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高二数学测试题—椭圆


高二数学测试题—椭圆
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 1.椭圆 2 x 2 ? 3 y 2 ? 6 的焦距是 A.2 B. 2( 3 ? 2 ) C. 2 5 ( D. 2( 3 ? 2 ) ( ) )

2.F1、F2 是定点,|F1F2|=6,动点 M 满足|MF1|+|MF2|=6,则点 M 的轨迹是 A.椭圆

B.直线 C.线段 D.圆 3.方程 x 2 ? ky 2 ? 2 表示焦点在 y 轴上的椭圆,则 k 的取值范围是 A. (0,??) B. (0,2) C. (1,+∞) D. (0,1)





4.P 是椭圆 为 A.

x2 ? y 2 ? 1 上一点,P 到右焦点 F2 的距离为 1,则 P 到相应左焦点的准线距离 4
( )

3 6
3 4

B.

2 3 3
2 3

C.

3 2
1 2

D. 2 3 ( )

5.若椭圆经过原点,且焦点为 F1(1,0) ,F2(3,0) ,则其离心率为 A. B. C. D.

1 4
( )

6.若椭圆的对称轴在坐标轴上,短轴的一个端点与两个焦点组成一个正三角形,焦点到椭 圆上点的最短是距离为 3 ,这个椭圆方程为

x2 y2 ? ?1 A. 12 9
C.

x2 y2 ? ?1 B. 9 12
D.以上都不对

x2 y2 x2 y2 ? ? 1或 ? ?1 12 9 9 12

7.已知 P 是椭圆 为 A.

x2 y2 ? ? 1 上一点,F1 和 F2 是焦点,若∠F1PF2=30°,则△PF1F2 的面积 5 4
( )

4 3 3

B. 4(2 ? 3)

C. 4(2 ? 3)
29

D.4

8.椭圆 4x 2 ? 9 y 2 ? 144内有一点 P(3,2)过点 P 的弦恰好以 P 为中点,那么这弦所在直 线的方程为 A. 3x ? 2 y ? 12 ? 0 C. 4 x ? 9 y ? 144 ? 0 B. 2 x ? 3 y ? 12 ? 0 D. 9 x ? 4 y ? 144 ? 0 ( )

9.如图,已知椭圆的中心在原点,F 是焦点,A 为顶点,准线 l 交 x 轴于 B,P、Q 在椭圆上, PD⊥l 于 D,QF⊥AO,椭圆的离心率为 e,则下列结论(1) e ? (3) e ? | AO | , (4)e ? | AF | , (5)e ? | FO | | BO | | AB | | AO | 正确的个数是 A.1 C.4 ( B.3 D.5 ) )

| PF | | QF | , (2)e ? , | PD | | BF |

x2 y2 ? ? 1 恒有公共点,则 m 的取值范围是( 10.直线 y ? kx ? 1 ? 0(k ? R) 与椭圆 5 m
A. (0,1) B. (0,5) C. [1,5) ? (5,??) D. (1,??)

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 6 分,共 24 分) 11.中心在原点,离心率为
2 2

6 ,且一条准线方程是 y=3 的椭圆方程是 3

. .

12.过椭圆 x ? 2 y ? 4 的左焦点作倾斜角为

13.设 P 是直线 y ? x 上的点,若椭圆以 F1(1,0)F2(2,0)为两个焦点且过 P 点,则当 椭圆的长轴长最短时,P 点坐标为
2 2

? 的弦 AB,那么弦 AB 的长= 3
.

14. 已知圆 C : ( x ? 1) ? y ? 25及点A(1,0), Q 为圆上一点, AQ 的垂直平分线交 CQ 于 M, 则点 M 的轨迹方程为 . 三、解答题(本大题共 6 小题,共 76 分) 15.求中心在原点,焦点在 x 轴上,焦距等于 4,且经过点 P(3,-2 6 )的椭圆方程. 16.已知地球运行的轨迹是长半轴长为 a,离心率为 e 的椭圆,且太阳在这个椭圆的一个焦 点上,求地球到太阳的最大和最小距离.(12 分) 17 . 已 知 A 、 B 是 椭 圆

x 2 25y 2 ? ? 1 上 的 两 点 , F2 是 椭 圆 的 右 焦 点 , 如 果 a2 9a 2
30

8 3 a, AB 的中点到椭圆左准线距离为 ,求椭圆方程.(12 分) 5 2 1 18.求经过点 M(1,1)以 y 轴为准线,离心率为 的椭圆的中心的轨迹方程.(12 分) 2 | AF2 | ? | BF2 |?

x2 y2 19.已知椭圆 2 ? 2 =1(a>b>0)与右焦点 F1 对应的准线 l,问能否给定离心率的范围, a b
使椭圆上存在一点 P,满足|PF1|是 P 到 l 的距离与|PF2|的比例中项.(14 分) 20. 已知椭圆的一个焦点 F1 (0,?2 2 ) , 对应的准线方程为 y ? ?

9 2 4 2, 且离心率 e为 和 4 3 3

的等比中项.(1)求椭圆方程, (2)是否存在直线 l 与椭圆交于不同的两点 M、N,且线段 MN 恰为直线 x ? ? (14 分)

1 平分?若存在,求出直线 l 的倾斜角的范围,若不存在,请说明理由. 2

高二数学参考答案八、椭圆
一、1.A 2.C 3.D 4.D 二、11. y ? x ? 1
2 2

5.C 6.C 7.B 8.B 9.D 10.C 13. P ( 3 , 3 ) 2 2
2 2 14. 4 x ? 4 y ? 1 25 21

6

2

12. 16 7

2 三、15. x ? y ? 1

2

36

32

16. 最大距离为 a(1+e) ,最小距离为 a(1-e)

17.解: | AF1 | ? | BF1 |? 4a ?

8a 12 a 设 AB 的中点为 P,A、P、B 在左准线上的射影分别为 M、Q、 ? , 5 5
12a 3 ? 2e ? 5 2
2

N,则 | AF1 | ? | BF1 |? e(| AM | ? | BN |) ? e ? 2 | PQ | .即 又c2 ? a2 ?

?c ?

4a 2 5

9 2 16a 2 a ? 25 25
1 2

? a 2 ? 1 .则椭圆方程为 x 2 ? 25y ? 1
9

18.解:设椭圆中心 o ?( x, y ). ? e ?

? a ? 2c .而中心 o? 到准线的距离为 x ?

a2 . c

?c ?

x 4

3 ? 左焦点 F ( x ? c, y )即为 F ( x, y ) 4
3 1 ? ( x ? 1) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 即 4 4 4 9( x ? ) 2 3 ? 4( y ? 1) 2 ? 1 4

由椭圆的第二定义得 | MF1 | ? 1 1 2

2 20.解(1)? e 2 ? 2 ? 4 ? e ? 2 2 即 c ? 2 2 又 ? a ? c ? 9 2 ? 2 2

3 3

3

a

3

c

4

?a ? 3, c ? 2 2,?b 2 ? a 2 ? c 2 ? 1

? F1 (0,?2 2 ) 对应准线方程为 y ? ? 9 2 , 且c ? 2 2
4
31

2 ∴椭圆中心在原点,则椭圆方程为 y ? x 2 ? 1

9

(2)假设存在直线 l,且 l 交椭圆所得的弦 MN 被直线 x ? ? 1 平分,∴l 的斜率存在,设 l:y=kx+m. 2 由? ?

? y ? kx ? m 消去y得(k 2 ? 9) x 2 ? 2km x ? m 2 ? 9 ? 0 .∵直线 l 交椭圆于不同两点 M、N. y2 2 ? ? x ?1 ?9

? ? ? 4k 2 m2 ? 4(k 2 ? 9)(m2 ? 9) ? 0即m2 ? k 2 ? 9 ? 0. ①
设 M ( Mx , y ) N ( x , y ) ? x1 ? x 2 ? ? km 1 1 2 2 2

2

1 k2 ?9 ? ? . ?m ? 2 2k k ?9

代入①得 (

k ?9 2 ) ? k 2 ? 9 ? 0. 解得k ? ? 3, 或k ? 3 . 2k
2

∴存在满足条件的直线 l1 的倾斜角 ? ? ( ? , ? ) ? ( ? , 2 ? ) 注:第(1)小题还可利用椭圆的第二定义解 3 2 2 3 决

32


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