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1.计数原理


一.两个计数原理 分类加法计数原理 完成一件事有 .在第 1 类方案中有 m 种不同的方 法,在第 2 类方案中有 n 种不同的方法 完成这件事共有 N= 法 能否 完成整个事件 种不同的方 分步乘法计数原理 完成一件事需要 ,做第 1 步有 m 种不同的方法, 做第 2 步有 n 种不同的方法 完成这件事共有 N= 能否 完成整个事件 种不同的方法

条件

结论 依据

直接法 优先法 捆绑法

把符合条件的排列数直接列式计算 优先安排特殊元素或特殊位置 把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列,同时注意捆绑元素的内 部排列 对不相邻问题,先考虑不受限制的元素的排列,再将不相邻的元素插在 前面元素排列的间隔中 “小集团”排列问题中先整体后局部 对于定序问题,可先不考虑顺序限制,排列后,再除以定序元素的全排 列 正难则反,等价转化的方法

插空法 先整体 后局部 定序问题 除法处理 间接法

有 3 名男生,4 名女生,在下列不同要求下,求不同的排列方法总数: (1)全体排成一行,其中甲只能在中间或者两边位置;---优先 (2)全体排成一行,其中甲不在最左边,乙不在最右边;---正难则反---内含优先 (3)全体排成一行,其中男生必须排在一起;----整体优先 (4)全体排成一行,男、女各不相邻;---插空 (5)全体排成一行,男生不能排在一起;----优先插空 (6)全体排成一行,其中甲、乙、丙三人从左至右的顺序不变;----插空 (7)排成前后两排,前排 3 人,后排 4 人;---理解分组 (8)全体排成一行,甲、乙两人中间必须有 3 人.---整体

我再加一条,具体问题具体分析,生搬硬套误人子弟 1.用 0,1,?,9 十个数字,可以组成有重复数字的三位数的个数为 你一定听过一句话叫正难则反 我们来尝试正反各做一次,看看到底谁难谁简单

正:什么叫做有重复数字? 第一种情况,有两个重复的 先考虑没有 0 的,有 9*8*3 个 含 1 个 0 的,有 9*2 个 含 2 个 0 的,有 9 个 第二种情况,有三个重复的,只有 9 个 做差得 252 反:总共有 9*10*10 个三位数 无重复的有 9*9*8 个, 做差得 252 总结一下,①,结果一定一样 ②,穷举有序,不要遗漏 ③,穷举没那么麻烦 ④,反做的基础是精准的概括和分类

2.五名大学生被安排到 4 个不同的地区,每个地区至少一人,其中甲乙不能安排在相同的地 方,求不同的安排方法 __ __ __ __ 甲 乙 方法一:列举所有可能情况 12*3*2*2+12*3*2=216 甲或者乙不孤单的情况 第一个 12 是甲乙挑位置,有 12 种,3*2 是剩下的两个位置分配给两个人,最后的 2 是最后 一个人有 2 个位置可以选 甲乙各占一坑 第一个 12 是甲乙挑位置,有 12 种,3 是有一个位置可以有三种塞法,2 是,这个位置有两 种选法 方法二:正难则反 先不考虑甲乙的个性问题,所有情况有 5*4*3*2*4=240 种 甲乙在一起的情况有 A33*C41=24 种,做差得 216 种 方法致胜: 1.在航天员进行的一项太空实验中, 先后要实施 6 个程序, 其中程序 A 只能出现在第一步或 最后一步,程序 B 和 C 实施时必须相邻,则实验顺序的编排方法共有______种 典型的整体法+特殊法

2.一生产过程有四道工序,每道工序需要安排一人照看,现从甲、乙、丙等 6 名工人中安排 4 人分别照看一道工序, 第一道工序只能从甲、 乙两工人中安排 1 人, 第四道工序只能从甲、 丙两工人中安排 1 人,则不同的安排方案共有________种. 典型的特殊法 以下题型非常适合枚举: 1.有 4 位教师在同一年级的 4 个班中各教一个班的数学,在数学检测时要求每位教师不能在 本班监考,则监考的方法有( ) 2.在编号为 1,2,3,4,5,6 的六个盒子里放入两个小球,每个盒子中最多放一个小球,且不能在 两个编号连续的盒子中同时放入小球,则不同的放小球的方法有_____

x2 y2 3.椭圆m+ n =1 的焦点在 y 轴上,且 m∈{1,2,3,4,5},n∈{1,2,3,4,5,6,7}, 则这样的椭圆的个数为________.
4.设集合 I={1,2,3,4,5}. 选择集合 I 的两个非空子集 A 和 B, 若集合 B 中最小的元素大于集 合 A 中最大的元素,则不同的选择方法共有______

图形着色(选讲) : 1.如图所示的几何体是由一个正三棱锥 P?ABC 与正三棱柱 ABC?A1B1C1 组合而成,现用 3 种不同颜色对这个几何体的表面染色(底面 A1B1C1 不涂色),要求相邻的面均不同色,则不 同的染色方案共有________种.

2..将一个四面体 ABCD 的六条棱上涂上红、黄、白三种颜色,要求共端点的棱不能涂相同 颜色,则不同的涂色方案有______种

3.用红、黄、蓝等 6 种颜色给如图所示的五连圆涂色,要求相邻两个圆所涂颜色不能相同,

且红色至少要涂两个圆,则不同的涂色方案种数为(



具体思维: 此类题在解题之前要进行划归,找出需要进行排列组合的环节,再通过排列组合计数,进行 求解 1.如果正整数 a 的各位数字之和等于 6, 那么称 a 为 “好数” (如: 6,24,2 013 等均为 “好数” ), 将所有“好数”从小到大排成一列 a1,a2,a3,?,若 an=2 013,则 n=( ) 2.电视台在直播 2014 年亚运会时要连续插播 5 个广告,其中 3 个不同的商业广告和 2 个不 同的奥运宣传广告,要求最后播放的是奥运宣传广告,且 2 个奥运宣传广告不能连播.则不 同的播放方式有 3.无重复数字的五位数 a1a2a3a4a5 , 当 a1<a2, a2>a3, a3<a4, a4>a5 时称为波形数,则由 1, 2,3,4,5 任意组成的一个没有重复数字的五位数是波形数的概率为 . 隐藏条件,重新建模 1.我班制定了数学学习方案: 星期一和星期日分别解决 4 个数学问题, 且从星期二开始, 每天所解决问题的个数与前一天相比, 要么“多一个”要么“持平”要么“少一个”.在一 周中每天所解决问题个数的不同方案共有_____种 1.变式一,更改第一个条件为,礼拜一和礼拜日解决 2 个数学问题,求方案总数____ 2.数列有,9 项,头尾均为 1,其中每一项可能是前项的 3 倍,1/3 或者相等,求这样的数列 有多少种_____ 2.变式一,头为 1,尾巴为 9,求数列有多少种 2.变式二,头尾均为 1,且数列每项只能是 1,3,1/3,求数列有多少种


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