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高中数学 第六章6.3 等比数列及其前n项和(共72张PPT)


数学

R A(文)

§6.3

等比数列及其前n项和
第六章 数 列

基础知识·自主学习
要点梳理
1.等比数列的定义 如果一个数列 从第2项起,每一项
难点正本 疑点清源

1.等比数列的特征
从等比数列的定义看, 等比数列的任意项都是 非零的,公比 q 也是非 零常数.

与它的前一项比等于同一常数(不 为零) , 那么这个数列叫做等比数列,
这个常数叫做等比数列的 公比 ,

q 通常用字母____表示.
2.等比数列的通项公式 设等比数列{an}的首项为 a1, 公比为

qn-1 q,则它的通项 an= a1·
基础知识 题型分类

.
思想方法 练出高分

基础知识·自主学习
要点梳理
难点正本 疑点清源

3.等比中项 2.等比数列中的函数观点 若 G2=a· (ab≠0) , 那么 G 叫做 a 与 b 利用函数、方程的观点 b 的等比中项. 和方法,揭示等比数列 4.等比数列的常用性质 qn-m ,(n, 的 特 征 及 基 本 量 之 间 (1)通项公式的推广:an=am· 的关系.在借用指数函 m∈N*). (2)若{an}为等比数列,且 k+l=m+n(k,l, 数讨论单调性时,要特 a a m,n∈N*),则 ak· l=am· n . 别注意首项和公比的 (3)若{an},{bn}(项数相同)是等比数列, 大小. ?1? ?an? ? ? ? ? 2 ? ?,{an},{an·n},? ? 则{λan}(λ≠0), a b ? n? ?bn? ? ? ? ? 仍是等比数列.
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要点梳理
5.等比数列的前 n 项和公式 等比数列{an}的公比为 q(q≠0),其前 n 项和为 Sn, 当 q=1 时,Sn=na1; a1?1-qn? a1-anq 当 q≠1 时,Sn= = . 1-q 1-q 6.等比数列前 n 项和的性质 公比不为-1 的等比数列{an}的前 n 项 和为 Sn,则 Sn,S2n-Sn,S3n-S2n 仍成
难点正本 疑点清源

3.两个防范
(1)由 an + 1 =qan ,q≠0 并不能立即断言{an}为等 比数列,还要验证 a1≠0. (2) 在 运 用 等 比 数 列 的 前 n 项和公式时,必须 注意对 q=1 与 q≠1 分 类讨论,防止因忽略 q =1 这一特殊情形导致 解题失误.
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qn 等比数列,其公比为____.
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基础自测

题号
1 2 3 4 5

答案
2n
51

解析

2
2

D

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题型一
【例 1】

等比数列的基本量的计算
等比数列{an}的前 n 项和为
思维启迪 解析 探究提高

Sn.已知 S1,S3,S2 成等差数列. (1)求{an}的公比 q; (2)若 a1-a3=3,求 Sn.

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题型一
【例 1】

等比数列的基本量的计算
等比数列{an}的前 n 项和为
思维启迪 解析 探究提高

Sn.已知 S1,S3,S2 成等差数列. (1)求{an}的公比 q; (2)若 a1-a3=3,求 Sn.

(1)由 S1,S3,S2 成等差数列,列 方程求出 q. (2)由 a1-a3=3 求出 a1, 再由通项 和公式求出 Sn.

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题型一
【例 1】

等比数列的基本量的计算
等比数列{an}的前 n 项和为
思维启迪 解析 探究提高

Sn.已知 S1,S3,S2 成等差数列. 解 (1)依题意有 a1+(a1+a1q)=2(a1+a1q+a1q2). (1)求{an}的公比 q; 由于 a1≠0,故 2q2+q=0. (2)若 a1-a3=3,求 Sn. 1 又 q≠0,从而 q=- . 2
(2)由已知可得
? 1? a1-a1?-2?2=3.故 ? ?

a1=4.

从而

? 1? 4[1-?-2?n] ? 1? ? 8? ? ? Sn= = ?1-?-2?n?. ? 1? 3? ? ? ? ?- ? 1- 2 ? ?

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题型一
【例 1】

等比数列的基本量的计算
等比数列{an}的前 n 项和为
思维启迪 解析 探究提高

Sn.已知 S1,S3,S2 成等差数列. (1)求{an}的公比 q; (2)若 a1-a3=3,求 Sn.

等比数列基本量的运算是等比数 列中的一类基本问题,数列中有 五个量 a1,n,q,an,Sn,一般 可以“知三求二”, 通过列方程(组) 可迎刃而解.

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变式训练 1 q∈(0,1). (1)求数列{an}的通项公式; (2)若该数列前 n 项和 Sn=21, n 的值. 求 32 解 (1)∵a3·4=a1·6= 9 ,又 a1+a6=11, a a 32 2 故 a1,a6 可看作方程 x -11x+ =0 的两根, 9 32 1 又 q∈(0,1),∴a1= ,a6= , 3 3
a6 1 1 ∴q =a =32,∴q=2, 1 32 ?1?n-1 1 ?1?n-6 ? ? ∴an= 3 · ? =3· ? . ?2? ?2?
5

32 等比数列{an}满足:a1+a6=11,a3·4 = ,且公比 a 9

1? 64? (2)由(1)知 Sn= ?1-2n?=21,解得 n=6. 3? ?
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题型二
【例 2】

等比数列的性质及应用
思维启迪 解析 探究提高

在等比数列{an}中, 1 (1)若已知 a2=4,a5=- ,求 an; 2 (2)若已知 a3a4a5=8,求 a2a3a4a5a6 的值.

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题型二
【例 2】

等比数列的性质及应用
思维启迪 解析 探究提高

在等比数列{an}中, 1 (1)若已知 a2=4,a5=- ,求 an; 2 (2)若已知 a3a4a5=8,求 a2a3a4a5a6 的值.

注意巧用性质,减少计算.如: 对于等比数列{an}, m+n=p 若 +q (m、n、p、q∈N*),则 am·n a =ap·q;若 m+n=2p(m,n, a p∈N*),则 am·n=a2. a p

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题型二
【例 2】

等比数列的性质及应用
思维启迪 解析 探究提高

在等比数列{an}中, 1 (1)若已知 a2=4,a5=- ,求 an; 解 2 (2)若已知 a3a4a5=8,求 a2a3a4a5a6 的值.

a5 (1)设公比为 q,则 =q3, a2 1 即 q3=- , 8 ? 1? - 1 n-5 ∴q=-2,∴an=a5· =?-2?n 4. q ? ?
(2)∵a3a4a5=8,又 a3a5=a2, 4 ∴a3=8,a4=2. 4
5 ∴a2a3a4a5a6=a4=25=32.

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题型二
【例 2】

等比数列的性质及应用
思维启迪 解析 探究提高

在等比数列{an}中, 1 (1)若已知 a2=4,a5=- ,求 an; 2

在解决等比数列的有关问题时,

(2)若已知 a3a4a5=8,求 a2a3a4a5a6 要注意挖掘隐含条件,利用性质, 的值.
特别是性质“若 m+n=p+q,则

am·n=ap·q”,可以减少运算量, a a 提高解题速度.

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变式训练 2 (1)已知各项均为正数的等比数列{an}中,a1a2a3=5, ( A ) C.6 D.4 2

a7a8a9=10,则 a4a5a6 等于 A.5 2
解析

B.7

把 a1a2a3,a4a5a6,a7a8a9 看成一个整体,则由题意,知它们

分别是一个等比数列的第 1 项,第 4 项和第 7 项,这里的第 4 项刚 好是第 1 项与第 7 项的等比中项.因为数列{an}的各项均为正数, 所以 a4a5a6= ?a1a2a3?· 7a8a9?= 5×10=5 2. ?a

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变式训练 2

(2)已知 Sn 为等比数列{an}的前 n 项和,且 S3=8,S6=7,

7 -8 则 a4+a5+?+a9=________.

解析 根据等比数列的性质,知 S3,S6-S3,S9-S6 成等比数列, 1 2 即 8,7-8,S9-7 成等比数列,所以(-1) =8(S9-7).解得 S9=7 . 8 1 7 所以 a4+a5+?+a9=S9-S3=78-8=-8.

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题型三 等比数列的判定
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【例 3】

已知数列{an}的前 n 项和

为 Sn,数列{bn}中,b1=a1,bn= an-an-1 (n≥2),且 an+Sn=n. (1)设 cn=an-1,求证:{cn}是等 比数列; (2)求数列{bn}的通项公式.

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题型三 等比数列的判定
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【例 3】

已知数列{an}的前 n 项和

(1)由 an+Sn=n 及 an+1+Sn+1= n+1 转化成 an 与 an+1 的递推关系, 再构造数列{an-1}. (2)由 cn 求 an 再求 bn.

为 Sn,数列{bn}中,b1=a1,bn= an-an-1 (n≥2),且 an+Sn=n. (1)设 cn=an-1,求证:{cn}是等 比数列; (2)求数列{bn}的通项公式.

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题型三 等比数列的判定
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【例 3】 已知数列{an}的前 n 项和 (1)证明 ∵an+Sn=n, ∴an+1+Sn+1=n+1. 为 Sn,数列{bn}中,b1=a1,bn= ②-①得 an+1-an+an+1=1, an-an-=a +1,∴2(a + -1)=a -1, ∴2an+11 (n≥2),且 an+Sn=n. n n n 1 an+ -1 -1,求证:{cn}是等 (1)设 1cn=an1,∴{a -1}是等比数列. ∴ = n an-1 2 比数列;=1,∴a =1, 又 a1+a1 1 2 1 1 (2)求数列{bn}的通项公式. ,公比 q= . ∵首项 c1=a1-1,∴c1=- 2 2 又 cn=an-1,
1 1 ∴{cn}是以- 为首项, 为公比的等比数列. 2 2
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题型分类·深度剖析
题型三 等比数列的判定
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【例 3】 已知数列{an}的前 ?n1项和 ? 1 ? ? - ?1? n 1 ? (2)解 由(1)可知 cn=?-2?· ? =-?2?n, ? ? ?2? ? ? 为 Sn,数列{bn}中,b1=a1,bn= ?1? ∴an=cn+1=1-?2?n. ? an-an-1 (n≥2),且? an+Sn=n. ?1? ? ?1? - ? n n 1 ∴当 cn=an-1,求证:{c1}是等 (1)设 n≥2 时,bn=an-an-n=1-?2? -?1-?2? ? ? ? ? ? ? ? 比数列; ?1? ?1? ?1? - =?2?n 1-?2?n=?2?n. ? ? ? ? ? (2)求数列{b? }的通项公式. n ?1? 1 又 b1=a1= 代入上式也符合,∴bn=?2?n. 2 ? ?

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题型三 等比数列的判定
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【例 3】

已知数列{an}的前 n 项和

注意判断一个数列是等比数列的方 法, 另外第(2)问中要注意验证 n=1 时是否符合 n≥2 时的通项公式, 能合并的必须合并.

为 Sn,数列{bn}中,b1=a1,bn= an-an-1 (n≥2),且 an+Sn=n. (1)设 cn=an-1,求证:{cn}是等 比数列; (2)求数列{bn}的通项公式.

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变式训练 3 已知数列{an}的前 n 项和 Sn=2an+1,求证:{an}是 等比数列,并求出通项公式.

证明 ∵Sn=2an+1,∴Sn+1=2an+1+1.
∴an+1=Sn+1-Sn=(2an+1+1)-(2an+1)=2an+1-2an. ∴an+1=2an,又∵S1=2a1+1=a1,
∴a1=-1≠0.又由 an+1=2an 知 an≠0,

an+1 ∴ a =2.∴{an}是以-1 为首项,2 为公比的等比数列. n
∴an=-1×2n-1=-2n-1.
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答题模板 9.等差与等比数列综合性问题的求解
典例:(12 分)(2011· 湖北)成等差数列的三个正数的和等于 15,并且这三个 数分别加上 2、5、13 后成为等比数列{bn}中的 b3、b4、b5. (1)求数列{bn}的通项公式; (2)数列{bn}的前 n 项和为
? 5? Sn,求证:数列?Sn+4?是等比数列. ? ?

审 题 视 角

规 范 解 答

温 馨 提 醒

基础知识

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答题模板 9.等差与等比数列综合性问题的求解
典例:(12 分)(2011· 湖北)成等差数列的三个正数的和等于 15,并且这三个 数分别加上 2、5、13 后成为等比数列{bn}中的 b3、b4、b5. (1)求数列{bn}的通项公式; (2)数列{bn}的前 n 项和为
? 5? Sn,求证:数列?Sn+4?是等比数列. ? ?

审 题 视 角

规 范 解 答

温 馨 提 醒

设等差数列的三个正数,利用等比数列的性质解出公差 d,从而求出 数列{bn}的首项、公比;利用等比数列的定义可解决第(2)问.

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答题模板 9.等差与等比数列综合性问题的求解
典例:(12 分)(2011· 湖北)成等差数列的三个正数的和等于 15,并且这三个 数分别加上 2、5、13 后成为等比数列{bn}中的 b3、b4、b5. (1)求数列{bn}的通项公式; (2)数列{bn}的前 n 项和为
? 5? Sn,求证:数列?Sn+4?是等比数列. ? ?

审 题 视 角

规 范 解 答

温 馨 提 醒
2分

(1)解 设成等差数列的三个正数分别为 a-d,a,a+d, 依题意,得 a-d+a+a+d=15,解得 a=5.
所以{bn}中的 b3,b4,b5 依次为 7-d,10,18+d.

依题意,有(7-d)(18+d)=100, 解得 d=2 或 d=-13(舍去). 故{bn}的第 3 项为 5,公比为 2.
5 由 b3=b1·2,即 5=b1·2,解得 b1=4. 2 2
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分
4分

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答题模板 9.等差与等比数列综合性问题的求解
典例:(12 分)(2011· 湖北)成等差数列的三个正数的和等于 15,并且这三个 数分别加上 2、5、13 后成为等比数列{bn}中的 b3、b4、b5. (1)求数列{bn}的通项公式; (2)数列{bn}的前 n 项和为
? 5? Sn,求证:数列?Sn+4?是等比数列. ? ?

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规 范 解 答

温 馨 提 醒

5 5 所以{bn}是以 为首项,2 为公比的等比数列,其通项公式为 bn= ·n-1=5·n-3. 2 2 4 4 6分 5 n 4?1-2 ? 5 5 n-2 (2)证明 数列{bn}的前 n 项和 Sn= =5· -4,即 Sn+4=5·n-2. 8分 2 2 1-2 5 Sn+1+4 5·n-1 2 5 5 所以 S1+4=2, = n-2=2. 5 5· 2 Sn+ 4 ? 5? 5 12分 因此?Sn+4?是以2为首项,2 为公比的等比数列. ? ?

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答题模板 9.等差与等比数列综合性问题的求解
典例:(12 分)(2011· 湖北)成等差数列的三个正数的和等于 15,并且这三个 数分别加上 2、5、13 后成为等比数列{bn}中的 b3、b4、b5. (1)求数列{bn}的通项公式; (2)数列{bn}的前 n 项和为
? 5? Sn,求证:数列?Sn+4?是等比数列. ? ?

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规 范 解 答

温 馨 提 醒

求解等差和等比数列综合性问题的一般步骤: 第一步:设等比数列、等差数列的基本量;
第二步:根据条件列方程,解出基本量; 第三步:根据公式求通项或前 n 项和;

第四步:根据定义证明等差、等比数列;对于等比数列,一定 要说明首项非零.
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题型分类·深度剖析
答题模板 9.等差与等比数列综合性问题的求解
典例:(12 分)(2011· 湖北)成等差数列的三个正数的和等于 15,并且这三个 数分别加上 2、5、13 后成为等比数列{bn}中的 b3、b4、b5. (1)求数列{bn}的通项公式; (2)数列{bn}的前 n 项和为
? 5? Sn,求证:数列?Sn+4?是等比数列. ? ?

审 题 视 角

规 范 解 答

温 馨 提 醒

关于等差(比)数列的基本运算,其实质就是解方程或方程组,需要认真 计算,灵活处理已知条件.容易出现的问题主要有两个方面:一是计 算出现失误,特别是利用因式分解求解方程的根时,不注意对根的符 号进行判断;二是不能灵活运用等差(比)数列的基本性质转化已知条 件,导致列出的方程或方程组较为复杂,增大运算量.
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思想方法·感悟提高
1.等比数列的判定方法有以下几种: an+1 (1)定义: =q (q 是不为零的常数,n∈N*)?{an} an 是等比数列.

方 法 与 技 巧

(2)通项公式:an=cqn

-1

(c、q 均是不为零的常数,

n∈N*)?{an}是等比数列.
2 (3)等比中项法:an+1=an·n+2(an·n+1·n+2≠0,n∈N*) a a a

?{an}是等比数列.
2.方程观点以及基本量(首项和公比 a1,q)思想仍然是 求解等比数列问题的基本方法:在 a1,q,n,an,Sn 五个量中,知三求二.

3.在求解与等比数列有关的问题时,除了要灵活地运用 定义和公式外,还要注意性质的应用,以减少运算量 而提高解题速度.
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思想方法·感悟提高

1.特别注意 q=1 时,Sn=na1 这一特殊情况.

失 误 与 防 范

2.由 an+1=qan,q≠0,并不能立即断言{an}为等比数 列,还要验证 a1≠0.

3.在运用等比数列的前 n 项和公式时,必须注意对 q =1 与 q≠1 分类讨论,防止因忽略 q=1 这一特殊 情形而导致解题失误.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

基础知识

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思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

1.(2011· 辽宁)若等比数列{an}满足 anan+1=16n,则公比为 ( A.2 B.4 C.8 D.16

)

解 析

基础知识

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练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

1.(2011· 辽宁)若等比数列{an}满足 anan+1=16n,则公比为 ( B ) A.2 B.4 C.8 D.16

解 析
由 anan+1=16n,知 a1a2=16,a2a3=162,

后式除以前式得 q2=16,∴q=± 4. ∵a1a2=a2q=16>0,∴q>0,∴q=4. 1

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

A组
3 4

专项基础训练
5 6 7 8 9

2.等比数列 an 中,|a1|=1,a5=-8a2.a5>a2,则 an 等于 ( A.(-2)n C.(-2)n
-1

)

B.-(-2)n

-1

D.-(-2)n

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

A组
3 4

专项基础训练
5 6 7 8 9

2.等比数列 an 中,|a1|=1,a5=-8a2.a5>a2,则 an 等于 ( A ) A.(-2)n C.(-2)n
-1

B.-(-2)n

-1

D.-(-2)n

解 析
∵|a1|=1,∴a1=1 或 a1=-1.
∵a5=-8a2=a2·3,∴q3=-8,∴q=-2. q
又 a5>a2,即 a2q3>a2,∴a2<0.而 a2=a1q=a1· (-2)<0, ∴a1=1.故 an=a1· (-2)n 1=(-2)n 1.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分
- -

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

3.在等比数列{an}中,a1=2,前 n 项和为 Sn,若数列{an+1}也是等 比数列,则 Sn 等于 A.2n 1-2 C.2n


( B.3n D.3n-1

)

解 析

基础知识

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思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

3.在等比数列{an}中,a1=2,前 n 项和为 Sn,若数列{an+1}也是等 比数列,则 Sn 等于 A.2n 1-2 C.2n


( C ) B.3n D.3n-1

解 析
由已知得数列{an}的前三项分别为 2,2q,2q2.又(2q+1)2 = 3(2q2+1),整理得 2q2-4q+2=0,解得 q=1,Sn=2n.

基础知识

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练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

4.在等比数列{an}中,3=7, 3 项之和 S3=21, a 前 则公比 q 的值为( 1 A.1 B.- 2 1 1 C.1 或- D.-1 或 2 2

)

解 析

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题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

4.在等比数列{an}中,3=7, 3 项之和 S3=21, a 前 则公比 q 的值为( C ) 1 A.1 B.- 2 1 1 C.1 或- D.-1 或 2 2

解 析
?a q2=7, ? 1 根据已知条件? ?a1+a1q+a1q2=21. ?
2

1+q+q2 得 =3. q2

1 整理得 2q -q-1=0,解得 q=1 或 q=-2.

基础知识

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思想方法

练出高分

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1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

5. 在等比数列{an}中, 1+a2=30, 3+a4=60, a7+a8=________. a a 则

解 析

基础知识

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思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

5. 在等比数列{an}中, 1+a2=30, 3+a4=60, a7+a8=________. a a 则 240

解 析
∵a1+a2=a1(1+q)=30,a3+a4=a1q2(1+q)=60,
∴q2=2,∴a7+a8=a1q6(1+q)=[a1(1+q)]· 2)3 (q =30×8=240.

基础知识

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思想方法

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1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

6. 在数列{an}中, 已知 a1=1, n=2(an-1+an-2+?+a2+a1) (n≥2, a n∈N*),这个数列的通项公式是_____________________.

解 析

基础知识

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思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

6. 在数列{an}中, 已知 a1=1, n=2(an-1+an-2+?+a2+a1) (n≥2, a ?1, n=1 ? an=? - * ?2×3n 2, n≥2 n∈N ),这个数列的通项公式是_____________________. ?

解 析
由已知 n≥2 时,an=2Sn-1 当 n≥3 时,an-1=2Sn-2
an ①-②整理得 =3 (n≥3), an-1 ?1, n=1, ? ? ∴an= - ?2×3n 2, n≥2. ?
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

① ②

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

7.设等比数列{an}的公比为 q,前 n 项和为 Sn,若 Sn+1,Sn,Sn+2 成等差数列,则 q 的值为________.

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

7.设等比数列{an}的公比为 q,前 n 项和为 Sn,若 Sn+1,Sn,Sn+2

-2 成等差数列,则 q 的值为________. 解 析
由已知条件得 2Sn=Sn+1+Sn+2,
an+2 即 2Sn=2Sn+2an+1+an+2,即 =-2. an+1

基础知识

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思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

8.(10 分)已知等差数列{an}满足 a2=2,a5=8. (1)求{an}的通项公式; (2)各项均为正数的等比数列{bn}中,b1=1,b2+b3=a4,求{bn}的 前 n 项和 Tn.

解 析

基础知识

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1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

8.(10 分)已知等差数列{an}满足 a2=2,a5=8. (1)求{an}的通项公式; (2)各项均为正数的等比数列{bn}中,b1=1,b2+b3=a4,求{bn}的 前 n 项和 Tn.

解 (1)设等差数列{an}的公差为 d, ?a +d=2 ? 1 则由已知得? .∴a1=0,d=2. ?a1+4d=8 ? ∴an=a1+(n-1)d=2n-2. (2)设等比数列{bn}的公比为 q,则由已知得 q+q2=a4, ∵a4=6,∴q=2 或 q=-3. ∵等比数列{bn}的各项均为正数,∴q=2. b1?1-qn? 1×?1-2n? ∴{bn}的前 n 项和 Tn= = =2n-1. 1-q 1-2
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

解 析

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

9.(12 分)已知数列{an}的各项均为正数,且前 n 项和 Sn 满足 Sn= 1 (a +1)(an+2).若 a2,a4,a9 成等比数列,求数列{an}的通项公式. 6 n

解 析

基础知识

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思想方法

练出高分

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1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

9.(12 分)已知数列{an}的各项均为正数,且前 n 项和 Sn 满足 Sn= 1 (a +1)(an+2).若 a2,a4,a9 成等比数列,求数列{an}的通项公式. 6 n

解 析
1 解 因为 Sn= (an+1)(an+2), 6 1 所以当 n=1 时,有 S1=a1= (a1+1)(a1+2), 6 解得 a1=1 或 a1=2; 1 当 n≥2 时,有 Sn-1=6(an-1+1)(an-1+2). ①-②并整理,得(an+an-1)(an-an-1-3)=0 (n≥2). ①



因为数列{an}的各项均为正数,所以 an-an-1=3 (n≥2).
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

9.(12 分)已知数列{an}的各项均为正数,且前 n 项和 Sn 满足 Sn= 1 (a +1)(an+2).若 a2,a4,a9 成等比数列,求数列{an}的通项公式. 6 n

解 析
当 a1=1 时,an=1+3(n-1)=3n-2,此时 a2=a2a9 成立. 4
当 a1=2 时,an=2+3(n-1)=3n-1,此时 a2=a2a9 不成立. 4

所以 a1=2 舍去.故 an=3n-2.

基础知识

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思想方法

练出高分

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

基础知识

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1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

1. 已知{an}是首项为 1 的等比数列, Sn 是{an}的前 n 项和, 28S3 若 且 ?1? ? ? =S6,则数列?a ?的前 4 项和为 ( ) ? n? ? ? 15 40 40 15 A. 或 4 B. 或 4 C. D. 8 27 27 8

解 析

基础知识

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思想方法

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1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

1. 已知{an}是首项为 1 的等比数列, Sn 是{an}的前 n 项和, 28S3 若 且 ?1? ? ? =S6,则数列?a ?的前 4 项和为 ( C ) ? n? ? ? 15 40 40 15 A. 或 4 B. 或 4 C. D. 8 27 27 8

解 析

设数列{an}的公比为 q.

当 q=1 时,由 a1=1,得 28S3=28×3=84.

而 S6=6,两者不相等,因此不合题意. 28?1-q3? 1-q6 当 q≠1 时,由 28S3=S6 及首项为 1,得 = .解得 1-q 1-q
q=3.所以数列{an}的通项公式为 an=3n 1.
?1? ? ? 所以数列?a ?的前 ? ? ? n?


1 1 1 40 4 项和为 1+ + + = . 3 9 27 27
思想方法 练出高分

基础知识

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练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5

7 6 1 2 2 2.已知方程(x -mx+2)(x -nx+2)=0 的四个根组成以 为首项的 2 m 等比数列,则 n 等于 ( ) 3 3 2 2 A. B. 或 C. D.以上都不对 2 2 3 3

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5

7 6 1 2 2 2.已知方程(x -mx+2)(x -nx+2)=0 的四个根组成以 为首项的 2 m 等比数列,则 n 等于 ( B ) 3 3 2 2 A. B. 或 C. D.以上都不对 2 2 3 3

解 析
设 a,b,c,d 是方程(x2-mx+2)(x2-nx+2)=0 的四个根, 1 不妨设 a<c<d<b,则 a· b=c· d=2,a= ,故 b=4,根据等比 2 9 数列的性质,得到:c=1,d=2,则 m=a+b= ,n=c+d 2 9 m 3 m 2 =3 或 m=c+d=3,n=a+b= ,则 n = 或 n = . 2 2 3
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

3.设{an}是任意等比数列,它的前 n 项和、前 2n 项和与前 3n 项和 分别为 X,Y,Z,则下列等式中恒成立的是 A.X+Z=2Y C.Y2=XZ B.Y(Y-X)=Z(Z-Y) D.Y(Y-X)=X(Z-X) ( )

解 析

基础知识

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思想方法

练出高分

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

3.设{an}是任意等比数列,它的前 n 项和、前 2n 项和与前 3n 项和 分别为 X,Y,Z,则下列等式中恒成立的是 A.X+Z=2Y C.Y2=XZ B.Y(Y-X)=Z(Z-Y) D.Y(Y-X)=X(Z-X) ( D )

解 析
对于含有较多字母的选择题,可以取满足条件的数字代替字 母,代入验证,若能排除三个选项,则剩下的唯一选项就一定 正确;若不能完全排除,则可以取其他数字继续验证排除.

取等比数列为 1,2,22,23,24,?,令 n=1,得 X=1,Y=3, Z=7.代入验算,只有选项 D 成立.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

4.已知等比数列{an}满足 a2+a3+a4=28,an+1>an,且 a3+2 是 a2 与 a4 的等差中项,则数列{an}的通项公式是_________.

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

4.已知等比数列{an}满足 a2+a3+a4=28,an+1>an,且 a3+2 是 a2

an=2 与 a4 的等差中项,则数列{an}的通项公式是_________.
n

解 析

因为 a3+2 是 a2 与 a4 的等差中项,

所以 2(a3+2)=a2+a4. 因为 a2+a3+a4=28,所以 2(a3+2)+a3=28. 所以 a3=8,a2+a4=20. 设数列{an}的公比为 q, ?a1=32, ?a q2=8, ?a =2, ? ? 1 ? 1 则? 解得? 或? 1 3 ?a1q+a1q =20. ?q=2, ? ? ?q=2. ? 因为数列{an}满足 an+1>an,所以 a1=2,q=2.
所以数列{an}的通项公式为 an=2n.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

5.在等比数列{an}中,若 a9+a10=a (a≠0),a19+a20=b,则 a99+ a100=________.

解 析

基础知识

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练出高分

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

5.在等比数列{an}中,若 a9+a10=a (a≠0),a19+a20=b,则 a99+ b9 a8 a100=________.

解 析
因为{an}是等比数列,所以 a9+a10,a19+a20,?,a99+ b9 a100 成等比数列,从而得 a99+a100= 8. a

基础知识

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练出高分

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1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

6.已知数列{xn}满足 lg xn+1=1+lg xn(n∈N*),且 x1+x2+x3+?+ x100=1,则 lg(x101+x102+?+x200)=________.

解 析

基础知识

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练出高分

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

6.已知数列{xn}满足 lg xn+1=1+lg xn(n∈N*),且 x1+x2+x3+?+

100 x100=1,则 lg(x101+x102+?+x200)=________. 解 析
由 lg xn+1=1+lg xn(n∈N*), xn+1 得 lg xn+1-lg xn=1,∴ x =10, n

∴数列{xn}是公比为 10 的等比数列,∴xn+100=xn· 100, 10
∴x101+x102+?+x200=10100(x1+x2+x3+?+x100) =10100,∴lg(x101+x102+?+x200)=lg 10100=100.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1
2

B组
3

专项能力提升
4 5 6

7

7.(13 分)已知等差数列{an}的首项 a1=1,公差 d>0,且第 2 项、 第 5 项、第 14 项分别是等比数列{bn}的第 2 项、第 3 项、第 4 项. (1)求数列{an}与{bn}的通项公式; c1 c2 cn * (2)设数列{cn}对 n∈N 均有 + +?+b =an+1 成立,求 c1+ b1 b2 n c2+c3+?+c2 013.

解 析

基础知识

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练出高分

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

7.(13 分)已知等差数列{an}的首项 a1=1,公差 d>0,且第 2 项、 第 5 项、第 14 项分别是等比数列{bn}的第 2 项、第 3 项、第 4 项. (1)求数列{an}与{bn}的通项公式; c1 c2 cn * (2)设数列{cn}对 n∈N 均有 + +?+b =an+1 成立,求 c1+ b1 b2 n c2+c3+?+c2 013.

解 析
解 (1)由已知有 a2=1+d,a5=1+4d,a14=1+13d,
∴(1+4d)2=(1+d)(1+13d).解得 d=2 (∵d>0). ∴an=1+(n-1)· 2=2n-1. 又 b2=a2=3,b3=a5=9,∴数列{bn}的公比为 3,

∴bn=3·n 2=3n 1. 3
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分





练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

7.(13 分)已知等差数列{an}的首项 a1=1,公差 d>0,且第 2 项、 第 5 项、第 14 项分别是等比数列{bn}的第 2 项、第 3 项、第 4 项. (1)求数列{an}与{bn}的通项公式; c1 c2 cn * (2)设数列{cn}对 n∈N 均有 + +?+b =an+1 成立,求 c1+ b1 b2 n c2+c3+?+c2 013.

解 析
c1 c2 cn (2)由 + +?+b =an+1 得 b1 b2 n cn-1 c1 c2 当 n≥2 时,b +b +?+ =an. bn-1 1 2 cn 两式相减得:n≥2 时,b =an+1-an=2. n n-1 ∴cn=2bn=2· (n≥2). 3
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

7.(13 分)已知等差数列{an}的首项 a1=1,公差 d>0,且第 2 项、 第 5 项、第 14 项分别是等比数列{bn}的第 2 项、第 3 项、第 4 项. (1)求数列{an}与{bn}的通项公式; c1 c2 cn * (2)设数列{cn}对 n∈N 均有 + +?+b =an+1 成立,求 c1+ b1 b2 n c2+c3+?+c2 013.

解 析
c1 又当 n=1 时, =a2,∴c1=3. b1
?3 ? ∴cn=? n-1 ?2· ? 3

?n=1? . ?n≥2?

6-2×32 013 ∴c1+c2+c3+?+c2 013=3+ =3+(-3+32 013)=32 013. 1-3
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分


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