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2013年8月高一入学考试数学以及答案


2013 年 8 月北京高一入学考试
一.选择题(共 6 小题) 1. (2010?泰安一模)定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy(x,y∈R) ,f(1)=2,则 f(﹣ 2)等于( ) A.2 B.3 C.6 D.9 2.定义在 R 上的函数 f(x)是奇函数,且满足 f(x+6)=f(x) ,若 f(1)=2010,f(2009)+f(2010)得值等于 ( ) A.0 B.﹣2010 C.2010 D.4019

3.已知函数 f(n)= A.2
5

其中 n∈N,则 f(8)等于( B.4
2 5

) D.7 ) D.1 或﹣243 的值

C.6

4.已知(a﹣x) =a0+a1x+a2x +??+a5x ,若 a2=80,则 a0+a1+a2+??+a5=( A.32 B.1 C.﹣243

5.函数 y=﹣k|x﹣a|+b 的图象与函数 y=k|x﹣c|+d 的图象(k>0,且 k≠ )交于两点(2,5)(8,3) , ,则 是( A. ) B. C. D.

6.若实数 a≠b,且 a,b 满足 a ﹣8a+5=0,b ﹣8b+5=0,则代数式 A.﹣20 二.填空题(共 3 小题) 7.定义在 R 上的函数 f(x)满足关系 _________ . ,则 B.2 C.2 或﹣20

2

2

的值为(



D.2 或 20

的值等于

8.定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy(x,y∈R) ,f(1)=2,则 f(﹣2)等于 _________ .

9. (2012?杭州一模)不等式 x ﹣3>ax﹣a 对一切 3≤x≤4 恒成立,则实数 a 的取值范围是 _________ .

2

三.解答题(共 4 小题) 10.对于函数 f(x) ,若存在 x0 使得 f(x0)=x0 成立,则称点(x0,x0)为函数 f(x)的不动点. 2 (1)已知函数 f(x)=ax +bx﹣b(a≠0)有不动点(1,1)和(﹣3,﹣3) ,求 a,b 的值. 2 (2)若对于任意实数 b,函数 f(x)=ax +bx﹣b 总有两个相异的不动点,求 a 的范围.

11.设(2x﹣1) =a0+a1x+a2x +…+a5x ,求: (1)a0+a1+a2+a3+a4; (2)|a0|+|a1|+|a2|+|a3|+|a4|+|a5|; (3)a1+a3+a5; 2 2 (4) 0+a2+a4) ﹣(a1+a3+a5) . (a

5

2

5

12.已知二次函数 f(x)=ax +bx+c(a,b 为实数) , (1)若 f(x)满足不等式 f(x)>﹣2x 的解集为(1,3) ,且方程 f(x)+6a=0 有两个相等的实根,求 f(x)的 解析式; (2)若 c=1,f(﹣1)=0 且对任意实数 x 均有 f(x)≥0 成立;当 x∈[﹣3,3]时,g(x)=f(x)﹣kx 是单调函数, 求实数 k 的取值范围.

2

13.已知二次函数 f(x)=ax +bx+c,不等式 f(x)>﹣2x 的解集为(1,3) . (Ⅰ )若方程 f(x)+6a=0 有两个相等的实根,求 f(x)的解析式; (Ⅱ )若 f(x)的最大值为正数,求实数 a 的取值范围.

2

2013 年 8 月高一入学考试 2
参考答案与试题解析
一.选择题(共 6 小题) 1. (2010?泰安一模)定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy(x,y∈R) ,f(1)=2,则 f(﹣ 2)等于( ) A.2 B.3 C.6 D.9 考点: 函数的值. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 由于 f(1)=2,f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy(x,y∈R) ,可考虑对变量赋值,令 x=y=1,可求得 f(2) , 再令 x=2,y=﹣1,可求得 f(﹣1) ,从而可求得 f(﹣2) . 解答: 解:∵ f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy(x,y∈R) ,f(1)=2, ∴ x=y=1,得 f(2)=f(1+1)=f(1)+f(1)+2=6, 令 再令 x=2,y=﹣1,得 f(2﹣1)=f(2)+f(﹣1)﹣4=2,∴ f(﹣1)=0, ∴ f(﹣2)=f(﹣1)+f(﹣1)+2=2. 故选 A. 点评: 本题考查抽象函数及其应用,对于抽象函数的应用,突出赋值法的考查,利用函数关系式灵活赋值是关键, 属于基础题.
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2.定义在 R 上的函数 f(x)是奇函数,且满足 f(x+6)=f(x) ,若 f(1)=2010,f(2009)+f(2010)得值等于 ( ) A.0 B.﹣2010 C.2010 D.4019 考点: 函数的周期性;函数奇偶性的性质;函数的值. 专题: 计算题. 分析: 根据题意,函数是周期为 6 的奇函数,从而得到 f(2009)=f(﹣1)=﹣f(1)=﹣2010,再结合 f(2010) =f(0)=0 可得 f(2009)+f(2010)的值. 解答: 解:∵ f(x+6)=f(x) f(x)得周期为 6, ,∴ 因此 f(2009)=f(﹣1+6×335)=f(﹣1) 又∵ 函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数, ∴ f(﹣1)=﹣f(1)=﹣2010,可得 f(2009)=﹣2010 因为 f(2010)=f(6×335)=f(0)=0, 所以 f(2009)+f(2010)=﹣2010, 故选 B. 点评: 本题在已知函数的周期和奇偶性的情况下,求 f(2009)+f(2010)的值,着重考查了函数的周期性和奇偶 性等知识,属于基础题.
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3.已知函数 f(n)= A.2 B.4

其中 n∈N,则 f(8)等于( C.6

) D.7

考点: 函数的值. 专题: 计算题. 分析: 根据解析式先求出 f(8)=f[f(13)],依次再求出 f(13)和 f[f(13)],即得到所求的函数值.
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解答: 解:∵ 函数 f(n)= ,

∴ f(8)=f[f(13)], 则 f(13)=13﹣3=10, ∴ f(8)=f[f(13)]=10﹣3=7, 答案为:7. 故选 D. 点评: 本题是函数求值问题,对应多层求值按“由里到外”的顺序逐层求值,一定要注意自变量的值所在的范围,然 后代入相应的解析式求解. 4.已知(a﹣x) =a0+a1x+a2x +??+a5x ,若 a2=80,则 a0+a1+a2+??+a5=( A.32 B.1 C.﹣243
5 2 5

) D.1 或﹣243

考点: 二项式定理. 专题: 计算题. 分析: 利用二项展开式的通项求出通项,令 x 的指数为 2 求出 a2,列出方程求出 a,令二项展开式的 x=1 求出展开 式的系数和. 5 r 5﹣r r r 解答: 解: (a﹣x) 展开式通项为 Tr+1=(﹣1) a C5 x 令 r=2 得 3 2 a2=a C5 =80,知 a=2 8 令二项展开式的 x=1 得 1 =1=a0+a1+…+a8 故选 B. 点评: 本题考查利用二项展开式的通项公式解决展开式的特定项问题;通过给二项式的 x 赋值求展开式的系数和.
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5.函数 y=﹣k|x﹣a|+b 的图象与函数 y=k|x﹣c|+d 的图象(k>0,且 k≠ )交于两点(2,5)(8,3) , ,则 是( A. ) B. C. D.

的值

考点: 函数的图象. 专题: 计算题;压轴题. 分析: 将两个交点代入第一条直线方程,得到方程组,将两个方程相减;据绝对值的意义及 k 的范围得到 k,a 满 足的等式;同样的过程得到 k,c 满足的等式,两式联立求出 a+c 的值,同样的方法可以求出 b+d,即可得 到结论. 解答: 解:∵ (2,5)(8,3)是两条直线的交点 , ∴ 5=﹣k|2﹣a|+b① 3=﹣k|8﹣a|+b② ① 得﹣k(|8﹣a|﹣|2﹣a|)=2 ﹣②
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∵ ,k>0 k≠ ∴ k(8﹣a+2﹣a)=2 同理得 k(c﹣2+c﹣8)=2 ∴ 10﹣2a=2c﹣10 ∴ a+c=10; 同样的方法可以求出 b+d=8, 故选 C. 点评: 本题考查直线的交点满足两直线的方程、考查利用绝对值的意义去绝对值符号.

6.若实数 a≠b,且 a,b 满足 a ﹣8a+5=0,b ﹣8b+5=0,则代数式 A.﹣20 B.2 C.2 或﹣20

2

2

的值为(



D.2 或 20

考点: 一元二次方程的根的分布与系数的关系;二次函数的性质. 专题: 计算题. 分析: 根据 a≠b,知 a、b 满足条件 a2﹣8a+5=0,b2﹣8b+5=0,可把 a,b 看成 x2﹣8x+5=0 的两个根,根据根与系 数的关系即可解答求出结果. 解答: 解:由已知条件可知,a、b 为方程 x2﹣8x+5=0 的两根,此时△ >0, ∴ a+b=8,ab=5,
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=

=

=﹣20

故选 A 点评: 本题考查了根与系数的关系,属于基础题,关键是把 a,b 看成方程的两个根再求解,把要求的结果整理成 含有两根和与积的形式. 二.填空题(共 3 小题) 7.定义在 R 上的函数 f(x)满足关系 7 . 考 函数的值. 点: 专 计算题. 题: 分 根据给出的式子的特点,令 化简得 f(x)+f(1﹣x)=2,即两个自变量的和是 1 则它们的函数值的和 析: 是 2,由此规律求出所求式子的值. 解 解:由题意知, ,令 代入式子得,f(x)+f(1﹣x)=2, 答:
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,则

的值等于



= =6+

∵ ∴

+

=2, =7.

故答案为:7. 点 本题的考点是抽象函数求值,即根据所给式子的特点进行变形,找出此函数的规律,并利用此规律对所给的式 评: 子进行求值. 8.定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy(x,y∈R) ,f(1)=2,则 f(﹣2)等于 2 . 考点: 抽象函数及其应用. 专题: 计算题. 分析: 由于 f(1)=2,f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy(x,y∈R) ,令 x=y=1,可求得 f(2) ,再令 x=2,y=﹣1,可
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求得 f(﹣1) ,从而可求得 f(﹣2) . 解答: 解:∵ f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy(x,y∈R) ,f(1)=2, ∴ x=y=1,得 f(2)=f(1+1)=f(1)+f(1)+2=6, 令 再令 x=2,y=﹣1,得 f(2﹣1)=f(2)+f(﹣1)﹣4=2, ∴ f(﹣1)=0, ∴ f(﹣2)=f(﹣1)+f(﹣1)+2=2. 故答案为:2. 点评: 本题考查抽象函数及其应用,对于抽象函数的应用,突出赋值法的考查,利用函数关系式灵活赋值是关键, 属于中档题. 9. (2012?杭州一模)不等式 x ﹣3>ax﹣a 对一切 3≤x≤4 恒成立,则实数 a 的取值范围是 a<3 . 考点: 一元二次不等式的解法;函数恒成立问题. 专题: 计算题;压轴题. 分析: 2 由 x ﹣3>ax﹣a 对一切 3≤x≤4 恒成立可得,
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2

在 x∈[3, 4]恒成立构造函数

, x∈[3,

4]从而转化为 a<g(x)min 结合函数 = 可求 解答: 解:∵2﹣3>ax﹣a 对一切 3≤x≤4 恒成立 x ∴ 在 x∈[3,4]恒成立 = 在 x∈[3,4]单调性



,x∈[3,4]即 a<g(x)min



=

=

在 x∈[3,4]单调递增

故 g(x)在 x=3 时取得最小值 3 故答案为:a<3 点评: 本题主要考查了函数恒成立问题,此类问题常构造函数,转化为求解函数的最值问题:a>f(x) (或 a<f (x) )恒成立?a>f(x)max(或 a<f(x)min) ,体现了转化思想在解题中的应用. 三.解答题(共 4 小题) 10.对于函数 f(x) ,若存在 x0 使得 f(x0)=x0 成立,则称点(x0,x0)为函数 f(x)的不动点. 2 (1)已知函数 f(x)=ax +bx﹣b(a≠0)有不动点(1,1)和(﹣3,﹣3) ,求 a,b 的值. 2 (2)若对于任意实数 b,函数 f(x)=ax +bx﹣b 总有两个相异的不动点,求 a 的范围. 考点: 二次函数的性质. 专题: 综合题. 分析: (1)根据不动点的定义,及已知中函数 f(x)=ax2+bx﹣b(a≠0)有不动点(1,1)和(﹣3,﹣3) ,我们 易构造一个关于 a,b 的二元一次方程组,解方程组即可得到答案. 2 2 (2)若函数 f(x)=ax +bx﹣b 总有两个相异的不动点,则方程 ax +bx﹣b=x 有两个相异的实根,由此可以 构造出一个不等式,结合函数的性质,解不等式即可得到 a 的范围.
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解答: 解: (1)由题意
2

,即

,解的



(2)函数 f(x)=ax +bx﹣b 总有两个相异的不动点, 即关于 x 的方程 f(x)=x 有两个不等根. 化简 f(x)=x 得到 ax +(b﹣1)x﹣b=0. 2 2 所以(b﹣1) +4ab>0,即 b +(4a﹣2)b+1>0. 由题意,该关于 b 的不等式恒成立, 2 所以(4a﹣2) ﹣4<0.解之得:0<a<1. 点评: 本题考查的知识点是二次函数的性质,其中根据二次函数、二次方程、二次不等式之间的关系,将函数问 题转化为不等式或方程问题是解答本题的关键. 11.设(2x﹣1) =a0+a1x+a2x +…+a5x ,求: (1)a0+a1+a2+a3+a4; (2)|a0|+|a1|+|a2|+|a3|+|a4|+|a5|; (3)a1+a3+a5; 2 2 (4) 0+a2+a4) ﹣(a1+a3+a5) . (a 考点: 二项式系数的性质. 专题: 计算题. 分析: 根据所给的二项式的展开式,给 x 赋值,取 x=1 和 x=﹣1,后面几个问题都是通过这一个赋值得到结果的. (1)根据二项式的展开式得到第六项的二项式系数,根据所赋的 x=﹣1 的值减去第六项的二项式系数,得 到结果. (2)要求的这几项的绝对值的和,首先去掉绝对值,变化为这六项的二项式系数的和与差形式,看出与 x= ﹣1 的结果刚好相反,得到结果. (3)用 x=1 的值减去 x=﹣1 的值,得到啊哟球结果的二倍,等式两边除以 2,得到结果. (4)利用平方差公式,得到两个因式的积的形式,而这两个因式,是我们前面赋值得到的两个式子的积, 得到结果. 解答: 解:设 f(x)=(2x﹣1)5=a0+a1x+a2x2+…+a5x5, 则 f(1)=a0+a1+a2+…+a5=1, 5 f(﹣1)=a0﹣a1+a2﹣a3+a4﹣a5=(﹣3) =﹣243. 5 (1)∵5=2 =32, a ∴0+a1+a2+a3+a4=f(1)﹣32=﹣31. a (2)|a0|+|a1|+|a2|+…+|a5| =﹣a0+a1﹣a2+a3﹣a4+a5 =﹣f(﹣1)=243. (3)∵ f(1)﹣f(﹣1)=2(a1+a3+a5) ,
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2

5

2

5

∴1+a3+a5= a

=122.
2 2

(4) 0+a2+a4) ﹣(a1+a3+a5) (a =(a0+a1+a2+a3+a4+a5) 0﹣a1+a2﹣a3+a4﹣a5) (a =f(1)×f(﹣1)=﹣243. 点评: 本题考查二项式定理的性质,本题包含这个知识点所有的可能出现的问题,这种问题的解法一般就是赋值, 赋值以后灵活变化要求的式子,本题的灵活性比较好. 12.已知二次函数 f(x)=ax +bx+c(a,b 为实数) , (1)若 f(x)满足不等式 f(x)>﹣2x 的解集为(1,3) ,且方程 f(x)+6a=0 有两个相等的实根,求 f(x)的 解析式;
2

(2)若 c=1,f(﹣1)=0 且对任意实数 x 均有 f(x)≥0 成立;当 x∈[﹣3,3]时,g(x)=f(x)﹣kx 是单调函数, 求实数 k 的取值范围. 考点: 函数解析式的求解及常用方法;函数单调性的性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (1)根据给出的不等式的解集为(1,3) ,列出关于 a、b、c 的不等式组,然后再根据方程 f(x)+6a=0 有两个相等的实根,其判别式等于 0 求解出 a 的值,则函数解析式可求; (2)根据 f(﹣1)=0 列一个关于 a、b、c 的方程,再由对任意实数 x 均有 f(x)≥0 成立,说明其对应方 程的判别式恒小于等于 0,求解出函数 f(x)后,借助于二次函数的对称轴与单调区间的关系求解实数 k 的取值范围. 解答: 解: (1)∵ 不等式 f(x)>﹣2x 的解集为(1,3)
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即 ax +(b+2)x+c>0 的解集为(1,3)

2



?



∵ 方程 f(x)+6a=0 有两个相等的实根 即 ax +bx+c+6a=0 有两个相等的实根△ ﹣4a(c+6a)=0(2) =b , 将(1)代(2)解得 ∴ ∴
2 2 2

(舍) ,



(2)f(x)=ax +bx+1∵ f(﹣1)=0∴ a﹣b+1=0(3) 2 2 ∵ 对任意实数 x 均有 f(x)≥0 成立∴=b ﹣4a≤0 将(3)代入得(a﹣1) ≤0 △ 2 ∴ a=1b=2∴ f(x)=x +2x+1 2 ∵ g(x)=x +(2﹣k)x+1 在[﹣3,3]单调 ∴ ∴

∴ k≤﹣4 或 k≥8. 点评: 本题考查了函数解析式的求解及常用方法,同时考查了函数单调性的性质,分析二次函数的单调区间,首 先要考虑的就是二次函数对称轴所处的位置. 13.已知二次函数 f(x)=ax +bx+c,不等式 f(x)>﹣2x 的解集为(1,3) . (Ⅰ )若方程 f(x)+6a=0 有两个相等的实根,求 f(x)的解析式; (Ⅱ )若 f(x)的最大值为正数,求实数 a 的取值范围. 考点: 函数与方程的综合运用;函数的最值及其几何意义. 专题: 计算题. 2 分析: (Ⅰ 根据不等式 f(x)>﹣2x 的解集为(1,3)得出 x=1 和 x=3 是方程 ax +(b+2)x+c=0(a<0)的两根 列出关于 a,b 的等式再根据方程 f(x)+6a=0 有两个相等的实根得到:△ 求得 a 值,从而得到 f(x)的 =0 解析式;
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2

(Ⅱ )由(Ⅰ )知 f(x)=ax ﹣2(2a+1)x+3a 配方后即可求得其最大值为 a 的不等关系,即可求得 a 的取值范围. 解答: 解: )∵ (Ⅰ 不等式 f(x)>﹣2x 的解集为(1,3) 2 ∴ 和 x=3 是方程 ax +(b+2)x+c=0(a<0)的两根 x=1

2

再由题意得出关于



∴ b=﹣4a﹣2,c=3a 又方程 f(x)+6a=0 有两个相等的实根 ∴=b ﹣4a(c+6a)=0 △ 2 ∴ 4(2a+1) ﹣4a×9a=0 ∴ (5a+1) (1﹣a)=0 ∴ ∴ ∴ 或 a=1(舍)
2

(Ⅱ )由(Ⅰ )知 f(x)=ax ﹣2(2a+1)x+3a= ∵ a<0, ∴ f(x)的最大值为 ∵ f(x)的最大值为正数

2

=





解得



∴ 所求实 a 的取值范围是 点评: 本小题主要考查函数的最值及其几何意义、函数与方程的综合运用、不等式的解法等基础知识,考查运算 求解能力,与转化思想.属于基础题.


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