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专题22 二次函数几何最值问题


专题 22 二次函数的应用-----几何图形最值问题
1.在矩形 ABCD 中,AB=6cm,BC=12cm,点 P 从点 A 出发,沿 AB 边向点 B 以 1cm/s 的速 度移动,同时点 Q 从点 B 出发沿 BC 边向点 C 以 2cm/s 的速度移动,如果 P、Q 两点同时出 发,分别到达 B、C 两点后就停止移动. (1)运动第 t 秒时,△PBQ 的面积 y(cm? )是多少? (2)此时五边形 APQCD 的面积是 S(cm? ),写出 S 与 t 的函数关系式,并指出自变量的取 值范围. (3)t 为何值时 S 最小,最小值时多少?

2.如图,在△ABC 中,∠B=90?,AB=12mm,BC=24mm,动点 P 从点 A 开始沿边 AB 向 B 以 2 mm / s 的速度移动,动点 Q 从点 B 开始沿边 BC 向 C 以 4mm/s 的速度移动 已知 P、Q 分别 从 A\B 同时出发,求三角形 PBQ 的面积 S 与出发时间 t 的函数关系式。并求出 t 的取值范围。

3.小李想用篱笆围成一个周长为 60 米的矩形场地, 矩形面积 S(单位: 平方米)随矩形一边长 x(单 位:米)的变化而变化. (1)求 S 与 x 之间的函数关系式,并写出自变量 x 的取值范围; (2)当 x 是多少时,矩形场地面积 S 最大?最大面积是多少?

4.为了改善小区环境,某小区决定要在一块一边靠墙(墙长 25m)的空地上修建一个矩形绿化 带 ABCD,绿化带一边靠墙,另三边用总长为 40m 的栅栏围住(如图 1).若设绿化带的 BC 边 长为 xm,绿化带的面积为 ym2. B A (1)求 y 与 x 之间的函数关系式,并写出自变量 x 的取值范围; (2)当 x 为何值时,满足条件的绿化带的面积最大? 25m

C

D 图1

5.某居民小区要在一块一边靠墙(墙长 15m)的空地上修建一个矩形花园 ABCD,花园的一边靠 墙,另三边用总长为 40m 的栅栏围成.若设花园的宽为 x(m) ,花园的面积为 y(m? ). (1)求 y 与 x 之间的函数关系,并写出自变量的取值范围; (2)根据(1)中求得的函数关系式,描述其图象的变化趋势;并结合题意判断当 x 取何值 时,花园的面积最大,最大面积是多少?

6.如图,要建一个长方形养鸡场,鸡场的一边靠墙,如果用 50 m 长的篱笆围成中间有一道篱 笆隔墙的养鸡场,设它的长度为 x 米. (1)要使鸡场面积最大,鸡场的长度应为多少 m? (2)如果中间有 n(n 是大于 1 的整数)道篱笆隔墙, 要使鸡场面积最大, 鸡场的长应为多少米? 比较(1)(2)的结果,你能得到什么结论?

x

7.小明的家门前有一块空地,空地外有一面长 10 米的围墙,为了美化生活环境,小明的爸爸 准备靠墙修建一个矩形花圃,他买回了 32 米长的不锈钢管准备作为花圃的围栏,为了浇花和赏 花的方便, 准备在花圃的中间再围出一条宽为一米的通道及在左右花圃各放一个 1 米宽的门 (木 质) .花圃的长与宽如何设计才能使花圃的面积最大?

x

8.某农户计划利用现有的一面墙再修四面墙,建造如图 2 所示的长方体游泳池,培育不同品种 的鱼苗,他已备足可以修高为 1.5m,长 18m 的墙的材料准备施工,设图中与现有一面墙垂直的 三面墙的长度都为 xm,即 AD=EF=BC=xm.(不考虑墙的厚度) (1)若想水池的总容积为 36m3,x 应等于多少? (2)求水池的容积 V 与 x 的函数关系式,并直接写出 x 的取值范围; (3)若想使水池的总容积 V 最大,x 应为多少?最大容积是多少?

图2

13.(2008 黑龙江哈尔滨)小李想用篱笆围成一个周长为 60 米的矩形场地,矩形面积 S(单位:平 方米)随矩形一边长 x(单位:米)的变化而变化. (1)求 S 与 x 之间的函数关系式,并写出自变量 x 的取值范围; (2)当 x 是多少时,矩形场地面积 S 最大?最大面积是多少? 解: (1)根据题意,得 S ?

60 ? 2 x ? x ? ? x 2 ? 30 x 2

自变量 的取值范围是 (2)∵ a ? ?1 ? 0 ,∴ S 有最大值



时,

答:当 为 15 米时,才能使矩形场地面积最大,最大面积是 225 平方米. 例 1 为了改善小区环境,某小区决定要在一块一边靠墙(墙长 25m)的空地上修建一个 矩形绿化带 ABCD,绿化带一边靠墙,另三边用总长为 40m 的栅栏围住(如图 1).若设绿化带 的 BC 边长为 xm,绿化带的面积为 ym2. (1)求 y 与 x 之间的函数关系式,并写出自变量 x 的取值范围; (2)当 x 为何值时,满足条件的绿化带的面积最大? 简析(1)由题意和矩形的面积公式,得 y=x× 范围是 0<x≤25, (2)y=-

40 ? x 1 =- x2+20x,且自变量 x 的取值 2 2

1 2 1 x +20x=- (x-20)2+200,由于 20<25,所以当 x=20 时,y 2 2

有最大值 200.即当 x=20 时,满足条件的绿化带面积最大. 二、利用几何体的体积构造二次函数 例 2 某农户计划利用现有的一面墙再修四面墙,建造如图 2 所示的长方体游泳池,培育 不同品种的鱼苗,他已备足可以修高为 1.5m,长 18m 的墙的材料准备施工,设图中与现有一面 墙垂直的三面墙的长度都为 xm,即 AD=EF=BC=xm.(不考虑墙的厚度) (1)若想水池的总容积为 36m3,x 应等于多少? (2)求水池的容积 V 与 x 的函数关系式,并直接写出 x 的取值范围; (3)若想使水池的总容积 V 最大,x 应为多少?最大容积是多少? 简析(1)因为 AD=EF=BC=xm,所以 AB=18-3x.所以水池的总容积为 1.5x(18-3x)= 36,即 x2-6x+8=0,解得 x1=2,x2=4,所以 x 应为 2 或 4.(2)由(1)可知 V 与 x 的函数关 系式为 V=1.5x(18-3x)=-4.5x2+27x, 且 x 的取值范围是: 0<x<6. (3) V=-4.5x2+27x=- -3)2+

9 (x 2

81 81 .所以当 x=3 时, V 有最大值 .即若使水池有总容积最大, x 应为 3, 最大容积为 40.5m3. 2 2
B A

图2 在矩形 ABCD 中,AB=6cm,BC=12cm,点 P 从点 A 出发,沿 AB 边向点 B 以 1cm/s 的速度 移动,同时点 Q 从点 B 出发沿 BC 边向点 C 以 2cm/s 的速度移动,如果 P、Q 两点同时出发, 分别到达 B、C 两点后就停止移动. (1)运动第 t 秒时,△PBQ 的面积 y(cm? )是多少? (2)此时五边形 APQCD 的面积是 S(cm? ),写出 S 与 t 的函数关系式,并指出自变量的取 值范围. (3)t 为何值时 s 最小,最小值时多少? 答案:

1 (1) y ? (6 ? t) ? 2t ? ?t 2 ? 6t 2 (2)S ? 6 ?12 ? ( ? t 2 ? 6t) ? t 2 ? 6t ? 72 (0 ? t ? 6)
2 (3) ?S ? (t ? 3) ? 63

?当t ? 3时;S有最小值等于 63
如图, 在△ABC 中, ∠B=90?,AB=12mm, BC=24mm, 动点 P 从点 A 开始沿边 AB 向 B 以 2 mm / s 的速度移动,动点 Q 从点 B 开始沿边 BC 向 C 以 4mm/s 的速度移动 已知 P、Q 分别从 A\B 同时出发,求三角形 PBQ 的面积 S 与出发时间 t 的函数关系式。并求出 t 的取值范围。

小明的家门前有一块空地,空地外有一面长 10 米的围墙,为了美化生活环境,小明的爸爸准备 靠墙修建一个矩形花圃,他买回了 32 米长的不锈钢管准备作为花圃的围栏,为了浇花和赏花的 方便,准备在花圃的中间再围出一条宽为一米的通道及在左右花圃各放一个 1 米宽的门(木 质) .花圃的长与宽如何设计才能使花圃的面积最大?

x

解:设花圃的宽为 x 米,面积为 S 平方米 则长为: 32 ? 4 x ? 2 ? 34 ? 4 x (米) 则: S ? x(34 ? 4 x)

? ?4 x 2 ? 34x
17 2 289 ) ? 4 4 ∵ 0 ? 34 ? 4 x ? 10 17 ∴6 ? x ? 2 ? ?4( x ? 17 ? 6 ,∴ S 与 x 的二次函数的顶点不在自变量 x 的范围内, 4 17 而当 6 ? x ? 内, S 随 x 的增大而减小, 2 17 2 289 ? 60 (平方米) ∴当 x ? 6 时, S max ? ?4(6 ? ) ? 4 4 答:可设计成宽 6 米,长 10 米的矩形花圃,这样的花圃面积最大.
∵ 8.某居民小区要在一块一边靠墙(墙长 15m)的空地上修建一个矩形花园 ABCD,花园的一边靠 墙,另三边用总长为 40m 的栅栏围成.若设花园的宽为 x(m) ,花园的面积为 y(m? ). (1)求 y 与 x 之间的函数关系,并写出自变量的取值范围; (2)根据(1)中求得的函数关系式,描述其图象的变化趋势;并结合题意判断当 x 取何值 时,花园的面积最大,最大面积是多少? 解: y ? x(40 ? 2 x) ? ?2( x 2 ? 20x)

? ?2( x ? 10) 2 ? 200
∵ 0 ? 40 ? 2 x ? 15 ∴ 12.5 ? x ? 20 ∵二次函数的顶点不在自变量 x 的范围内, 而当 12.5 ? x ? 20 内, y 随 x 的增大而减小, ∴当 x ? 12.5 时,

ymax ? ?2(12.5 ? 10) 2 ? 200 ? 187.5 (平方米)
答:当 x ? 12.5 米时花园的面积最大,最大面积是 187.5 平方米. 9.如图,要建一个长方形养鸡场,鸡场的一边靠墙,如果用 50 m 长的篱笆围成中间有一道篱 笆隔墙的养鸡场,设它的长度为 x 米. (1)要使鸡场面积最大,鸡场的长度应为多少 m? (2)如果中间有 n(n 是大于 1 的整数)道篱笆隔墙, 要使鸡场面积最大, 鸡场的长应为多少米? 比较(1)(2)的结果,你能得到什么结论?

x

解:(1)∵长为 x 米,则宽为

50 ? x 1 ? ? ( x 2 ? 50 x) 3 3 1 625 ? ? ( x ? 25) 2 ? 3 3 625 ∴当 x ? 25 时, S max ? (平方米) 3 S ? x?
(2) 中间有 n 道篱笆,则宽为 则: S ? x ?

50 ? x 米,设面积为 S 平方米. 3

即:鸡场的长度为 25 米时,面积最大.

50 ? x 1 ?? ( x 2 ? 50 x) n?2 n?2 1 625 ?? ( x ? 25) 2 ? n?2 n?2 625 ∴当 x ? 25 时, S max ? (平方米) n?2

50 ? x 米,设面积为 S 平方米. n?2

由(1)(2)可知,无论中间有几道篱笆墙,要使面积最大,长都是 25 米. 即:使面积最大的 x 值与中间有多少道隔墙无关. 15.(08 山东聊城)如图,把一张长 10cm,宽 8cm 的矩形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正 方形,再折合成一个无盖的长方体盒子(纸板的厚度忽略不计) .

(1)要使长方体盒子的底面积为 48cm2,那么剪去的正方形的边长为多少? (2)你感到折合而成的长方体盒子的侧面积会不会有更大的情况?如果有,请你求出最大值 和此时剪去的正方形的边长;如果没有,请你说明理由; (3)如果把矩形硬纸板的四周分别剪去 2 个同样大小的正方形和 2 个同样形状、同样大小的 矩形,然后折合成一个有盖的长方体盒子,是否有侧面积最大的情况;如果有,请你求出最大 值和此时剪去的正方形的边长;如果没有,请你说明理由. 解: (1)设正方形的边长为 cm, 则 即 解得 . (不合题意,舍去) , . .

剪去的正方形的边长为 1cm. (2)有侧面积最大的情况.

设正方形的边长为 cm,盒子的侧面积为 则 与 的函数关系式为: . 即 .

cm2,

改写为





时,



即当剪去的正方形的边长为 2.25cm 时, 长方体盒子的侧面积最大为 40.5cm2.

(3)有侧面积最大的情况. 设正方形的边长为 cm,盒子的侧面积为 若按图 1 所示的方法剪折, 则 与 的函数关系式为:

cm2.

y ? 2(8 ? 2 x) x ? 2 ?


10 ? 2 x ?x 2




时,



若按图 2 所示的方法剪折, 则 与 的函数关系式为:

y ? 2(10 ? 2 x) x ? 2 ?


8 ? 2x ? x. 2




时,



比较以上两种剪折方法可以看出,按图 2 所示的方法剪折得到的盒子侧面积最大,即当剪 去的正方形的边长为 cm 时,折成的有盖长方体盒子的侧面积最大,最大面积为 cm2.

16.(08 兰州)一座拱桥的轮廓是抛物线型(如图 16 所示),拱高 6m,跨度 20m,相邻两支柱间的

距离均为 5m. (1)将抛物线放在所给的直角坐标系中(如图 17 所示),求抛物线的解析式; (2)求支柱 的长度; (3)拱桥下地平面是双向行车道(正中间是一条宽 2m 的隔离带),其中的一条行车道能否 并排行驶宽 2m、高 3m 的三辆汽车(汽车间的间隔忽略不计)?请说明你的理由.

解: (1)根据题目条件, 设抛物线的解析式为 ,

的坐标分别是





的坐标代入





解得



所以抛物线的表达式是 (2)可设 ,于是



从而支柱 (3)设

的长度是 是隔离带的宽,

米.

是三辆车的宽度和,则 过 则 点作 垂直

点坐标是 ,



交抛物线于 .

根据抛物线的特点,可知一条行车道能并排行驶这样的三辆汽车.


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