高二数学测试题—椭圆

高二数学测试题—椭圆
一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分） 1．椭圆 2 x 2 ? 3 y 2 ? 6 的焦距是 A．2 B． 2( 3 ? 2 ) C． 2 5 （ D． 2( 3 ? 2 ) （ ） ）

2．F1、F2 是定点，|F1F2|=6，动点 M 满足|MF1|+|MF2|=6，则点 M 的轨迹是 A．椭圆 B．直线 C．线段 D．圆 3．方程 x 2 ? ky 2 ? 2 表示焦点在 y 轴上的椭圆，则 k 的取值范围是 A． (0,??) B． （0，2） C． （1，+∞） D． （0，1）

（

）

4．P 是椭圆 为 A．

x2 ? y 2 ? 1 上一点，P 到右焦点 F2 的距离为 1，则 P 到相应左焦点的准线距离 4
（ ）

3 6
3 4

B．

2 3 3
2 3

C．

3 2
1 2

D． 2 3 （ ）

5．若椭圆经过原点，且焦点为 F1（1，0） ，F2（3，0） ，则其离心率为 A． B． C． D．

1 4
（ ）

6．若椭圆的对称轴在坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点组成一个正三角形，焦点到椭 圆上点的最短是距离为 3 ，这个椭圆方程为

x2 y2 ? ?1 A． 12 9
C．

x2 y2 ? ?1 B． 9 12
D．以上都不对

x2 y2 x2 y2 ? ? 1或 ? ?1 12 9 9 12

7．已知 P 是椭圆 为 A．

x2 y2 ? ? 1 上一点，F1 和 F2 是焦点，若∠F1PF2=30°，则△PF1F2 的面积 5 4
（ ）

4 3 3

B． 4(2 ? 3)

C． 4(2 ? 3)
29

D．4

8．椭圆 4x 2 ? 9 y 2 ? 144内有一点 P（3，2）过点 P 的弦恰好以 P 为中点，那么这弦所在直 线的方程为 A． 3x ? 2 y ? 12 ? 0 C． 4 x ? 9 y ? 144 ? 0 B． 2 x ? 3 y ? 12 ? 0 D． 9 x ? 4 y ? 144 ? 0 （ ）

9．如图，已知椭圆的中心在原点，F 是焦点，A 为顶点，准线 l 交 x 轴于 B，P、Q 在椭圆上， PD⊥l 于 D，QF⊥AO，椭圆的离心率为 e，则下列结论（1） e ? （3） e ? | AO | , (4)e ? | AF | , (5)e ? | FO | | BO | | AB | | AO | 正确的个数是 A．1 C．4 （ B．3 D．5 ） ）

| PF | | QF | , (2)e ? , | PD | | BF |

x2 y2 ? ? 1 恒有公共点，则 m 的取值范围是（ 10．直线 y ? kx ? 1 ? 0(k ? R) 与椭圆 5 m
A． （0，1） B． （0，5） C． [1,5) ? (5,??) D． (1,??)

二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 6 分，共 24 分） 11．中心在原点，离心率为
2 2

6 ，且一条准线方程是 y=3 的椭圆方程是 3

. .

12．过椭圆 x ? 2 y ? 4 的左焦点作倾斜角为

13．设 P 是直线 y ? x 上的点，若椭圆以 F1（1，0）F2（2，0）为两个焦点且过 P 点，则当 椭圆的长轴长最短时，P 点坐标为
2 2

? 的弦 AB，那么弦 AB 的长= 3
.

14． 已知圆 C : ( x ? 1) ? y ? 25及点A(1,0), Q 为圆上一点， AQ 的垂直平分线交 CQ 于 M， 则点 M 的轨迹方程为 . 三、解答题（本大题共 6 小题，共 76 分） 15．求中心在原点，焦点在 x 轴上，焦距等于 4，且经过点 P（3，－2 6 ）的椭圆方程. 16．已知地球运行的轨迹是长半轴长为 a，离心率为 e 的椭圆，且太阳在这个椭圆的一个焦 点上，求地球到太阳的最大和最小距离.（12 分） 17 ． 已 知 A 、 B 是 椭 圆

x 2 25y 2 ? ? 1 上 的 两 点 ， F2 是 椭 圆 的 右 焦 点 ， 如 果 a2 9a 2
30

8 3 a, AB 的中点到椭圆左准线距离为 ，求椭圆方程.（12 分） 5 2 1 18．求经过点 M（1，1）以 y 轴为准线，离心率为 的椭圆的中心的轨迹方程.（12 分） 2 | AF2 | ? | BF2 |?

x2 y2 19．已知椭圆 2 ? 2 =1（a>b>0）与右焦点 F1 对应的准线 l，问能否给定离心率的范围， a b
使椭圆上存在一点 P，满足|PF1|是 P 到 l 的距离与|PF2|的比例中项.（14 分） 20． 已知椭圆的一个焦点 F1 (0,?2 2 ) ， 对应的准线方程为 y ? ?

9 2 4 2， 且离心率 e为 和 4 3 3

的等比中项.（1）求椭圆方程， （2）是否存在直线 l 与椭圆交于不同的两点 M、N，且线段 MN 恰为直线 x ? ? （14 分）

1 平分？若存在，求出直线 l 的倾斜角的范围，若不存在，请说明理由. 2

高二数学参考答案八、椭圆
一、1．A 2．C 3．D 4．D 二、11． y ? x ? 1
2 2

5．C 6．C 7．B 8．B 9．D 10．C 13． P ( 3 , 3 ) 2 2
2 2 14． 4 x ? 4 y ? 1 25 21

6

2

12． 16 7

2 三、15． x ? y ? 1

2

36

32

16. 最大距离为 a（1+e） ，最小距离为 a（1－e）

17．解： | AF1 | ? | BF1 |? 4a ?

8a 12 a 设 AB 的中点为 P，A、P、B 在左准线上的射影分别为 M、Q、 ? , 5 5
12a 3 ? 2e ? 5 2
2

N，则 | AF1 | ? | BF1 |? e(| AM | ? | BN |) ? e ? 2 | PQ | .即 又c2 ? a2 ?

?c ?

4a 2 5

9 2 16a 2 a ? 25 25
1 2

? a 2 ? 1 .则椭圆方程为 x 2 ? 25y ? 1
9

18．解：设椭圆中心 o ?( x, y ). ? e ?

? a ? 2c .而中心 o? 到准线的距离为 x ?

a2 . c

?c ?

x 4

3 ? 左焦点 F ( x ? c, y )即为 F ( x, y ) 4
3 1 ? ( x ? 1) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 即 4 4 4 9( x ? ) 2 3 ? 4( y ? 1) 2 ? 1 4

由椭圆的第二定义得 | MF1 | ? 1 1 2

2 20．解（1）? e 2 ? 2 ? 4 ? e ? 2 2 即 c ? 2 2 又 ? a ? c ? 9 2 ? 2 2

3 3

3

a

3

c

4

?a ? 3, c ? 2 2,?b 2 ? a 2 ? c 2 ? 1

? F1 (0,?2 2 ) 对应准线方程为 y ? ? 9 2 , 且c ? 2 2
4
31

2 ∴椭圆中心在原点，则椭圆方程为 y ? x 2 ? 1

9

（2）假设存在直线 l，且 l 交椭圆所得的弦 MN 被直线 x ? ? 1 平分，∴l 的斜率存在，设 l:y=kx+m. 2 由? ?

? y ? kx ? m 消去y得(k 2 ? 9) x 2 ? 2km x ? m 2 ? 9 ? 0 .∵直线 l 交椭圆于不同两点 M、N. y2 2 ? ? x ?1 ?9

? ? ? 4k 2 m2 ? 4(k 2 ? 9)(m2 ? 9) ? 0即m2 ? k 2 ? 9 ? 0. ①
设 M ( Mx , y ) N ( x , y ) ? x1 ? x 2 ? ? km 1 1 2 2 2

2

1 k2 ?9 ? ? . ?m ? 2 2k k ?9

代入①得 (

k ?9 2 ) ? k 2 ? 9 ? 0. 解得k ? ? 3, 或k ? 3 . 2k
2

∴存在满足条件的直线 l1 的倾斜角 ? ? ( ? , ? ) ? ( ? , 2 ? ) 注：第（1）小题还可利用椭圆的第二定义解 3 2 2 3 决

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