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【2013汕头二模】广东省汕头市2013届高三第二次模拟考试数学理试题 扫描版含答案


2013 年理科数学二模参考答案
一、选择题: (1-5 题)BCDCD 二、填空题:9、 0 . 08 ,
25 、

(6-8 题)ACC 10、 4 2 、 11、 60 0 or 120
54 25
0



12、

1



13、 [ ? 3 , 5 ] 、

14、

5



15、

cm

2

三、解答题: 16、 (1)依题意 A=6,周期 T= ? ,从而 T ? 由 6 sin( 2 ? 0 ? ? ) ? 3 2 及 | ? |?
? f ( x ) ? 6 sin( 2 x ? 2?

?
?
4

? ? ,所以 ? ? 2

…………………(3 分)

?
2

得? ?

…………………………………(4 分)

?
4

) …………………………………………………………(5 分)



6 sin( 2 m ?

?
4

) ? 6 ,且点 ? m , 6 ? 为 y 轴右侧的第一个最高点,

所以 2 m ?

?
4

?

?
2

,解得 m ?

?
8

……………………………………………………(7 分)

(2)方法一: 由 tan ? ? 2 2 ? ? ( 0 ,
?
4 ? 6 2 sin ? cos ? ? 3 2 ( 2 cos
2

?
2

)

? s in ? ?

2 3

2

, ? cos ? ?
?
4

1 3

………………(9 分)

f (? ) ? 6 sin( 2 ? ?

) ? 6 sin 2 ? cos

?
4

? 6 cos 2 ? sin

…………(11 分)

? ? 1)
2

? 6

2 ?

2 3

2

?

1 3

? 3

1 2 8? 7 2 [ 2 ? ( ) ? 1] ? 3 3

……………(12 分)

方法二:因为由 tan ? ? 2 2 ? ? ( 0 ,
f (? ) ? 6 sin( 2 ? ? ? 3
3

?
2

)

?
4

所以:

) ? 6 sin 2 ? cos
2

?
4

? 6 cos 2 ? sin
2

?
4 ………………(9 分)

2 ( 2 sin ? cos ? ? cos

? ? sin
2 2 2

?)
2

?

2 ( 2 sin ? cos ? ? cos sin
2

? ? sin

?)

? ? cos ? ?1
2

? ?
? 8? 7 3 2

………………(12 分)

? 3

2 ?

2 tan ? ? 1 ? tan tan
2

17、解: (Ⅰ)参加单打的队员有 A 3 种方法,参加双打的队员有 C 2 种方法.
1

2 1 种 ). 所以,高三(1)班出场阵容共有 A 3 ? C 2 ? 12 (种) ……………………………(3 分)

(Ⅱ)高三(1)班代表队连胜两盘,可分为第一盘、第二盘胜或第一盘负,其余两盘胜. 所以,连胜两盘的概率为
1 2 1 2 ? ? 1 2 1 2 ? 1 2 ? 1 2 1 2 ? ? ? 1 2 1 4 1 2 1 2 ? ? 1 2 1 2 ? ? 1 2 1 2 ? ? 1 4 1 2 ? 1 2 ? 1 2 . ………………………………(10 分) ? 1 2 ? 1 2 ? 1 2 ? 3 8 .

…………………………………(7 分)

(Ⅲ) ? 的取值可能为 0,1,2.
P ?? ? 0 ? ? P ?? ? 1? ? P ?? ? 2 ? ? 1 2 1 2 ? ?

.…………………………………(8 分) .…………………………………(9 分)

所以 ? 的分布列为
?
p
1 4 1 4 1 2 5 4

0
1 4

1
1 4

2
1 2

∴ E? ? 0 ?

? 1?

? 2?

?

. …………………………………(12 分)

18、解、 (Ⅰ)由题设可知; PM , PN 的斜率存在且不为 0,
y x ?1 y x ?1

所以

?

? ? ,即 x

2

?

y

2

?

? 1 ( y ? 0 ) ……………………………………(3 分)

(Ⅱ)讨论如下: (1)当 ? ? 0 时,轨迹 C 为中心在原点,焦点在 x 轴上的双曲线(除去顶点) (2)当 ? 1 ? ? ? 0 时,轨迹 C 为中心在原点,焦点在 x 轴上的椭圆(除去长轴两个端点) (3)当 ? ? ? 1 时,轨迹 C 为以原点为圆心,1 为半径的圆(除去点(-1,0)(1,0) , ) (4)当 ? ? ? 1 时,轨迹 C 为中心在原点,焦点在 y 轴上的椭圆(除去短轴两个端 点)……………………………………………………………………………(7 分) (Ⅲ) 、当 ? ? 2 时,轨迹 C 的方程为 x ?
2

y

2

? 1 ( y ? 0 ) ,显然定点 E、F 为其左右焦点。

2

假设存在这样的点 P,使得 ? EPF ? 120 0 ,记 ? EPF ? ? , PE ? m , PF ? n , EF ? 2 3 ,
? m ? n ? 2 ? m ? n ? 2 mn ? 4 ? 1 ? 那么在 ? EPF 中: ? S ? EPF ? mn sin ? …………………………(9 分) 2 ? ? ( 2 3 ) 2 ? m 2 ? n 2 ? 2 mn cos ? ?
2 2

整理可得: 2 mn (1 ? cos ? ) ? 8 ,所以 mn ?
1 2 1 2 8 3 3 2

4 1 ? cos ?
? 2 3 3

?

4 1 ? cos 120
0

?

8 3

………(10 分)

所以 S ? EPF ?

mn sin 120

0

?

?

?

…………………………(11 分)

又因为 S ? EPF ?

1 2

? EF ? y P ?

1 2

? 2

3 ? yP ?

2 3

3

………………(12 分)

所以 y P ?

2 3

,故 yP ? ?

2 3

, 代入椭圆的方程可得: x P

2

?

? 2? ?? ? ? 3? 2

2

? 1( y ? 0 )

所以 x P ? ?

11 3

,所以满足题意的点 P 有四个,坐标分别为

(

11 3

,

2 3

) ,(?

11 3

,

2 3

) ,(

11 3

,?

2 3

) ,(?

11 3

,?

2 3

) ………………(14 分)

19、证明: (Ⅰ)在梯形 ABCD 中,∵ A B

? C D , AD ? D C ? C B ? a, ? ABC ? 60? ,

z

∴四边形 ABCD 是等腰梯形,………………(1 分) 且 ? D C A ? ? D A C ? 3 0 ?, ? D C B ? 1 2 0 ?, ∴ ? A C B ? ? D C B ? ? D C A ? 90 ? ,∴ A C ? B C . ………………(2 分) 又∵平面 A C F E ? 平面 ABCD,交线为 AC,∴ B C ? 平面 ACFE. ……(4 分) (Ⅱ)当 E M
? 3 3 a

y x

时, A M

?

平面 BDF. 现在证明如下:
? N

在梯形 ABCD 中,设 A C ? B D ∵ EM
? 3 3 a

,连结 FN,则CN
: F M ? 1 : 2,

:NA ? 1:2.

而 EF

? AC ?

3a

,∴ E M

∴MF ? AN, ? 平面 BDF. ……(8 分)

∴四边形 ANFM 是平行四边形. ∴ A M ? N F . 又∵ N F ? 平面 BDF, A M ? 平面 BDF. ∴ A M

?

(Ⅲ)方法一;(几何法)取 EF 中点 G,EB 中点 H,连结 DG、GH、DH, ∵容易证得 DE=DF,∴ D G ? E F . ∵ B C ? 平面 ACFE,∴ BC ? EF . 又∵ E F ? F C ,∴ E F ? F B . 又∵ G H ? F B ,∴ E F ? G H . ∴ ? D G H 是二面角 B—EF—D 的平面角. ……(11 分) 在△BDE 中 D E ∴DH
? 5 2
? 2a, DB ? 3a , B E ? AE
2

? AB

2

?

5a. ∴ BE

2

? DE ? DB
2

2

∴ ?EDB

? 90 ?



a. 又 D G ?

5 2

a,G H ?

2 2

a.

∴在△DGH 中,
10 10

由余弦定理得 c o s ? D G H

?

10 10

,

即二面角 B—EF—D 的平面角余弦值为

……(14 分)

方法二;(向量法)以 C 为坐标原点,建立如图所示的直角坐标系:
C ( 0 ,0 ,0 ) , B ( 0 , a ,0 ) , F ( 0 ,0 , a ) , D (
3a 2 ,? a 2 ,0 ) , E (
3 a ,0 , a )

所以 EF ? ( ? 3 a , 0 , 0 ) , BF ? ( 0 , ? a , a ) , DF ? ( ?

3a 2

,

a 2

, a ) ……(10 分)

分别设平面 BEF 与平面 DEF 的法向量为 n 1 ? ( x 1 , y 1 , z 1 ) , n 2 ? ( x 2 , y 2 , z 2 ) 所以 ?
? n ? EF ? ? ? 1 3 ax 1 ? 0

? n 1 ? BF ? ? ay 1 ? az 1 ? 0 ?

,令 y 1 ? 1 ,则 x 1 ? 0 , z 1 ? 1 ……(11 分)

? n ? EF ? ? 3 ax ? 0 2 2 ? 又? 3a a x2 ? y 2 ? az ? n 2 ? DF ? ? 2 2 ?

2

? 0

显然 x 2 ? 0 ,令 y 2 ? 1, 则 z 2 ? -

1 2

……(12 分)

所以 n 1 ? ( 0 ,1,1 ) , n 2 ? ( 0 ,1, ?

1 2

) ,设二面角的平面角为 ? , ? 为锐角

所以 cos ? ?

n1 ? n 2 n1 ? n 2

( 0 ,1 ,1 ) ? ( 0 ,1 , ? ? 2 ? 5 2

1 2

) ?

10 10

……(14 分)

20、证明: (Ⅰ)因为 a 1 ? 0 ,且 ? k ? N ? , a 2 k ? 1 , a 2 k , a 2 k ? 1 成等差数列,其公差为 2 k 。 即 2 a 2 k ? a 2 k ? 1 ? a 2 k ? 1 , a 2 k ? a 2 k ? 1 ? a 2 k ? 1 ? a 2 k ? 2 k ………………(1 分) 所以,分别取 k ? 1, 2 , 3 代入解得 a 4 ? 8 , a 5 ? 12 , a 6 ? 18 ,………………(2 分) 显然满足 a 5 ? a 4 a 6 ,即 a 4 , a 5 , a 6 成等比数列;………………(3 分) (Ⅱ)由题意可知: a 2 k ? 1 ? a 2 k ? 1 ? 4 k , 对 ? k ? N ? 恒成立 所以 a 2 k ? 1 ? a 1 ? ( a 3 ? a 1 ) ? ( a 5 ? a 3 ) ? ( a 7 ? a 5 ) ? ..... ? ( a 2 k ? 1 ? a 2 k ? 1 )
? 0 ? 4 ? 8 ? 12 ? ...... ? 4 k = ?
( k ? 1 )( 0 ? 4 k ) 2 ? 2 k ( k ? 1 ) ……………(5 分)
2

又 a 2 k ? 1 ? a 2 k ? 2 k ,所以 a 2 k ? a 2 k ? 1 ? 2 k = 2 k ( k ? 1 ) ? 2 k ? 2 k 2 ………………(6 分)
?n ?1 , ( n ? 2 k ? 1) ? ? 2 , k? N ? ? 2 n ? , (n ? 2k ) ? ? 2
2
?

所以数列 ?a n ? 的通项公式为 a n

?

或写为 a n ?

n

2

?

( ? 1)

n

?1

,n ? N

(注意:以上三种写法都给全分)…………(7 分)

2

4

(Ⅲ)先证右边: (1)当 n ? 2 时, T n ? 2 , 2 n ? T n ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 显然满足结论。 (2)当 n ? 2 时,因为 n 为奇数时, a n ? 所以
n
2

n

2

?1 2



?

2n n
2

2

an

?1

? 2 ,且 2 ?
n
2

n

2

? ? n

2
2

an

1 ? ? 1 ? ?? ? ? n ?1? ?1 ? n ?1 n
2

当 n 为偶数时, a n ? 综上可知 T n ?
2
2



n

2

? 2 ,2 ? n
2

? 0

2
2

an ? ........ ?

an ? 2 ( n ? 1 ) ,当 n ? 2 时取等号

?

3

a2

a3

an

所以 2 n ? T n ? 2 n ? 2 ( n ? 1 ) ? 2 对任意的 n ? 2 , n ? N ? 成立。………………(9 分) 再证左边: 因为 2 n ? T n ? 2 n ? (
2
2

?

3

2

? ........ ?

n

2

) ? 2 ? (2 ?

2

2

) ? (2 ?

3

2

) ? ... ? ( 2 ?

n

2

)

a2

a3

an

a2

a3

an

所以(1)当 n ? 2 k ? 1 , k ? N ? 时
2n ? Tn ? 2 ? 0 ? 2 3
2

?1

? 0 ? 5

2
2

?1

? 0 ? 7

2
2

?1

? .... ? 0 ?

2 ( 2 k ? 1)
2

?1

1 1 1 1 1 1 ? 1 ? ?1 ? ? 2 ? ? ( ? ) ? ( ? ) ? .... ? ( ? )? ? 2 ? ? ? ? 4 4 6 2k 2k ? 2 ? 2k ? 2 ? ? 2 ?2 ? 3 2 ? 1 2k ? 2 ? 3 2

……… (11 分)

(2)当 n ? 2 k , k ? N ? 时
2n ? Tn ? 2 ? 0 ? 2 3
2

?1

? 0 ? 5

2
2

?1

? 0 ? 7

2
2

?1

? .... ? 0 ?

2 ( 2 k ? 1)
2

?1

? 0

1 1 1 1 1 ? 1 ? ? 1 ?1 ? 2 ? ? ( ? ) ? ( ? ) ? .... ? ( ? )? ? 2 ? ? ? ? 4 4 6 2k ? 2 2k ? 2k ? ? 2 ?2 ? 3 2 ? 1 2k ? 3 2
3 2

…(13 分)

综上可知对 ? n ? N ? , n ? 2 ,

? 2 n ? T n ? 2 成立。 ………………(14 分)

21、解析: (Ⅰ)由题意: f ( x ) ? g ( x ) ? x 2 ? ax ? ln x , ( x ? 0 ) 分离参数 a 可得: a ? x ? 设? ( x ) ? x ?
ln x x ln x x
2

( x ? 0 ) ………………(1 分)

,则 ? / ( x ) ?

x

? ln x ? 1 x
2

………………(2 分)

由于函数 y ? x 2 , y ? ln x 在区间 ( 0 , ?? ) 上都是增函数,所以 函数 y ? x 2 ? ln x ? 1 在区间 ( 0 , ?? ) 上也是增函数,显然 x ? 1 时,该函数值为 0 所以当 x ? ( 0 ,1 ) 时, ? / ( x ) ? 0 ,当 x ? (1, ?? ) 时, ? / ( x ) ? 0 所以函数 ? ( x ) 在 x ? ( 0 ,1 ) 上是减函数,在 x ? (1, ?? ) 上是增函数 所以 ? ( x ) min ? ? (1 ) ? 1 ,所以 a ? ? ( x ) min ? 1 即 a ? ( ?? ,1 ] ………………(4 分) (Ⅱ)由题意知道: h ( x ) ? x 2 ? ax ? ln x ,且 h | ( x ) ?
2x
2

? ax ? 1 x

, (x ? 0)
1

所以方程 2 x 2 ? ax ? 1 ? 0 ( x ? 0 ) 有两个不相等的实数根 x 1 , x 2 ,且 x 1 ? ( 0 , ) ,
2

又因为 x 1 x 2 ?

1 2

, 所以 x 2 ?

1 2 x1

? (1 , ?? ) ,且 ax i ? 2 x i

2

? 1, ( i ? 1, 2 ) …………(6 分)

而 h ( x 1 ) ? h ( x 2 ) ? ( x 1 2 ? ax 1 ? ln x 1 ) ? ( x 2 2 ? ax 2 ? ln x 2 )
? [ x1
2

? ( 2 x1

2

? 1 ) ? ln x 1 ] ? [ x 2

2

? (2 x 2

2

? 1 ) ? ln x 2 ]

1
? x2
2

? x 1 ? ln

2

x1 x2
1

? x2

2

? (

1 2x2

)

2

? ln

2x2 x2

? x2

2

?
2

1 4x2
2

? ln 2 x 2 , ( x 2 ? 1 )
2
2

设u (x) ? x 2 ?

4x

2

/ 2 ? ln 2 x , ( x ? 1 ) ,则 u ( x ) ?

(2 x

? 1)
3

? 0

2x
3 4 ? ln 2 ,即 h ( x 1 ) ? h ( x 2 ) ?
1 ? ax 2 ) ? x
2

所以 u ( x ) ? u (1 ) ?

3 4

? ln 2 ………………(8 分)

(Ⅲ) r ( x ) ? f ( x ) ? g (

? ax ? ln

ax ? 1 2
2

所以 r ( x ) ? 2 x ? a ?
|

a ax ? 1

?

2 ax

2

? a x ? 2x
2

2 ax ( x ? ?

a

? 2

)

2a ax ? 1

ax ? 1 a 2 1 a 2 2 1 2

………………(9

分) 因为 a ? (1, 2 ) ,所以
1

a

2

? 2

?

?

?

?

?

1 2
1

2a

所以当 x ? ( , ?? ) 时, r ( x ) 是增函数,所以当 x 0 ? [ ,1] 时,
2 2
r ( x 0 ) max ? r (1 ) ? 1 ? a ? ln a ?1 2 a ?1 2 a ?1 2
2 ? k (1 ? a ) ? 0 恒成立

, a ? (1, 2 ) ………………(10 分)

所以,要满足题意就需要满足下面的条件:
1 ? a ? ln a ?1 2
2 ? k (1 ? a ) ,令 ? ( a ) ? 1 ? a ? ln 2 ? k (1 ? a ) , a ? (1, 2 )

即对任意 a ? (1, 2 ) , ? ( a ) ? 1 ? a ? ln 因为 ? / ( a ) ? ? 1 ? 分类讨论如下: (1)若 k ? 0 ,则 ? / ( a ) ?
? a a ?1

1 a ?1

? 2 ka ?

2 ka

2

? 2 ka ? a a ?1

?

a a ?1

( 2 ka ? 2 k ? 1 ) ………(11 分)

,所以 ? ( a ) 在 a ? (1, 2 ) 递减,

此时 ? ( a ) ? ? (1 ) ? 0 不符合题意 (2)若 k ? 0 ,则 ? / ( a ) ?
2 ka a ?1 (a ? 1 2k ? 1 ) ,所以 ? ( a ) 在 a ? (1 , 2 ) 递减,

此时 ? ( a ) ? ? (1 ) ? 0 不符合题意。 (3) k ? 0 , ? / ( a ) ? 若 则
2 ka a ?1 (a ?
1 2k

1 2k

那么当 ? 1) ,

1 2k

假设 t 为 2 与 ? 1 ? 1 时,
1 2k

1 2k

?1

中较小的一个数,即 t ? min{ 2 , 时 ? ( a ) ? ? (1 ) ? 0 不符合题意。

? 1} ,则 ? ( a ) 在区间 (1 , min{ 2 ,

? 1}) 上递减,此

?k ? 0 1 1 ? 综上可得 ? 1 解得 k ? ,即实数 k 的取值范围为 [ , ?? ) ………………(14 分) 4 4 ?1?1 ? ? 2k


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