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曹甸高中高三数学二轮复习微专题(三解析几何的最值问题)


曹甸高中高三数学二轮复习微专题(三)解析几何中的最值与范围问题训练
1、 已知 P 是直线 3x ? 4 y ? 8 ? 0 上的动点,PA, PB 是圆 x2 ? y 2 ? 2x ? 2 y ? 1 ? 0 的两条切线,

A, B 是切点, C 是圆心,那么四边形 PACB 面积的最小值为



2.已

知 F 是抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点,M 是这条抛物线上的一个动点,P(3,1)是一个定点,则

| MP | ? | MF | 的最小值是



3、在平面直角坐标 xoy 中,设圆 M 的半径为 1,圆心在直线 2 x ? y ? 4 ? 0 上,若圆 M 上不存在 点 N,使 NO ?

1 NA ,其中 A(0,3) ,则圆心 M 横坐标的取值范围 2

.

4、设 P 是双曲线

x2 y2 ? ? 1 上一点,M,N 分别是两圆: ( x ? 5)2 ? y 2 ? 4 和 ( x ? 5)2 ? y 2 ? 1上的 9 16 点,则 | PM | ? | PN | 的最大值为____________.

5、已知圆 ( x ? 5)2 ? y 2 ? 4 ,点 P(4,0)过点 P 的互相垂直的直线 l1 与 l2 与圆交于 A,C,B,D 四点,则似变心 ABCD 的周长的最大值是 ,

6.在平面直角坐标系 直线 范围是 过点 .

中,已知点 于

在圆 的面积的最大值为 ,则实数

内,动 的取值

且交圆

两点,若

7、已知椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? 3) 的中心、右焦点、右顶点依次为 O , F , G , 直线 x ? a2 3

a2 a2 ? 3

与x轴

交于 H 点,则

FG OH

取得最大值时 a 的值为

.

8.平面内动点 P ( x, y ) 与两定点 A(?2, 0), B(2, 0) 连线的斜率之积等于 ? 曲线 E,过点 Q(? , 0) 直线 l 交曲线 E 于 M,N 两点. (1)求曲线 E 的方程,并证明: ?MAN 为 90 ;
0

1 ,若点 P 的轨迹为 4

6 5

(2)若四边形 AMBN 的面积为 S,求 S 的最大值.

1、 已知 P 是直线 3x ? 4 y ? 8 ? 0 上的动点,PA, PB 是圆 x2 ? y 2 ? 2x ? 2 y ? 1 ? 0 的两条切线,

A, B 是切点, C 是圆心,那么四边形 PACB 面积的最小值为
【答案】 2 2



2.已知 F 是抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点,M 是这条抛物线上的一个动点,P(3,1)是一个定点,则

| MP | ? | MF | 的最小值是
【答案】 4



3、在平面直角坐标 xoy 中,设圆 M 的半径为 1,圆心在直线 2 x ? y ? 4 ? 0 上,若圆 M 上不存在

1 NA ,其中 A(0,3) ,则圆心 M 横坐标的取值范围 2 12 【答案】 (??, 0) ( , ??) 5
点 N,使 NO ? 【解析】

.

(x,y) , 由 N O? 试题分析:设 N

1 NA 得: 4( x2 ? y 2 )? x2 ? ( y ? 32化 ) ,简 得 : 2

x2 ? ( y ? 1)2 ? 4 ,表示为以 B(0, ?1) 为圆心,2 为半径的圆,由题意得圆 B 与圆 M (a, 2a ? 4)
无交点,即 a2 ? (2a ? 4 ? 1)2 ? (2 ? 1)2 或 a2 ? (2a ? 4 ? 1)2 ? (2 ?1)2 ,解得圆心 M 横坐标的取 值范围为: (??, 0) 4、设 P 是双曲线

12 ( , ??) 5

x2 y2 ? ? 1 上一点,M,N 分别是两圆: ( x ? 5)2 ? y 2 ? 4 和 ( x ? 5)2 ? y 2 ? 1上的 9 16 点,则 | PM | ? | PN | 的最大值为____________.

【答案】9 5.在平面直角坐标系 直线 是 过点 . 且交圆 中,已知点 于 两点,若 在圆 的面积的最大值为 ,则实数 内,动 的取值范围

【答案】 3 ? 2 7,3 ? 2 3 ?

?

?

?3 ? 2 3,3 ? 2 7 ?

?
2 2

【解析】

(m,2) 试题分析: 由题意得圆的标准方程为 C : ? x ? m ? ? ? y ? 2 ? ? 32 ,圆心坐标为 C ,

r ? 4 2 , P(3, 0) 所以 S ?ABC ?

1 2 r sin ? ACB ? 16sin ? ACB ,当 ? ACB ? 90 时, S 取得 2

最大值 16 .此时 ?AOC 为等腰直角三角形, AB ? 2r ? 8 ,所以点 C 到直线 AB 的距离为

d?

2S 2 ? 4 . 由 以 上 可 得 4 ? PC ? 4 2 即 16 ? ? m ? 3? ? 22 ? 32 , 解 得 AB

3? 2

7 ? m

或 3 ? 3? 2 3? 2 3 ? m ? 3 ? 2 7 , 所 以 实 数 m 的 取 值 范 围 是

?3 ? 2

7,3 ? 2 3 ? ?

?3 ? 2 3,3 ? 2 7 . ?
a2 a2 ? 3

?

6、已知椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? 3) 的中心、右焦点、右顶点依次为 O , F , G , 直线 x ? a2 3

与x轴

交于 H 点,则 【答案】2

FG OH

取得最大值时 a 的值为

.

7.平面内动点 P ( x, y ) 与两定点 A(?2, 0), B(2, 0) 连线的斜率之积等于 ? 曲线 E,过点 Q(? , 0) 直线 l 交曲线 E 于 M,N 两点. (1)求曲线 E 的方程,并证明: ?MAN 为 90 ;
0

1 ,若点 P 的轨迹为 4

6 5

(2)若四边形 AMBN 的面积为 S,求 S 的最大值. 【答案】 (1)证明过程详见试题解析; (2)四边形 AMBN 的面积的最大值为 16. 【解析】

x2 ? y2 ? 1 y y 1 ( x , y ) ? ? ? ,化简得 4 试题分析: (1)设动点 P 坐标为 ,由条件得: x?2 x?2 4
( x ? ?2 ) . 设 直 线 MN 的 方 程 为

x ? k y?

6 5 ,和椭圆方程联立,由韦达定理得

uuur uuu r AM ? AN ? ( x1 ? 2, y1 ) ? ( x2 ? 2, y2 ) ? 0 ,从而证明 ?MAN 的大小为定值 90 0 .
?8 25k 2 ? 64 25t ? 36 S ?8 2 2 2 (k ? 4) ,令 k ? 4 ? t , (t ? 4) ,得 t2 ,

(2) S ?

1 | AB | ? | y1 ? y2 | 2

f (t ) ?


25t ? 36 t2 ,利用导数性质能求出由 t ? 4 ,得 K ? 0 ,此时 S 有最大值 16.

试题解析: (1)设动点 P 坐标为 ( x, y ) ,当 x ? ?2 时,由条件得:

x2 ? y2 ? 1 y y 1 ? ? ? ,化简得 4 ( x ? ?2 ) x?2 x?2 4 x2 ? y2 ? 1 曲线 E 的方程为: 4 ( x ? ?2 ) .
(说明:不写 x ? ?2 的扣 1 分)

x ? ky ?
由题可设直线 MN 的方程为

6 5 ,联立方程组可得

6 ? x ? ky ? ? ? 5 ? 2 12 64 ? x ? y2 ? 1 (k 2 ? 4) y 2 ? ky ? ?0 ? ?4 5 25 ,化简得:



M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ) ,则

y1 y2 ? ?

64 12k y1 ? y2 ? 2 5(k 2 ? 4) , 25(k ? 4) ,

又 A(?2, 0) ,则

4 16 AM ? AN ? ( x1 ? 2, y1 ) ? ( x2 ? 2, y2 ) ? (k 2 ? 1) y1 y2 ? k ( y1 ? y2 ) ? ?0, 5 25
0 所以 ?MAN ? 90 ,所以 ?MAN 的大小为定值.

(2) S ?

1 1 12k 4 ? 64 | AB | ? | y1 ? y2 |? | 2 ? 2 | ( y1 ? y2 ) 2 ? 4 y1 y2 ? 2 ( 2 )2 ? 2 2 5(k ? 4) 25(k 2 ? 4)

?8

25k 2 ? 64 (k 2 ? 4)2 ,

2 2 令 k ? 4 ? t , (t ? 4) ,∴ k ? t ? 4 ,

S ?8


25t ? 36 ?25t 2 ? 2t (25t ? 36) ?25t ? 72 25t ? 36 ' f (t ) ? f (t ) ? ? t2 t2 t4 t3 ,设 ,∴ ,

∵ t ? 4 ,∴ f (t ) ? 0 ,∴ y ? f (t ) 在 [4, ??) 上单调递减,∴
'

f (t ) ? f (4) ?

100 ? 36 ?4 16 ,

由 t ? 4 ,得 K ? 0 ,此时 S 有最大值 16.


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