3 ) B.2 D.4

解析:选 C ∵a>0>b,c<d<0,∴ad<0,bc>0, ∴ad<bc.∴(1)错误. ∵a>0>b>-a,∴a>-b>0. ∵c<d<0,∴-c>-d>0. ∴a(-c)>(-b)(-d). a b ac+bd ∴ac+bd<0.∴ + = <0.∴(2)正确. d c cd ∵c<d,∴-c>-d.∵a>b,∴a+(-c)>b+(-d), 即 a-c>b-d.∴(3)正确. ∵a>b,d-c>0,∴a(d-c)>b(d-c).∴(4)正确.

? 1 个区别——不等式与不等关系的区别 不等关系强调的是关系,可用符号“>”,“<”,“≠”,“≥”,“≤”表示,而不等式 则是表示两者的不等关系,可用“a>b”,“a<b”,“a≠b”,“a≥b”,“a≤b”等式子表示, 就像相等关系可以用等式体现一样,不等关系可以用不等式体现. ? 2 条常用性质——不等式取倒数的性质 (1)倒数性质: 1 1 ①a>b,ab>0? < ; a b 1 1 ②a<0<b? < ; a b

a b ③a>b>0,0<c<d? > ; c d 1 1 1 ④0<a<x<b 或 a<x<b<0? < < . b x a (2)若 a>b>0,m>0,则 ①真分数的性质: b b+m b b-m < ; > (b-m>0); a a+m a a-m ②假分数的性质: a a+m a a-m > ; < (b-m>0). b b+m b b-m ? 3 个注意点——应用不等式的性质应注意的问题 (1)在应用传递性时,如果两个不等式中有一个带等号而另一个不带等号,那么等号是 传递不过去的.如 a≤b,b<c?a<c. (2)在乘法法则中,要特别注意“乘数 c 的符号”,例如当 c≠0 时,有 a>b?ac2>bc2; 若无 c≠0 这个条件,a>b?ac2>bc2 就是错误结论(当 c=0 时,取“=”). (3)“a>b>0?an>bn(n∈N*,n>1)”成立的条件是“n 为大于 1 的自然数,a>b>0”,假 如去掉“n 为大于 1 的自然数”这个条件,取 n=-1,a=3,b=2,那么就会出现“3 1>2
-1 -

”的错误结论;假如去掉“b>0”这个条件,取 a=3,b=-4,n=2,那么就会出现“32>(-

4)2”的错误结论.

易误警示——解题时忽视不等式的隐含条件而致误

[典例] (2013· 盐城模拟)已知-1<a+b<3; 2<a-b<4,则 2a+3b 的取值范围为________. [解析] 设 2a+3b=x(a+b)+y(a-b),
?x+y=2, ? 则? 解得 ? ?x-y=3,

?x=2, ? 1 ?y=-2.
5

5 5 15 1 又∵- < (a+b)< ,-2<- (a-b)<-1, 2 2 2 2 9 5 1 13 ∴- < (a+b)- (a-b)< , 2 2 2 2 9 13 即- <2a+3b< . 2 2

9 13 [答案] ?-2, 2 ? ? ? [易误辨析] 1.本题易忽视题目中字母 a,b 相互制约的条件,片面地将 a,b 分割开来考虑,导致 字母的范围发生变化,从而造成解题的错误. 2.当利用不等式的性质和运算法则求某些代数式取值范围的问题时,若题目中出现的 两个变量是相互制约的,不能分割开来,则应建立待求整体与已知变量之间的关系,然后根 据不等式的性质求待求整体的范围,以免扩大范围. [变式训练] 已知函数 f(x)=ax2+bx,且 1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4.求 f(-2)的取值范围. 解:f(-1)=a-b,f(1)=a+b.f(-2)=4a-2b. 设 m(a+b)+n(a-b)=4a-2b.
?m+n=4, ?m=1, ? ? ∴? 解得? ? ? ?m-n=-2, ?n=3.

∴f(-2)=(a+b)+3(a-b)=f(1)+3f(-1). ∵1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4, ∴5≤f(-2)≤10.

一、选择题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分) 1.已知 a,b,c,d 为实数,且 c>d,则“a>b”是“a-c>b-d”的( A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 )

? ?a-c>b-d 解析:选 B 由? ?a>b;而当 a=c=2, ? ?c>d ?a>b b=d=1 时,满足? ,但 a-c>b-d 不成立, ?c>d

所以“a>b”是“a-c>b-d”的必要不充分条件. 2.(2013· 朔州模拟)已知 a<0,-1<b<0,那么下列不等式成立的是( A.a>ab>ab2 C.ab>a>ab2 B.ab2>ab>a D.ab>ab2>a )

解析:选 D 由-1<b<0,可得 b<b2<1,又 a<0, ∴ab>ab2>a.

π π β 3.设 α∈?0,2?,β∈?0,2?,那么 2α- 的取值范围是( ? ? ? ? 3 5π A.?0, 6 ? ? ? C.(0,π) π 5π B.?-6, 6 ? ? ? π D.?-6,π? ? ?

)

β π π β 解析:选 D ∵0<2α<π,0≤ ≤ ,∴- ≤- ≤0. 3 6 6 3 π β ∴- <2α- <π. 6 3 4.(2013· 南平模拟)如果 a,b,c 满足 c<b<a,且 ac<0,那么下列选项中不一定成立的 是( ) A.ab>ac C.cb2<ab2 B.c(b-a)>0 D.ac(a-c)<0

解析:选 C 由题意知 c<0,a>0,则 A 一定正确;B 一定正确;D 一定正确;当 b=0 时 C 不正确. 1 1 5.设 a,b 为正实数,则“a<b”是“a- <b- ”成立的( a b A.充分不必要条件 C.充要条件 解析:选 C ∵a>0,b>0,a<b, 1 1 1 1 ∴ > ,由不等式的性质 a- <b- . a b a b 1 1 ∴由 a<b 可得出 a- <b- . a b 1 1 1 1 当 a- <b- 时,可得(a-b)-?a-b?<0, ? ? a b 1 即(a-b)?1+ab?<0.又∵a>0,b>0,∴a-b<0. ? ? 1 1 ∴a<b.故由 a- <b- 可得出 a<b. a b 1 1 ∴“a<b”是“a- <b- ”成立的充要条件. a b 1 1 1 a b 6.已知 0<a< ,且 M= + ,N= + ,则 M,N 的大小关系是( b 1+a 1+b 1+a 1+b A.M>N C.M=N B.M<N D.不能确定 ) )

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

1 解析:选 A ∵0<a< ,∴1+a>0,1+b>0, b 1-ab>0.

1-a 1-b 2-2ab ∴M-N= + = >0. 1+a 1+b ?1+a??1+b? 二、填空题(本大题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分) 7.如图所示的两种广告牌,其中图(1)是由两个等腰直角三角形构成的,图(2)是一个矩 形,则这两个广告牌面积的大小关系可用含字母 a,b(a≠b)的不等式表示为________.

1 解析:图(1)所示广告牌的面积为 (a2+b2),图(2)所示广告牌的面积为 ab,显然不等式 2 1 表示为 (a2+b2)>ab(a≠b). 2 1 答案: (a2+b2)>ab(a≠b) 2 8.若 x>y>z>1,则 xyz, xy, yz, xz从大到小依次为________. 解析:因为 x>y>z>1,所以有 xy>xz,xz>yz,xyz>xy,于是有 xyz> xy> xz> yz. 答案: xyz, xy, xz, yz 9.已知函数 f(x)=ax2+2ax+4(a>0),若 m<n,且 m+n=a-1,则 f(m)与 f(n)的大小关 系为________. 解析:f(m)-f(n)=am2+2am-an2-2an=a(m2-n2)+2a(m-n)=a(m-n)(m+n+2)= a(m-n)(a+1). ∵a>0,∴a(a+1)>0.又 m<n,故 a(m-n)(a+1)<0. ∴f(m)<f(n). 答案:f(m)<f(n) 三、解答题(本大题共 3 小题,每小题 12 分,共 36 分) 10.比较 x3 与 x2-x+1 的大小. 解:x3-(x2-x+1)=x3-x2+x-1=x2(x-1)+(x-1)=(x-1)(x2+1). ∵x2+1>0, ∴当 x>1 时,(x-1)(x2+1)>0,即 x3>x2-x+1; 当 x=1 时,(x-1)(x2+1)=0,即 x3=x2-x+1; 当 x<1 时,(x-1)(x2+1)<0,即 x3<x2-x+1. 1 1 1 11.设 a>b>c,求证: + + >0. a-b b-c c-a 证明:∵a>b>c,∴-c>-b. 1 1 ∴a-c>a-b>0.∴ > >0. a-b a-c

∴ ∴

1 1 1 + >0.又 b-c>0,∴ >0. a-b c-a b-c 1 1 1 + + >0. a-b b-c c-a

12.已知 f(x)=ax2-c 且-4≤f(1)≤-1,-1≤f(2)≤5,求 f(3)的取值范围.
?a-c=f?1?, ? 解:由题意,得? ? ?4a-c=f?2?,

?a=3[f?2?-f?1?], 解得? 4 1 ?c=-3f?1?+3f?2?.
1 5 8 所以 f(3)=9a-c=- f(1)+ f(2). 3 3 因为-4≤f(1)≤-1, 5 5 20 所以 ≤- f(1)≤ . 3 3 3 因为-1≤f(2)≤5, 8 8 40 所以- ≤ f(2)≤ . 3 3 3 两式相加,得-1≤f(3)≤20,故 f(3)的取值范围是[-1,20].

1. 限速 40 km/h 的路标, 指示司机在前方路段行驶时, 应使汽车的速度 v 不超过 40 km/h, 写成不等式就是( A.v<40 km/h C.v≠40 km/h ) B.v>40 km/h D.v≤40 km/h

解析:选 D 速度 v 不超过 40 km/h,即 v≤40 km/h. 2.已知 a,b,c∈R,则“a>b”是“ac2>bc2”的( A.充分而不必要条件 C.充要条件 解析:选 B )

B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

a>b ?/ ac2>bc2,因为当 c2=0 时,ac2=bc2;反之,ac2>bc2?a>b. ) B.ab<b2 D.|a|+|b|>|a+b|

1 1 3.若 < <0,则下列结论不正确的是( . a b A.a2<b2 C.a+b<0 1 1 解析:选 D ∵ < <0,∴0>a>b. a b ∴a2<b2,ab<b2,a+b<0,|a|+|b|=|a+b|.

第二节 一元二次不等式及其解法

[备考方向要明了]

考 什 么 1.会从实际情境中抽象出一元二次不等式模 型; 2.通过函数图象了解一元二次不等式与相应 的二次函数、一元二次方程的关系; 3.会解一元二次不等式, 对给定的一元二次不 等式,会设计求解的程序框图.

怎 么 考 1.以选择题或填空题的形式考查一元二次不 等式的解法.如 2012 年重庆 T2 等. 2.已知二次函数的零点的分布, 求一元二次方 程中未知参数的取值范围. 3.与函数等知识综合考查一元二次不等式的 相关知识.

[归纳· 知识整合] 一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系如下表 判别式 Δ=b2-4ac 二次函数 y=ax2+bx +c (a>0)的图象 有两相等实根 x1=x2 b =- 2a b {x|x≠- } 2a ? 没有实数根 Δ>0 Δ=0 Δ<0

一元二次方程 ax2+ bx+c=0 (a>0)的根 ax2+bx+c>0 (a> 0)的解集 ax2+bx+c<0 (a> 0)的解集

有两相异实根 x1, x2(x1<x2) {x|x<x1 或 x>x2}

R

{x|x1<x<x2}

?

[探究] 1.ax2+bx+c>0,ax2+bx+c<0(a≠0)对一切 x∈R 都成立的条件是什么?

?a>0, ? 提示:ax2+bx+c>0 对一切 x∈R 都成立的条件为? ? ?Δ<0. ?a<0, ? ax2+bx+c<0 对一切 x∈R 都成立的条件为? ?Δ<0. ?

x-a x-a x-a 2. 可用(x-a)(x-b)>0 的解集代替 >0 的解集, 你认为如何求不等式 <0, ≥0 x-b x-b x-b x-a 及 ≤0 的解集? x-b x-a 提示: <0?(x-a)(x-b)<0; x-b
??x-a??x-b?≥0, ? x-a ≥0?? x-b ? ?x-b≠0; ? ??x-a??x-b?≤0, x-a ≤0?? x-b ? ?x-b≠0.

[自测· 牛刀小试] 1.(教材习题改编)已知集合 A={x|x2-16<0},B={x|x2-4x+3>0},则 A∩B=( A.{x|-4<x<1} C.{x|-4<x<1 或 3<x<4} 解析:选 C 由 x2-16<0,得-4<x<4, 故 A={x|-4<x<4}. 由 x2-4x+3>0,得 x>3 或 x<1, 故 B={x|x>3 或 x<1}. 故 A∩B={x|-4<x<1 或 3<x<4}. x-3 2.不等式 ≤0 的解集为( x-1 A.{x|x<1 或 x≥3} C.{x|1<x≤3} ) B.{x|1≤x≤3} D.{x|1<x<3} B.{x|-4<x<3} D.{x|1<x<4} )

??x-3??x-1?≤0, ? x-3 解析:选 C 由 ≤0,得? x-1 ? ?x-1≠0,

解之得 1 <x≤3.
? 1 ? 3.(教材习题改编)设二次不等式 ax2+bx+1>0 的解集为?x?-1<x<3 ?,则 ab 的值为 ? ? ?

(

) A.-6 C.6 B.-5 D.5

1 解析:选 C ∵x=-1, 是方程 ax2+bx+1=0 的两根, 3 b 1 b 2 1 1 ∴- =-1+ 即 = .又-1× = , a 3 a 3 3 a ∴a=-3,b=-2.∴ab=6. 4. (教材习题改编)若关于 x 的一元二次方程 x2-(m+1)x-m=0 有两个不相等的实数根, 则 m 的取值范围为________. 解析:∵方程 x2-(m+1)x-m=0 有两个不相等的实数根, ∴Δ=(m+1)2+4m>0,即 m2+6m+1>0. ∴m<-3-2 2或 m>-3+2 2. 答案:(-∞,-3-2 2)∪(-3+2 2,+∞) 5.不等式 x2+ax+4<0 的解集不是空集,则实数 a 的取值范围是________. 解析:∵不等式 x2+ax+4<0 的解集不是空集, ∴Δ=a2-4×4>0,即 a2>16. ∴a>4 或 a<-4. 答案:(-∞,-4)∪(4,+∞)

一元二次不等式的解法

[例 1] 求下列不等式的解集: (1)-x2+8x-3>0;(2)x2-4x-5≤0; (3)ax2-(a+1)x+1<0. [自主解答] (1)因为 Δ=82-4×(-1)×(-3)=52>0,所以方程-x2+8x-3=0 有两个 不等实根 x1=4- 13,x2=4+ 13.又二次函数 y=-x2+8x-3 的图象开口向下,所以原不 等式的解集为{x|4- 13<x<4+ 13}. (2)原不等式可化为(x-5)(x+1)≤0,所以原不等式的解集为{x|-1≤x≤5}. (3)若 a=0,原不等式等价于-x+1<0,解得 x>1. 1 1 若 a<0,则原不等式等价于?x-a?(x-1)>0,解得 x< ,或 x>1. ? ? a 1 若 a>0,原不等式等价于?x-a?(x-1)<0. ? ? 1 1 ①当 a=1 时, =1,?x-a?(x-1)<0 无解; ? ? a

1 1 ②当 a>1 时, <1,解?x-a?(x-1)<0 得 ? ? a 1 <x<1; a 1 1 ③当 0<a<1 时, >1,解?x-a?(x-1)<0 得 ? ? a 1 1<x< . a
? ? 1 综上所述,当 a<0 时,解集为?x?x<a 或x>1?; ? ? ? ? 1 ? 当 a=0 时,解集为{x|x>1};当 0<a<1 时,解集为?x?1<x<a ?;当 a=1 时,解集为?; ? ? ? ? 1 ? 当 a>1 时,解集为?x?a <x<1?. ? ? ?

若将本例(2)改为“x2+4x+5≤0”呢? 解:∵Δ=42-4×5=16-20=-4<0, ∴不等式 x2+4x+5≤0 的解集为?.

—————

—————————————— 一元二次不等式的解法

(1)对于常系数一元二次不等式,可以用因式分解法或判别式法求解. (2)对于含参数的不等式,首先需将二次项系数化为正数,若二次项系数不能确定,则 需讨论它的符号,然后判断相应的方程有无实根,最后讨论根的大小,即可求出不等式的解 集.

1.解下列不等式: (1)8x-1≤16x2; (2)x2-2ax-3a2<0(a<0). 解:(1)原不等式转化为 16x2-8x+1≥0,即(4x-1)2≥0, 故原不等式的解集为 R. (2)原不等式转化为(x+a)(x-3a)<0, ∵a<0,∴3a<-a. ∴原不等式的解集为{x|3a<x<-a}.

一元二次不等式的恒成立问题

[例 2] 已知不等式 mx2-2x-m+1<0. (1)若对所有的实数 x 不等式恒成立,求 m 的取值范围; (2)设不等式对于满足|m|≤2 的一切 m 的值都成立,求 x 的取值范围. [自主解答] (1)不等式 mx2-2x-m+1<0 恒成立, 即函数 f(x)=mx2-2x-m+1 的图象全部在 x 轴下方. 当 m=0 时,1-2x<0,不符合题意. 当 m≠0 时,函数 f(x)=mx2-2x-m+1 为二次函数,需满足开口向下且方程 mx2-2x- m+1=0 无解,
? ?m<0, 即? 则 m 无解. ? ?Δ=4-4m?1-m?<0,

综上可知不存在这样的 m. (2)从形式上看,这是一个关于 x 的一元二次不等式,可以换个角度,把它看成关于 m 的一元一次不等式,并且已知它的解集为[-2,2],求参数 x 的范围. 设 f(m)=(x2-1)m+(1-2x), 则其为一个以 m 为自变量的一次函数,其图象是直线,由题意知该直线当-2≤m≤2 时 线段在 x 轴下方,
2 ? ? ?f?-2?<0, ?-2x -2x+3<0, 故? 即? 2 ? ? ?f?2?<0, ?2x -2x-1<0. ②



-1- 7 -1+ 7 由①,得 x< 或 x> . 2 2 1- 3 1+ 3 由②,得 <x< . 2 2 -1+ 7 1+ 3 由①②,得 <x< . 2 2 ∴x 的取值范围为?x?
? ? ? ? ? ?-1+ 7 1+ 3 ?. ? <x< 2 2 ? ? ?

—————

—————————————— 恒成立问题及二次不等式恒成立的条件

(1)解决恒成立问题一定要清楚选谁为主元,谁是参数.一般地,知道谁的范围,就选 谁当主元,求谁的范围,谁就是参数. (2)对于二次不等式恒成立问题,恒大于 0 就是相应的二次函数的图象在给定的区间上 全部在 x 轴上方;恒小于 0 就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在 x 轴下方.

(3)一元二次不等式恒成立的条件 ①ax2+bx+c>0(a≠0)恒成立的充要条件是: a>0 且 b2-4ac<0(x∈R). ②ax2+bx+c<0(a≠0)恒成立的充要条件是: a<0 且 b2-4ac<0(x∈R).

2.已知 f(x)=x2-2ax+2(a∈R),当 x∈[-1,+∞)时,f(x)≥a 恒成立,求 a 的取值范 围. 解:法一:f(x)=(x-a)2+2-a2,此二次函数图象的对称轴为 x=a. ①当 a∈(-∞,-1)时,f(x)在[-1,+∞)上单调递增,f(x)min=f(-1)=2a+3. 要使 f(x)≥a 恒成立,只需 f(x)min≥a, 即 2a+3≥a,解得-3≤a<-1; ②当 a∈[-1,+∞)时,f(x)min=f(a)=2-a2,由 2-a2≥a,解得-1≤a≤1. 综上所述,所求 a 的取值范围为[-3,1]. 法二:令 g(x)=x2-2ax+2-a,由已知, 得 x2-2ax+2-a≥0 在[-1,+∞)上恒成立,

?Δ>0, ? 即 Δ=4a -4(2-a)≤0 或?a<-1, ?g?-1?≥0. ?
2

解得-3≤a≤1.所求 a 的取值范围是[-3,1].

一元二次不等式的应用

[例 3] 某汽车厂上年度生产汽车的投入成本为 10 万元/辆, 出厂价为 12 万元/辆, 年销 售量为 10 000 辆.本年度为适应市场需求,计划提高产品质量,适度增加投入成本.若每 辆车投入成本增加的比例为 x(0<x<1),则出厂价相应地提高比例为 0.75x,同时预计年销售 量增加的比例为 0.6x,已知年利润=(出厂价-投入成本)×年销售量. (1)写出本年度预计的年利润 y 与投入成本增加的比例 x 的关系式; (2)为使本年度的年利润比上年度有所增加, 则投入成本增加的比例 x 应在什么范围内? [自主解答] (1)由题意得 y=[12(1+0.75x)-10(1+x)]×10 000(1+0.6x)(0<x<1), 整理得 y=-6 000x2+2 000x+20 000(0<x<1). (2)要保证本年度的年利润比上年度有所增加,必须有

?y-?12-10?×10 000>0, ?-6 000x2+2 000x>0, ? ? ? 即? ? ? ?0<x<1, ?0<x<1,

1 解得 0<x< , 3 1 所以投入成本增加的比例应在?0,3?范围内. ? ? ————— —————————————— 解不等式应用题的步骤

3.某同学要把自己的计算机接入因特网.现有两家 ISP 公司可供选择.公司 A 每小时 收费 1.5 元;公司 B 在用户每次上网的第 1 小时内收费 1.7 元,第 2 小时内收费 1.6 元,以 后每小时减少 0.1 元(若用户一次上网时间超过 17 小时,按 17 小时计算).假设该同学一次 上网时间总和小于 17 小时,那么该同学如何选择 ISP 公司较省钱? 解:假设一次上网 x 小时,则公司 A 收取的费用为 1.5x 元, x?35-x? 公司 B 收取的费用通过计算得 元. 20 若能够保证选择 A 比选择 B 费用少, 则 x?35-x? >1.5x(0<x<17), 20

整理得 x2-5x<0,解得 0<x<5, 所以当一次上网时间在 5 小时以内时,选择公司 A 的费用少;超过 5 小时,选择公司 B 的费用少.

? 1 个防范——二次项系数中参数的取值 二次项系数中含有参数时, 参数的符号影响不等式的解集, 不要忘了二次项系数是否为 零的情况. ? 2 种思想——分类讨论和转化思想 (1)分类讨论的思想:含有参数的一元二次不等式一般需要分类讨论.在判断方程根的

情况时,判别式是分类的标准;需要表示不等式的解集时,根的大小是分类的标准. (2)转化思想:不等式在指定范围的恒成立问题,一般转化为求函数的最值或值域.

创新交汇——一元二次不等式与函数交汇问题

1.一元二次不等式的解法常与函数的零点、函数的值域、方程的根及指数函数、对数 函数、抽象函数等交汇综合考查. 2.解决此类问题可以根据一次、二次不等式,分式不等式,简单的指数、对数不等式 的解法进行适当的变形求解,也可以利用函数的单调性把抽象不等式进行转化求解. [典例] (2012· 浙江高考)设 a∈R,若 x>0 时均有[(a-1)x-1](x2-ax-1)≥0,则 a= ________. [解析] ∵x>0,∴当 a≤1 时,(a-1)x-1<0 恒成立.∴[(a-1)x-1](x2-ax-1)≥0 不 可能恒成立. ∴a>1. 对于 x2-ax-1=0,设其两根为 x2,x3,且 x2<x3, 易知 x2<0,x3>0. 又当 x>0 时,原不等式恒成立, 通过 y=(a-1)x-1 与 y=x2-ax-1 图象可知 x1= 1 必须满足方程 x2-ax-1=0,即 x1=x3, a-1

3 代入解得 a= 或 a=0(舍). 2 [答案] 3 2

[名师点评] 1.本题具有以下创新点 (1)本题是考查三次不等式的恒成立问题,可转化为含参数的一元一次不等式及一元二 次不等式的恒成立问题. (2)本题将分类讨论思想、整体思想有机结合在一起,考查了学生灵活处理恒成立问题 的方法和水平. 2.解决本题的关键 (1)将三次不等式转化为一元一次不等式和一元二次不等式问题; (2)若直接通过函数求导、求最小值,则运算量大,基本上无法求解;而通过一次函数 y1=(a-1)x-1(x>0)及二次函数 y2=x2-ax-1(x>0)图象的变化情况,再结合 y1·2 的结果得 y



1 为方程 x2-ax-1=0 的根,使问题得以巧妙解决. a-1 [变式训练] 1.偶函数 f(x)(x∈R)满足:f(-4)=f(1)=0,且在区间[0,3]与[3,+∞)上分别递减和递

增,则不等式 x3f(x)<0 的解集为( A.(-∞,-4)∪(4,+∞) B.(-4,-1)∪(1,4) C.(-∞,-4)∪(-1,0) D.(-∞,-4)∪(-1,0)∪(1,4)

)

解析: D 由图知,f(x)<0 的解集为(-4, 选 -1)∪(1,4),∴不等式 x3f(x)<0 的解集为(- ∞,-4)∪(-1,0)∪(1,4).

2.已知函数 f(x)的定义域为(-∞,+∞),f′(x)为 f(x)的导函数, 函数 y=f′(x)的图象如图所示,且 f(-2)=1,f(3)=1,则不等式 f(x2- 6)>1 的解集为( )

A.(2,3)∪(-3,-2) B.(- 2, 2) C.(2,3) D.(-∞,- 2)∪( 2,+∞) 解析:选 A 由导函数图象知当 x<0 时,f′(x)>0, 即 f(x)在(-∞,0)上为增函数; 当 x>0 时,f′(x)<0,即 f(x)在(0,+∞)上为减函数. 故不等式 f(x2-6)>1 等价于 f(x2-6)>f(-2)或 f(x2-6)>f(3),即-2<x2-6≤0 或 0≤x2- 6<3.解得 x∈(2,3)∪(-3,-2).

一、选择题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分) 1 1.不等式 ≥-1 的解集为( x-1 A.(-∞,0]∪(1,+∞) C.[0,1)∪(1,+∞) ) B.[0,+∞) D.(-∞,0]∪[1,+∞)

解析:选 A

1 1 x ≥-1? +1≥0? ≥0, x-1 x-1 x-1

? ?x?x-1?≥0, ∴? ?x≤0 或 x>1. ? ?x-1≠0,

2.已知不等式 2x≤x2 的解集为 P,不等式(x-1)(x+2)<0 的解集为 Q,则集合 P∩Q 等 于( ) A.{x|-2<x≤2} C.{x|0≤x<1} B.{x|-2<x≤0} D.{x|-1<x≤2}

解析:选 B P={x|x2-2x≥0}={x|x≤0 或 x≥2}, Q={x|-2<x<1}, 所以 P∩Q={x|-2<x≤0}. 3.不等式 f(x)=ax2-x-c>0 的解集为{x|-2<x<1},则函数 y=f(-x)的图象为图中的 ( )

解析:选 B 由根与系数的关系知 1 c =-2+1,- =-2,得 a=-1,c=-2. a a f(-x)=-x2+x+2 的图象开口向下,由-x2+x+2=0 得两根分别为-1 和 2. 4.某产品的总成本 y(万元)与产量 x(台)之间的函数关系是 y=3 000+20x- 0.1x2(0<x<240),若每台产品的售价为 25 万元,则生产者不亏本(销售收入不小于总成本)时 的最低产量是( A.100 台 C.150 台 ) B.120 台 D.180 台

解析:选 C 依题意得 25x≥3 000+20x-0.1x2, 整理得 x2+50x-30 000≥0, 解得 x≥150 或 x≤-200. 因为 0<x<240,所以 150≤x<240. 即最低产量是 150 台. 5.设 f(x)=x2+bx-3,且 f(-2)=f(0),则 f(x)≤0 的解集为( A.(-3,1) C.[-3,-1] 解析:选 B ∵f(-2)=f(0), B.[-3,1] D.(-3,-1] )

∴4-2b-3=-3.解得 b=2. ∴f(x)≤0?x2+2x-3≤0?(x+3)(x-1)≤0. ∴-3≤x≤1. 6.若函数 f(x)=(a2+4a-5)x2-4(a-1)x+3 的图象恒在 x 轴上方,则 a 的取值范围是 ( ) A.[1,19] C.[1,19) B.(1, 19) D.(1,19]

解析:选 C 函数图象恒在 x 轴上方,即不等式 (a2+4a-5)x2-4(a-1)x+3>0 对于一切 x∈R 恒成立. (1)当 a2+4a-5=0 时,有 a=-5 或 a=1.若 a=-5,不等式化为 24x+3>0,不满足题 意;若 a=1,不等式化为 3>0,满足题意. (2)当 a2+4a-5≠0 时,应有
?a2+4a-5>0, ? ? 2 2 ? ?16?a-1? -12?a +4a-5?<0.

解得 1<a<19. 综上可知,a 的取值范围是 1≤a<19. 二、填空题(本大题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分) 7.不等式|x(x-2)|>x(x-2)的解集是________. 解析:不等式|x(x-2)|>x(x-2)的解集即 x(x-2)<0 的解集,解得 0<x<2. 答案:{x|0<x<2} 8.不等式 x2-2x+5≥a2-3a 对任意实数 x 恒成立,则实数 a 的取值范围为________. 解析:x2-2x+5=(x-1)2+4 的最小值为 4, ∴x2-2x+5≥a2-3a 对任意实数 x 恒成立,只需 a2-3a≤4.解得-1≤a≤4. 答案:[-1,4] 9.已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x≥0 时,f(x)=x2+2x,若 f(2-a2)>f(a),则实 数 a 的取值范围是________. 解析:∵f(x)是奇函数, ∴当 x<0 时,f(x)=-x2+2x. 作出 f(x)的大致图象如图中实线所示, 结合图象可知 f(x)是 R 上的增函数, 由 f(2-a2)>f(a),得 2-a2>a, 即-2<a<1. 答案:(-2,1) 三、解答题(本大题共 3 小题,每小题 12 分,共 36 分)

10.解不等式: log 1 (3x2-2x-5)≤log 1 (4x2+x-5).
2 2

解:原不等式等价于
?3x2-2x-5≥4x2+x-5, ? ? 2 ? ?4x +x-5>0, ②



①得 x2+3x≤0 即-3≤x≤0, 5 ②得 x>1 或 x<- , 4
? 5 ? 故原不等式的解集为?x?-3≤x<-4 ?. ? ? ?

1 11.当 0≤x≤2 时,不等式 (2t-t2)≤x2-3x+2≤3-t2 恒成立,试求 t 的取值范围. 8 解:令 y=x2-3x+2,0≤x≤2. 3 1 ∵y=x2-3x+2=?x-2?2- , ? ? 4 1 ∴y 在 0≤x≤2 上取得最小值为- ,最大值为 2. 4 1 若 (2t-t2)≤x2-3x+2≤3-t2, 8

?1?2t-t2?≤-1, ? 4 在 0≤x≤2 上恒成立,则?8 ?3-t2≥2, ?
?t2-2t-2≥0, ? ?t≤1- 3, ?t≥1+ 3, 即? 2 解得? 或? ? ?t -1≤0. ?-1≤t≤1, ?-1≤t≤1.

∴t 的取值范围为[-1,1- 3 ]. 12.行驶中的汽车,在刹车时由于惯性作用,要继续往前滑行一段距离才能停下,这段 距离叫做刹车距离.在某种路面上,某种型号汽车的刹车距离 s(m)与 nv v2 汽车的车速(km/h)满足下列关系:s= + (n 为常数,且 n∈N*), 100 400
?6<s1<8, ? 做了两次刹车试验,有关试验数据如图所示,其中? ? ?14<s2<17.

(1)求 n 的值; (2)要使刹车距离不超过 12.6 m,则行驶的最大速度是多少?

?6<100+ 400 <8, 解:(1)依题意得? 70n 4 900 ?14<100+ 400 <17.
40n 1 600

?5<n<10, ? 解得?5 又 n∈N*,所以 n=6. 95 ?2<n<14, ?
(2)s= 3v v2 + ≤12.6?v2+24v-5 040≤0? 50 400

-84≤v≤60,因为 v≥0,所以 0≤v≤60,即行驶的最大速度为 60 km/h.

1.不等式 2x2-x-1>0 的解集是( 1 A.?-2,1? ? ? C.(-∞,1)∪(2,+∞)

) B.(1,+∞) 1 D.?-∞,-2?∪(1,+∞) ? ?

解析:选 D ∵2x2-x-1>0,∴(2x+1)(x-1)>0,
? ? 1 1 ∴x<- 或 x>1.∴解集为?x?x<-2 或x>1?. ? 2 ? ?

2x2+2mx+m 2.如果不等式 2 <1 对一切实数 x 均成立,则实数 m 的取值范围是( 4x +6x+3 A.(1,3) C.(-∞,1)∪(2,+∞) B.(-∞,3) D.(-∞,+∞)

)

3 3 解析:选 A 由于 4x2+6x+3=?2x+2?2+ >0,所以不等式可化为 2x2+2mx+m<4x2 ? ? 4 +6x+3,即 2x2+(6-2m)x+(3-m)>0. 依题意有(6-2m)2-8(3-m)<0,解得 1<m<3. 3.若关于 x 的不等式 ax2-x+2a<0 的解集为?,则实数 a 的取值范围是________. 解析:依题意可知,问题等价于 ax2-x+2a≥0 恒成立, 当 a=0 时,-x≥0 不恒成立,故 a=0 不合题意; 当 a≠0 时,要使 ax2-x+2a≥0 恒成立, 即 f(x)=ax2-x+2a 的图象不在 x 轴的下方,
? ? ?a>0, ?a>0, ∴? 即? 2 ?Δ≤0, ?1-8a ≤0. ? ?

解得 a≥ 答案:?

2 2 ,即 a 的取值范围是? ,+∞?. 4 ?4 ?

2 ? ? 4 ,+∞?

4.汽车在行驶中,由于惯性作用,刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住,我们 称这段距离为“刹车距离”. 刹车距离是分析交通事故的一个重要因素. 在一个限速 40 km/h

的弯道上,甲、乙两辆汽车相向而行,发现情况不对,同时刹车,但还是相碰了,事发后现 场测得甲车的刹车距离略超过 12 m,乙车的刹车距离略超过 10 m,又知甲、乙两种车型的 刹车距离 s(m)与车速 x(km/h)之间有如下关系:s 甲=0.1x+0.01x2,s 乙=0.05x+0.005x2.问: 是谁超速行驶应负主要责任? 解:由题意列出不等式对甲车型:0.1x+0.01x2>12, 解得 x>30(x<-40 舍去); 对乙车型:0.05x+0.005x2>10, 解得 x>40(x<-50 舍去),从而 x 甲>30 km/h,x 乙>40 km/h, 经比较知乙车超过限速,应负主要责任.

第三节 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题

[备考方向要明了]

考 什 么 1.会从实际情境中抽象出 二元一次不等式组. 2.了解二元一次不等式的 几何意义,能用平面区域 表示二元一次不等式组. 3.会从实际情境中抽象出 一些简单的二元线性规划 问题,并能加以解决.

怎 么 考 1.考查形式:选择题或填空题. 2.命题角度: (1)求目标函数的最大值或最小值,或以最值为载体求其参数的 值(范围),如 2012 年广东 T5,新课标全国 T14,山东 T5 等. (2)利用线性规划方法求解实际问题中的最优方案,如 2012 年江 西 T8 等. (3)将线性规划问题与其他知识相结合,如向量、不等式、导数 等相结合命题,如 2012 年陕西 T14,福建 T9 等.

[归纳· 知识整合] 1.二元一次不等式表示的平面区域 (1)一般地, 在平面直角坐标系中, 二元一次不等式 Ax+By+C>0 表示直线 Ax+By+C =0 某一侧的所有点组成的平面区域(半平面)不包括边界直线. 不等式 Ax+By+C≥0 所表示的平面区域(半平面)包括边界直线.

(2)对于直线 Ax+By+C=0 同一侧的所有点(x,y),使得 Ax+By+C 的值符号相同,也 就是位于同一半平面的点,其坐标适合 Ax+By+C>0;而位于另一个半平面内的点,其坐 标适合 Ax+By+C<0. (3)可在直线 Ax+By+C=0 的某一侧任取一点,一般取特殊点(x0,y0),从 Ax0+By0+C 的符号来判断 Ax+By+C>0(或 Ax+By+C<0)所表示的区域. (4)由几个不等式组成的不等式组所表示的平面区域,是各个不等式所表示的平面区域 的公共部分. 2.线性规划中的基本概念 名称 约束条件 线性约束条件 目标函数 线性目标函数 可行解 可行域 最优解 线性规划问题 意义 由变量 x,y 组成的不等式 由 x,y 的一次不等式(或方程)组成的不等式(组) 关于 x,y 的函数解析式,如 z=2x+3y 等 关于 x,y 的一次解析式 满足线性约束条件的解(x,y) 所有可行解组成的集合 使目标函数取得最大值或最小值的可行解 在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题

[探究] 1.点 P1(x1, 1)和 P2(x2, 2)位于直线 Ax+By+C=0 的两侧的充要条件是什么? y y 提示:(Ax1+By1+C)(Ax2+By2+C)<0. 2.可行解与最优解有何关系?最优解是否唯一? 提示:最优解必定是可行解,但可行解不一定是最优解,最优解不一定唯一. [自测· 牛刀小试] 1.(教材习题改编)不等式 x-2y+6<0 表示的区域在直线 x-2y+6=0 的( A.右上方 C.左上方 B.右下方 D.左下方 )

解析:选 C 画出图形如图所示,可知该区域在直线 x-2y+6=0 的左上方.

2. (教材习题改编)不等式(x-2y+1)(x+y-3)≤0 在直角坐标平面内表示的区域(用阴影

部分表示),应是下列图形中的(

)

解析:选 C

(x-2y+1)(x+y-3)≤0?

?x-2y+1≥0, ?x-2y+1≤0, ? ? ? 或? ? ? ?x+y-3≤0, ?x+y-3≥0.

3.如图所示,阴影部分表示的区域可用二元一次不等式组表示的是(

)

? ?x+y-1≥0 A.? ?x-2y+2≥0 ? ?x+y-1≥0 ? C.? ? ?x-2y+2≤0

? ?x+y-1≤0 B.? ?x-2y+2≤0 ? ?x+y-1≤0 ? D.? ? ?x-2y+2≥0

解析: A 两条直线方程为: 选 x+y-1=0, x-2y+2=0.将点(1,1)代入 x+y-1 得 1>0, 代入 x-2y+2 得 1>0,即点(1,1)在 x-2y+2≥0 的内部,在 x+y-1≥0 的内部,故所求二
? ?x+y-1≥0, 元一次不等式组为? ? ?x-2y+2≥0.

4.下列各点中,与点(1,2)位于直线 x+y-1=0 的同一侧的是( A.(0,0) C.(-1,3) B.(-1,1) D.(2,-3)

)

解析:选 C 当 x=1,y=2 时,x+y-1=1+2-1=2>0, 当 x=-1,y=3 时,x+y-1=-1+3-1=1>0, 故(-1,3)与(1,2)位于直线 x+y-1=0 的同侧.

?x+y≤1, ? 5.(2012· 广东高考)已知变量 x,y 满足约束条件?x-y≤1, ?x+1≥0, ?
( ) A.3 C.-5 B.1 D.-6

则 z=x+2y 的最小值为

?x+y≤1, ? 解析:选 C 变量 x,y 满足的不等式组?x-y≤1, ?x+1≥0 ?

表示的平面区域如图所示,作辅

助线 l0:x+2y=0,并平移到过点 A(-1,-2)时,z=x+2y 达到最小,最小值为-5.

二元一次不等式(组)表示的平面区域

?x+y-3≤0, ? [例 1] (2012· 福建高考)若直线 y=2x 上存在点(x, y)满足约束条件?x-2y-3≤0, ?x≥m, ?
实数 m 的最大值为( A.-1 3 C. 2 [自主解答] 如图所示: 约束条件 ) B.1 D.2



?x+y-3≤0, ? ?x-2y-3≤0, ?x≥m ?

表示的可行域如阴影部分所示.当直

线 x =m 从如 图 所示 的实 线 位 臵运 动 到过 A 点的 位 臵 时,m 取 最大 值. 解 方 程组
?x+y-3=0, ? ? 得 A 点坐标为(1,2),故 m 的最大值是 1. ? ?y=2x,

[答案] B

—————

—————————————— 二元一次不等式表示的平面区域的画法

在平面直角坐标系中,设有直线 Ax+By+C=0(B 不为 0)及点 P(x0,y0),则 (1)若 B>0,Ax0+By0+C>0,则点 P 在直线的上方,此时不等式 Ax+By+C>0 表示直线 Ax+By+C=0 的上方的区域. (2)若 B>0,Ax0+By0+C<0,则点 P 在直线的下方,此时不等式 Ax+By+C<0 表示直线 Ax+By+C=0 的下方的区域.(注:若 B 为负,则可先将其变为正) (3)若是二元一次不等式组,则其平面区域是所有平面区域的公共部分.

?0≤x≤2, ? 1.已知关于 x,y 的不等式组?x+y-2≥0, ?kx-y+2≥0 ?
值为( A.1 C.1 或-3 )

所表示的平面区域的面积为 4,则 k 的

B.-3 D.0

解析:选 A 其中平面区域 kx-y+2≥0 是含有坐标原点的半平面.直线 kx-y+2=0 又过定点(0,2),这样就可以根据平面区域的面积为 4,确定一个封闭的区域,作出平面区域 即可求解.平面区域如图所示,根据区域面积为 4,得 A(2,4),代入直线方程,得 k=1.

利用线性规划求最值

?x-4y+3≤0, ? [例 2] 变量 x,y 满足?3x+5y-25≤0, ?x≥1, ?
设 z=4x-3y,求 z 的最大值.

?x-4y+3≤0, ? [自主解答] 由约束条件?3x+5y-25≤0, ?x≥1, ?

作出(x,y)的可行域如图所示. 4 z 由 z=4x-3y,得 y= x- . 3 3 4 z z 求 z=4x-3y 的最大值,相当于求直线 y= x- 在 y 轴上的截距- 的最小值. 3 3 3 4 4 z z 平移直线 y= x 知,当直线 y= x- 过点 B 时,- 最小,z 最大. 3 3 3 3
?x-4y+3=0, ? 由? 解得 B(5,2). ? ?3x+5y-25=0,

故 zmax=4×5-3×2=14.

保持例题条件不变,如何解决下列问题. y (1)设 z= ,求 z 的最小值; x (2)设 z=x2+y2,求 z 的取值范围. y y-0 解:(1)∵z= = . x x-0 2 ∴z 的值即是可行域中的点与原点 O 连线的斜率.观察图形可知 zmin=kOB= . 5 (2)z=x2+y2 的几何意义是可行域上的点到原点 O 的距离的平方.结合图形可知,可行 域上的点到原点的距离中,
? ?x=1, 由? 解得 C(1,1). ? ?x-4y+3=0,

dmin=|OC|= 2,dmax=|OB|= 29. ∴2≤z≤29.

—————

—————————————— 目标函数最值问题分析

(1)线性目标函数的最大(小)值一般在可行域的顶点处取得,也可能在边界处取得. (2)求线性目标函数的最优解,要注意分析线性目标函数所表示的几何意义——在 y 轴 上的截距或其相反数. (3)对目标函数不是一次函数的问题, 常考虑目标函数的几何意义, 如① (x,y)与原点(0,0)之间的距离; x2+y2表示点

y ?x-a?2+?y-b?2表示点(x,y)与点(a,b)之间的距离.② 表 x

y-b 示点(x,y)与原点(0,0)连线的斜率; 表示点(x,y)与点(a,b)连线的斜率.这些代数式的 x-a 几何意义能使所求代数问题转化为几何问题.

?x-y+6≥0, ? 2.已知实数 x,y 满足?x+y≥0, ?x≤3, ?
3,则实数 a 的取值范围为________.

若 z=ax+y 的最大值为 3a+9,最小值为 3a-

解析:作出 x,y 满足的可行域,如图中阴影部分所示,则 z 在点 A 处取得最大值,在 点 C 处取得最小值,又 kBC=-1,kAB=1,∴-1≤-a≤1,即-1≤a≤1.

答案:[-1,1] 线性规划的实际应用

[例 3] (2012· 江西高考)某农户计划种植黄瓜和韭菜,种植面积不超过 50 亩,投入资金 不超过 54 万元,假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表( 年产量/亩 黄瓜 韭菜 4吨 6吨 年种植成本/亩 1.2 万元 0.9 万元 )

每吨售价 0.55 万元 0.3 万元

为使一年的种植总利润(总利润=总销售收入-总种植成本)最大,那么黄瓜和韭菜的种 植面积(单位:亩)分别为( A.50,0 C.20,30 ) B.30,20 D.0,50

[自主解答] 设黄瓜和韭菜的种植面积分别为 x 亩,y 亩,总利润为 z 万元,则目标函 数为 z=(0.55×4x-1.2x)+(0.3×6y-0.9y)=x+0.9y.

?x+y≤50, ?1.2x+0.9y≤54, 线性约束条件为? x≥0, ?y≥0, ?
画出可行域,如图所示.

?x+y≤50, ?4x+3y≤180, 即? x≥0, ?y≥0. ?

?x+y=50, ? 作出直线 l0:x+0.9y=0,向上平移至过点 A 时,z 取得最大值,由? 解 ? ?4x+3y=180,

得 A(30,20). [答案] B ————— —————————————— 解答线性规划实际问题的一般步骤 (1)根据题意设出变量,找出约束条件和目标函数; (2)准确作出可行域,求出最优解; (3)将求解出来的结论反馈到实际问题当中,设计最佳方案.

3.A,B 两种规格的产品需要在甲、乙两台机器上各自加工一道工序才能成为成品.已 知 A 产品需要在甲机器上加工 3 小时, 在乙机器上加工 1 小时; 产品需要在甲机器上加工 B 1 小时,在乙机器上加工 3 小时.在一个工作日内,甲机器至多只能使用 11 小时,乙机器 至多只能使用 9 小时.A 产品每件利润 300 元,B 产品每件利润 400 元,则这两台机器在一 个工作日内创造的最大利润是________元.

?3x+y≤11, ? 解析:设生产 A,B 两种产品各 x 件,y 件,则 x,y 满足约束条件?x+3y≤9, ?x∈N,y∈N, ?
生产利润为 z=300x+400y.
? ?3x+y=11, 画出可行域,如图所示,显然目标函数在点 A 处取得最大值,由方程组? ? ?x+3y=9, ? ?x=3, 解得? 此时目标函数的最大值是 300×3+400×2=1 700. ?y=2, ?

故最大利润是 1 700 元.

答案:1 700

? 1 种方法——确定二元一次不等式所表示的平面区域的方法 (1)直线定界,即若不等式不含等号,则应把直线画成虚线;若不等式含有等号,把直 线画成实线. (2)特殊点定域,即在直线 Ax+By+C=0 的某一侧取一个特殊点(x0,y0)作为测试点代 入不等式检验,若满足不等式,则表示的就是包括该点的这一侧,否则就表示直线的另一 侧.特别地,当 C≠0 时,常把原点作为测试点;当 C=0 时,常选点(1,0)或者(0,1)作为测 试点. ? 1 个步骤——利用线性规划求最值的步骤 (1)在平面直角坐标系内作出可行域; (2)考虑目标函数的几何意义,将目标函数进行变形; (3)在可行域内平行移动目标函数变形后的直线,从而确定最优解; (4)将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值. ? 1 个几何意义——线性目标函数最值的几何意义 求二元一次函数 z=ax+by(ab≠0)的最值,将函数 z=ax+by 转化为直线的斜截式:y a z z =- x+ ,通过求直线的截距 的最值间接求出 z 的最值,应注意以下两点: b b b z z (1)若 b>0,则截距 取最大值时,z 也取最大值;截距 取最小值时,z 也取最小值. b b z z (2)若 b<0,则截距 取最大值时,z 取最小值;截距 取最小值时,z 取最大值.按 m= b b (a,b)方向平移直线 ax+by=0,z 越来越大.

创新交汇——与线性规划有关的交汇问题

1.线性规划问题常与指数函数、对数函数、向量以及解析几何的相关知识交汇命题. 2.解决此类问题的思维精髓是“数形结合”,作图要精确,图上操作要规范. [典例] (2012· 江苏高考)已知正数 a,b,c 满足:5c-3a≤b≤4c-a,cln b≥a+cln c, b 则 的取值范围是________. a [解析] 由条件可得

? ?a b ?c+c≤4, ?b≥ea, ?c c
a b 3·+ ≥5 c c

?3x+y≥5, ? a b 令 =x, =y,则问题转化为约束条件为?x+y≤4, c c ?y≥ex, ?

b y 求目标函数 z= = 的取值范 a x

围.作出不等式组所表示的平面区域(如图中阴影部分),过原点作 y=ex 的切线,切线方程 为 y=ex,切点 P(1,e)在区域内.故当直线 y=zx 过点 P(1,e)时,zmin=e;当直线 y=zx 1 7 b 过点 C?2,2?时,zmax=7,故 ∈[e,7]. ? ? a [答案] [e,7] [名师点评] 1.本题具有以下创新点 (1)命题角度新颖,本题不是直接给出线性约束条件和目标函数求最值,因而需要将所 给不等式组进行合理转化后,约束条件才明朗. (2)考查知识点新颖,本题将不等式,对数、指数函数,导数以及曲线的切线问题相交 汇,运算求解能力、运用数形结合、分类讨论的思想方法分析与解决问题的能力要求较高. 2.解决本题的关键 (1)正确将不等式 5c-3a≤b≤4c-a,clnb≥a+clnc 进行合理转化,明确约束条件,将 其转化为线性规划问题; b (2)正确识别 的几何意义,将其转化为斜率问题求解. a [变式训练]

?0≤x≤ 1.已知平面直角坐标系 xOy 上的区域 D 由不等式组?y≤2, ?x≤ 2y
???? ??? ? ?
A.3 C.3 2 解析:选 B 区域 D 如图所示: B.4 D.4 2

2, 给定,若 M(x,y)

为 D 上的动点,点 A 的坐标为( 2,1),则 z= OM · 的最大值为( OA

)

OA 设 M(x,y),则 z= OM · =(x,y)· 2,1)= 2x+y. (
要求目标函数 z= 2x+y 的最大值即求直线 y=- 2x+z 在 y 轴上截距的最大值, l0: 画 y=- 2x,由图知过直线 y=2 与直线 x= 2的交点 M( 2,2)时,z 取得最大值为 zmax= 2 × 2+2=4.

???? ??? ? ?

?x+y-11≥0, ? 2.设不等式组?3x-y+3≥0, ?5x-3y+9≤0 ?
区域 D 上的点,则 a 的取值范围是( A.(1,3] C.(1,2]

表示的平面区域为 D.若指数函数 y=ax 的图象上存在

) B.[2,3] D.[3,+∞)

解析:选 A 平面区域 D 如图所示.

要使指数函数 y=ax 的图象上存在区域 D 上的点, 所以 1<a≤3.
?ln x, x>0, ? 3.(2012· 陕西高考)设函数 f(x)=? ? ?-2x-1,x≤0,

D 是由 x 轴和曲线 y=f(x)及该曲线在点(1,0)处的切线所围成的封闭区域,则 z=x-2y

在 D 上的最大值为______________. 1 解析:当 x>0 时,求导得 f′(x)= ,所以曲线在点(1,0)处的切线的斜率 k=1,切线方 x 1 程为 y=x-1, 画图可知区域 D 为三角形, 三个顶点的坐标分别为?-2,0?, -1), (1,0), ? ? (0, 平移直线 x-2y=0,可知在点(0,-1)处 z 取得最大值 2. 答案:2

一、选择题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分)

?x≥0, ? 1.不等式组?x+3y≥4, ?3x+y≤4 ?
3 A. 2 4 C. 3

所表示的平面区域的面积等于(

)

2 B. 3 3 D. 4

解析:选 C 平面区域如图.

?x+3y=4, ? 解? ? ?3x+y=4,

得 A(1,1), 4 易得 B(0,4),C?0,3?, ? ? 4 8 ∵|BC|=4- = . 3 3 1 8 4 ∴S△ABC= × ×1= . 2 3 3
?|x|≤|y|, ? 2.在平面直角坐标系 xOy 中,满足不等式组? 的点(x,y)的集合用阴影表示为 ? ?|x|<1

下列图中的(

)

解析:选 C

|x|=|y|把平面分成四部分,|x|≤|y|表示含 y 轴的两个区域;|x|<1 表示 x=± 1

所夹含 y 轴的带状区域.

?2x+y-2≥0, ? 3.(2012· 天津高考)设变量 x,y 满足约束条件?x-2y+4≥0, ?x-1≤0, ?
的最小值为( A.-5 C.-2 ) B.-4 D.3

则目标函数 z=3x-2y

解析:选 B 不等式表示的平面区域是如图所示的阴影部分,作辅助线 l0:3x-2y=0, 结合图形可知,当直线 3x-2y=z 平移到过点(0,2)时,z=3x-2y 的值最小,最小值为-4.

?x-y+1≤0, ? 4.若实数 x,y 满足?x>0, ?y≤2, ?
A.(0,2) C.(2,+∞)

y 则 的取值范围是( x B.(0,2] D.[2,+∞)

)

解析:选 D 画出线性约束条件的可行域(如图). y 的几何意义是可行域内的点与坐标原点连线的斜率 k. x
?x-y+1=0, ? 由? 得 A(1,2), ? ?y=2,

故 k≥kOA=2. y ∴ ≥2. x

?x-y≤10, ? 5.(2012· 辽宁高考)设变量 x,y 满足?0≤x+y≤20, ?0≤y≤15, ?

则 2x+3y 的最大值为( A.20 C.45

) B.35 D.55

解析: D 作出不等式组对应的平面区域(如图所示), 选 平移 2 直线 y=- x,易知直线经过可行域上的点 A(5,15)时,2x+3y 取 3 得最大值 55.
? ?x-y-4≤0, 6.(2013· 衡水模拟)点 P(2,t)在不等式组? 表示的平面区域内,则点 P(2, ?x+y-3≤0, ?

t)到直线 3x+4y+10=0 距离的最大值为( A.2 C.6 解析:选 B 示).

) B.4 D.8

画出不等式组表示的平面区域(如图阴影部分所

结合图形可知,点 A 到直线 3x+4y+10=0 的距离最大.由
? ?x=2 ? 得 A 点 坐 标 为 (2,1) , 故 所 求 最 大 距 离 为 dmax = ?x+y-3=0 ?

|3×2+4×1+10| =4. 32+42 二、填空题(本大题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分) 7.已知点(-3,-1)和点(4,-6)在直线 3x-2y-a=0 的两侧,则 a 的取值范围为 ________. 解析:根据题意知(-9+2-a)· (12+12-a)<0, 即(a+7)(a-24)<0,解得-7<a<24. 答案:(-7,24)

?x-4y+3≤0, ? 8.(2013· 濮阳模拟)已知点 A(2,0),点 P 的坐标(x,y)满足?3x+5y≤25, ?x-1≥0, ?
∠AOP(O 为坐标原点)的最大值是________.

则| OP |· cos

??? ?

解析:| OP |· cos∠AOP 即为 OP 在 OA 上的投影,即求不等式组所表示的可行域中点的 横坐标的最大值.
?x-4y+3=0, ? 由? 可得交点的坐标为(5,2),此时 ? ?3x+5y=25,

??? ?

??? ?

??? ?

| OP |· cos∠AOP 取值最大,

??? ?

∴| OP |· cos∠AOP 的最大值为 5. 答案:5 9.某公司租赁甲、乙两种设备生产 A,B 两类产品,甲种设备每天能生产 A 类产品 5 件和 B 类产品 10 件,乙种设备每天能生产 A 类产品 6 件和 B 类产品 20 件.已知设备甲每 天的租赁费为 200 元, 设备乙每天的租赁费为 300 元, 现该公司至少要生产 A 类产品 50 件, B 类产品 140 件,所需租赁费最少为________元. 解析:设租赁甲设备 x 台,乙设备 y 台,

??? ?

?5x+6y≥50, ?10x+20y≥140, 则? x∈N , ?y∈N , ?
* *

设租赁费用为 w,w=200x+300y. 约束条件构成的平面区域如图:
?5x+6y=50, ? 解? ? ?10x+20y=140,

得 A(4,5). ∴wmin=200×4+300×5=2 300. 答案:2 300 三、解答题(本大题共 3 小题,每小题 12 分,共 36 分)

?x-y+5≥0, ? 10. (2013· 合肥模拟)画出不等式组?x+y≥0, ?x≤3 ?
(1)指出 x,y 的取值范围; (2)平面区域内有多少个整点?

表示的平面区域, 并回答下列问题:

解:(1)不等式 x-y+5≥0 表示直线 x-y+5=0 上及其右下方的 点的集合, x+y≥0 表示直线 x+y=0 上及其右上方的点的集合, x≤3 表示直线 x=3 上及其左方的点的集合.

?x-y+5≥0, ? 所以,不等式组?x+y≥0, ?x≤3 ?

表示的平面区域如图所示.

5 结合图中可行域得 x∈?-2,3?,y∈[-3,8]. ? ?

?-x≤y≤x+5, ? (2)由图形及不等式组知? 5 ?-2≤x≤3,且x∈Z, ?

当 x=3 时,-3≤y≤8,有 12 个整点; 当 x=2 时,-2≤y≤7,有 10 个整点; 当 x=1 时,-1≤y≤6,有 8 个整点; 当 x=0 时,0≤y≤5,有 6 个整点; 当 x=-1 时,1≤y≤4,有 4 个整点; 当 x=-2 时,2≤y≤3,有 2 个整点; ∴平面区域内的整点共有 2+4+6+8+10+12=42(个).

?x-y+5≥0, ? 11.设 x,y 满足约束条件?x+y≥0, ?x≤3, ? ?x-y+5≥0, ? 解:作出不等式组?x+y≥0, ?x≤3 ?
阴影部分所示.

求 z=(x+1)2+y2 的最大值.

表示的平面区域,如图中

(x+1)2+y2 可看作点(x,y)到点 P(-1,0)的距离的平方,由图象 可知可行域内的点 A 到点 P(-1,0)的距离最大.
?x=3, ? 解方程组? 得 A 点的坐标为(3,8),代入 ?x-y+5=0, ?

z=(x+1)2+y2,得 zmax=(3+1)2+82=80.

?x+y≥1, ? 12.(2013· 黄山模拟)若 x,y 满足约束条件?x-y≥-1, ?2x-y≤2, ?
1 1 (1)求目标函数 z= x-y+ 的最值. 2 2 (2)若目标函数 z=ax+2y 仅在点(1,0)处取得最小值,求 a 的取值范围. 解:(1)作出可行域如图,可求得 A(3,4),B(0,1),C(1,0). 1 1 平移初始直线 x-y+ =0,过 A(3,4)取最小值-2,过 C(1,0) 2 2 取最大值 1. ∴z 的最大值为 1,最小值为-2. (2)直线 ax+2y=z 仅在点(1,0)处取得最小值,由图象可知-1< a - <2,解得-4<a<2. 2 故所求 a 的取值范围为(-4,2).

?2x+y-6≤0, ? 1.不等式组?x+y-3≥0, ?y≤2 ?
A.4 C.5 解析:选 B 不等式组

表示的平面区域的面积为(

)

B.1 D.无穷大

?2x+y-6≤0, ? ?x+y-3≥0, ?y≤2 ?

表示的平面区域如图所示(阴影部分),

△ABC 的面积即为所求. 求出点 A, C 的坐标分别为 A(1,2), B, B(2,2), 1 C(3,0),则△ABC 的面积为 S= ×(2-1)×2=1. 2

?y≤1, ? 2.若变量 x,y 满足约束条件?x+y≥0, ?x-y-2≤0, ?
A.4 C.2 B.3 D.1

则 z=x-2y 的最大值为(

)

解析:选 B 作出可行域如图所示(阴影部分),把 z=x-2y 变 x z 1 z 形为 y= - ,得到斜率为 ,在 y 轴上的截距为- ,随 z 变化的一 2 2 2 2 组平行直线. x z z 由图可知,当直线 y= - 经过点 A 时,- 最小,即 z 最大, 2 2 2
?x+y=0, ? 解方程组? 得 A 点坐标为(1,-1),所以 zmax=1-2×(-1)=3. ?x-y-2=0, ?

?y≥x, ? 3.设 m>1,在约束条件?y≤mx, ?x+y≤1 ?
取值范围为( )

下,目标函数 z=x+my 的最大值小于 2,则 m 的

A.(1,1+ 2) C.(1,3)

B.(1+ 2,+∞) D.(3,+∞)

?y≥x, ? 解析:选 A ∵m>1,由?y≤mx, ?x+y≤1, ?
对于目标函数 z=x+my,即

画出可行域,如图所示.

?y=mx ? 1 z 1 y=- x+ ,∴平移直线 y=- x 到 B 处 z 取值最大,则由? 得 m m m ? ?x+y=1

1 m 1 m2 B?m+1,m+1?,zmax= + <2. ? ? m+1 m+1 解得 1- 2<m<1+ 2, 又∵m>1,∴1<m<1+ 2.

第四节 基本不等式

[备考方向要明了]

考 什 么

怎 么 考

1.了解基本不等式的证明 过程. 2.会用基本不等式解决简 单的最大(小)值问题.

1.以选择题或填空题的形式考查基本不等式的应用,如比较大 小、求最值等,如 2012 年福建 T5,湖南 T8 等. 2.在实际问题中和函数建模综合起来, 考查基本不等式在求函数 最值中的应用,如 2012 年江苏 T17 等.

[归纳· 知识整合] a+b 1.基本不等式 ab≤ 2 (1)基本不等式成立的条件:a>0,b>0. (2)等号成立的条件:当且仅当 a=b 时取等号. [探究] 1.如何理解基本不等式中“当且仅当”的含义? a+b a+b 提示:①当 a=b 时, ≥ ab取等号,即 a=b? = ab 2 2 a+b a+b ②仅当 a=b 时, ≥ ab取等号,即 = ab?a=b. 2 2 2.几个重要的不等式 b a a2+b2≥2ab(a,b∈R); + ≥2(a,b 同号). a b

ab≤?

a+b?2 a+b?2 a2+b2 (a,b∈R);? ? 2 ? ? 2 ? ≤ 2 (a,b∈R)

3.算术平均数与几何平均数 a+b 设 a>0,b>0,则 a,b 的算术平均数为 ,几何平均数为 ab,基本不等式可叙述为: 2 两个正实数的算术平均数不小于它的几何平均数. 4.利用基本不等式求最值问题 已知 x>0,y>0,则 (1)如果积 xy 是定值 P,那么当且仅当 x=y 时,x+y 有最小值是 2 P(简记:积定和最 小). P (2)如果和 x+y 是定值 P,那么当且仅当 x=y 时,xy 有最大值是 2(简记:和定积最大). 4 [探究] 2.当利用基本不等式求最大(小)值时,等号取不到时,如何处理? 1 提示:当等号取不到时,可利用函数的单调性等知识来求解.例如,y=x+ 在 x≥2 时 x 5 的最小值,利用单调性,易知 x=2 时 ymin= . 2 [自测· 牛刀小试] 1.已知 m>0,n>0,且 mn=81,则 m+n 的最小值为( A.18 C.81 B.36 D.243 )

解析:选 A 因为 m>0,n>0,所以 m+n≥2 mn=2 81=18. 1 2.若函数 f(x)=x+ (x>2)在 x=a 处取最小值,则 a=( x-2 A.1+ 2 C.3 解析:选 C B.1+ 3 D.4 1 1 f(x)=x+ =x-2+ +2, x-2 x-2 )

∵x>2 ∴x-2>0 ∴f(x)≥2 1 ?x-2?· +2=4 x-2

1 当且仅当 x-2= ,即 x=3 时,“=”成立,又 f(x)在 x=a 处取最小值,所以 a= x-2 3. xz 3.已知 x>0,y>0,z>0,x-y+2z=0 则 2 的( y A.最小值为 8 )

B.最大值为 8

1 C.最小值为 8 解析:选 D = xz xz xz = = y2 ?x+2z?2 x2+4xz+4z2

1 D.最大值为 8

1 1 x 4z ≤ .当且仅 = ,即 x=2z 时取等号. x 4z 8 z x + +4 z x

1 4.函数 y=x+ 的值域为________. x 1 解析:当 x>0 时,x+ ≥2 x 当 x<0 时,-x>0, 1 -x+ ≥2 -x 1 1 ?-x?· =2,所以 x+ ≤-2. x -x 1 x·=2; x

综上,所求函数的值域为(-∞,-2]∪[2,+∞). 答案:(-∞,-2]∪[2,+∞) 2 5.在平面直角坐标系 xOy 中,过坐标原点的一条直线与函数 f(x)= 的图象交于 P,Q x 两点,则线段 PQ 长的最小值是________. 解析:由题意知:P,Q 两点关于原点 O 对称,不妨设 P(m,n)为第一象限中的点,则 4 2 4 2 m>0,n>0,n= ,所以|PQ|2=4|OP|2=4(m2+n2)=4?m +m2?≥16(当且仅当 m2= 2,即 m ? ? m m = 2时,取等号).故线段 PQ 长的最小值为 4. 答案:4

利用基本不等式证明不等式

[例 1] 已知 a>0,b>0,a+b=1, 1 1 求证:?1+a??1+b?≥9. ? ?? ? [自主解答] 法一:∵a>0,b>0,a+b=1, a+b 1 b 1 a ∴1+ =1+ =2+ .同理,1+ =2+ . a a a b b 1 1 b a b a b a ∴?1+a??1+b?=?2+a??2+b?=5+2?a+b?≥5+4=9,当且仅当 = ,即 a=b 时取 ? ?? ? ? ?? ? ? ? a b “=”.

1 1 1 ∴?1+a??1+b?≥9,当且仅当 a=b= 时等号成立. ? ?? ? 2 1 1 1 1 1 法二:?1+a??1+b?=1+ + + ? ?? ? a b ab a+b 1 2 =1+ + =1+ , ab ab ab ∵a,b 为正数,a+b=1, ∴ab≤? a+b?2 1 1 ? 2 ? =4,当且仅当 a=b=2时取“=”.

1 2 1 于是 ≥4, ≥8,当且仅当 a=b= 时取“=”. ab ab 2 1 1 ∴?1+a??1+b?≥1+8=9, ? ?? ? 1 当且仅当 a=b= 时等号成立. 2

保持例题条件不变,证明:

1 a+ + 2

1 b+ ≤2. 2

证明:∵a>0,b>0,且 a+b=1, ∴ 1 a+ + 2 1 b+ = 2

?a+1?×1+ ? 2?

?b+1?×1 ? 2?

1 1 a+ +1 b+ +1 2 2 a+b+3 4 ≤ + = = =2. 2 2 2 2 1 1 1 当且仅当 a+ =1,b+ =1,即 a=b= 时“=”成立. 2 2 2 ————— —————————————— 利用基本不等式证明不等式的方法技巧 利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况, 要从整体上把握运用基本 不等式, 对不满足使用基本不等式条件的可通过“变形”来转换, 常见的变形技巧有: 拆项、 并项,也可乘上一个数或加上一个数,“1”的代换法等.

bc ca ab 1.已知 a>0,b>0,c>0,求证: + + ≥a+b+c. a b c 证明:∵a>0,b>0,c>0, bc ca ∴ + ≥2 a b bc ab + ≥2 a c bc ca · =2c, a b bc ab · =2b, a c

ca ab + ≥2 b c

ca ab · =2a. b c

以上三式相加得: bc ca ab 2? a + b + c ?≥2(a+b+c), ? ? bc ca ab 即 + + ≥a+b+c. a b c

利用基本不等式求最值

[例 2] (1)(2012· 浙江高考)若正数 x,y 满足 x+3y=5xy,则 3x+4y 的最小值是( 24 A. 5 C.5 b (2)已知 a>0,b>0,a2+ =1,则 a 2
2

)

28 B. 5 D.6 1+b2的最大值为________.

3 1 [自主解答] (1)由 x+3y=5xy,得 + =5(x>0,y>0), x y 3 1 1 则 3x+4y= (3x+4y)?x+y? ? ? 5 12y 3x 1 1 = ?13+ x + y ?≥ ?13+2 ? 5? 5? 1 = (13+12)=5. 5 12y 3x 当且仅当 = ,即 x=2y 时, x y 12y 3x? · x y?

? ? ? ?x=2y, “=”成立,此时由? 解得? 1 ? ?x+3y=5xy, ?y= . ?
2 (2)∵a>0, ∴a 1+b2= a2?1+b2?= 1 b2 a2+ + 2 2 3 2 ≤ 2· = , 2 4 2 1 b2 a2?2+ 2 ? ? ?

x=1,

?a =2+ 2 , 当且仅当? b ?a + 2 =1,
2 2 2

1 b2

?a= 23, 即? 2 ?b= 2

时取等号.

3 2 ∴a 1+b2的最大值为 . 4

[答案] (1)C —————

3 2 (2) 4 —————————————— 应用基本不等式求最值的条件

利用基本不等式求最值时,要注意其必须满足的三个条件: (1)一正二定三相等.“一正”就是各项必须为正数; (2)“二定”就是要求和的最小值,必须把构成和的二项之积转化成定值;要求积的最 大值,则必须把构成积的因式的和转化成定值; (3)“三相等”是利用基本不等式求最值时,必须验证等号成立的条件,若不能取等号 则这个定值就不是所求的最值,这也是最容易发生错误的地方.

2. (1)函数 y=a1 x(a>0, a≠1)的图象恒过定点 A, 若点 A 在直线 mx+ny-1=0(m, n>0) 1 1 上,求 + 的最小值; m n (2)若正数 a,b 满足 ab=a+b+3,求 ab 的取值范围. 解:(1)∵y=a1 x(a>0,a≠1)的图象恒过定点 A, 1 1 ∴A(1,1).又点 A 在直线 mx+ny-1=0(m>0,n>0)上,∴m+n=1(m>0,n>0).∴ + m n n m 1 1 1 ?1 1 =(m+n)·m+n?=2+ + ≥2+2=4,当且仅当 m=n= 时,等号成立,∴ + 的最小值 ? ? m n 2 m n 为 4. (2)∵ab=a+b+3,又 a,b∈(0,+∞), ∴ab≥2 ab+3.设 ab=t>0, ∴t2-2t-3≥0.∴t≥3 或 t≤-1(舍去). ∴ab 的取值范围是[9,+∞).




利用基本不等式解决实际问题

[例 3] 为响应国家扩大内需的政策,某厂家拟在 2014 年举行促销活动,经调查测算, k 该产品的年销量(即该厂的年产量)x 万件与年促销费用 t(t≥0)万元满足 x=4- (k 为常 2t+1 数).如果不搞促销活动,则该产品的年销量只能是 1 万件.已知 2014 年生产该产品的固定 投入为 6 万元,每生产 1 万件该产品需要再投入 12 万元,厂家将每件产品的销售价格定为 每件产品平均成本的 1.5 倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分). (1)将该厂家 2014 年该产品的利润 y 万元表示为年促销费用 t 万元的函数;

(2)该厂家 2014 年的年促销费用投入多少万元时,厂家利润最大? k [自主解答] (1)由题意有 1=4- , 1 3 得 k=3,故 x=4- . 2t+1 6+12x 故 y=1.5× ×x-(6+12x)-t x 3 18 =3+6x-t=3+6?4-2t+1?-t=27- -t(t≥0). ? ? 2t+1 (2)由(1)知:y=27- =27.5-? 18 -t 2t+1

? 9 +?t+1?? 1 ? 2??. t+ ? 2 ?
1 +?t+2?≥2 ? 1 ? t+ 2 9 9 ? 1? ·t+ =6, 1 ? 2? t+ 2

基本不等式

9 1 当且仅当 =t+ ,即 t=2.5 时等号成立. 1 2 t+ 2

? 9 +?t+1?? 18 故 y=27- -t=27.5-? 1 ? 2?? t+ 2t+1 2 ? ?
≤27.5-6=21.5. 9 1 当且仅当 =t+ 时,等号成立,即 t=2.5 时,y 有最大值 21.5. 1 2 t+ 2 所以 2014 年的年促销费用投入 2.5 万元时,该厂家利润最大,最大利润为 21.5 万元. ————— —————————————— 解实际应用题时应注意的问题 (1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数; (2)根据实际问题抽象出函数的解析式后,只需再利用基本不等式求得函数的最值; ?3?在求函数的最值时,一定要在定义域?使实际问题有意义的自变量的取值范围?内求. ?4?有些实际问题中,要求最值的量需要用几个变量表示,同时这几个变量满足某个关 系式,这时问题就变成了一个条件最值,可用求条件最值的方法求最值.

3.某种商品原来每件售价为 25 元,年销售量 8 万件. (1)据市场调查,若价格每提高 1 元,销售量将相应减少 2 000 件,要使销售的总收入不 低于原收入,该商品每件定价最高为多少元?

(2)为了扩大该商品的影响力,提高年销售量.公司决定明年对该商品进行全面技术革 1 新和营销策略改革,并提高定价到 x 元.公司拟投入 (x2-600)万元作为技改费用,投入 50 6 1 万元作为固定宣传费用,投入 x 万元作为浮动宣传费用.试问:当该商品明年的销售量 a 5 至少应达到多少万件时, 才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和?并求出此时 商品的每件定价. x-25 解:(1)设每件定价为 x 元,依题意,有?8- ×0.2?x≥25×8,整理得 x2-65x+1 1 ? ? 000≤0,解得 25≤x≤40. ∴要使销售的总收入不低于原收入,每件定价最高为 40 元. (2)依题意,x>25 时, 1 1 不等式 ax≥25×8+50+ (x2-600)+ x 有解, 6 5 150 1 1 等价于 x>25 时,a≥ + x+ 有解, x 6 5 ∵ 150 1 + x≥2 x 6 150 1 ·x=10(当且仅当 x=30 时,等号成立),∴a≥10.2. x 6

∴当该商品明年的销售量 a 至少应达到 10.2 万件时,才可能使明年的销售收入不低于 原收入与总投入之和,此时该商品的每件定价为 30 元.

? 1 个技巧——公式的逆用 运用公式解题时,既要掌握公式的正用,也要注意公式的逆用,例如 a2+b2≥2ab 逆用 a2+b2 a+b a+b?2 就是 ab≤ ; ≥ ab(a,b>0)逆用就是 ab≤? 2 2 ? 2 ? (a,b>0)等,还要注意“添、拆 项”技巧和公式等号成立的条件等. ? 2 个变形——基本不等式的变形 a2+b2 ?a+b?2 (1) ≥ 2 ? 2 ? ≥ab(a,b∈R,当且仅当 a=b 时取等号); (2) a2+b2 a+b 2 ≥ ≥ ab≥ (a>0,b>0,当且仅当 a=b 时取等号). 2 2 1 1 + a b

? 3 个关注——利用基本不等式求最值应注意的问题 (1)使用基本不等式求最值, 其失误的真正原因是对其存在前提“一正、 二定、 三相等” 的忽视.要利用基本不等式求最值,这三个条件缺一不可. (2)在运用基本不等式时,要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧,使其满足基本不等 式中“正”“定”“等”的条件. (3)连续使用公式时取等号的条件很严格,要求同时满足任何一次的字母取值存在且一

致.

创新交汇——基本不等式在其他数学知识中的应用

1.考题多以函数、方程、立体几何、解析几何、数列等知识为载体考查基本不等式求 最值问题. 2.解决此类问题的关键是正确利用条件转换成能利用基本不等式求解的形式,同时要 注意基本不等式的使用条件. 8 [典例] (2012· 湖南高考)已知两条直线 l1:y=m 和 l2:y= (m>0),l1 与函数 y= 2m+1 |log2x|的图象从左至右相交于点 A,B,l2 与函数 y=|log2x|的图象从左至右相交于点 C,D. b 记线段 AC 和 BD 在 x 轴上的投影长度分别为 a,b.当 m 变化时, 的最小值为( a A.16 2 3 C.8 4 B.8 2 3 D.4 4 )

[解析] 数形结合可知 A,C 点的横坐标在区间(0,1)内,B,D 点的横坐标在区间(1,+ b xB-xD ∞)内,而且 xC-xA 与 xB-xD 同号,所以 = , a xC-xA 根据已知|log2xA|=m,即-log2xA=m,所以
-m

xA=2

.同理可得 xC=2

?

8 2 m ?1

, B=2m, D=2 x x

8 2 m?1

b 2 ?2 , 所以 = 8 a
m

8 2 m ?1



2 2 m ?1 ? 2? m

2 ?2 1 1 ? m 8 2 2 2 m ?1
m

8 2 m ?1



2 m ? 2 2 m ?1 2m ? 2 2m
8 2 m ?1 8 2 m ?1

8

8

=2 2 m?1

+m

2m+1 1 8 8 1 7 8 , 由于 +m= + - ≥4- = , 当且仅当 = 2 2 2 2 2m+1 2m+1 2m+1

2m+1 3 b ,即 2m+1=4,即 m= 时等号成立,故 的最小值为 2 2 =8 2. 2 2 a [答案] B [名师点评] 1.本题具有以下创新点 (1)本题是对数函数的图象问题,通过分析、转化为基本不等式求最值问题. (2)本题将指数、对数函数的性质与基本不等式相结合,考查了考生分析问题、解决问

7

题的能力. 2.解决本题的关键有以下几点 (1)正确求出 A、B、C、D 四点的坐标; (2)正确理解 a,b 的几何意义,并能正确用 A、C、B、D 的坐标表示; (3)能用拼凑法将 m+ [变式训练] ?a+b?2 1.已知 x>0,y>0,x,a,b,y 成等差数列 x,c,d,y 成等比数列,则 的最小 cd 值是( A.0 C.2 ) B.1 D.4 8 (m>0)化成利用基本不等式求最值的形式. 2m+1

?a+b?2 ?x+y?2 ?2 xy?2 解析:选 D 由题知 a+b=x+y,cd=xy,x>0,y>0,则 = ≥ =4, cd xy xy 当且仅当 x=y 时取等号. 1 2.若直线 ax-by+2=0(a>0,b>0)被圆 x2+y2+2x-4y+1=0 截得的弦长为 4,则 + a 1 的最小值为( b 1 A. 4 3 C. + 2 2 ) B. 2 3 D. +2 2 2

1 1 1 1 1 1 解析: C 圆的直径是 4, 选 说明直线过圆心(-1,2), a+b=1, + =?2a+b??a+b? 故 ?? ? 2 a b ? 3 b a 3 b a = + + ≥ + 2,当且仅当 = ,即 a=2( 2-1),b=2- 2时取等号. 2 a 2b 2 a 2b 3.若 x>0,y>0,且 x+ y≤a x+y恒成立,则 a 的最小值是________. 解析:由 x+ y≤a x+y,得 a≥ x+ y , x+y x+ y = x+y 2. ? x+ y?2 = x+y 2 xy 1+ ≤ x+y 2 xy 1+ = 2,当且仅当 x 2 xy x+ y x+y ,

令 f(x,y)=

则 f(x,y)=

=y 时等号成立.故 a≥ 答案: 2

一、选择题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分) 1.(2012· 福建高考)下列不等式一定成立的是( 1 A.lg(x2+ )>lg x(x>0) 4 1 B.sin x+ ≥2(x≠kπ,k∈Z) sin x C.x2+1≥2|x|(x∈R) 1 D. 2 >1(x∈R) x +1 1 3 2 1 解析:选 C 取 x= ,则 lg?x +4?=lg x,故排除 A;取 x= π,则 sin x=-1,故排除 ? ? 2 2 1 B;取 x=0,则 2 =1,故排除 D. x +1 2.(2012· 陕西高考)小王从甲地到乙地往返的时速分别为 a 和 b(a<b),其全程的平均时 速为 v,则( ) B.v= ab a+b D.v= 2 )

A.a<v< ab a+b C. ab<v< 2

S 解析:选 A 设甲、乙两地的距离为 S,则从甲地到乙地所需时间为 ,从乙地到甲地 a S 2S 2ab 2ab 所需时间为 ,又因为 a<b,所以全程的平均速度为 v= = < = ab, b S S a+b 2 ab + a b 2ab 2ab > =a,即 a<v< ab. a+b 2b 1 1 3.若 a>0,b>0,且 ln(a+b)=0,则 + 的最小值是( a b 1 A. 4 C.4 B.1 D.8 )

?a+b=1, ? 解析:选 C 由 a>0,b>0,ln(a+b)=0 得?a>0, ?b>0. ?
1 1 a+b 1 1 1 故 + = = ≥ = =4. a b ab ab ?a+b?2 ?1?2 ? 2 ? ?2? 1 当且仅当 a=b= 时上式取“=”. 2

4.(2013· 淮北模拟)函数 y= A.2 3+2 C.2 3

x2+2 (x>1)的最小值是( x-1 B.2 3-2 D.2

)

解析:选 A ∵x>1,∴x-1>0, x2+2 x2-2x+2x+2 ∴y= = x-1 x-1 = = x2-2x+1+2?x-1?+3 x-1 ?x-1?2+2?x-1?+3 3 =x-1+ +2 x-1 x-1 3 ?x-1?· +2=2 3+2, x-1

≥2·

3 当且仅当 x-1= ,即 x=1+ 3时,取等号. x-1 1 1 k 5.设 a>0,b>0,且不等式 + + ≥0 恒成立,则实数 k 的最小值等于( a b a+b A.0 C.-4 B.4 D.-2 )

?a+b?2 ?a+b?2 b a 1 1 k 解析: C 由 + + 选 ≥0 得 k≥- , 而 = + +2≥4(a=b 时取等号), a b a+b ab ab a b ?a+b?2 ?a+b?2 所以- ≤-4,因此要使 k≥- 恒成立,应有 k≥-4,即实数 k 的最小值等于 ab ab -4.

AC 6.(2013· 温州模拟)已知 M 是△ABC 内的一点,且 AB · =2 3,∠BAC=30° ,若
1 1 4 △MBC,△MCA 和△MAB 的面积分别为 ,x,y,则 + 的最小值是( 2 x y A.20 C.16 解析:选 B B.18 D.19 由 AB · | =2 3得| AB |·AC |=4,S△ABC = | AC =| AB |·AC |cos 30° )

??? ???? ?

??? ???? ?

??? ?

????

??? ?

????

1 2

| AB |·AC |sin 30° | =1, 1 1 由 +x+y=1 得 x+y= . 2 2 1 4 1 4 ? y 4x? 所以 + =2?x+ y?· ? ? (x+y)=2?5+x+ y ?≥2×(5+2×2)=18. x y 二、填空题(本大题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分) 7.某公司租地建仓库,每月土地占用费 y1 与仓库到车站的距离成反比,而每月库存货

??? ???? ?

物的运费 y2 与到车站的距离成正比,如果在距车站 10 公里处建仓库,这两项费用 y1 和 y2 分别为 2 万元和 8 万元, 那么要使这两项费用之和最小, 仓库应建在离车站________公里处. 20 20 解析:设 x 为仓库与车站距离,由已知 y1= ;y2=0.8x 费用之和 y=y1+y2=0.8x+ x x ≥2 20 20 0.8x· =8,当且仅当 0.8x= ,即 x=5 时“=”成立. x x 答案:5 8. a>0, 若 b>0, a+b=2, 则下列不等式对一切满足条件的 a, 恒成立的是________(写 b 出所有正确命题的编号). ①ab≤1 ② a+ b≤ 1 1 ⑤ + ≥2. a b ?a+b?2 解析:两个正数,和为定值,积有最大值,即 ab≤ =1,当且仅当 a=b 时取等 4 号,故①正确;( a+ b)2=a+b+2 ab=2+2 ab≤4,当且仅当 a=b 时取等号,得 a+ a2+b2 ?a+b?2 b≤2,故②错误;由于 ≥ =1,故 a2+b2≥2 成立,故③正确;a3+b3=(a+ 2 4 b)(a2+b2-ab)=2(a2+b2-ab),∵ab≤1,∴-ab≥-1,又 a2+b2≥2,∴a2+b2-ab≥1, 1 1 1 1 a+b a b ∴a3+b3≥2,故④错误; + =?a+b?· =1+ + ≥1+1=2,当且仅当 a=b 时取等 ? 2 a b ? 2b 2a 号,故⑤正确. 答案:①③⑤ 9.(2013· 泰州模拟)已知 x>0,y>0,x+2y+2xy=8,则 x+2y 的最小值是________. 解析:依题意得(x+1)(2y+1)=9,(x+1)+(2y+1)≥2 ?x+1??2y+1?=6,x+2y≥4, 当且仅当 x+1=2y+1,即 x=2,y=1 时取等号,故 x+2y 的最小值是 4. 答案:4 三、解答题(本大题共 3 小题,每小题 12 分,共 36 分) ad+bc bc+ad 10.已知 a>0,b>0,c>0,d>0.求证: + ≥4. bd ac ad+bc bc+ad a c b d ?a b? ?c d? 证明: + = + + + =?b+a?+?d+c?≥2+2=4(当且仅当 a=b,c=d bd ac b d a c ad+bc bc+ad 时,取“=”),故 + ≥4. bd ac 11.已知 x>0,y>0,且 2x+8y-xy=0, 求(1)xy 的最小值;(2)x+y 的最小值. 解:(1)∵x>0,y>0, ∴xy=2x+8y≥2 16xy, 2 ③a2+b2≥2 ④a3+b3≥3

即 xy≥8 xy,∴ xy≥8,即 xy≥64. 当且仅当 2x=8y, 即 x=16,y=4 时,“=”成立. ∴xy 的最小值为 64. (2)∵x>0,y>0,且 2x+8y-xy=0, 2 8 ∴2x+8y=xy,即 + =1. y x 2x 8y ?2 8 ∴x+y=(x+y)·y+ x?=10+ + ≥10+2 ? ? y x 2x 8y 当且仅当 = ,即 x=2y=12 时“=”成立. y x ∴x+y 的最小值为 18. 12.提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况.在一般情况下,大桥上 的车流速度 v(单位:千米/小时)是车流密度 x(单位:辆/千米)的函数,当桥上的车流密度达 到 200 辆/千米时,造成堵塞,此时车流速度为 0;当车流密度不超过 20 辆/千米时,车流速 度为 60 千米/小时.研究表明:当 20≤x≤200 时,车流速度 v 是车流密度 x 的一次函数. (1)当 0≤x≤200 时,求函数 v(x)的表达式; (2)当车流密度 x 为多大时,车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数,单位:辆/ 小时)f(x)=x· v(x)可以达到最大,并求出最大值.(精确到 1 辆/小时) 解:(1)由题意,当 0≤x≤20 时,v(x)=60;当 20≤x≤200 时,设 v(x)=ax+b,
? ?200a+b=0, 则由已知得? 解得 ?20a+b=60, ?

2x 8y · =18, y x

?a=-3, ? 200 ?b= 3 .
1

故函数 v(x)的表达式为

?60,0≤x<20, ? v(x)=?1 ? ?3?200-x?,20≤x≤200.
(2)依题意并由(1)可得

?60x,0≤x<20, ? f(x)=?1 ?3x?200-x?,20≤x≤200. ?
当 0≤x≤20 时,f(x)为增函数,故当 x=20 时,f(x)取得最大值为 60×20=1 200; 1 当 20≤x≤200 时,f(x)= x(200-x)≤ 3 1?x+?200-x??2 10 000 3? 2 ?= 3 ,

当且仅当 x=200-x,即 x=100 时,等号成立. 10 000 所以,当 x=100 时,f(x)在区间[20,200]上取得最大值 . 3 10 000 综上,当 x=100 时,f(x)在区间[0,200]上取得最大值 ≈3 333, 3 即当车流密度为 100 辆/千米时,车流量可以达到最大,最大值约为 3 333 辆/小时.

1.已知 log2a+log2b≥1,则 3a+9b 的最小值为________. 解析:log2a+log2b=log2ab.∵log2a+log2b≥1,∴ab≥2 且 a>0,b>0.3a+9b=3a+ 32b≥2 3a·2b=2 3a 3 18. 答案:18 1 1 2.设 a,b 均为正实数,求证: 2+ 2+ab≥2 2. a b 证明:由于 a、b 均为正实数, 1 1 所以 2+ 2≥2 a b 1 1 2 ·= , a2 b2 ab
+2b

≥2 32 2ab≥2 32 2=18,当且仅当 a=2b,∴3a+9b 的最小值为

×

1 1 当且仅当 2= 2,即 a=b 时等号成立, a b 2 又因为 +ab≥2 ab 2 · ab=2 2, ab

2 当且仅当 =ab 时等号成立, ab 1 1 2 所以 2+ 2+ab≥ +ab≥2 2, a b ab

?a =b , 当且仅当? 2 ?ab=ab,
1 1
2 2

4 即 a=b= 2时取等号.

5 1 3.已知 x< ,求 f(x)=4x-2+ 的最大值. 4 4x-5 1 5 1 解:因为 x< ,所以 5-4x>0,则 f(x)=4x-2+ =-?5-4x+5-4x?+3≤-2+3 4 ? ? 4x-5 =1. 1 当且仅当 5-4x= ,即 x=1 时,等号成立. 5-4x 4.某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园 ABCD,公园由长方形 A1B1C1D1 的休闲区和环公园人行道(阴影部

分)组成.已知休闲区 A1B1C1D1 的面积为 4 000 平方米,人行道的宽分别为 4 米和 10 米(如 图所示). (1)若设休闲区的长和宽的比 的解析式; (2)要使公园所占面积最小,则休闲区 A1B1C1D1 的长和宽该如何设计? 解:(1)设休闲区的宽为 a 米,则长为 ax 米, 20 10 由 a2x=4 000,得 a= . x 20 10 则 S(x)=(a+8)(ax+20)=a2x+(8x+20)a+160=4 000+(8x+20)· +160 x =80 10(2 x+ (2)80 10?2 x+ 5 )+4 160(x>1). x 5? +4 160≥80 10×2 x? 2 x× 5 +4 160=1 600+4 160=5 760.当 x |A1B1| =x(x>1), 求公园 ABCD 所占面积 S 关于 x 的函数 S(x) |B1C1|

?

且仅当 2 x=

5 ,即 x=2.5 时,等号成立,此时 a=40,ax=100. x

所以要使公园所占面积最小,休闲区 A1B1C1D1 应设计为长 100 米,宽 40 米.

第五节 合情推理与演绎推理

[备考方向要明了]

考 什 么 1.了解合情推理的含义,能利用归纳和类比等进行

怎 么 考 1.合情推理的考查常单独命题,以选择

简单的推理,了解合情推理在数学发现中的作用. 题、填空题的形式考查,如 2012 年江西 2.了解演绎推理的重要性,掌握演绎推理的基本模 式,并能运用它们进行一些简单推理. 3.了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异. T6,陕西 T11,湖南 T16 等. 2.对演绎推理的考查则渗透在解答题 中,侧重于对推理形式的考查.

[归纳· 知识整合]

1.合情推理 (1)归纳推理: ①定义: 由某类事物的部分对象具有某些特征, 推出该类事物的全部对象都具有这些特 征的推理,或者由个别事实概括出一般结论的推理. ②特点:是由部分到整体、由个别到一般的推理. (2)类比推理 ①定义: 由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征, 推出另一类对 象也具有这些特征的推理. ②特点:类比推理是由特殊到特殊的推理. [探究] 1.归纳推理的结论一定正确吗? 提示:不一定,结论是否真实,还需要经过严格的逻辑证明和实践检验. 2.演绎推理 (1)模式:三段论 ①大前提——已知的一般原理; ②小前提——所研究的特殊情况; ③结论——根据一般原理,对特殊情况做出的判断. (2)特点:演绎推理是由一般到特殊的推理. [探究] 2.演绎推理所获得的结论一定可靠吗? 提示:不一定,只有前提是正确的,推理形式是正确的,结论才一定是真实的,错误的 前提则可能导致错误的结论. [自测· 牛刀小试] 1.下面几种推理是合情推理的是( )

①由圆的性质类比出球的有关性质;②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角 和是 180° ,归纳出所有三角形的内角和都是 180° ;③某次考试张军成绩是 100 分,由此推 出全班同学成绩都是 100 分;④三角形的内角和是 180° ,四边形的内角和是 360° ,五边形 的内角和是 540° ,由此得出凸多边形的内角和是(n-2)· . 180° A.①② C.①②④ B.①③ D.②④

解析:选 C ①是类比推理,②④是归纳推理,③是非合情推理. 2.观察下列各式: 5=3 125,56=15 625,57=78 125, 5 ?, 52 013 的末四位数字为( 则 A.3 125 C.0 625 B.5 625 D.8 125 )

解析:选 A 55=3 125,56=15 625,57=78 125, 8=390 625,59=1 953 125,可得 59 ,5 与 55 的后四位数字相同,?,由此可归纳出 5m
+4k

与 5m(k∈N*,m=5,6,7,8)的后四位数字相

同,又 2 013=4×502+5,所以 52 013 与 55 后四位数字相同为 3 125. 3.给出下列三个类比结论. ①(ab)n=anbn 与(a+b)n 类比,则有(a+b)n=an+bn; ②loga(xy)=logax+logay 与 sin(α+β)类比,则有 sin(α+β)=sin αsin β; ③(a+b)2=a2+2ab+b2 与(a+b)2 类比,则有(a+b)2=a2+2a· 2. b+b 其中结论正确的个数是( A.0 C.2 解析:选 B ①②不正确,③正确. 4.(教材习题改编)有一段演绎推理是这样的:“直线平行于平面,则直线平行于平面 内所有直线;已知直线 b?平面 α,直线 a?平面 α,直线 b∥平面 α,则直线 b∥直线 a”, 结论显然是错误的,这是因为( A.大前提错误 C.推理形式错误 ) B.小前提错误 D.非以上错误 ) B.1 D.3

解析:选 A 大前提是错误的,直线平行于平面,则不一定平行于平面内所有直线,还 有异面直线的情况. 1 1 1 9 5.(教材习题改编)在△ABC 中,不等式 + + ≥ 成立;在四边形 ABCD 中,不等式 A B C π 1 1 1 1 16 1 1 1 1 1 25 + + + ≥ 成立;在五边形 ABCDE 中,不等式 + + + + ≥ 成立,猜想,在 A B C D 2π A B C D E 3π n 边形 A1A2?An 中,成立的不等式为________. 解析:∵9=32,16=42,25=52,且 1=3-2,2=4-2,3=5-2,?,故在 n 边形 A1A2?An 1 1 1 n2 中,有不等式 + +?+ ≥ 成立. A1 A2 An ?n-2?π 1 1 1 n2 答案: + +?+ ≥ (n≥3) A1 A2 An ?n-2?π

归纳推理

[例 1] (1)(2012· 江西高考)观察下列各式:a+b=1,a2+b2=3,a3+b3=4,a4+b4=7, a5+b5=11,?,则 a10+b10=( A.28 C.123 ) B.76 D.199

1 (2)设 f(x)= x ,先分别求 f(0)+f(1),f(-1)+f(2),f(-2)+f(3),然后归纳猜想一般 3+ 3 性结论,并给出证明. [自主解答] (1)记 an+bn=f(n),则 f(3)=f(1)+f(2)=1+3=4;f(4)=f(2)+f(3)=3+4= 7;f(5)=f(3)+f(4)=11.通过观察不难发现 f(n)=f(n-1)+f(n-2)(n∈N*,n≥3),则 f(6)=f(4) +f(5)=18;f(7)=f(5)+f(6)=29;f(8)=f(6)+f(7)=47;f(9)=f(7)+f(8)=76;f(10)=f(8)+f(9) =123. 所以 a10+b10=123. (2)f(0)+f(1)= 3 3 3 ,f(-1)+f(2)= ,f(-2)+f(3)= , 3 3 3 3 , 3

猜想 f(x)+f(1-x)=

1 证明:∵f(x)= x , 3+ 3 ∴f(1-x)= 3
1-x

1 3x 3x = . x= + 3 3+ 3· 3 3? 3+3x?

1 3x ∴f(x)+f(1-x)= x + 3+ 3 3? 3+3x? 3+3x 1 3 = = = . 3? 3+3x? 3 3 [答案] (1)C

利用本例(2)的结论计算 f(-2 014)+f(-2 013)+?+f(-1)+f(0)+f(1)+?+f(2 015)的 值. 解:∵f(x)+f(1-x)= 3 , 3

∴f(-2 014)+f(-2 013)+?+f(-1)+f(0)+f(1)+?+f(2 015) =[f(-2 014)+f(2 015)]+[f(-2 013)+f(2 014)]+…+[f(0)+f(1)] =2 015× 3 2 015 = 3 3 3 .

—————

—————————————— 归纳推理的分类

常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类 (1)数的归纳包括数字归纳和式子归纳,解决此类问题时,需要细心观察,寻求相邻项 及项与序号之间的关系,同时还要联系相关的知识,如等差数列、等比数列等. (2)形的归纳主要包括图形数目归纳和图形变化规律归纳.

1.观察下列等式: 1=1 1+2=3 1+2+3=6 1+2+3+4=10 ? 13=1 13+23=9 13+23+33=36 13+23+33+43=100 ?

1+2+3+4+5=15 13+23+33+43+53=225 可以推测:13+23+33+?+n3=________(n∈N*,用含 n 的代数式表示). 解析:第二列等式右边分别是 1×1,3×3,6×6,10×10,15×15,与第一列等式右边比较 1 即可得,13+23+33+?+n3=(1+2+3+?+n)2= n2(n+1)2. 4 1 答案: n2(n+1)2 4 类比推理

[例 2] (2013· 广州模拟)已知数列{an}为等差数列,若 am=a,an=b(n-m≥1,m,n∈ nb-ma N*),则 am+n= .类比等差数列{an}的上述结论,对于等比数列{bn}(bn>0,n∈N*),若 n-m bm=c,bn=d(n-m≥2,m,n∈N*),则可以得到 bm+n=________. an-am b-a [自主解答] 法一:设数列{an}的公差为 d1,则 d1= = . n-m n-m b-a bn-am 所以 am+n=am+nd1=a+n· = . n-m n-m 类比推导方法可知:设数列{bn}的公比为 q,由 bn=bmqn
n n-m d n-m d ? ?n= n-m dm. ,所以 bm+n=bmqn=c· ?c? c c
-m

可知 d=cqn m,所以 q=



法二:(直接类比)设数列{an}的公差为 d1,数列{bn}的公比为 q, nb-ma - 因为等差数列中 an=a1+(n-1)d1,等比数列中 bn=b1qn 1,因为 am+n= ,所以 n-m bm+n= n-m dn . cm n-m dn cm —————————————— 类比推理的分类 类比推理的应用一般为类比定义、类比性质和类比方法

[答案]

—————

(1)类比定义:在求解由某种熟悉的定义产生的类比推理型试题时,可以借助原定义来 求解; (2)类比性质:从一个特殊式子的性质、一个特殊图形的性质入手,提出类比推理型问 题,求解时要认真分析两者之间的联系与区别,深入思考两者的转化过程是求解的关键; (3)类比方法:有一些处理问题的方法具有类比性,我们可以把这种方法类比应用到其 他问题的求解中,注意知识的迁移.

————————————————————————————————————— ———

2.在△ABC 中,AB⊥AC,AD⊥BC 于点 D. 求证: 1 1 1 = + . AD2 AB2 AC2

那么在四面体 ABCD 中,类比上述结论,你能得到怎样的猜想,并说明理由. 证明:如图所示,∵AB⊥AC,AD⊥BC, ∴△ABD∽△CAD,△ABC∽△DBA, ∴AD2=BD· DC,AB2=BD· BC, AC2=BC· DC, ∴ 1 1 BC2 BC2 = = 2 . 2= AD BD· DC BD· DC· BC· BC AB · 2 AC

又∵BC2=AB2+AC2, AB2+AC2 1 1 1 ∴ 2= = + . AD AB2· 2 AB2 AC2 AC ∴ 1 1 1 = + . AD2 AB2 AC2

猜想:类比 AB⊥AC,AD⊥BC,猜想四面体 ABCD 中, 1 1 1 1 AB,AC,AD 两两垂直,AE⊥平面 BCD,则 2= 2+ 2+ 2. AE AB AC AD 下面证明上述猜想成立. 如右图所示,连接 BE 并延长交 CD 于点 F,连接 AF. ∵AB⊥AC,AB⊥AD,AC∩AD=A, ∴AB⊥平面 ACD. 而 AF?平面 ACD,∴AB⊥AF. 在 Rt△ABF 中,AE⊥BF, ∴ 1 1 1 = + . AE2 AB2 AF2

同理可得在 Rt△ACD 中,AF⊥CD,

∴ ∴

1 1 1 = + . AF2 AC2 AD2 1 1 1 1 = + + . AE2 AB2 AC2 AD2

故猜想正确.

演 绎 推 理

a [例 3] 已知函数 f(x)=- x (a>0 且 a≠1). a+ a 1 1 (1)证明:函数 y=f(x)的图象关于点?2,-2?对称; ? ? (2)求 f(-2)+f(-1)+f(0)+f(1)+f(2)+f(3) 的值. 1 1 [自主解答] (1)证明:函数 f(x)的定义域为 R,任取一点(x,y),它关于点?2,-2?对称 ? ? 的点的坐标为(1-x,-1-y). a 由已知得 y=- x , a+ a a ax 则-1-y=-1+ x =- x , a+ a a+ a a a a·x a ax f(1-x)=- 1-x =- =- =- x , a a + a a+ a·x a a+ a x+ a a ∴-1-y=f(1-x), 1 1 即函数 y=f(x)的图象关于点?2,-2?对称. ? ? (2)由(1)可知-1-f(x)=f(1-x), 即 f(x)+f(1-x)=-1. 则 f(-2)+f(3)=-1,f(-1)+f(2)=-1, f(0)+f(1)=-1, 则 f(-2)+f(-1)+f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=-3. ————— —————————————— 演绎推理的结构特点 (1)演绎推理是由一般到特殊的推理,其最常见的形式是三段论,它是由大前提、小前 提、结论三部分组成的.三段论推理中包含三个判断:第一个判断称为大前提,它提供了一 个一般的原理;第二个判断叫小前提,它指出了一个特殊情况.这两个判断联合起来,提示 了一般原理和特殊情况的内在联系,从而产生了第三个判断:结论. (2)演绎推理的前提和结论之间有着某种蕴含关系,解题时要找准正确的大前提.一般

地,若大前提不明确时,一般可找一个使结论成立的充分条件作为大前提.

a 3.已知函数 f(x)= +bx,其中 a>0,b>0,x∈(0,+∞),试确定 f(x)的单调区间,并 x 证明在每个单调区间上的增减性. 解:法一:设 0<x1<x2, a a 则 f(x1)-f(x2)=?x +bx1?-?x +bx2? ? ? ? ?
1 2

? a =(x2-x1)·x x -b?. ?12 ?
当 0<x1<x2≤ a 时,∵a>0,b>0, b

a ∴x2-x1>0,0<x1x2< , b a >b, x1x2 ∴f(x1)-f(x2)>0,即 f(x1)>f(x2), ∴f(x)在?0,

?

a? 上是减函数; b? a a a >0 时,x2-x1>0,x1x2> , <b, b b x1x2

当 x2>x1≥

∴f(x1)-f(x2)<0,即 f(x1)<f(x2), ∴f(x)在?

?

a ? ,+∞ 上是增函数. b ?

法二:∵a>0,b>0,x∈(0,+∞), a ∴令 f′(x)=- 2+b=0,得 x= x 当 0<x≤ a a 时,- 2≤-b, b x a , b

a ∴- 2+b≤0,即 f′(x)≤0, x ∴f(x)在?0,

?

a? 上是减函数; b?

当 x≥ ∴f(x)在?

a a 时,- 2+b≥0,即 f′(x)≥0, b x

?

a ? ,+∞ 上是增函数. b ?

? 2 个步骤——归纳推理与类比推理的步骤

(1)归纳推理的一般步骤: ①通过观察个别情况发现某些相同性质; ②从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想); ③检验猜想. 实验、观察 → 概括、推广 → 猜测一般性结论 (2)类比推理的一般步骤: ①找出两类事物之间的相似性或一致性; ②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质,得出一个明确的命题(猜想); ③检验猜想. 观察、比较 → 联想、类推 → 猜想新结论 ? 1 个区别——合情推理与演绎推理的区别 (1)归纳是由特殊到一般的推理; (2)类比是由特殊到特殊的推理; (3)演绎推理是由一般到特殊的推理; (4)从推理的结论来看,合情推理的结论不一定正确,有待证明;若大前提和小前提正 确,则演绎推理得到的结论一定正确.

创新交汇——合情推理与证明的交汇创新

1.归纳推理主要有数与式的归纳推理、图形中的归纳推理、数列中的归纳推理;类比 推理主要有运算的类比、性质的类比、平面与空间的类比.题型多为客观题,而 2012 年福 建高考三角恒等式的推理与证明相结合出现在解答题中,是高考命题的一个创新. 2.解决此类问题首先要通过观察特例发现某些相似性(特例的共性或一般规律);然后 把这种相似性推广到一个明确表述的一般命题(猜想);最后对所得的一般性命题进行检验. [典例] (2012· 福建高考)某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同 一个常数: (1)sin213° +cos217° -sin 13° 17° cos ; (2)sin215° +cos215° -sin 15° 15° cos ; (3)sin218° +cos212° -sin 18° 12° cos ; (4)sin2(-18° )+cos248° -sin(-18° )cos 48° ; (5)sin2(-25° )+cos255° -sin(-25° )cos 55° . (1)试从上述五个式子中选择一个,求出这个常数;

(2)根据(1)的计算结果,将该同学的发现推广为三角恒等式,并证明你的结论. [解] 法一:(1)选择(2)式,计算如下: 1 sin215° +cos215° -sin 15° 15° cos =1- sin 30° 2 1 3 =1- = . 4 4 3 (2)三角恒等式为 sin2α+cos2(30° -α)-sin αcos(30° -α)= . 4 证明如下: sin2α+cos2(30° -α)-sin αcos(30° -α) =sin2α+(cos 30° α+sin 30° α)2-sin α(cos 30° α+sin 30° α) cos sin cos sin 3 3 1 3 1 =sin2α+ cos2α+ sin αcos α+ sin2α- sin αcos α- sin2α 4 2 4 2 2 3 3 3 = sin2α+ cos2α= . 4 4 4 法二:(1)同法一. 3 (2)三角恒等式为 sin2α+cos2(30° -α)-sin α· cos(30° -α)= . 4 证明如下: sin2α+cos2(30° -α)-sin αcos(30° -α) = 1-cos 2α 1+cos?60° -2α? + -sin α(cos 30° α+sin 30° α) cos sin 2 2

1 1 1 1 3 1 = - cos 2α+ + (cos 60° 2α+sin 60° 2α)- sin αcos α- sin2α cos sin 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 3 3 1 1 1 1 = - cos 2α+ + cos 2α+ sin 2α- sin 2α- (1-cos 2α)=1- cos 2α- + cos 2 2 2 4 4 4 4 4 4 4 3 2α= . 4 [名师点评] 1.本题的创新点 (1)本题给出一个等于同一个常数的 5 个代数式,但没有给出具体的值,需要学生求出 这个常数,这打破以往给出具体关系式的模式. (2)本题没有给出具体的三角恒等式,需要考生归纳并给出证明,打破了以往只归纳不 证明的方式. 2.解决本题的关键 (1)正确应用三角恒等变换,用一个式子把常数求出来. (2)通过观察各个等式的特点,找出共性,利用归纳推理正确得出一个三角恒等式,并 给出正确的证明.

[变式训练] 阅读下面材料: 根据两角和与差的正弦公式,有 sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β,① sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β,② 由①+②得 sin(α+β)+sin(α-β)=2sin αcos β.③ A+B A-B 令 α+β=A,α-β=B,有 α= ,β= , 2 2 A+B A-B 代入③得 sin A+sin B=2sin cos . 2 2 (1)类比上述推理方法,根据两角和与差的余弦公式,证明: A+B A-B cos A-cos B=-2sin sin ; 2 2 (2)若△ABC 的三个内角 A,B,C 满足 cos 2A-cos 2B=1-cos 2C,试判断△ABC 的形 状. (提示:如果需要,也可以直接利用阅读材料及(1)中的结论) 解:(1)因为 cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β,① cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β,② ①-②得 cos(α+β)-cos(α-β)=-2sin αsin β.③ A+B A-B 令 α+β=A,α-β=B,有 α= ,β= , 2 2 代入③得 cos A-cos B=-2sin A+B A-B sin . 2 2

(2)由二倍角公式,cos 2A-cos 2B=1-cos 2C 可化为 1-2sin2A-1+2sin2B=1-1+ 2sin2C, 所以 sin2A+sin2C=sin2B. 设△ABC 的三个内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c, 由正弦定理可得 a2+c2=b2. 根据勾股定理的逆定理知△ABC 为直角三角形.

一、选择题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分) 1.(2013· 合肥模拟)正弦函数是奇函数,f(x)=sin(x2+1)是正弦函数,因此 f(x)=sin(x2 +1)是奇函数,以上推理( A.结论正确 ) B.大前提不正确

C.小前提不正确

D.全不正确

解析:选 C 由于 f(x)=sin(x2+1)不是正弦函数,故小前提不正确. 1 4 x x 2 2.(2013· 银川模拟)当 x∈(0,+∞)时可得到不等式 x+ ≥2,x+ 2= + +?x?2≥3, x x 2 2 ? ? p 由此可以推广为 x+ n≥n+1,取值 p 等于( x A.nn C.n ) B.n2 D.n+1

1 4 x x 2 解析:选 A ∵x∈(0,+∞)时可得到不等式 x+ ≥2,x+ 2= + +?x?2≥3,∴在 p x x 2 2 ? ? 位臵出现的数恰好是不等式左边分母 xn 的指数 n 的指数次方,即 p=nn. 3.由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则: ①“mn=nm”类比得到“a· b=b· a”; ②“(m+n)t=mt+nt”类比得到“(a+b)· c=a· c+b· c”; ③“(m· n)t=m(n· t)”类比得到“(a· c=a· c)”; b)· (b· ④“t≠0,mt=xt?m=x”类比得到“p≠0,a· p=x· p?a=x”; ⑤“|m· n|=|m|· |n|”类比得到“|a· b|=|a|· |b|”; ac a a· a c ⑥“ = ”类比得到“ = ”. bc b b· b c 以上的式子中,类比得到的结论正确的个数是( A.1 C.3 B.2 D.4 )

解析:选 B ①②正确,③④⑤⑥错误. 4.(2012· 江西高考)观察下列事实:|x|+|y|=1 的不同整数解(x,y)的个数为 4,|x|+|y| =2 的不同整数解(x,y)的个数为 8,|x|+|y|=3 的不同整数解(x,y)的个数为 12,?,则|x| +|y|=20 的不同整数解(x,y)的个数为( A.76 C.86 ) B.80 D.92

解析:选 B 通过观察可以发现|x|+|y|的值为 1,2,3 时,对应的(x,y)的不同整数解的个 数为 4,8,12,可推出当|x|+|y|=n 时,对应的不同整数解(x,y)的个数为 4n,所以|x|+|y|=20 的不同整数解(x,y)的个数为 80. 5. 设△ABC 的三边长分别为 a、 c, b、 △ABC 的面积为 S, 内切圆半径为 r, r= 则 2S ; a+b+c

类比这个结论可知:四面体 S-ABC 的四个面的面积分别为 S1、S2、S3、S4,内切球的半径 为 R,四面体 S-ABC 的体积为 V,则 R=( )

V A. S1+S2+S3+S4 3V C. S1+S2+S3+S4

2V B. S1+S2+S3+S4 4V D. S1+S2+S3+S4

解析: C 设三棱锥的内切球球心为 O, 选 那么由 V=VO-ABC+VO-SAB+VO-SAC+VO-SBC, 1 1 1 1 即:V= S1R+ S2R+ S3R+ S4R, 3 3 3 3 3V 可得:R= . S1+S2+S3+S4 6.已知“整数对”按如下规律排成一列:(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(2,2),(3,1),(1,4), (2,3),(3,2),(4,1),?,则第 60 个数对是( A.(7,5) C.(2,10) ) B.(5,7) D.(10,1)

解析:选 B 依题意,就每组整数对的和相同的分为一组,不难得知第 n 组整数对的和 为 n+1,且有 n 个整数对,这样的前 n 组一共有 n?n+1? 10?10+1? 个整数对,注意到 2 2

11?11+1? <60< , 因此第 60 个整数对处于第 11 组(每对整数对的和为 12 的组)的第 5 个位臵, 2 结合题意可知每对整数对的和为 12 的组中的各对数依次为:(1,11),(2,10),(3,9),(4,8), (5,7),?,因此第 60 个整数对是(5,7). 二、填空题(本大题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分) 7.(2012· 陕西高考)观察下列不等式 1 3 1+ 2< , 2 2 1 1 5 1+ 2+ 2< , 2 3 3 1 1 1 7 1+ 2+ 2+ 2< , 2 3 4 4 ? 照此规律,第五个不等式为________. 解析: 观察每行不等式的特点, 每行不等式左端最后一个分数的分母与右端值的分母相 1 1 1 1 1 2n-1 等,且每行右端分数的分子构成等差数列.即 1+ 2+ 2+ 2+ 2+?+ 2< (n∈N*, 2 3 4 5 n n n≥2), 1 1 1 1 1 11 所以第五个不等式为 1+ 2+ 2+ 2+ 2+ 2< . 2 3 4 5 6 6 1 1 1 1 1 11 答案:1+ 2+ 2+ 2+ 2+ 2< 2 3 4 5 6 6 8 . (2012· 北 高 考 ) 回 文 数 是 指 从 左 到 右 读 与 从 右 到 左 读 都 一 样 的 正 整 数 , 如 湖

22,121,3443,94249 等.显然 2 位回文数有 9 个:11,22,33,?,99.3 位回文数有 90 个: 101,111,121,?,191,202,?,999.则 (1)4 位回文数有________个; (2)2n+1(n∈N*)位回文数有________个. 解析:从左右对称入手考虑. (1)4 位回文数第 1、4 位取 1,2,3,4,5,6,7,8,9 之一有 C1=9 种选法.第 2、3 位可取 0,有 9 10 种选法,故有 9×10=90 个,即 4 位回文数有 90 个. (2)首位和末位不能取 0,故有 9 种选法,其余位关于中间数对称,每两数都有 10 种选 法,中间数也有 10 种选法,故 2n+1(n∈N*)位回文数有 9×10n 个. 答案:90 9×10n 9. (2013· 包头模拟)如图, 矩形 ABCD 和矩形 A′B′C′D′夹在两条平行线 l1、2 之间, l 且 A′B′=mAB,则容易得到矩形 ABCD 的面积 S1 与矩形 A′B′C′D′的面积 S2 满足: S2=mS1.由此类比,如图,夹在两条平行线 l1、l2 之间的两个平行封闭图形 T1、T2,如果任 意作一条与 l1 平行的直线 l, 分别与两个图形 T1、 2 的边界交于 M、 M′、 l T N、 N′, M′N′ 且 y2 x2 =mMN,则 T1、T2 的面积 S1、S2 满足________.椭圆 2+ 2=1(a>b>0)与圆 x2+y2=a2 是夹 a b 在直线 y=a 和 y=-a 之间的封闭图形,类比上面的结论,由圆的面积可得椭圆的面积为 ________.

解析:如图,任取一条与 x 轴平行的直线,设该直线与 x 轴相距 h, 2b a2-h2 则这条直线被椭圆截得的弦长 l1= , a 被圆截得的弦长 l2=2 a2-h2, S椭圆 b l1 b 则 = ,即 = . l2 a S圆 a b 故 S 椭圆= ·πa2=πab. a 答案:S2=mS1 πab

三、解答题(本大题共 3 小题,每小题 12 分,共 36 分) 10.给出下面的数表序列: 表1 1 表2 13 4 表3 1 3 5 4 12 8 ?

其中表 n(n=1,2,3,?)有 n 行,第 1 行的 n 个数是 1,3,5,?,2n-1,从第 2 行起, 每行中的每个数都等于它肩上的两数之和. 写出表 4,验证表 4 各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成等比数列,并将结论推 广到表 n(n≥3)(不要求证明). 解:表 4 为 1 4 12 32 它的第 1,2,3,4 行中的数的平均数分别是 4,8,16,32, 它们构成首项为 4, 公比为 2 的等比 数列. 将这一结论推广到表 n(n≥3), 即表 n(n≥3)各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成 首项为 n,公比为 2 的等比数列. 11.已知椭圆具有性质:若 M,N 是椭圆 C 上关于原点对称的两个点,点 P 是椭圆上 任意一点,当直线 PM,PN 的斜率都存在,并记为 kPM,kPN 时,kPM 与 kPN 之积是与点 P 的 x2 y2 位置无关的定值.试对双曲线 2- 2=1 写出具有类似特征的性质,并加以证明. a b x2 y2 解:类似的性质为:若 M,N 是双曲线 2- 2=1 上关于原点对称的两个点,点 P 是双 a b 曲线上任意一点,当直线 PM,PN 的斜率都存在,并记为 kPM,kPN 时,kPM 与 kPN 之积是与 点 P 的位臵无关的定值. 证明:设点 M,P 的坐标分别为(m,n),(x,y), 则 N(-m,-n).因为点 M(m,n)在已知的双曲线上, b2 所以 n2= 2m2-b2. a b2 同理:y2= 2x2-b2. a 则 kPM·PN= k y-n y+n · x-m x+m 3 5 8 12 20 7

y2-n2 b2 x2-m2 b2 = 2 = 2· = 2(定值). x -m2 a x2-m2 a 3 12.观察:①sin210° +cos240° +sin 10° 40° ; cos = 4 3 ②sin26° +cos236° +sin 6° 36° . cos = 4 由上面两题的结构规律,你能否提出一个猜想?并证明你的猜想. 3 解:猜想 sin2α+cos2(α+30° )+sin αcos(α+30° . )= 4

证明:左边=sin2α+cos(α+30° )[cos(α+30° )+sin α] =sin2α+? 3 1 ?? 3cos α+1sin α? cos α- sin α 2 2 ?2 ?? 2 ?

3 1 3 =sin2α+ cos2α- sin2α= =右边. 4 4 4 所以,猜想是正确的.

1.正方形 ABCD 的边长是 a,依次连接正方形 ABCD 各边中点得到一 个新的正方形,再依次连接新正方形各边中点又得到一个新的正方形,依 此得到一系列的正方形,如图所示.现有一只小虫从 A 点出发,沿正方形 的边逆时针方向爬行,每遇到新正方形的顶点时,沿这个正方形的边逆时 针方向爬行,如此下去,爬行了 10 条线段.则这 10 条线段的长度的平方和是( 1 023 2 A. a 2 048 511 2 C. a 1 024 1 023 2 B. a 768 2 047 2 D. a 4 096 )

1 1 解析:选 A 由题可知,这只小虫爬行的第一段长度的平方为 a2=?2a?2= a2,第二段 1 ? ? 4 长度的平方为 a2=? 2 2 ?2 1 2 = a , 从而可知, ?, 小虫爬行的线段长度的平方可以构成以 a2= 1 ? 4 a? 8

1 2? ?1?10? a 1- 4 ? ?2? ? 1 023 2 1 2 1 a 为首项, 为公比的等比数列,所以数列的前 10 项和为 S10= = a. 4 2 1 2 048 1- 2 2.观察下列等式: ①cos 2α=2cos2α-1; ②cos 4α=8cos4α-8cos2α+1; ③cos 6α=32cos6α-48cos4α+18cos2α-1; ④cos 8α=128cos8α-256cos6α+160cos4α-32cos2α+1; ⑤cos 10α=mcos10α-1 280cos8α+1 120cos6α+ncos4α+pcos2α-1. 可以推测,m-n+p=________. 解析:观察等式可知,cos α 的最高次的系数 2,8,32,128 构成了公比为 4 的等比数列, 故 m=128×4=512;取 α=0,则 cos α=1,cos 10α=1,代入等式⑤,得 π 1 1=m-1 280+1 120+n+p-1,即 n+p=-350;(1)取 α= ,则 cos α= ,cos 10α= 3 2 1 1 1 1 1 1 1 - ,代入等式⑤,得- =m?2?10-1 280×?2?8+1 120×?2?6+n×?2?4+p×?2?2-1,即 n ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 2 +4p=-200,(2)

联立(1)(2),得 n=-400,p=50. 故 m-n+p=512-(-400)+50=962. 答案:962 3.阅读以下求 1+2+3+?+n(n∈N*)的过程: 因为(n+1)2-n2=2n+1,n2-(n-1)2=2(n-1)+1,?,22-12=2×1+1, n2+2n-n 以上各式相加得(n+1) -1 =2(1+2+?+n)+n,所以 1+2+3+?+n= = 2
2 2

n?n+1? . 2 类比上述过程,可得 12+22+32+?+n2=________(n∈N*). 解析:由(n+1)3-n3=3n2+3n+1,n3-(n-1)3=3(n-1)2+3(n-1)+1,?,23-13= 3×12+3×1+1,以上各式相加得(n+1)3-13=3(12+22+?+n2)+3(1+2+?+n)+n,所 n?n+1??2n+1? 以 12+22+32+?+n2= . 6 n?n+1??2n+1? 答案: 6 4.已知:在梯形 ABCD 中,如图,AB=DC=DA,AC 和 BD 是梯形 的对角线.求证:AC 平分∠BCD,DB 平分∠CBA. 解:∵等腰三角形两底角相等,(大前提) △ADC 是等腰三角形,∠1 和∠2 是两个底角,(小前提) ∴∠1=∠2.(结论) ∵两条平行线被第三条直线截得的内错角相等,(大前提) ∠1 和∠3 是平行线 AD、BC 被 AC 截得的内错角,(小前提) ∴∠1=∠3.(结论) ∵等于同一个角的两个角相等,(大前提) ∠2=∠1,∠3=∠1,(小前提) ∴∠2=∠3,即 AC 平分∠BCD.(结论) 同理可证 DB 平分∠CBA.

第六节 直接证明与间接证明

[备考方向要明了]

考 什 么 1.了解直接证明的两种基本方法——分析法

怎 么 考 1.用综合法、反证法证明问题是高考的热点,

和综合法;了解分析法和综合法的思考过程、 题型多为解答题,如 2011 安徽 T19. 特点. 2.主要以不等式、立体几何、解析几何、函数

2.了解间接证明的一种基本方法——反证法, 与方程、数列等知识为载体考查,题目具有 了解反证法的思考过程、特点. 一定的综合性,属于高档题.

[归纳· 知识整合] 1.直接证明 (1)综合法 ①定义:利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等,经过一系列的推理论证,最后 推导出所要证明的结论成立,这种证明方法叫做综合法. ②框图表示: P?Q1 ― Q1?Q2 ― Q2?Q3 ― → → →?― Qn?Q (其中 P 表示已知条 → 件、已有的定义、公理、定理等,Q 表示所要证明的结论). (2)分析法 ①定义:从要证明的结论出发,逐步寻求使它成立的充分条件,直至最后,把要证明的 结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止,这种证明方法 叫做分析法. ②框图表示: Q?P1 ― P1?P2 ― P2?P3 ― → → →?― 得到一个明显成立的条件 . → [探究] 1.综合法与分析法有什么联系与差异? 提示:综合法与分析法是直接证明的两种基本方法,综合法的特点是从已知看可知,逐 步推出未知.在使用综合法证明时,易出现的错误是因果关系不明确,逻辑表达混乱.分析 法是从未知看需知,逐步靠拢已知.当命题的条件与结论之间的联系不够明显、直接,证明 中需要用哪些知识不太明确具体时,往往采用从结论出发,结合已知条件,逐步反推,寻求 使当前命题成立的充分条件,把证明转化为判定这些条件是否具备的问题. 2.间接证明 反证法:假设原命题不成立,经过正确的推理,最后得出矛盾,因此说明假设错误,从 而证明了原命题成立,这样的证明方法叫做反证法. [探究] 2.在什么情况下可考虑利用反证法证明问题? 提示:反证法是间接证明的一种方法,它适用于以下两种情形:(1)要证的结论与条件

之间的联系不明显,直接由条件推出结论的线索不够清晰;(2)若从正面证明,需要分成多 种情形进行讨论,而从反面证明,只需研究一种或很少的几种情形. [自测· 牛刀小试] 1.下列表述:①综合法是由因导果法;②综合法是顺推法;③分析法是执果索因法; ④分析法是逆推法;⑤反证法是间接证法.其中正确的有( A.2 个 C.4 个 B.3 个 D.5 个 )

解析:选 D 由综合法、分析法和反证法的推理过程可知,①②③④⑤都正确. 2.(教材习题改编)要证明 3+ 7<2 5,可选择的方法有以下几种,其中最合理的是 ( ) A.综合法 C.反证法 B.分析法 D.归纳法

解析:选 B 要证明 3+ 7<2 5成立,可采用分析法对不等式两边平方后再证明. 3 3 3.用反证法证明“如果 a>b,那么 a> b”假设内容应是( 3 3 A. a= b 3 3 3 3 C. a= b且 a< b 解析:选 D 假设结论不成立, 3 3 3 3 即 a> b的否定为 a≤ b. 4.在不等边三角形中,a 为最大边,要想得到∠A 为钝角的结论,三边 a,b,c 应满 足________. b2+c2-a2 解析:由余弦定理 cos A= <0,所以 b2+c2-a2<0,即 a2>b2+c2. 2bc 答案:a2>b2+c2 b a 5.下列条件:①ab>0,②ab<0,③a>0,b>0,④a<0,b<0,其中能使 + ≥2 成立的 a b 条件的个数是________. b a b a 解析:要使 + ≥2,只要 >0 且 >0,即 a,b 不为 0 且同号即可,故有 3 个. a b a b 答案:3 3 3 B. a< b 3 3 3 3 D. a= b或 a< b )

综合法的应用

a2 b2 c2 [例 1] 设 a、b、c>0,证明 + + ≥a+b+c. b c a [自主解答] ∵a、b、c>0,根据基本不等式, a2 b2 c2 有 +b≥2a, +c≥2b, +a≥2c. b c a a2 b2 c2 三式相加: + + +a+b+c≥2(a+b+c), b c a a2 b2 c2 即 + + ≥a+b+c. b c a ————— —————————————— 利用综合法证明问题的步骤

1 保持本例条件不变 ,试证明 a3+b3+c3≥ (a2+b2+c2)· (a+b+c). 3 证明:∵a、b、c>0,∴a2+b2≥2ab, ∴(a2+b2)(a+b)≥2ab(a+b), ∴a3 +b3+a2b+ab2≥2ab(a+b)=2a2b+2ab2, ∴a3+b3≥a2b+ab2. 同理,b3+c3≥b2c+bc2,a3+c3≥a2c+ac2, 将三式相加得, 2(a3+b3+c3)≥a2b+ab2+b2c+bc2+a2c+ac2. ∴3(a3+b3+c3)≥(a3+a2b+a2c)+(b3+b2a+b2c)+(c3+c2a+c2b)=(a2+b2+c2)(a+b+ c). 1 ∴a3+b3+c3≥ (a2+b2+c2)(a+b+c). 3

1 1.已知 x+y+z=1,求证:x2+y2+z2≥ . 3 证明:∵x2+y2≥2xy,x2+z2≥2xz,y2+z2≥2yz, ∴2x2+2y2+2z2≥2xy+2xz+2yz. ∴3x2+3y2+3z2≥x2+y2+z2+2xy+2xz+2yz. ∴3(x2+y2+z2)≥(x+y+z)2=1. 1 ∴x2+y2+z2≥ . 3

分析法的应用

π π [例 2] 已知函数 f(x)=tan x,x∈?0,2?,若 x1,x2∈?0,2?,且 x1≠x2, ? ? ? ? x1+x2? 1 求证: [f(x1)+f(x2)]>f? 2 ? 2 ?. x1+x2? 1 [自主解答] 要证 [f(x1)+f(x2)]>f? 2 ? 2 ?, x1+x2 1 即证明 (tan x1+tan x2)>tan , 2 2 x1+x2 1 sin x1 sin x2 只需证明 ?cos x +cos x ?>tan , ? 2? 2 1 2 sin?x1+x2? sin?x1+x2? 只需证明 > . 2cosx1cosx2 1+cos?x1+x2? π 由于 x1、x2∈?0,2?, ? ? 故 x1+x2∈(0,π). 故 cos x1cos x2>0,sin(x1+x2)>0, 1+cos(x1+x2)>0, 故只需证明 1+cos(x1+x2)>2cos x1cos x2, 即证 1+cos x1cos x2-sin x1sin x2>2cos x1cos x2, 即证 cos(x1-x2)<1. π 这由 x1、x2∈?0,2?,x1≠x2 知上式是显然成立的. ? ? x1+x2? 1 因此, [f(x1)+f(x2)]>f? 2 ? 2 ?. ————— —————————————— 分析法的适用条件 当所证命题不知从何入手时, 有时可以运用分析法获得解决, 特别是对于条件简单而结

论复杂的题目,往往行之有效,对含有根式的证明问题要注意分析法的使用.

2.已知 a>0,求证: 证明:要证 只要证

1 1 a2+ 2- 2≥a+ -2. a a

1 1 a2+ 2- 2≥a+ -2, a a

1 1 a2+ 2+2≥a+ + 2. a a

∵a>0,故只要证?

?

1 1 ? a2+ 2+2 2≥?a+a+ 2?2, ? a ? ?

1 即 a2+ 2+4 a 从而只要证 2

1 1 1 a2+ 2+4≥a2+2+ 2+2 2?a+a?+2, ? ? a a 1 a2+ 2≥ a 1 2?a+a?, ? ?

1 1 2 2 只要证 4?a +a2?≥2?a +2+a2?, ? ? ? ? 1 即 a2+ 2≥2,而上述不等式显然成立,故原不等式成立. a 反证法的应用

[例 3] 设{an}是公比为 q 的等比数列,Sn 是它的前 n 项和. (1)求证:数列{Sn}不是等比数列; (2)数列{Sn}是等差数列吗?为什么? [自主解答] (1)证明:若{Sn}是等比数列,则 S2=S1·3,即 a2(1+q)2=a1·1(1+q+q2), S a 2 1 ∵a1≠0,∴(1+q)2=1+q+q2,解得 q=0,这与 q≠0 相矛盾, 故数列{Sn}不是等比数列. (2)当 q=1 时,{Sn}是等差数列. 当 q≠1 时,{Sn}不是等差数列.假设 q≠1 时,S1,S2,S3 成等差数列,即 2S2=S1+S3, 2a1(1+q)=a1+a1(1+q+q2). 由于 a1≠0,∴2(1+q)=2+q+q2,即 q=q2, ∵q≠1,∴q=0,这与 q≠0 相矛盾. 综上可知,当 q=1 时,{Sn}是等差数列;当 q≠1 时,{Sn}不是等差数列. ————— 1.反证法的解题原则 反证法的原理是“正难则反”, 即如果正面证明有困难时, 或者直接证明需要分多种情 况而反面只有一种情况时,可以考虑用反证法. ——————————————

2.反证法中常见词语的否定形式 原词 至多有 n 个(即 x≤n,n∈N*) 至少有 n 个(即 x≥n,n∈N*) n 个都是 特例 至多有 1 个 至少有 1 个 否定形式 至少有 n+1 个(即 x>n?x≥n+1,n∈N*) 至多有 n-1 个(即 x<n?x≤n-1,n∈N*) n 个不都是(即至少有 1 个不是) 至少有 2 个 至多有 0 个,即一个也没有

3.求证:a,b,c 为正实数的充要条件是 a+b+c>0,且 ab+bc+ca>0 和 abc>0. 证明:必要性(直接证法): ∵a,b,c 为正实数,∴a+b+c>0,ab+bc+ca>0, abc>0, 因此必要性成立. 充分性(反证法): 假设 a,b,c 是不全为正的实数,由于 abc>0, 则它们只能是两负一正,不妨设 a<0,b<0,c>0. 又∵ab+bc+ca>0,∴a(b+c)+bc>0,且 bc<0, ∴a(b+c)>0.① 又 a<0,∴b+c<0. 而 a+b+c>0,∴a+(b+c)>0,∴a>0. 这与 a<0 的假设相矛盾. 故假设不成立,原结论成立,即 a,b,c 均为正实数. 另外证明:如果从①处开始,进行如下推理:a+b+c>0, 即 a+(b+c)>0. 又 a<0,∴b+c>0. 则 a(b+c)<0,与①式矛盾,故假设不成立,原结论成立, 即 a,b,c 均为正实数.

? 3 个规律——利用综合法、分析法、反证法证题的一般规律 (1)综合法证题的一般规律 用综合法证明命题时,必须首先找到正确的出发点,也就是能想到从哪里起步,我们一 般的处理方法是广泛地联想已知条件所具备的各种性质, 逐层推进, 从而由已知逐步推出结 论.

(2)分析法证题的一般规律 分析法的思路是逆向思维,用分析法证题必须从结论出发,倒着分析,寻找结论成立的 充分条件. 应用分析法证明问题时要严格按分析法的语言表达, 下一步是上一步的充分条件. (3)反证法证题的一般规律 反证法证题的实质是证明它的逆否命题成立. 反证法的主要依据是逻辑中的排中律, 排 中律的一般形式是:或者是 A,或者是非 A.即在同一讨论过程中,A 和非 A 有且仅有一个是 正确的,不能有第三种情况出现. ? 3 个注意点——利用反证法证明问题应注意的问题 (1)必须先否定结论,即肯定结论的反面,当结论的反面呈现多样性时,必须罗列出各 种可能结论,缺少任何一种可能,反证都是不完全的; (2)反证法必须从否定结论进行推理,即应把结论的反面作为条件,且必须根据这一条 件进行推证,否则,仅否定结论,不从结论的反面出发进行推理,就不是反证法; (3)推导出的矛盾可能多种多样,有的与已知矛盾,有的与假设矛盾,有的与已知事实 相矛盾等,推导出的矛盾必须是明显的.

易误警示——不等式证明中的易误点

1 1 1 [典例] (2011· 安徽高考)(1)设 x≥1,y≥1,证明 x+y+ ≤ + +xy; xy x y (2)设 1<a≤b≤c,证明 logab+logbc+logca≤logba+logcb+logac. 证明:(1)由于 x≥1,y≥1,所以 1 1 1 x+y+ ≤ + +xy ?? xy(x+y)+1≤y+x+(xy)2. xy x y 将上式中的右式减左式,得 [y+x+(xy)2]-[xy(x+y)+1]=[(xy)2 -1]-[xy· (x+y)-(x+y)]=(xy+1)(xy-1)-(x+ y)(xy-1) =(xy-1)(xy-x-y+1)=(xy-1)(x-1)(y-1). 既然 x≥1,y≥1,所以(xy-1)(x-1)(y-1)≥0,从而所要证明的不等式成立. (2)设 logab=x,logbc=y,由对数的换底公式得 1 1 1 logca= ,logba= ,logcb= ,logac=xy. xy x y 于是,所要证明的不等式即为

1 1 1 x+y+ ≤ + +xy, xy x y 其中 x=logab≥1,y=logbc≥1. 故由(1)可知所要证明的不等式成立. [易误辨析] 1.证明问题(1)有两处易误点:①不能利用分析法将其正确转化,从而无法找到证明问 题的切入口;②不能灵活运用综合法将作差后的代数式变形(即分解因式),从而导致无法证 明不等式成立. 2.证明问题(2)时常因 忽视条件“1<a≤b≤c”而不能挖掘出其隐含条件,即 x=logab, y=logbc,从而无法证明不等式. 3.在选择证明方法时,一定要有“综合性选取”的意识,明确数学证明方法不是孤立 的,在实际解题时,常常把分析法和综合法结合起来运用,先以分析法为主寻求解题思路, 再用综合法表述解答或证明过程. [变式训练] 1.设函数 f(x)=xn+bx+c(n∈N*,b,c∈R).

1 (1)设 n≥2,b=1,c=-1,证明:f(x)在区间?2,1?内存在唯一零点; ? ? (2)设 n 为偶数,|f(-1)|≤1,|f(1)|≤1,求 b+3c 的最小值和最大值. 解:(1)证明:当 b=1,c=-1,n≥2 时,f(x)=xn+x-1. 1 1 1 1 ∵f?2?f(1)=?2n-2?×1<0,∴f(x)在?2,1?内存在零点. ? ? ? ? ? ? 1 - 又当 x∈?2,1?时,f′(x)=nxn 1+1>0, ? ? 1 1 ∴f(x)在?2,1?上是单调递增的.∴f(x)在?2,1?内存在唯一零点. ? ? ? ?
?-1≤f?-1?≤1, ?0≤b-c≤2, ? ? (2)法一:由题意知? 即? ?-1≤f?1?≤1, ?-2≤b+c≤0. ? ?

由图象知,b+3c 在点(0,-2)处取到最小值-6, 在点(0,0)处取到最大值 0, 故 b+3c 的最小值为-6,最大值为 0. 法二:由题意知-1≤f(1)=1+b+c≤1, 即-2≤b+c≤0,① -1≤f(-1)=1-b+c≤1, 即-2≤-b+c≤0,② ①×2+②得 -6≤2(b+c)+(-b+c)=b+3c≤0,

当 b=0,c=-2 时,b+3c=-6;当 b=c=0 时,b+3c=0, 所以 b+3c 的最小值为-6,最大值为 0.
? ?f?-1?=1-b+c, 法三:由题意知? ? ?f?1?=1+b+c,

f?1?-f?-1? f?1?+f?-1?-2 解得 b= ,c= , 2 2 ∴b+3c=2f(1)+f(-1)-3. 又∵-1≤f(-1)≤1,-1≤f(1)≤1,∴-6≤b+3c≤0, 当 b=0,c=-2 时,b+3c=-6;当 b=c=0 时,b+3c=0, 所以 b+3c 的最小值为-6,最大值为 0.

一、选择题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分) 1 a+b? ? 2ab ? 1.已知函数 f(x)=?2?x,a,b 为正实数,A=f? ? ? ? 2 ?,B=f( ab),C=f?a+b?,则 A, B,C 的大小关系为( A.A≤B≤C C.B≤C≤A 解析:选 A 2ab ≤f( ab)≤f?a+b?. ? ? 2.(2013· 成都模拟)设 a,b∈R,则“a+b=1”是“4ab≤1”的( A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 ) ) B.A≤C≤B D.C≤B≤A a+b 1 a+b? 2ab ≥ ab≥ ,又 f(x)= ?2? x 在 R 上是单调减函数,故 f? ? ? 2 ? 2 ? a+b

1 解析:选 A 若“a+b=1”,则 4ab=4a(1-a)=-4?a-2?2+1≤1;若“4ab≤1”, ? ? 取 a=-4,b=1,a+b=-3,即“a+b=1”不成立;则“a+b=1”是“4ab≤1”的充分 不必要条件. 3.若 P= a+ a+7,Q= a+3+ a+4(a≥0),则 P、Q 的大小关系是( A.P>Q C.P<Q B.P=Q D.由 a 的取值确定 )

解析:选 C 假设 P<Q,要证 P<Q,只要证 P2<Q2,只要证:2a+7+2 a?a+7?<2a+ 7+2 ?a+3??a+4?,

只要证 a2+7a<a2+7a+12,只要证 0<12, ∵0<12 成立,∴P<Q 成立. 4.(2013· 银川模拟)设 a,b,c 是不全相等的正数,给出下列判断: ①(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2≠0; ②a>b,a<b 及 a=b 中至少有一个成立; ③a≠c,b≠c,a≠b 不能同时成立, 其中正确判断的个数为( A.0 C.2 ) B.1 D.3

解析:选 C ①②正确;③中,a≠b,b≠c,a≠c 可以同时成立,如 a=1,b=2,c= 3,故正确的判断有 2 个. 5.不相等的三个正数 a,b,c 成等差数列,并且 x 是 a,b 的等比中项,y 是 b,c 的等 比中项,则 x2,b2,y2 三数( )

A.成等比数列而非等差数列 B.成等差数列而非等比数列 C.既成等差数列又成等比数列 D.既非等差数列又非等比数列

?a+c=2b, ?2 解析:选 B 由已知条件,可得?x =ab, ② ?y2=bc. ③ ?



由②③得

? ? y ?c= b ,
2

x2 a= , b

x2 y2 代入①,得 + =2b, b b

即 x2+y2=2b2. 故 x2,b2,y2 成等差数列. 6. R 上定义运算: 在 ? 则实数 a 的最大值为( 1 A.- 2 1 C. 2

?a b?=ad-bc.若不等式?x-1 a-2?≥1 对任意实数 x 恒成立, ? ? ? ?c d ? x ? ?a+1
) 3 B.- 2 3 D. 2

解析:选 D 据已知定义可得不等式 x2-x-a2+a+1≥0 恒成立,故 Δ=1-4(-a2+a 1 3 +1)≤0,解得- ≤a≤ , 2 2

3 故 a 的最大值为 . 2 二、填空题(本大题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分) 7.某同学准备用反证法证明如下一个问题:函数 f(x)在[0,1]上有意义,且 f(0)=f(1), 1 如果对于不同的 x1,x2∈[0,1],都有|f(x1)-f(x2)|<|x1-x2|,求证:|f(x1)-f(x2)|< .那么他的反 2 设应该是________. 1 答案:“?x1,x2∈[0,1],使得|f(x1)-f(x2)|<|x1-x2|则|f(x1)-f(x2)|≥ ” 2 1 9 8.(2013· 株洲模拟)已知 a,b,μ∈(0,+∞)且 + =1,则使得 a+b≥μ 恒成立的 μ 的 a b 取值范围是________. 1 9 解析:∵a,b∈(0,+∞)且 + =1, a b 1 9 9a b ∴a+b=(a+b)?a+b?=10+? b +a?≥10+2 9=16, ? ? ? ? ∴a+b 的最小值为 16. ∴要使 a+b≥μ 恒成立,需 16≥μ,∴0<μ≤16. 答案:(0,16] 9.若二次函数 f(x)=4x2-2(p-2)x-2p2-p+1,在区间[-1,1]内至少存在一点 c,使 f(c)>0,则实数 p 的取值范围是________. 解析:法一:(补集法)
?f?-1?=-2p2+p+1≤0, ? 令? 2 ? ?f?1?=-2p -3p+9≤0,

3 解得 p≤-3 或 p≥ , 2 3 故满足条件的 p 的范围为?-3,2?. ? ? 法二:(直接法) 依题意有 f(-1)>0 或 f(1)>0, 即 2p2-p-1<0 或 2p2+3p-9<0, 1 3 得- <p<1 或-3<p< , 2 2 3 故满足条件的 p 的取值范围是?-3,2?. ? ? 3 答案:?-3,2? ? ? 三、解答题(本大题共 3 小题,每小题 12 分,共 36 分)

1 1 1 10.已知 a>0, - >1,求证: 1+a> . b a 1-b 1 1 证明:∵ - >1,a>0, b a ∴0<b<1, 要证 1+a> 1 ,只需证 1+a· 1-b>1, 1-b

只需证 1+a-b-ab>1,只需证 a-b-ab>0, 即 a-b 1 1 >1,即 - >1. ab b a

这是已知条件,所以原不等式成立. 11.等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,a1=1+ 2,S3=9+3 2. (1)求数列{an}的通项 an 与前 n 项和 Sn; Sn (2)设 bn= (n∈N*),求证:数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列. n

?a1= 2+1, 解:(1)由已知得? ?3a1+3d=9+3 2,
解得 d=2, 故 an=2n-1+ 2,Sn=n(n+ 2). Sn (2)证明:由(1)得 bn= =n+ 2. n
2 假设数列{bn}中存在三项 bp,bq,br(p,q,r 互不相等)成等比数列,则 bq=bpbr.

即(q+ 2)2=(p+ 2)(r+ 2). ∴(q2-pr)+ 2(2q-p-r)=0.
? 2 ?q -pr=0, ∵p,q,r∈N ,∴? ? ?2q-p-r=0.
*

∴?

p+r?2 2 ? 2 ? =pr,(p-r) =0.

∴p=r. 与 p≠r 矛盾. ∴数列{bn}中任意不同的三项都不可能成等比数列. 12.已知{an}是正数组成的数列,a1=1,且点( an,an+1)(n∈N*)在函数 y=x2+1 的图 象上. (1)求数列{an}的通项公式; (2)若数列{bn}满足 b1=1,bn+1=bn+2an, 求证:bn·n+2<b2+1. b n

解:(1)由已知得 an+1=an+1,则 an+1-an=1,又 a1=1,所以数列{an}是以 1 为首项, 1 为公差的等差数列.故 an=1+(n-1)×1=n. (2)由(1)知,an=n,从而 bn+1-bn=2n. bn=(bn-bn-1)+(bn-1-bn-2)+?+(b2-b1)+b1 1-2n n - - =2n 1+2n 2+?+2+1= =2 -1. 1-2 因为 bn·n+2-b2+1=(2n-1)(2n 2-1)-(2n 1-1)2 b n =(22n 2-2n 2-2n+1)-(22n 2-2·n 1+1) 2 =-2n<0, 所以 bn·n+2<b2+1. b n
+ + + + + +

a+b b+c c+a 1.若 a,b,c 是不全相等的正数,求证:lg +lg +lg >lg a+lg b+lg c. 2 2 2 a+b b+c c+a 证明:要证 lg +lg +lg >lg a+lg b+lg c, 2 2 2 只需证 lg? a+b b+c c+a? b· ? 2 · 2 · 2 ?>lg(a· c),

a+b b+c c+a 只需证 · · >abc.(中间结果) 2 2 2 ∵a,b,c 是不全相等的正数, ∴由基本不等式得: a+b b+c c+a ≥ ab>0, ≥ bc>0, ≥ ac>0, 2 2 2 且上三式中由于 a,b,c 不全相等,故等号不同时成立. ∴ a+b b+c c+a · · >a· c.(中间结果) b· 2 2 2 a+b b+c c+a +lg +lg >lg a+lg b+lg c. 2 2 2

∴lg

2.如图,已知 BE,CF 分别为△ABC 的边 AC,AB 上的高,G 为 EF 的中点,H 为 BC 的中点.求证:HG⊥EF. 证明:连接 HE,HF,由 CF⊥AB,且 H 是 BC 的中点,可知 FH 是 Rt△BCF 斜边上的中线, 1 所以 HF= BC. 2 1 同理可证 HE= BC. 2 所以 HF=HE,从而△EHF 为等腰三角形.

又 G 为 EF 的中点,所以 HG⊥EF. 3.已知 a1+a2+a3+a4>100,求证:a1,a2,a3,a4 中至少有一个数大于 25. 证明:假设 a1,a2,a3,a4 均不大于 25,即 a1≤25,a2≤25,a3≤25,a4≤25, 则 a1+a2+a3+a4≤25+25+25+25=100, 这与已知 a1+a2+a3+a4>100 矛盾,故假设错误. 所以 a1,a2,a3,a4 中至少有一个数大于 25. 4.如图,已知两个正方形 ABCD 和 DCEF 不在同一平面内,M,N 分别 为 AB,DF 的中点. (1)若 CD=2,平面 ABCD⊥平面 DCEF,求直线 MN 的长; (2)用反证法证明:直线 ME 与 BN 是两条异面直线. 解:(1)如图,取 CD 的中点 G,连接 MG,NG. 因为 ABCD,DCEF 为正方形,且边长为 2, 所以 MG⊥CD,MG=2,NG= 2. 因为平面 ABCD⊥平面 DCEF, 所以 MG⊥平面 DCEF,可得 MG⊥NG. 所以 MN= MG2+NG2= 6. (2)证明:假设直线 ME 与 BN 共面, 则 AB?平面 MBEN,且平面 MBEN 与平面 DCEF 交于 EN,由已知,两正方形不共面, 故 AB?平面 DCEF. 又 AB∥CD,所以 AB∥平面 DCEF,而 EN 为平面 MBEN 与平面 DCEF 的交线, 所以 AB∥EN.又 AB∥CD∥EF, 所以 EN∥EF,这与 EN∩EF=E 矛盾.故假设不成立. 所以 ME 与 BN 不共面,它们是异面直线.

第七节 数学归纳法

[备考方向要明了]

考 什 么

怎 么 考

1.与数列等知识相结合,以解答题的形式考查等式、不等式 1.了解数学归纳法的原理. 2.能用数学归纳法证明一些简 单的数学命题. 的证明,如 2012 年安徽 T21 等. 2.以解答题的形式考查“观察—归纳—猜想—证明”的问 题,如 2012 年湖北 T22 等.

[归纳· 知识整合] 1.数学归纳法 一般地,证明一个与正整数 n 有关的命题,可按下列步骤进行: (1)(归纳奠基)证明当 n 取第一个值 n0(n0∈N*)时命题成立; (2)(归纳递推)假设 n=k(k≥n0,k∈N*)时命题成立,证明当 n=k+1 时命题也成立. 只要完成这两个步骤,就可以断定命题对从 n0 开始的所有正整数 n 都成立. [探究] 1.数学归纳法证题的基本原理是什么? 提示: 数学归纳法是一种只适用于与正整数有关的命题的证明方法, 它的表述严格而且 规范,两个步骤缺一不可.第一步是递推的基础,第二步是递推的依据,第二步中,归纳假 设起着“已知条件”的作用,在第二步的证明中一定要运用它,否则就不是数学归纳法.第 二步的关键是“一凑假设,二凑结论”. 2.用数学归纳法证明问题应该注意什么? 提示:(1)第一步验证 n=n0 时命题成立,这里的 n0 并不一定是 1,它是使命题成立的最 小正整数.(2)第二步证明的关键是合理运用归纳假设,特别要弄清由 k 到 k+1 时命题的变 化情况.(3)由假设 n=k 时命题成立,证明 n=k+1 命题也成立时,要充分利用归纳假设, 即要恰当地“凑”出目标. 2.数学归纳法的框图表示

[自测· 牛刀小试] n?n-3? 1.在应用数学归纳法证明凸 n 边形的对角线为 条时,第一步检验 n 等于( 2 A.1 C.3 B.2 D.0 )

解析:选 C ∵n≥3,∴第一步应检验 n=3.

n4+n2 2.用数学归纳法证明 1+2+3+?+n2= ,则当 n=k+1 时左端应在 n=k 的基 2 础上加上( A.k +1 B.(k+1)2 ?k+1?4+?k+1?2 C. 2 D.(k2+1)+(k2+2)+(k2+3)+?+(k+1)2 解析:选 D ∵当 n=k 时,左侧=1+2+3+?+k2,当 n=k+1 时, 左侧=1+2+3+?+k2+(k2+1)+?+(k+1)2, ∴当 n=k+1 时,左端应在 n=k 的基础上加上 (k2+1)+(k2+2)+(k2+3)+?+(k+1)2. 3.利用数学归纳法证明“(n+1)(n+2)?(n+n)=2n×1×3×?×(2n-1),n∈N*”时, 从“n=k”变到“n=k+1”时,左边应增乘的因式是( A.2k+1 2k+1 C. k+1 解析:选 B 当 n=k(k∈N*)时, 左式为(k+1)(k+2)?(k+k); 当 n=k+1 时,左式为(k+1+1)· (k+1+2)· (k+1+k-1)· ?· (k+1+k)· (k+1+k+1), ?2k+1??2k+2? 则左边应增乘的式子是 =2(2k+1). k+1 1 1 1 4.(教材习题改编)用数学归纳法证明 1+ + +?+ n <n(n∈N,且 n>1),第一步要 2 3 2 -1 证的不等式是________. 1 1 1 1 解析:当 n=2 时,左边=1+ + 2 =1+ + , 2 2 -1 2 3 1 1 右边=2,故填 1+ + <2. 2 3 1 1 答案:1+ + <2 2 3 5.记凸 k 边形的内角和为 f(k),则凸 k+1 边形的内角和 f(k+1)=f(k)+________. 解析:由凸 k 边形变为凸 k+1 边形时,增加了一个三角形. 答案:π B.2(2k+1) 2k+3 D. k+1 )
2

)

用数学归纳法证明等式

1 1 1 1 1 1 1 1 [例 1] n∈N*,求证:1- + - +?+ - = + +?+ . 2 3 4 2n n+1 n+2 2n 2n-1 1 1 [自主解答] (1)当 n=1 时,左边=1- = , 2 2 右边= 1 1 = .左边=右边. 1+1 2

1 1 1 1 1 1 1 1 (2)假设 n=k 时等式成立,即 1- + - +?+ - = + +?+ , 2 3 4 2k 2k-1 2k k+1 k+2 则当 n=k+1 时,

?1-1+1-1+?+ 1 - 1 ?+? 1 - 1 ? 2k-1 2k? ?2k+1 2k+2? ? 2 3 4
1 1 1 1 1 =?k+1+k+2+?+2k?+?2k+1-2k+2? ? ? ? ? = 1 1 1 1 + +?+ + . k+2 k+3 2k+1 2k+2

即当 n=k+1 时,等式也成立. 综合(1),(2)可知,对一切 n∈N*,等式成立. ————— —————————————— 用数学归纳法证明等式应注意的问题 (1)用数学归纳法证明等式问题是常见题型,其关键点在于弄清等式两边的构成规律, 等式两边各有多少项,以及初始值 n0 的值. (2)由 n=k 到 n=k+1 时, 除考虑等式两边变化的项外还要充分利用 n=k 时的式子, 即 充分利用假设,正确写出归纳证明的步骤,从而使问题得以证明.

1.求证:12+22+?+n2=

n?n+1??2n+1? . 6

1· ?1+1??2+1? 证明:(1)当 n=1 时,左边=1,右边= =1,左边=右边,等式成立; 6 (2)假设 n=k(k∈N*,且 k≥1)时,等式成立, k?k+1??2k+1? 即 12+22+?+k2= , 6 则当 n=k+1 时,12+22+?+k2+(k+1)2 = k?k+1??2k+1? +(k+1)2 6



?k+1?[?k+1?+1][2?k+1?+1] , 6

所以当 n=k+1 时,等式仍然成立. 由(1)、(2)可知,对于?n∈N*等式恒成立.

用数学归纳法证明不等式

2 [例 2] 已知数列{an},an≥0,a1=0,an+1+an+1-1=an 2.

求证:当 n∈N*时,an<an+1. [自主解答] (1)当 n=1 时,因为 a2 是方程 a2 2+a2-1=0 的正根,所以 a1<a2. (2)假设当 n=k(k∈N*,k≥1)时,0≤ak<ak+1, 则由 a2+1-ak 2 k
2 =(ak+2+ak+2-1)-(a2+1+ak+1-1) k

=(ak+2-ak+1)(ak+2+ak+1+1)>0, 得 ak+1<ak+2, 即当 n=k+1 时,an<an+1 也成立. 根据(1)和(2),可知 an<an+1 对任何 n∈N*都成立.

把题设条件中的“an≥0”改为“当 n≥2 时,an<-1”,其余条件不变,求证:当 n∈ N*时,an+1<an. 证明:(1)当 n=1 时, ∵a2 是 a2+a2-1=0 的负根, 2 ∴a1>a2. (2)假设当 n=k(k∈N*,k≥1)时,ak+1<ak,
2 ∵a2+1-ak =(ak+2-ak+1)(ak+2+ak+1+1),ak+1<ak≤0, k 2 ∴a2+1-ak >0, k

又∵ak+2+ak+1+1<-1+(-1)+1=-1, ∴ak+2-ak+1<0,∴ak+2<ak+1, 即当 n=k+1 时,命题成立. 由(1)(2)可知,当 n∈N*时,an+1<an.

—————

—————————————— 应用数学归纳法证明不等式应注意的问题

(1)当遇到与正整数 n 有关的不等式证明时,应用其他办法不容易证,则可考虑应用数 学归纳法. (2)用数学归纳法证明不等式的关键是由 n=k 成立,推证 n=k+1 时也成立,证明时用

上归纳假设后,可采用分析法、综合法、求差(求商)比较法、放缩法等证明.

2. 等比数列{an}的前 n 项和为 Sn, 已知对任意的 n∈N*, 点(n, n)均在函数 y=bx+r(b>0 S 且 b≠1,b,r 均为常数)的图象上. (1)求 r 的值; (2) 当 b = 2 时 , 记 bn = 2(log2an + 1)(n ∈ N*) , 证 明 : 对 任 意 的 n ∈ N* , 不 等 式 b1+1 b2+1 bn+1 · · ?· > n+1成立. b1 b2 bn 解:(1)由题意,Sn=bn+r, 当 n≥2 时,Sn-1=bn 1+r. 所以 an=Sn-Sn-1=bn 1(b-1). 由于 b>0 且 b≠1, 所以 n≥2 时,{an}是以 b 为公比的等比数列. 又 a1=b+r,a2=b(b-1), b?b-1? a2 故 =b,即 =b,解得 r=-1. a1 b+r (2)证明:由(1)知 an=2n 1, 因此 bn=2n(n∈N*), 2+1 4+1 2n+1 所证不等式为 · · ?· > n+1. 2 4 2n 3 ①当 n=1 时,左式= ,右式= 2, 2 左式>右式,所以结论成立. ②假设 n=k(k≥1,k∈N*)时结论成立,即 2+1 4+1 2k+1 · · ?· > k+1,则当 n=k+1 时, 2 4 2k 2+1 4+1 2k+1 2k+3 2k+3 2k+3 · · ?· · > k+1· = , 2 4 2k 2?k+1? 2?k+1? 2 k+1 要证当 n=k+1 时结论成立, 只需证 ≥ k+2, 2 k+1 2k+3
- - -

2k+3 即证 ≥ ?k+1??k+2?, 2 2k+3 ?k+1?+?k+2? 由均值不等式 = ≥ ?k+1??k+2?成立, 2 2



≥ k+2成立, 2 k+1

2k+3

所以,当 n=k+1 时,结论成立. b1+1 b2+1 bn+1 由①②可知,n∈N*时,不等式 · · ?· > n+1成立. b1 b2 bn

“归纳—猜想—证明”问题

1 1 1 1 [例 3] 已知 f(n)=1+ 3+ 3+ 3+?+ 3, 2 3 4 n 3 1 g(n)= - 2,n∈N*. 2 2n (1)当 n=1,2,3 时,试比较 f(n)与 g(n)的大小关系; (2)猜想 f(n)与 g(n)的大小关系,并给出证明. [自主解答] (1)当 n=1 时,f(1)=1,g(1)=1,所以 f(1)=g(1); 9 11 当 n=2 时,f(2)= ,g(2)= ,所以 f(2)<g(2); 8 8 251 312 当 n=3 时,f(3)= ,g(3)= ,所以 f(3)<g(3). 216 216 (2)由(1),猜想 f(n)≤g(n),下面用数学归纳法给出证明. ①当 n=1,2,3 时,不等式显然成立, 1 1 1 1 3 1 ②假设当 n=k(k≥3)时不等式成立,即 1+ 3+ 3+ 3+?+ 3< - 2. 2 3 4 k 2 2k 1 3 1 1 那么,当 n=k+1 时,f(k+1)=f(k)+ . 3< - 2+ ?k+1? 2 2k ?k+1?3 1 ? k+3 -3k-1 1 1 ?1 因为 2- 2k2- ?k+1?3?=2?k+1?3-2k2=2?k+1?3k2<0, 2?k+1? ? 3 1 所以 f(k+1)< - =g(k+1). 2 2?k+1?2 由①②可知,对一切 n∈N*,都 有 f(n)≤g(n)成立. ————— —————————————— 归纳—猜想—证明类问题的解题步骤 (1)利用数学归纳法可以探索与正整数 n 有关的未知问题、存在性问题,其基本模式是 “归纳—猜想—证明”, 即先由合情推理发现结论, 然后经逻辑推理即演绎推理论证结论的 正确性. (2)“归纳—猜想—证明”的基本步骤是“试验—归纳—猜想—证明”.高中阶段与数 列结合的问题是最常见的问题.

3.设数列{an}满足 an+1=a2-nan+1,n=1,2,3,?. n (1)当 a1=2 时,求 a2,a3,a4,并由此猜想出 an 的一个通项公式; (2)当 a1≥3 时,证明对所有的 n≥1,有 an≥n+2. 解:(1)由 a1=2,得 a2=a2-a1+1=3, 1 由 a2=3,得 a3=a2-2a2+1=4, 2 由 a3=4,得 a4=a2-3a3+1=5, 3 由此猜想 an 的一个通项公式:an=n+1(n≥1). (2)证明:用数学归纳法证明: ①当 n=1 时,a1≥3=1+2,不等式成立. ②假设当 n=k 时不等式成立,即 ak≥k+2, 那么,ak+1=ak(ak-k)+1≥(k+2)(k+2-k)+1≥k+3, 也就是说,当 n=k+1 时,ak+1≥(k+1)+2. 根据①和②,对于所有 n≥1,都有 an≥n+2.

? 1 种方法——寻找递推关系的方法 (1)在第一步验证时,不妨多计算几项,并争取正确写出来,这样对发现递推关系是有 帮助的. (2)探求数列通项公式要善于观察式子或命题的变化规律,观察 n 处在哪个位置. (3)在书写 f(k+1)时,一定要把包含 f(k)的式子写出来,尤其是 f(k)中的最后一项,除此 之外,多了哪些项,少了哪些项都要分析清楚. ? 4 个注意点——应用数学归纳法应注意的问题 (1)数学归纳法是证明与正整数有关的命题的常用方法,特别是数列中等式、不等式的 证明,在高考试题中经常出现.(2)数学归纳法证题的关键是第二步,证题时应注意:①必 须利用归纳假设作基础;②证明中可利用综合法、分析法、反证法等方法;③解题时要搞清 从 n=k 到 n=k+1 增加了哪些项或减少了哪些项. (3)数学归纳法证题时,第一个值 n0 不一定为 1,如证明多边形内角和定理(n-2)π 时, 初始值 n0=3. (4)解题中要注意步骤的完整性和规范性,过程中要体现数学归纳法证题的形式.

易误警示——应用数学归纳法解决证明问题的易误点

2 [典例] (2013· 九江模拟)设数列{an}的前 n 项和为 Sn,并且满足 2Sn=an+n,an>0(n∈

N*). (1)猜想{an}的通项公式,并用数学归纳法加以证明. (2)设 x>0,y>0,且 x+y=1,证明: anx+1+ any+1≤ 2?n+2?.

?2a1=a1+1, ? 2 [解] (1)分别令 n=1,2,3,得?2?a1+a2?=a2+2, ?2?a +a +a ?=a2+3. ? 1 2 3 3
∵an>0,∴a1=1,a2=2,a3=3. 猜想:an=n. 由 2Sn=a2+n,① n 可知,当 n≥2 时,2Sn-1=a2-1+(n-1).② n ①-②,得 2an=a2-a2-1+1, n n 即 a2=2an+a2-1-1. n n (ⅰ)当 n=2 时,a2=2a2+12-1, 2 ∵a2>0,∴a2=2. (ⅱ)假设当 n=k(k≥2)时,ak=k,那么当 n=k+1 时, a2+1=2ak+1+a2-1=2ak+1+k2-1 k k ?[ak+1-(k+1)][ak+1+(k-1)]=0, ∵ak+1>0,k≥2,∴ak+1+(k-1)>0, ∴ak+1=k+1. 即当 n=k+1 时也成立. ∴an=n(n≥2). 显然 n=1 时,也成立,故对于一切 n∈N*,均有 an=n. (2)要证 nx+1+ ny+1≤ 2?n+2?, 只要证 nx+1+2 ?nx+1??ny+1?+ny+1≤2(n+2). 即 n(x+y)+2+2 n2xy+n?x+y?+1≤2(n+2), 将 x+y=1 代入,得 2 n2xy+n+1≤n+2, 即只要证 4(n2xy+n+1)≤(n+2)2, 即 4xy≤1. x+y 1 ∵x>0,y>0,且 x+y=1,∴ xy≤ = , 2 2 1 即 xy≤ ,故 4xy≤1 成立,所以原不等式成立. 4 [易误辨析] 1.在解答本题时有以下易误点

2

(1)在代入 n=1,2,3 时,不能准确求得 a1,a2,a3,从而猜想不出 an. (2)证明不等式时,不会应用 x+y=1 这一条件代换,导致无法证明不等式成立. 2.解决数学归纳法中“归纳—猜想—证明”及不等式证明问题时,还有以下几点容易 造成失分 (1)归纳整理不到位得不出正确结果,从而给猜想造成困难. (2)证明 n=k 到 n=k+1 这一步时,忽略了利用假设条件去证明,造成不是纯正的数学 归纳法. (3)不等式证明的过程中,不能正确合理地运用分析法、综合法来求证. 另外需要熟练掌握数学归纳法中几种常见的推证技巧, 只有这样, 才能快速正确地解决 问题. [变式训练] 若不等式 并证明结论. 1 1 1 a 解:当 n=1 时, + + > , 1+1 1+2 3+1 24 即 26 a > ,所以 a<26. 24 24 1 1 1 a + +?+ > 对一切正整数 n 都成立,求正整数 a 的最大值, n+1 n+2 3n+1 24

而 a 是正整数,所以取 a=25,下面用数学归纳法证明 1 1 1 25 + +?+ > . n+1 n+2 3n+1 24 (1)当 n=1 时,已证得不等式成立. (2)假设当 n=k(k∈N*)时,不等式成立, 即 1 1 1 25 + +?+ > . k+1 k+2 3k+1 24

则当 n=k+1 时, 有 1 1 1 1 1 1 1 1 + +?+ = + +?+ + + + ?k+1?+1 ?k+1?+2 3?k+1?+1 k+1 k+2 3k+1 3k+2 3k+3

1 2 1 1 25 ? 1 - > + 3k+2+3k+4-3?k+1??. ? 3k+4 k+1 24 ? 6?k+1? 18?k+1?2-2?9k2+18k+8? 1 1 2 2 因为 + - = - = = 3k+2 3k+4 3?k+1? ?3k+2??3k+4? 3?k+1? ?3k+2??3k+4??3k+3? 2 >0, ?3k+2??3k+4??3k+3? 所以当 n=k+1 时不等式也成立. 由(1)(2)知,对一切正整数 n,都有 所以 a 的最大值等于 25. 1 1 1 25 + +?+ > , n+1 n+2 3n+1 24

一、选择题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分) 1.如果命题 P(n)对 n=k 成立,则它对 n=k+2 也成立,若 P(n)对 n=2 也成立,则下 列结论正确的是( )

A.P(n)对所有正整数 n 都成立 B.P(n)对所有正偶数 n 都成立 C.P(n)对所有正奇数 n 都成立 D.P(n)对所有自然数 n 都成立 解析:选 B 由题意 n=k 时成立,则 n=k+2 时也成立,又 n=2 时成立,则 P(n)对所 有正偶数都成立. 1-an 2 + 2.用数学归纳法证明“1+a+a2+?+an 1= (a≠1)”,在验证 n=1 时,左端 1-a 计算所得的项为( A.1 C.1+a+a2 ) B.1+a D.1+a+a2+a3
+ +

解析:选 C ∵等式的左端为 1+a+a2+?+an 1, ∴当 n=1 时,左端=1+a+a2. 1 1 1 3.利用数学归纳法证明不等式 1+ + +?+ n <f(n)(n≥2,n∈N*)的过程,由 n= 2 3 2 -1 k 到 n=k+1 时,左边增加了( A.1 项 C.2k
-1

) B.k 项



D.2k 项

1 1 1 1 1 1 1 1 1 解析: D 1+ + +?+ k+1 -?1+2+3+?+2k-1?= k+ k +?+ k+1 , 选 2 3 ? ? 2 2 +1 2 -1 2 -1 共增加了 2k 项. 4.用数学归纳法证明“当 n 为正奇数时,xn+yn 能被 x+y 整除”的第二步是( A.假设 n=2k+1 时正确,再推 n=2k+3 时正确(其中 k∈N*) B.假设 n=2k-1 时正确,再推 n=2k+1 时正确(其中 k∈N*) C.假设 n=k 时正确,再推 n=k+1 时正确(其中 k∈N*) D.假设 n≤k(k≥1)时正确,再推 n=k+2 时正确(其中 k∈N*) 解析:选 B ∵n 为正奇数,∴n=2k-1(k∈N*). 1 5.在数列{an}中,a1= ,且 Sn=n(2n-1)an,通过求 a2,a3,a4, 3 猜想 an 的表达式为( ) )

1 A. ?n-1??n+1? 1 C. ?2n-1??2n+1?

1 B. 2n?2n+1? 1 D. ?2n+1??2n+2?

1 1 1 1 1 1 1 解析: C 由 a1= , n=n(2n-1)an 求得 a2= = 选 S , = = a , = = a . 3 15 3×5 3 35 5×7 4 63 7×9 1 猜想 an= . ?2n-1??2n+1? 6.设函数 f(n)=(2n+9)·n 1+9,当 n∈N*时,f(n)能被 m(m∈N*)整除,猜想 m 的最大 3 值为( A.9 C.27 解析:选 D
+ +

) B.18 D.36 f(n+1)-f(n)=(2n+11)·n 2-(2n+9)·n 1=4(n+6)·n 1, 3 3 3
+ +

当 n=1 时,f(2)-f(1)=4×7×9 为最小值,据此可猜想 D 正确. 二、填空题(本大题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分) 7.用数学归纳法证明“2n>n2+1 对于 n≥n0 的正整数 n 都成立”时,第一步证明中的 起始值 n0 应取________. 解析:当 n=1 时,21=2,12+1=2;当 n=2 时,22=4, 22+1=5;当 n=3 时,23=8,32+1=10;当 n=4 时,24=16,42+1=17;当 n=5 时, 25=32,52+1=26,满足 2n>n2+1. 故 n0 应取 5. 答案:5 8.对大于或等于 2 的自然数 m 的 n 次方幂有如下分解方式: 22=1+3,32=1+3+5,42=1+3+5+7;23=3+5,33=7+9+11,43=13+15+17+19. 根据上述分解规律,若 n2=1+3+5+?+19, m3(m∈N*)的分解中最小的数是 21,则 m +n 的值为________. 解析:∵依题意得 n2= 理得(m-5)(m+4)=0, 又 m∈N*, 所以 m=5, 所以 m+n=15. 答案:15 9.若数列{an}的通项公式 an= 1 ,记 cn=2(1-a1)(1-a2)?(1-an),试通过计算 ?n+1?2 10×?1+19? m?m-1? =100, ∴n=10. 易知 m3=21m+ ×2, 整 2 2

c1,c2,c3 的值,推测 cn=________. 1 3 解析:c1=2(1-a1)=2×?1-4?= , ? ? 2

1 1 4 c2=2(1-a1)(1-a2)=2×?1-4?×?1-9?= , ? ? ? ? 3 1 1 1 5 c3=2(1-a1)(1-a2)(1-a3)=2×?1-4?×?1-9?×?1-16?= , ? ? ? ? ? ? 4 n+2 故由归纳推理得 cn= . n+1 n+2 答案: n+1 三、解答题(本大题共 3 小题,每小题 12 分,共 36 分) 10.用数学归纳法证明:12+32+52+?+(2n-1)2= 1 n(4n2-1). 3 1 证明:(1)当 n=1 时,左边=12=1,右边= ×1×(4-1)=1,等式成立. 3 1 (2)假设当 n=k(k∈N*)时等式成立,即 12+32+52+?+(2k-1)2= k(4k2-1). 3 1 1 则当 n=k+1 时,12+32+52+?+(2k-1)2+(2k+1)2= k(4k2-1)+(2k+1)2= k(4k2- 3 3 1)+4k2+4k+1 1 1 = k[4(k+1)2-1]- k· 4(2k+1)+4k2+4k+1 3 3 1 1 = k[4(k+1)2-1]+ (12k2+12k+3-8k2-4k) 3 3 1 1 = k[4(k+1)2-1]+ [4(k+1)2-1] 3 3 1 = (k+1)[4(k+1)2-1]. 3 即当 n=k+1 时等式也成立. 由(1),(2)可知,对一切 n∈N*,等式都成立. 1 1 11.设 0<a<1,定义 a1=1+a,an+1= +a,求证:对任意 n∈N*,有 1<an< . an 1-a 1 证明:(1)当 n=1 时,a1=1+a>1,又 a1=1+a< ,显然命题成立. 1-a 1 (2)假设 n=k(k∈N*)时,命题成立,即 1<ak< . 1-a 1 即当 n=k+1 时,由递推公式,知 ak+1= +a, ak 1 1 由假设可得(1-a)+a< +a<1+a< . ak 1-a 1 于是当 n=k+1 时,命题也成立,即 1<ak+1< . 1-a

1 由(1)(2)可知,对任意 n∈N*,有 1<an< . 1-a an+1+an-1 12.已知数列{an},其中 a2=6 且 =n. an+1-an+1 (1)求 a1,a3,a4; (2)求数列{an}的通项公式; an (3)设数列{bn}为等差数列,其中 bn= 且 c 为不等于零的常数,若 Sn=b1+b2+?+ n+c 1 1 1 bn,求 + +?+ . S1 S2 Sn a2+a1-1 a3+a2-1 解:(1)∵a2=6, =1, =2, a2-a1+1 a3-a2+1 a4+a3-1 =3,解得 a1=1,a3=15,a4=28. a4-a3+1 (2)由上面的 a1,a2,a3,a4 的值可以猜想 an=n(2n-1). 下面用数学归纳法加以证明: ①当 n=1 时,a1=1×(2-1)=1,结论成立. ②假设当 n=k 时,结论正确,即 ak=k(2k-1), ak+1+ak-1 则当 n=k+1 时,有 =k, ak+1-ak+1 ∴(k-1)ak+1=(k+1)ak-(k+1) =(k+1)· k(2k-1)-(k+1)=(k+1)(2k2-k-1) =(k+1)(2k+1)(k-1)(k-1≠0). ∴ak+1=(k+1)[2(k+1)-1]. 即当 n=k+1 时,结论也成立. 由①②可知,{an}的通项公式 an=n(2n-1). (3)∵{bn}是等差数列,∴2b2=b1+b3, 即 2a2 a1 a3 = + . 2+c 1+c 3+c

∵a1=1,a2=6,a3=15 且 c≠0, 1 由上式解得 c=- , 2 n?2n-1? an ∴bn= = =2n. 1 1 n- ?2n-1? 2 2 故 Sn=b1+b2+?+bn=n(n+1). 1 1 1 1 1 1 ∴ + +?+ = + +?+ S1 S2 Sn 1×2 2×3 n?n+1?

1 1 1 1 1 =?1-2?+?2-3?+?+?n-n+1? ? ? ? ?

?

?

1 n =1- = . n+1 n+1

1.已知△ABC 的三边长都是有理数. (1)求证:cos A 是有理数; (2)求证:对任意正整数 n,cos nA 是有理数. AB2+AC2-BC2 证明:(1)由 AB、BC、AC 为有理数及余弦定理知 cos A= 是有理数. 2AB· AC (2)用数学归纳法证明 cos nA 和 sin A· nA 都是有理数. sin ①当 n=1 时,由(1)知 cos A 是有理数,从而有 sin A· A=1-cos2A 也是有理数. sin ②假设当 n=k(k∈N*)时,cos kA 和 sin A· kA 都是有理数. sin 当 n=k+1 时,由 cos(k+1)A=cos A· kA-sin A· kA, cos sin sin A· sin(k+1)A=sin A· A· kA+cos A· kA) (sin cos sin =(sin A· A)· kA+(sin A· kA)· A, sin cos sin cos 由①和归纳假设,知 cos(k+1)A 和 sin A· sin(k+1)A 都是有理数. 即当 n=k+1 时,结论成立. 综合①②可知,对任意正整数 n,cos nA 是有理数. 1 1 1 n 2.用数学归纳法证明 + +?+ = (n∈N*). 1×3 3×5 ?2n-1??2n+1? 2n+1 1 1 证明:(1)当 n=1 时,左边= = , 1×3 3 右边= 1 1 = ,左边=右边. 2×1+1 3

所以 n=1 时等式成立. (2)假设 n=k 时等式成立, 1 1 1 k 即有 + +?+ = . 1×3 3×5 ?2k-1??2k+1? 2k+1 则当 n=k+1 时, 1 1 1 1 + +?+ + 1×3 3×5 ?2k-1??2k+1? ?2k+1??2k+3? = = k 1 + 2k+1 ?2k+1??2k+3? 2k2+3k+1 ?k+1??2k+1? = ?2k+1??2k+3? ?2k+1??2k+3?



k+1 k+1 = . 2k+3 2?k+1?+1

这就是说,n=k+1 时等式也成立. 由(1)(2)可知,等式对一切 n∈N*都成立. an 1 3.已知数列{an}的前 n 项和 Sn 满足:Sn= + -1,且 an>0,n∈N*. 2 an (1)求 a1,a2,a3,并猜想{an}的通项公式; (2)证明通项公式的正确性. 解:(1)∵当 n=1 时, a1 1 由已知得 a1= + -1,a2+2a1-2=0. 1 2 a1 ∴a1= 3-1 或 a1=- 3-1(舍去). a2 1 当 n=2 时,由已知得 a1+a2= + -1, 2 a2 将 a1= 3-1 代入并整理得 a2+2 3a2-2=0. 2 ∴a2= 5- 3或 a2=- 5- 3(舍去). 同理可得 a3= 7- 5. 由 a1,a2,a3,猜想 an= 2n+1- 2n-1(n∈N*). (2)证明:①由(1)的计算过程知,当 n=1,2,3 时,通项公式成立. ②假设当 n=k(k≥3,k∈N*)时,通项公式成立, 即 ak= 2k+1- 2k-1. ak+1 1 ak 1 那么由 ak+1=Sk+1-Sk= + - - , 2 ak+1 2 ak 将 ak= 2k+1- 2k-1代入上式并整理得 a2+1+2 2k+1ak+1-2=0, k 解得 ak+1= 2k+3- 2k+1, 或 ak+1=- 2k+3- 2k+1(舍去). 即当 n=k+1 时,通项公式也成立. 由①和②,可知对所有 n∈N*, an= 2n+1- 2n-1都成立. 1 1 1 1 4.用数学归纳法证明:1+ 2+ 2+?+ 2<2- (n∈N*,n≥2). 2 3 n n 1 5 1 3 证明:(1)当 n=2 时,1+ 2= <2- = ,命题成立. 2 4 2 2 (2)假设 n=k 时命题成立,即

1 1 1 1 1+ 2+ 2+?+ 2<2- . 2 3 k k 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 当 n=k+1 时,1+ 2+ 2+?+ 2+ <2- + <2- + =2- + - 2 3 k ?k+1?2 k ?k+1?2 k k?k+1? k k 1 k+1 1 =2- 命题成立. k+1 由(1),(2)知原不等式在 n∈N*,n≥2 时均成立.

两类不等式恒成立问题的求解策略

不等式恒成立问题是数学试题中的重要题型, 涉及数学中各部分知识, 但主要是函数中 的不等式恒成立问题和数列中的不等式恒成立问题, 涉及题型一般有两类: 一是已知不等式 恒成立,求参数的取值范围,解决这类问题的基本方法是相同的,首选方法是利用分离参数 转化为求新函数、新数列的最值问题,如果不能分离参数或者分离参数比较复杂时,一般选 择函数的方法,通常利用函数的最值解决;二是证明不等式恒成立,在函数中一般选择以算 代证,即通过求函数的最值证明不等式.在数列中,很多时候可以与放缩法结合起来,对所 证不等式的一侧进行适当放大或缩小,下面分别举例说明. 一、函数中的不等式恒成立问题 函数是不等式恒成立问题的主要载体,通常通过不等式恒成立问题考查等价转化思想、 函数的最值或值域,对涉及已知函数在给定区间上恒成立,求参数的取值范围、证明不等式 等问题,大多数题目可以利用分离参数的方法,将问题转化为求函数的最值或值域问题. [例 1] 已知两个函数 f(x)=8x2+16x-k,g(x)=2x3+5x2+4x,其中 k 为实数. (1)若对任意的 x∈[-3,3],都有 f(x)≤g(x)成立,求 k 的取值范围; (2)若对任意的 x1、x2∈[-3,3],都有 f(x1)≤g(x2),求 k 的取值范围. [解] (1)令 F(x)=g(x)-f(x)=2x3-3x2-12x+k. 问题转化为 F(x)≥0 在 x∈[-3,3]时恒成立,故解[F(x)]min≥0 即可. ∵F′(x)=6x2-6x-12=6(x2-x-2), 故由 F′(x)=0,得 x=2 或 x=-1. ∵F(-3)=k-45,F(3)=k-9,F(-1)=k+7, F(2)=k-20, ∴[F(x)]min=k-45.

由 k-45≥0,解得 k≥45. 故实数 k 的取值范围是[45,+∞). (2)由题意可知当 x∈[-3,3]时,都有 [f(x)]max≤[g(x)]min. 由 f′(x)=16x+16=0,得 x=-1. ∵f(-3)=24-k,f(-1)=-8-k,f(3)=120-k, ∴[f(x)]max=-k+120. 2 由 g′(x)=6x2+10x+4=0,得 x=-1 或 x=- . 3 ∵g(-3)=-21,g(3)=111,g(-1)=-1, 2 28 g?-3?=- , ? ? 27 ∴[g(x)]min=-21.则 120-k≤-21,解得 k≥141. ∴实数 k 的取值范围是[141,+∞). [点评] 将恒成立问题转化为求函数的最值问题来处理,一般有下面两种类型: (1)若所给函数能直接求出最值,则有: ①f(x)>0 恒成立?[f(x)]min>0;②f(x)≤0 恒成立?[f(x)]max≤0. (2)若所给的不等式能通过恒等变形使参数与主元分离于不等式两端,从而问题转化为 求主元函数的最值,进而求出参数范围,则有(下面的 a 为参数): ①f(x)<g(a)恒成立?g(a)>[f(x)]max; ②f(x)>g(a)恒成立?g(a)<[f(x)]min. [例 2] 已知函数 f(x)=aln x+x2,(a 为实常数). (1)若 a=-2,求函数 f(x)的单调区间; (2)若对?x∈[1,e],使得 f(x)≤(a+2)x 恒成立,求实数 a 的取值范围. [解] (1)函数 f(x)的定义域为(0,+∞), 2?x2-1? 当 a=-2 时,f(x)=x2-2ln x,所以 f′(x)= . x 2?x2-1? 令 f′(x)= >0,得 x<-1 或 x>1.且定义域为(0,+∞),所以函数 f(x)的单调增区 x 间是(1,+∞). 2?x2-1? 令 f′(x)= <0,得-1<x<1,且定义域为(0,+∞),所以函数 f(x)的单调减区间 x 是(0,1). (2)不等式 f(x)≤(a+2)x,可化为 a(x-ln x)≥x2-2x. 因为 x∈[1,e],所以 ln x≤1≤x 且等号不能同时取, 所以 ln x<x,即 x-ln x>0.

x2-2x 因而 a≥ (x∈[1,e]). x-ln x x2-2x 令 g(x)= (x∈[1,e]), x-ln x ?x-1??x+2-2ln x? 又 g′(x)= , ?x-ln x?2 当 x∈[1,e]时,x-1≥0,ln x≤1, x+2-2ln x>0, 从而 g′(x)≥0(当且仅当 x=1 时取等号). 所以 g(x)在[1,e]上为增函数. e2-2e 故[g(x)]max=g(e)= . e-1

?e -2e,+∞?. 所以 a 的取值范围是? ? ? e-1 ?
[点评] 利用不等式与函数和方程之间的联系, 将问题转化成一次函数或二次函数(二次 方程)的问题研究,一般有下面几种类型: 1.一次函数型问题:利用一次函数的图象特点求解. 对于一次函数 f(x)=kx+b(k≠0),x∈[m,n],有
?f?m?≥0, ? (1)f(x)≥0 恒成立?? ? ?f?n?≥0. ?f?m?<0, ? (2)f(x)<0 恒成立?? ? ?f?n?<0.

2

2.二次函数型问题:结合抛物线的形状考虑对称轴、顶点、区间端点等,列出相关的 不等式,求出参数的解,下面是两种基本类型: 对于二次函数 f(x)=ax2+bx+c(a≠0,x∈R),有:
? ?a>0, (1)f(x)>0 对 x∈R 恒成立?? ?Δ<0, ? ? ?a<0, (2)f(x)<0 对 x∈R 恒成立?? ? ?Δ<0.

二、数列中的不等式恒成立问题 数列是一种特殊的函数, 所以解决数列中的不等式恒成立问题与函数中不等式恒成立问 题的解法相同, 基本方法也是利用分离参数转化为求新数列的最值问题, 数列中的最值问题 一般是应用数列的单调性求解; 而数列中的不等式恒成立的证明, 则很多时候可以与放缩法 联系起来. [例 3] 在数列{an}中,a1=1,an+1=can+cn 1· (2n+1)(n∈N*),其中实数 c≠0.


(1)求{an}的通项公式; (2)若对一切 k∈N*有 a2k>a2k-1,求 c 的取值范围. [解] (1)由 a1=1,a2=ca1+c2· 3=3c2+c=(22-1)c2+c, a3=ca2+c3· 5=8c3+c2=(32-1)c3+c2, a4=ca3+c4· 7=15c4+c3=(42-1)c4+c3, 归纳猜想 an=(n2-1)cn+cn 1,n∈N*. 下面用数学归纳法证明: 当 n=1 时,等式成立; 假设当 n=k 时,等式成立,即 ak=(k2-1)ck+ck 1, 则当 n=k+1 时, ak+1=cak+ck 1(2k+1)=c[(k2-1)ck+ck 1]+ck 1· (2k+1)=(k2+2k)ck 1+ck=[(k+1)2- 1]·k 1+ck, c 综上,an=(n2-1)cn+cn (2)由 a2k>a2k-1,得 [(2k)2-1]c2k+c2k 1>[(2k-1)2-1]c2k 1+c2k 2, 因 c2k 2>0, 所以 4(c2-c)k2+4ck-c2+c-1>0 对 k∈N*恒成立. f(x)=4(c2-c)x2+4cx 记 -c2+c-1,下面分三种情况讨论: ①当 c2-c=0,即 c=0 或 c=1 时,代入验证可知只有 c=1 满足要求. ②当 c2-c<0 时, 0<c<1, 即 抛物线 y=f(x)开口向下, 因此当正整数 k 充分大时, f(k)<0, 不符合题意,此时无解. 1 ③当 c2-c>0, c<0 或 c>1 时, 即 抛物线 y=f(x)开口向上, 易知 Δ>0, 其对称轴 x= 2?1-c? 必在直线 x=1 的左边.因此,f(x)在[1,+∞)上是增函数. 所以要使 f(k)>0 对 k∈N*恒成立,只需 f(1)>0 即可. 由 f(1)=3c2+c-1>0, -1- 13 -1+ 13 解得 c< 或 c> . 6 6 1+ 13 结合 c<0 或 c>1,得 c<- 或 c>1. 6 1+ 13? ? 结合以上三种情况,c 的取值范围为?-∞,- ?∪[1,+∞). 6 ? ? [点评] 本题中关于 k 的不等式,不能通过分离参数将 k 与 c 分离,这时的一般解法是 直接利用函数知识求函数最值, 只是这时的函数定义域不是连续区间, 这也是数列与函数的 区别.由此可见,数列中的不等式恒成立与函数中不等式恒成立的解法基本相同,不同之处 就是定义域不同.
- - - - -1 + + - + + - -

对任何 n∈N*都成立.


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