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高中数学奥林匹克模拟真题(二)


高中数学奥林匹克模拟真题( 高中数学奥林匹克模拟真题(二)
陶平生提供 陶平生提供

第一试
一、填空题 1、若 (20 x + 11 y )3 = ax3 + bx 2 y + cxy 2 + dy 3 ,则 a ? 2b + 4c ? 8d =


y 2 x2 2、 若一个椭圆的焦点和顶点分别是双曲线 ? = 1 的顶点和焦点, 则椭圆的方程为: 9 16


3、实数 x, y 满足 2 x 2 + 3 y 2 = 6 y ,则 x + y 的最大值是



4、四面体 ABCD 中, CD ⊥ BC , AB ⊥ BC , CD = AC , AB = BC = 1 平面 BCD 与平 面 ABC 成 45 的二面角,则点 B 到平面 ACD 的距离为
0



? 1 5、 二次函数 y = ax 2 + bx + c 的图像经过点 A(3, 6) 和 B ? ? , ? 2
交点 C , D 的距离满足 CD =

? 6 ? ,若其与 X 轴的两个 ?


1 ,则函数的具体表达式为 y = 2


6 、函数 f ( x) = 7 、 cos

x ? x3 的值域是 (1 + x 2 ) 2
2π 4π 7π ? cos + cos = 15 15 15

π
15

? cos



8 、九个连续正整数自小到大排成一个数列 a1 , a2 ,L , a9 ,若 a1 + a3 + a5 + a7 + a9 为一
平方数, a2 + a4 + a6 + a8 为一立方数,则这九个正整数之和的最小值是 二、解答题 .

x2 9 、给定 Y 轴上的一点 A(0, a ) ( a > 1 ) ,对于曲线 y = ? 1 上的动点 M ( x, y ) ,试 2
求 A, M 两点之间距离 AM 的最小值(用 a 表示) .

10 、 各项均为正数的数列 {an } ,a1 = a, a2 = b , 且对满足 m + n = p + q 的正整数 m, n, p, q
都有

a p + aq am + an = . (1 + am )(1 + an ) (1 + a p )(1 + aq )

1

1 4 , b = 时,求通项 an ; 2 5 (2)证明:对任意 a ,存在与 a 有关的常数 λ ,使得对于每个正整数对于每个正整数 n , 1 都有 ≤ an ≤ λ. .
(1)当 a =

λ

11 、用 P (n) 表示正整数 n 的各位数字之和,求所有这样的三位数 n ,使得满足:

1 P (n + 3) = P (n) . 3

第 二 试(加试)
一、 ?ABC 中, D 是角 A 平分线上的任一点, E , F 分别是 AB, AC 延长线上的点,且

CE ∥ BD , BF ∥ CD ;若 M , N 分别是 CE , BF 的中点;
证明: AD ⊥ MN .
B
M

A
D

C

N

E

F

二、在锐角三角形 ABC 中,证明:

sin ( A ? B ) sin ( A ? C ) sin 2 A
三、如果既约分数

+

sin ( B ? A ) sin ( B ? C ) sin 2 B

+

sin ( C ? A ) sin ( C ? B ) sin 2C

≥0.

n n 满足: mn ≤ 2011, m, n 为正整数,则称 为“兔分数” ;现将所 m m

有“兔分数”按递增顺序排成一个数列

n1 n2 n3 , , ,L ,称为“兔数列” ; m1 m2 m3 nk nk +1 , ,都满足: mk nk +1 ? mk +1nk = 1 . mk mk +1

证明:对于兔数列中的任两个相邻项

四、从圆周的九等分点中,任取五点染为红色;证明:存在以红点为顶点的不同的六个 三角形 ?1 , ? 2 ,L , ? 6 ,满足: ?1 ≌ ? 2 ; ? 3 ≌ ? 4 ; ? 5 ≌ ? 6 .

2


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