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2016年高三数学(理)创新设计资料包9-2


第2讲
最新考纲

两直线的位置关系

1.能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或

垂直;2.能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标;

3.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式,会求两条
平行直线间的距离.

基础诊断

考点突



课堂总结

知 识 梳 理
1.两条直线平行与垂直的判定 (1)两条直线平行 对于两条不重合的直线l1,l2,其斜率分别为k1,k2,则 k1=k2 .特别地,当直线l1,l2的斜率都不存在 有l1∥l2?______

平行 . 时,l1与l2_____
(2)两条直线垂直 如果两条直线l1,l2斜率都存在,设为k1,k2,则

k1· k2=-1 ,当一条直线斜率为零,另一条直线 l1⊥l2?__________ 垂直 . 斜率不存在时,两条直线_____
基础诊断 考点突破 课堂总结

2.两直线相交
直线 l1:A1x+B1y+C1=0 和 l2:A2x+B2y+C2=0 的公共
? ?A1x+B1y+C1=0, 点的坐标与方程组? 的解一一对应. ? ?A2x+B2y+C2=0

相交?方程组有________ 唯一解 ,交点坐标就是方程组的解; 无解 ; 平行?方程组_____ 无数个解 . 重合?方程组有__________

基础诊断

考点突破

课堂总结

3.距离公式

(1)两点间的距离公式
平面上任意两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)间的距离公式为
2 2 ( x - x ) +( y - y ) 2 1 2 1 |P1P2|=________________________ .

特别地,原点O(0,0)与任一点P(x,y)的距离|OP|= 2 2 x + y _________.

基础诊断

考点突破

课堂总结

(2)点到直线的距离公式

平面上任意一点P0(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0的距 |Ax0+By0+C| 2 2 A + B 离d=__________________.
(3)两条平行线间的距离公式

一般地,两条平行直线l1:Ax+By+C1=0,l2:Ax+ |C1-C2| 2 2 A + B By+C =0间的距离d=____________.
2

基础诊断

考点突破

课堂总结

诊 断 自 测
1.判断正误(在括号内打“√”或“×”) 精彩PPT展示

(1)当直线l1和l2的斜率都存在时,一定有k1=k2?l1∥l2.( ×) (2)如果两条直线l1与l2垂直,则它们的斜率之积一定等于 -1. (× ) (3)已知直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=

0(A1,B1,C1,A2,B2,C2为常数),若直线l1⊥l2,则
A1A2+B1B2=0. 的距离. (√ ) (√ ) (4)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线

基础诊断

考点突破

课堂总结

2.过点(1,0)且与直线x-2y-2=0平行的直线方程是 ( A.x-2y-1=0 B.x-2y+1=0 )

C.2x+y-2=0
解析

D.x+2y-1=0

设所求直线方程为x-2y+c=0,将(1,0)代入得

c=-1.∴所求直线方程为x-2y-1=0.

答案

A

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考点突破

课堂总结

3.(2014· 福建卷)已知直线l过圆x2+(y-3)2=4的圆心,且与 直线x+y+1=0垂直,则l的方程是 A.x+y-2=0 B.x-y+2=0 ( )

C.x+y-3=0
解析

D.x-y+3=0

已知圆的圆心为(0,3),直线x+y+1=0的斜率为

-1,则所求直线的斜率为1,所以所求直线的方程为y=

x+3,即x-y+3=0.故选D.
答案 D

基础诊断

考点突破

课堂总结

4.直线2x+2y+1=0,x+y+2=0之间的距离是 ________.
1 解析 先将 2x+2y+1=0 化为 x+y+ =0, 2 1 |2- | 2 3 2 则两平行线间的距离为 d= = . 4 2
答案 3 2 4

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考点突破

课堂总结

5.(人教A必修2P114A4改编)若直线(3a+2)x+(1-4a)y+

8=0与(5a-2)x+(a+4)y-7=0垂直,则a=_______.
解析 由两直线垂直的充要条件,得(3a+2)(5a-2)+ (1-4a)(a+4)=0, 解得a=0或a=1. 答案 0或1

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考点突破

课堂总结

考点一

两直线的平行与垂直

【例1】 已知直线l1:ax+2y+6=0和直线l2:x+(a-1)y+ a2-1=0. (1)试判断l1与l2是否平行; (2)当l1⊥l2时,求a的值. 深度思考 建议同

学们用两种方法来 求解:一是求直线



(1)法一

当a=1时,

l1:x+2y+6=0, l2:x=0,l1不平行于l2; 当a=0时,l1:y=-3, l2:x-y-1=0,l1不平行于l2;
基础诊断

的斜率,利用斜率
的关系求解;二是 利用直线方程的系 数间的关系求解.
考点突破 课堂总结

当a≠1且a≠0时,
a 两直线可化为 l1:y=- x-3, 2 1 l 2 : y= x-(a+1), 1-a 1 ? a ?- = , 2 1 - a l1∥l2?? 解得 a=-1, ? ?-3≠-(a+1),

综上可知,a=-1时,l1∥l2. 法二 由A1B2-A2B1=0,

得a(a-1)-1×2=0,
由A1C2-A2C1≠0,得a(a2-1)-1×6≠0,
基础诊断 考点突破 课堂总结

? ?a(a-1)-1×2=0, ∴l1∥l2?? 2 ? ?a(a -1)-1×6≠0,
2 ? a ? -a-2=0, ?? ?a=-1, 2 ? ?a(a -1)≠6

故当a=-1时,l1∥l2. (2)法一 当a=1时,l1:x+2y+6=0,l2:x=0,l1与l2 不垂直,故a=1不成立; 当a=0时,l1:y=-3,l2:x-y-1=0,l1不垂直于l2;

当a≠1且a≠0时,

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考点突破

课堂总结

a 1 l1:y=- x-3,l2:y= x-(a+1), 2 1-a ? a? 1 2 ? ? 由 -2 · =-1?a= . 3 ? ? 1-a 2 法二 由 A1A2+B1B2=0,得 a+2(a-1)=0?a= . 3 规律方法 (1)当含参数的直线方程为一般式时,若要表

示出直线的斜率,不仅要考虑到斜率存在的一般情况,

也要考虑到斜率不存在的特殊情况,同时还要注意x,y
的系数不能同时为零这一隐含条件.(2)在判断两直线的 平行、垂直时,也可直接利用直线方程的系数间的关系 得出结论.
基础诊断 考点突破 课堂总结

【训练1】 已知过点A(-2,m)和点B(m,4)的直线为l1,直

线2x+y-1=0为l2,直线x+ny+1=0为l3.若l1∥l2,
l2⊥l3,则实数m+n的值为 A.-10
解析

(

)

C.0 D. 8 4-m ∵l1∥l2,∴kAB= =-2,解得 m=-8. m+ 2

B.-2

? 1? 又∵l2⊥l3,∴?-n?×(-2)=-1, ? ?

解得 n=-2,∴m+n=-10.

答案

A

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考点突破

课堂总结

考点二

两条直线的交点与点到直线的距离

【例2】 直线l经过点P(2,-5)且与点A(3,-2)和点B(-1,6) 的距离之比为1∶2,求直线l的方程. 解 当直线l与x轴垂直时,此时直线l的方程为x=2,点A到 直线l的距离为d1=1,点B到直线l的距离为d2=3,不符合题

意,故直线l的斜率必存在.
∵直线l过点P(2,-5), ∴设直线l的方程为y+5=k(x-2),
|3k-(-2)-2k-5| ∴点 A(3, -2)到直线 l 的距离 d1= k2+1 |k-3| = 2 , k +1
基础诊断 考点突破 课堂总结

即kx-y-2k-5=0.

|-k-6-2k-5| 点 B(-1,6)到直线 l 的距离 d2= k2+1 |3k+11| = . 2 k +1 |k-3| 1 ∵d1∶d2=1∶2,∴ = , |3k+11| 2

∴k2+18k+17=0,∴k1=-1,k2=-17. ∴所求直线方程为x+y+3=0和17x+y-29=0.

规律方法

利用距离公式应注意:(1)点P(x0,y0)到直线x

=a的距离d=|x0-a|,到直线y=b的距离d=|y0-b|;(2) 两平行线间的距离公式要把两直线方程中x,y的系数化 为相等.
基础诊断 考点突破 课堂总结

1 【训练 2】 (1)已知直线 y=kx+2k+1 与直线 y=- x+2 的 2 交点位于第一象限,则实数 k 的取值范围是________.

(2)直线l过点P(-1,2)且到点A(2,3)和点B(-4,5)的距 离相等,则直线l的方程为________.
解析 (1)法一 y=kx+2k+1, ? ? 由方程组? 1 y=- x+2, ? 2 ?

? ?x=2-4k, 2k+1 ? 解得? ? 6k+1 y= . ? ? 2k+1 1 (若 2k+1=0,即 k=- ,则两直线平行) 2
基础诊断 考点突破 课堂总结

?2-4k 6k+1? ? , ∴交点坐标为? ?2k+1 2k+1?. ? ?

又∵交点位于第一象限, ? ?2-4k>0, ?2k+1 1 1 ? ∴ 解得- <k< . 6 2 ?6k+1 >0, ? 2 k + 1 ? 1 法二 如图,已知直线 y=- x+2 2 与 x 轴、y 轴分别交于点 A(4,0), B(0,2). 而直线方程 y=kx+2k+1 可变形为 y - 1 = k(x+ 2) ,表示这是一条过定 点 P(-2,1),斜率为 k 的动直线.
基础诊断 考点突破 课堂总结

∵两直线的交点在第一象限,

∴两直线的交点必在线段AB上(不包括端点),
∴动直线的斜率k需满足kPA<k<kPB.
1 1 1 1 ∵kPA=- ,kPB= .∴- <k< . 6 2 6 2 (2)法一 当直线 l 的斜率存在时, 设直线 l 的方程为 y-2=k(x+1), 即 kx-y+k+2=0. |2k-3+k+2| |-4k-5+k+2| 由题意知 = , 2 2 k +1 k +1
1 即|3k-1|=|-3k-3|,∴k=- . 3

基础诊断

考点突破

课堂总结

1 ∴直线 l 的方程为 y-2=- (x+1), 3

即x+3y-5=0. 当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x=-1,也符合 题意.
1 法二 当 AB∥l 时,有 k=kAB=- ,直线 l 的方程为 y 3 1 -2=- (x+1),即 x+3y-5=0. 3

当l过AB中点时,AB的中点为(-1,4).
∴直线l的方程为x=-1. 故所求直线l的方程为x+3y-5=0或x=-1. ? 1 1? 答案 (1)?-6,2? (2)x+3y-5=0 或 x=-1 ? ?
基础诊断 考点突破 课堂总结

考点三

对称问题

【例3】 已知直线l:2x-3y+1=0,点A(-1,-2).求: (1)点A关于直线l的对称点A′的坐标;

(2)直线m:3x-2y-6=0关于直线l的对称直线m′的方程;
(3)直线l关于点A(-1,-2)对称的直线l′的方程.
? 2 ? y+ 2 · =-1, ?x+1 3 (1)设 A′(x,y),再由已知? x- 1 y- 2 ? 2× -3× +1=0, ? 2 2 ?



33 ? ?x=-13, ? 33 4? 解得? ∴A′?-13,13?. ? ? ?y= 4 , ? 13
基础诊断 考点突破 课堂总结

(2)在直线m上取一点,如M(2,0),则M(2,0)关于直线l 的对称点必在m′上. 设对称点为M′(a,b),
?a+2? ?b+0? ? ? ? ? ? ?2× - 3 × ? 2 ? ? 2 ?+1=0, ?6 ? ? ? ? ? 30? 则? 解得 M′?13,13?. ? ? ?b-0×2=-1, ? ?a-2 3

设 m 与 l 的交点为

? ?2x-3y+1=0, N,则由? 得 ? ?3x-2y-6=0,

N(4,3).

又∵m′经过点 N(4,3), ∴由两点式得直线方程为 9x-46y+102=0.
基础诊断 考点突破 课堂总结

(3)法一

在l:2x-3y+1=0上任取两点,如M(1,1),

N(4,3). 则M,N关于点A的对称点M′,N′均在直线l′上. 易知M′(-3,-5),N′(-6,-7),由两点式可得l′的方

程为2x-3y-9=0.
法二 设P(x,y)为l′上任意一点, 则P(x,y)关于点A(-1,-2)的对称点为 P′(-2-x,-4-y), ∵P′在直线l上,∴2(-2-x)-3(-4-y)+1=0,

即2x-3y-9=0.

基础诊断

考点突破

课堂总结

规律方法 (1)点关于点的对称:求点P关于点M(a,b)的 对称点Q的问题,主要依据M是线段PQ的中点,即xP+ xQ=2a,yP+yQ=2b. (2)直线关于点的对称:求直线l关于点M(m,n)的对称直 线l′的问题,主要依据l′上的任一点T(x,y)关于M(m,n) 的对称点T′(2m-x,2n-y)必在l上. (3)点关于直线的对称:求已知点A(m,n)关于已知直线 l:y=kx+b的对称点A′(x0,y0)的坐标,一般方法是依据 l是线段AA′的垂直平分线,列出关于x0,y0的方程组,由 “垂直”得一方程,由“平分”得一方程. (4)直线关于直线的对称:此类问题一般转化为点关于直 线的对称来解决,有两种情况:一是已知直线与对称轴 相交;二是已知直线与对称轴平行.
基础诊断 考点突破 课堂总结

【训练3】 光线沿直线l1:x-2y+5=0射入,遇直线l:3x-

2y+7=0后反射,求反射光线所在的直线方程.
解 法一
? ?x-2y+5=0, 由? ? ?3x-2y+7=0,

? ?x=-1, 得? ? ?y=2.

∴反射点M的坐标为(-1,2).
又取直线x-2y+5=0上一点P(-5,0),设P关于直线l的 对称点P′(x0,y0),
2 y0 由 PP′⊥l 可知,kPP′=- = . 3 x0+5
基础诊断 考点突破 课堂总结

而 PP′的中点 Q

?x0-5 y ? ? 0? 的坐标为? , ?, 2? ? 2

x0-5 y0 Q 点在 l 上,∴3· -2· +7=0. 2 2 2 17 ? y0 ? ?x0+5=-3, ?x0=-13, 由? 得? ?3(x0-5)-y0+7=0, ?y0=-32. ? 13 ?2 根据直线的两点式方程可得所求反射光线所在直线的方 程为 29x-2y+33=0. 法二 设直线 x-2y+5=0 上任意一点 P(x0, y0)关于直线 y0- y 2 l 的对称点为 P′(x,y),则 =- , 3 x0 - x

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课堂总结

又 PP′ 的中点

?x+x0 y+y0? ? Q? 在 , ? 2 2 ? ? ?

x+x0 l 上,∴ 3 × - 2

? ? y0-y =-2, 3 ?x0 - x y+ y 0 2× +7=0,由? 2 x+x0 ? 3× -(y+y0)+7=0. ? 2 ? 可得 P 点的横、纵坐标分别为 -5x+12y-42 12x+5y+28 x0= , y0= , 13 13 代入方程 x-2y+5=0 中,化简得 29x-2y+33=0, ∴所求反射光线所在的直线方程为 29x-2y+33=0.

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微型专题

直线系方程的灵活应用

直线系指具有某一共同性质的直线的集合,它有多种

不同的情况,其中以过两条直线交点的直线系为主.利用直
线系方程可以降低运算难度,使解题的过程更加简捷,因此 在高考中这类问题也可能会成为考查的重点.

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【例4】 已知直线l与点A(3,3)和B(5,2)的距离相等,且过 两直线l1:3x-y-1=0和l2:x+y-3=0的交点,求直线 l的方程. 点拨 解 不需要解两直线l1与l2的交点,可设直线l为:3x-

y-1+λ(x+y-3)=0,再分两种情况分别求解.
根据条件可设直线l的方程为3x-y-1+λ(x+y-3) =0,即(3+λ)x+(λ-1)y-3λ-1=0;直线l与点A(3,3) 和B(5,2)的距离相等可分为两种情况:

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3-2 (1)当直线 l 与 A,B 的连线平行时,可知 kAB= = 3-5 3+ λ 1 1 - ,则 =- ,解得 λ=-7,此时直线 l 的方程为 2 2 1- λ x+2y-5=0; (2)当直线 l 过线段 AB 的中点
? 5? M?4,2?时, 将点 ? ? ? 5? M?4,2? ? ?

5 代入直线 l 的方程,可得 4(3+λ)+ (λ-1)-3λ-1=0, 2 17 解得 λ=- , 7 此时直线l的方程为x-6y+11=0.

综上,可知所求直线l的方程为x+2y-5=0或x-6y+11 =0.
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点评

一般情况下,若两条直线l1:A1x+B1y+C1=0,

l2:A2x+B2y+C2=0有交点,则过l1与l2的交点的直线系
方程可设为A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0(不含 l2),利用这一结论可以避免求交点时解方程组带来的麻 烦.

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课堂总结

[思想方法]

1.两直线的位置关系要考虑平行、垂直和重合.对于斜率
都存在且不重合的两条直线l1,l2,l1∥l2?k1=k2; l1⊥l2?k1· k2=-1. 2.对称问题一般是将线与线的对称转化为点与点的对 称.利用坐标转移法.

3.光线的反射问题具有入射角等于反射角的特点,这样就
有两种对称关系,一是入射光线与反射光线关于过反射 点且与反射轴垂直的直线(法线)对称,二是入射光线与反 射光线所在直线关于反射轴对称.
基础诊断 考点突破 课堂总结

[易错防范] 1.在判断两条直线的位置关系时,首先应分析直线的斜率 是否存在.若两条直线都有斜率,可根据判定定理判 断,若直线无斜率,要单独考虑.

2.使用点到直线的距离公式前必须将直线方程化为一般
式,同时此公式对直线与坐标轴垂直或平行的情况也适 用;使用两平行线间的距离公式时一定要注意先把两直 线方程中的x,y的系数化成相等.

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