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【金版教程】2015届高三数学(文)一轮限时规范训练:3-1 任意角、弧度制及任意角的三角函数


05 限时规范特训
A级 基础达标 π π 1.[2014· 诸城月考]集合{α|kπ+4≤α≤kπ+2,k∈Z}中的角所表 示的范围(阴影部分)是( )

π π π π 解析: 当 k=2n 时, 2nπ+4≤α≤2nπ+2, 此时 α 的终边和4≤α≤2 π π 的终边一样.当 k=2n+1 时,2nπ+π+4≤α≤2nπ+π+2,此时 α 的 π π 终边和 π+4≤α≤π+2的终边一样. 答案:C 2.[2014· 福州质检]下列三角函数值的符号判断错误的是( )

A.sin165° >0 C.tan170° >0

B.cos280° >0 D.tan310° <0

解析:165° 是第二象限角,因此 sin165° >0 正确;280° 是第四象 限角,因此 cos280° >0 正确;170° 是第二象限角,因此 tan170° <0,故 C 错误;310° 是第四象限角,因此 tan310° <0 正确. 答案:C 3.给出下列命题: ①第二象限角大于第一象限角; ②三角形的内角是第一象限角或第二象限角; ③不论用角度制还是用弧度制度量一个角, 它们与扇形所对半径 的大小无关; ④若 sinα=sinβ,则 α 与 β 的终边相同; ⑤若 cosθ<0,则 θ 是第二或第三象限的角. 其中正确命题的个数是( A.1 C.3 ) B.2 D.4

解析:由于第一象限角 370° 不小于第二象限角 100° ,故①错; 当三角形的内角为 90° 时, 其既不是第一象限角, 也不是第二象限角, π 5π π 5π 故②错;③正确;由于 sin6=sin 6 ,但6与 6 的终边不相同,故④错; 当 θ=π,cosθ=-1<0 时既不是第二象限角,又不是第三象限角,故 ⑤错.综上可知只有③正确. 答案:A 4.[2014· 北京东城模拟]点 P 从(1,0)出发,沿单位圆 x2+y2=1 逆 2π 时针方向运动 3 弧长到达 Q 点,则 Q 点的坐标为( )

1 3 A.(-2, 2 ) 1 3 C.(-2,- 2 )

3 1 B.(- 2 ,-2) 3 1 D.(- 2 ,2)

解析:设 α=∠POQ,由三角函数定义可知,Q 点的坐标(x,y) 1 3 1 3 满足 x=cosα, y=sinα, ∴x=-2, y= 2 , ∴Q 点的坐标为(-2, 2 ). 答案:A 5.[2014· 玉溪一中月考]设 α 是第二象限角,P(x,4)为其终边上的 1 一点,且 cosα=5x,则 tanα=( 4 A.3 3 C.-4 ) 3 B.4 4 D.-3

1 1 解析:∵α 是第二象限角,∴cosα=5x<0,即 x<0.又 cosα=5x= x 4 4 ,解得 x=-3,∴tanα=x=-3. x +16
2

答案:D 6.[2014· 海口模拟]已知点 P(sinα-cosα,tanα)在第一象限,则 在[0,2π]内 α 的取值范围是( π π A.(4,2) 3π 5 C.( 4 ,4π) 解析:由已知得?
?sinα-cosα>0 ?tanα>0

) 5 B.(π,4π) π π 5 D.(4,2)∪(π,4π) ,

π π 5 解得 α∈(4,2)∪(π,4π).

答案:D α α |sin2| |cos2| 7.若 α 是第三象限角,则 y= α + α 的值为( sin2 cos2 A.0 C.-2 B.2 D.2 或-2

)

α α 解析:∵α 是第三象限角,∴2是第二或第四象限角.当2为第二 α 象限角时,y=1+(-1)=0;当2为第四象限角时,y=-1+1=0.∴y =0. 答案:A 8. [2014· 大庆调研]已知扇形的周长是 4 cm, 则扇形面积最大时, 扇形的中心角的弧度数是________. 1 解析: 设此扇形的半径为 r,弧长为 l,则 2r+l=4 则面积 S=2rl 1 =2r(4-2r)=-r2+2r=-(r-1)2+1, ∴当 r=1 时 S 最大,这时 l=4-2r=2. l 2 从而 α=r=1=2. 答案:2 9.已知 θ 角的终边与 480° 角的终边关于 x 轴对称,点 P(x,y) xy 在 θ 角的终边上(不是原点),则 2 2的值为______. x +y 解析:由题意知角 θ 的终边与 240° 角的终边相同, 又∵P(x,y)在角 θ 的终边上, y 所以 tanθ=tan240° = 3=x,

于是

xy = x +y2
2

3 3 = = y 2 1+3 4 . 1+?x?

y x

3 答案: 4 10.已知角 θ 的终边上有一点 P(x,-1)(x≠0),且 tanθ=-x, 求 sinθ,cosθ. 解:∵θ 的终边过点(x,-1), 1 ∴tanθ=-x , 又∵tanθ=-x,∴x2=1,∴x=± 1. 2 2 当 x=1 时,sinθ=- 2 ,cosθ= 2 ; 2 2 当 x=-1 时,sinθ=- 2 ,cosθ=- 2 . 11.已知扇形 OAB 的圆心角 α 为 120° ,半径长为 6, ︵ (1)求AB的弧长; (2)求弓形 OAB 的面积. 2π 解:(1)∵α=120° = 3 ,r=6, ︵ 2π ∴AB的弧长为 l= 3 ×6=4π. 1 1 (2)∵S 扇形 OAB=2lr=2×4π×6=12π, 1 2π 1 3 S△ABO=2r2· sin 3 =2×62× 2 =9 3, ∴S 弓形 OAB=S 扇形 OAB-S△ABO=12π-9 3. 12.[2014· 三门峡模拟]已知角 α 终边经过点 P(x,- 2)(x≠0),

3 且 cosα= 6 x,求 sinα、tanα 的值. 解:∵P(x,- 2)(x≠0), ∴P 到原点的距离 r= x2+2. 3 x 3 又 cosα= 6 x,∴cosα= 2 = 6 x, x +2 ∵x≠0,∴x=± 10,∴r=2 3. 当 x= 10时,P 点坐标为( 10,- 2), 6 5 由三角函数定义,有 sinα=- 6 ,tanα=- 5 . 当 x=- 10时,P 点坐标为(- 10,- 2), 6 5 ∴sinα=- 6 ,tanα= 5 . B级 知能提升 2m-3 nπ 1.集合 A={x|x=cos 3 ,n∈Z}和 B={x|x=sin 6 π,m∈Z} 之间满足的关系是( A.A B C.A=B ) B.A B D.A≠B

2m-3 m π m 解析:设 x∈B,则 x=sin 6 π=sin( 3 π-2)=-cos 3 π,设 m n+3 nπ nπ =n+3, 则 x=-cos 3 π=-cos( 3 +π)=cos 3 , ∴x∈A, 即 B?A, 反之设 y∈A 可证得 y∈B,即 A?B,所以 A=B. 答案:C 2π 2π 2.已知角 α 的终边上一点的坐标为(sin 3 ,cos 3 ),则角 α 的最

小正值为( 5π A. 6 5π C. 3

) 2π B. 3 11π D. 6

2π 2π 3 1 解析:∵(sin 3 ,cos 3 )=( 2 ,-2), 3 ∴角 α 为第四象限角,且 tanα=- 3 . 11π ∴角 α 的最小正值为 6 . 答案:D 3.[2014· 海口模拟]圆弧长度等于圆内接正三角形的边长,则其 圆心角的弧度数为________. 解析:设圆半径为 R,则其内接正三角形的边长为 3R,于是圆 3R 心角的弧度数为 R = 3. 答案: 3 4.[2014· 盐城模拟]扇形 AOB 的周长为 8 cm. (1)若这个扇形的面积为 3 cm2,求圆心角的大小; (2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长 AB. 解:设扇形 AOB 的半径为 r,弧长为 l,圆心角为 α,

?2r+l=8, (1)由题意可得?1 ?2lr=3,
?r=3, ?r=1, ? ? 解得? 或? ?l=2, ? ? ?l=6,

l 2 l ∴α=r=3或 α=r=6.

(2)∵2r+l=8, 1 1 1 l+2r 1 8 ∴S 扇=2lr=4l· 2r≤4( 2 )2=4×(2)2=4, l 当且仅当 2r=l,即 α=r=2 时,扇形面积取得最大值, ∴r=2, ∴弦长 AB=2sin1×2=4sin1.


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