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由前n项和数列到数字信息处理的探索


由前 n 项和数列到数字信息处理的探索
刘浩男 天津城建大学 天津,300384

摘要:本文从一个引例入手,引出了前 n 项和数列系的概念,并利用概念得出了前 n 项和数列系的通性,紧接着从某些特殊数列——常数列、等差数列和等比数列入手,得出 了这些特殊数列前 n 项和数列系的特性,从而形成了比较系统的前 n 项和数列系的基础知 识体系。接着利用该

基础知识体系初步建立了前 n 项和数列系与多项式之间的联系,然后 利用其与多项式之间的联系成功解决高等数学中颇具影响力的用伯努利数解决的伯努利多 项式问题,从而建立起沟通初等数学和高等数学之间的一道桥梁,同时也为探索出新的处 理数字信息的方法提供了理论知识。 关键词:前 n 项和数列系; 多项式; 数字信息处理

0 引 言 微积分作为高等数学的基础已经渗透到自 然科学的方方面面, 而随着信息数字化时代的到 来, 离散数学也开始迅速发展起来。 为了寻找更 简单更快捷的数字信息处理方法, 不妨用初等数 学中前 n 项和数列作为突破口, 因为前 n 项和数 列既具有和积分相同的求和性质, 又与离散数学 紧密相关。 因此研究其性质并结合这两方面的知 识, 可以开辟一种新的处理数字信息的独特方法。 为了引入前 n 项和数列系, 先从一个引例开始谈 起: 已知: 常数列 { an } 的首项为 1, 前 n 项和为 Tn1 数列{ Tn1 }的前 n 项和为 Tn 2 数列 { Tn 2 } 的前 n 项和为 Tn 3 , 以此类推。

则:我发现了一个有关组合数的新秘密:
m Tnm = Cm ? n?1 (m,n 均为正整数)

关于这个公式我主要谈以下两点: 1、证明(视 n 为参数) 证明:(1)当 m=1 时,

Tn1 = a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an
=1 ? 1 ? 1 ? ? ? 1 =n
1 = Cn k (2) 若当 m=k 时, Tnk = Ck ?n?1

,成立

?则当 m=k+1 时,
Tn(k ?1) = Tn1 ? Tn 2 ? Tn3 ? ? ? Tnk

k = Ck ? Ckk?1 ? Ckk?2 ? ? ? Ckk?n?1

同样的方法求得) 联立②③④⑤式得:

=C

k ?1 k ?1

?C

k k ?1

?C

k k ?2

? ?? C

k k ?n?1

14 ? 2 4 ? 34 ? ? ? n 4

利用 C xy ?1 + C xy = C xy?1 (x,y 均为参数)化简得:
k ?1 ?1 Tn(k ?1) = Ckk? n = C( k ?1) ? n?1

,成立 1

n(n ? 1)(2n ? 1)(3n 2 ? 3n ? 1) = 30
基本理论体系 基本概念

?综合(1)(2)式得:对于任意正整数 m,
m Tnm = Cm ? n?1

均成立

1.1

像题头题目那样,数列{ an }的前 n 项和为 Tn1 数列{ Tn1 }的前 n 项和为 Tn 2

2、用途 这个公式有很多用途。 例如: 我能用此公式 化简 1m ? 2 m ? 3m ? ? ? (n ? 1) m ? n m 。具体
4 4 4 4 来说:[拿 1 ? 2 ? 3 ? ? ? n 为例]:

m 根据公式 Tnm = Cm ? n?1 可得: 4 Tn 4 = C4 ?n?1 =

n( n ? 1)( n ? 2)( n ? 3) 24


=

n 4 ? 6n 3 ? 11n 2 ? 6n 24

5 Tn 5 = C5 ?n?1 =

n(n ? 1)( n ? 2)( n ? 3)( n ? 4) ② 120

根据①式可表示出:

Tn 5 = T14 + T24 + T34 +??+ Tn 4
4 3 2 4 3 2 = 1 ? 6 ? 1 ? 11? 1 ? 6 ? 1 ? ? ? n ? 6n ? 11n ? 6n

24
3 3 3 3 = (1 ? 2 ? 3 ? ? ? n ) ? 6(1 ? 2 ? 3 ? ? ? n ) + 24 4 4 4 4

11(13 ? 2 3 ? 33 ? ? ? n 3 ) ? 6(1 ? 2 ? 3 ? ? ? n) ③ 24
再根据 =

12 ? 2 2 ? 32 ? ? ? n 2

n( n ? 1)( 2n ? 1) 6



图 1.2-1 数列{ Tn 2 }的前 n 项和为 Tn 3 ??

13 ? 2 3 ? 33 ? ? ? n 3 =

n 2 (n ? 1) 2 4


m m? n?1 以

(注意:④式和⑤式都可用公式 Tnm = C

数列 { Tnm } 的前 n 项和为 Tn( m?1) 则数列{ Tn1 } { Tn 2 } { Tn 3 }??{ Tnm } 就叫作数列 { an } 的前 n 项和数列系。 其中 Tn1 、 ??、 Tnm 叫作前 n 项和数列系的级, Tn 2 、 Tn 3 、 简称级。数列{ Tn1 } { Tn 2 } { Tn 3 }??{ Tnm } 所有的项叫作前 n 项和数列系的项, 简称项。 若 存在数列 { bm } 使得 b1 =

(1) 无论横着读还是竖着读, 此矩阵 为同一矩阵 (2)该矩阵关于对角线对称 3、我们在此矩阵中,画出所有斜率为 1 的直线作为辅助线:

Tn 2 Tn1 , b2 = , b3 = Tn1 an
很显然, 从左上向右下读出各斜行, 可以发 现正是杨辉三角的各行, 因此此矩阵具有杨辉三

Tnm Tn3 ,??, bm = ,则数列{ bm }叫作 Tn ( m ?1) Tn 2
前 n 项和数列系的邻级比数列, 简称邻级比数列。 (以上概念均建立在 m,n ? N 的基础上)
*

角的性质: (1)将以上斜行各行的数求和,和为 2
n ?1

1.2 前 n 项和数列系的通性 关于通性,我们先从图 1.2-1 谈起: 将图 1.2-1 中各项的 a1 系数提出来可得到 如下矩阵:

(同理斜行增减性与最大值参考杨辉三角性质) 。 (2)观察以下辅助线:

可以发现:1> 从竖列第 1 项加到第 n 项, 等于下一竖列第 n 项。 图 1.2-2 性质:1、图 1.2-2 矩阵虽然是将各项 a1 的系数 提出来所构成的矩阵,但实际上找到 a1 的系数 后,依次向左数便是 a2 、 a3 、?、 an 的系数。 2、通过观察,此矩阵为对称矩阵(也称 对角矩阵) ,所以此矩阵具有对称矩阵的性质: n项 根据下述表 3 也可以将 2>结论写成:
y y 0 2 + C1 Cx x ?1 + C x ? 2 +??+ C x ? y = C x? y ?1 (x,y

2>根据对称性,也可以将上述结论写成: 从横列第 1 项加到第 n 项, 等于下一横列第

均为参数) (后面证明有用到) (3)两对角数之和等于对角右下方那个数

根据下述表 3 也可以将(3)结论写成大家 很熟悉的公式:

C xy ?1 + C xy = C xy?1 (x,y 均为参数)
(4)我们在此矩阵中,画出所有斜率为 2 的直线作为辅助线:

可以发现: 从左上向右下数依次求各斜行的 和,可以得到斐波那契数列。 当然图 1.2-2 的很多性质可以对应到图 1.2-1 中,例如: 图 1.2-2 性质 3 第(2)点对应到图 1.2-1 中,可得: 1> Tn1 ? Tn 2 ? Tn3 ? ? ? Tnm = T( n?1) m ? an?1 2> T1m ? T2m ? T3m ? ? ? Tnm = Tn( m?1) ? an 图 1.2-2 性质 3 第(3)点对应到图 1.2-1 中,可得: 图 1.3-1 我们将图 1.2-2 各数对应成相应的组合数, 可得一个新矩阵如图 1.3-1。 根据图 1.2-2 性质 1 得: 前 n 项和数列系的 项通式为:
?1 n ?2 n ?k 0 Tnm = Cnn? m?2 a1 ? Cn?m?3 a2 ? ? ? Cn?m?( k ?1) ak ? ? ? Cm?1an

T( n?1) m ? Tn( m?1) = Tnm
1.3 前 n 项和数列系的项通式

1.4

特殊前 n 项和数列系性质 在很多特殊数列中, 其前 n 项和数列系的级

是具有通式的,称为前 n 项和数列系的级通式, 简称级通式。 以下我主要介绍四种特殊数列的前 n 项和数列系: 1、常用前 n 项和数列系 (1)概念:像引例描述的那样,原数列为 首项为 1 的常数列的前 n 项和数列系叫作常用前 n 项和数列系。

m (2)级通式: Tnm = Cm ? n?1 (证明见引例)

(3)邻级比数列: 根据邻级比数列的概念可得:

(3)邻级比数列: 根据邻级比数列的概念可得:

b1 =n, b2 =

n ?1 n?2 , b3 = ,?? 2 3

b1 =n, b2 =

n ?1 n?2 , b3 = ,?? 2 3

通过归纳猜想常数列邻级比数列{ bm }的通
c 项公式为 bm =

通过归纳可猜想常用邻级比数列{ bm }的通 项公式为 bm =

m ? n ?1 m
m a1C m ? n ?1

m ? n ?1 m

证明:当 m ? 2 时,

证明:当 m ? 2 时,

b =

c m

Tnm Tn ( m ?1)

=

C m? n ?1 T bm = nm = m m ?1 Tn ( m ?1) C m ? n?2

m ?1 a1C m ? n?2

(m ? n ? 1)! m! (n ? 1)! m ? n ?1 = = (m ? n ? 2)! m (m ? 1)!(n ? 1)!
将 m=1 代入上述结论得:

(m ? n ? 1)! m!(n ? 1)! m ? n ?1 = = (m ? n ? 2)! m a1 (m ? 1)!(n ? 1)! a1
将 m=1 代入上述结论得:

b1c =
,仍然成立

n 1? n ?1 b1 = = 1 1

a1n 1 ? n ? 1 = 1 a1

,仍然成立

?常用邻级比数列{ bm }的通项公式为:
bm =
m ? n ?1 m

?常数列邻级比数列{ bm }的通项公式为:
c = bm

m ? n ?1 m

特征: 常数列邻级比数列等于常用邻级比数 列, 即常数列邻级比数列的通项公式与原数列首 项 a1 没有关系。 3、等差数列前 n 项和数列系 (1)概念:原数列为首项为 a1 ,公差为 d 的等差数列的前 n 项和数列系叫作等差数列前 n 项和数列系。
a m?1 m (2) 级通式: = dCm Tnm ? n ? (a1 ? d )Cm? n?1

2、常数列前 n 项和数列系 (1)概念:原数列为首项为 a1 的常数列的 前 n 项和数列系叫作常数列前 n 项和数列系。
c m (2)级通式: Tnm = a1Cm ? n?1

证明: (我们采用逻辑法进行简单地论证)

?通过比较常用前

n 项和数列系与常数列

前 n 项和数列系各项, 可以发现常用前 n 项和数 列系各项 Tnm 在常数列前 n 项和数列系的对应项 为 a1Tnm
c m = Cm ?根据常用级通式 Tnm ? n?1 可求得常数 c m 列级通式为 Tnm = a1Cm ? n?1

证明: (我们采用逻辑法进行简单地论证)

?原数列{ an }的通项公式
an = a1 ? (n ? 1)d = nd ? (a1 ? d )

= d ? (n ? 1)d ? (a1 ? d )

d? ?

?可以将原数列拆成两部分的和:
第 1 部分:首项和公差均为 d 的等差数列 第 2 部分:首项为 a1 ? d 的常数列

(m ? n)(m ? n ? 1) m ? n ?1 ? (a1 ? d ) (m ? 1) ? m m m ? n ?1 d? ? (a1 ? d ) m

?

?第 2 部分运用常数列级通式可得:
2 m = (a1 ? d )Cm Tnm ? n?1

d (m ? n ? 1)(m ? n) ? (a1 ? d )(m ? n ? 1)(m ? 1) d (m ? n ? 1)(m ? 1) ? (a1 ? d ) ? m(m ? 1)

将 m=1 代入,得:

又?第 1 部分可看成是首项为 d 的常数列的 Tn1
m?1 1 1 m?1 可表示为: Tnm = dC( m?1)?n?1 = dCm ?Tnm ?n

d 2 d n ? (a1 ? )n T 2 b1a = n1 = 2 a1 ? ( n ? 1)d an

?根据分组求和原理,
a 1 2 m?1 m = Tnm = dCm Tnm ? Tnm ? n ? (a1 ? d )Cm? n?1

dn2 ? (2a1 ? d )n = 2a1 ? 2(n ? 1)d
=

即:等差数列级通式为:
a m?1 m = dCm Tnm ? n ? (a1 ? d )Cm? n?1

dn(n ? 1) ? 2(a1 ? d )n 2dn ? 2(a1 ? d )

,仍成立

?等差数列邻级比数列{ bm }的通项公式为:
a bm ?

(3)邻级比数列 等差数列邻级比数列{ bm }的通项公式为:
d (m ? n ? 1)(m ? n) ? (a1 ? d )(m ? n ? 1)(m ? 1) b ? d (m ? n ? 1)(m ? 1) ? (a1 ? d ) ? m(m ? 1)
a m

d (m ? n ? 1)(m ? n) ? (a1 ? d )(m ? n ? 1)(m ? 1) d (m ? n ? 1)(m ? 1) ? (a1 ? d ) ? m(m ? 1)

4、等比数列前 n 项和数列系 (1)概念:原数列为首项为 a1 ,公比为 q 的等差数列的前 n 项和数列系叫作等比数列前 n 项和数列系。 (2)级通式: 设 f ( x) ? (?q) [Cm?1Tn( m?1) ? Cm?2Tn( m?2)
x x x?1

证明:当 m ? 2 时,
m?1 m dCm Tnm ? n ? ( a1 ? d )C m? n ?1 a = bm = m m?1 Tn ( m ?1) dCm ? n ?1 ? ( a1 ? d )C m? n ? 2

(m ? n)! (m ? n ? 1)! ? (a1 ? d ) (m ? 1)!(n ? 1)! m! (n ? 1)! ? (m ? n ? 1)! (m ? n ? 2)! d? ? (a1 ? d ) m!(n ? 1)! (m ? 1)!(n ? 1)! d?

x?( k ?1) 0 ? ?? Cm Tn(m?k ) ? ?? Cm ?k ? x ?1Tn( m? x?1) ] m? x?1 g ( x) = (?q) m?1 Cm ? x?1 Tn( m? x )

(x ? Z, Tnm 表示常用级通式)
? (m ? n)(m ? n ? 1) m ? n ? 1? (m ? n ? 2)! ? (a1 ? d ) ? ?d ? (m ? 1) ? m m ? ? ? (m ? 1)!(n ? 1)! ? m ? n ?1 ? ? (m ? n ? 2)! ? (a1 ? d )? ? ?d ? m ? ? (m ? 1)!(n ? 1)!

,则:

等比数列级通式为(证明略) :

(3)邻级比数列: 等比数列邻级比数列 { bm } 的通项公式为 (证明略) :

且它的通项公式一定可以写成如下这种形 式:

an = a1 +

? g (i)
i ?1

k



(①②式中的 ri ,k 均对应相等, r1 ? 0 ) (2)证明(正向结论证明略) : 我们来证明一下反向结论。若数列{ an } 的通项公式是一个 k 次函数,即: 2 推导结论 (1)结论: 在数列{ an }中,若对于任意正整数 n 均 满足:
k ?x k ?1? x 设 f ( x) = rx Cn ? k ? x ?1 , g ( x ) = rx Cn? k ? x ?1

an ? b1n k ? b2 n k ?1 ? b3 n k ?2 ? ? ? bk n ? bk ?1
( k 为正整数) ,而在改成 an = a1 +

? g (i) 即
i ?1

k

?1 k ?2 1 an ? a1 ? r1Cnk?k ?2 ? r2Cnk? k ?3 ? r3Cn?k ?4 ? ? ? rk Cn?1

时,可以根据每一项的系数列一个方程,得到 k+1 元一次方程组(共 k+1 个方程),因此有且仅 有一组解,得证。 而根据 an?1 ? an =

若 an?1 ? an =

? f (i)
i ?1

k

( ri 均为实数参数且

r1 ? 0 ;k 为正整数参数)
(注:f ( x) 和 g ( x) 中的 n 与数列 an 右下角 标 n 具有相同含义) 则数列{ an }的通项公式是一个 k 次函数 且数列{ an }的通项公式为:

? f (i) 即:
i ?1

k

?1 k ?2 k ?3 0 an?1 ? an ? r1Cnk? k ?2 ? r2 Cn?k ?3 ? r3Cn?k ?4 ? ? ? rk Cn?1

可以得到:
1 k ?2 k ?3 0 an ? an?1 ? r1Cnk??k ?3 ? r2 Cn ? k ?4 ? r3 Cn ? k ?5 ? ?? rk Cn ?2 1 k ?2 k ?3 0 an?1 ? an?2 ? r1Cnk??k ?4 ? r2 Cn? k ?5 ? r3 Cn? k ?6 ? ?? rk Cn?3

an = a1 + ? g (i )
i ?1

k

an?2 ? an?3 ? r1Cnk??k1?5 ? r2 Cnk??k2?6 ? r3Cnk??k3?7 ? ?? rk Cn0?4
??

同样,反过来,若数列{ an }的通项公式 是一个 k 次函数 则它的递推公式一定可以写成如下这种形 式(唯一解):

a2 ? a1 ? r1C

k ?1 k ?1

?2 k ?3 0 ? r2Ckk? 2 ? r3Ck ?3 ? ? ? rk C0

将上述 n-1 个式子相加,并利用公式:
0 2 y y Cx ? C1 x?1 ? Cx?2 ? ? ? Cx? y ? Cx? y ?1

a n?1 - an = ? f (i)
i ?1

k



(x,y 均为非负整数参数)化简得:
?1 k ?2 1 an ? a1 ? r1Cnk?k ?2 ? r2Cnk? k ?3 ? r3Cn?k ?4 ? ? ? rk Cn?1

即可以得到 an = a1 + (3)性质

? g (i) ,得证。
i ?1

k

3 2 则 S n ? 2C n ? 2 ? C n ?1 ?

n(n ? 1)( 2n ? 1) 6

3 2 1 若 an ? n3 ? 6Cn ?2 ? 6Cn?1 ? Cn

设数列 { an } 的项通式为 an = a1 +

? g (i) ,
i ?1

k

则 S n ? 6C n ?3 ? 6C n ? 2 ? C n ?1 ?
4 3 2

n 2 (n ? 1) 2 4

若将其由 a 2 ? a1 ,a3 ? a 2 ,?? ,an?1 ? a1 组 成的新数列称为原数列 { an } 的作差数列, 则: 1>原数列的项通式为 k 次函数。 2>做一次作差数列的项通式为 k-1 次函数, 做 m 次作差数列的项通式为 k-m 次函数。 3>做 k 次作差数列将得到非零常数列。 4>做大于 k 次作差数列将得到首项为 0 的常 数列。 3 实际应用 下面以伯努利多项式为例简要说明该理论 的实际应用: 伯努利多项式是高等数学中一个非常经典 的多项式, 瑞士籍数学家伯努利运用求伯努利数 的方法成功解决了伯努利多项式问题, 下面我利 用我的理论通过初等数学知识来求解伯努利多 项式问题。 (1)求解方法
k k k k 在求解“ 1 ? 2 ? 3 ? ? ? n ”的求和问

4 3 2 1 若 an ? n 4 ? 24Cn Cn Cn ?3 ? 36 ?2 ? 14 ?1 ? Cn 5 4 3 2 则 S n ? 24Cn Cn Cn ?4 ? 36 ?3 ? 14 ?2 ? Cn?1

?

n(n ? 1)(2n ? 1)(3n 2 ? 3n ? 1) 30

5 4 3 若 an ? n5 ? 120 Cn Cn Cn ?4 ? 240 ?3 ? 150 ?2 2 1 ? 30Cn ?1 ? Cn 6 5 4 则 S n ? 120 Cn Cn Cn ?5 ? 240 ?4 ? 150 ?3 3 2 ? 30Cn ? 2 ? Cn?1 6 5 4 若 an ? n 6 ? 720 Cn Cn Cn ?5 ? 1800 ?4 ? 1560 ?3 3 2 1 ? 540Cn Cn ? 2 ? 62 ?1 ? Cn 7 6 5 则 S n ? 720 Cn Cn Cn ?6 ? 1800 ?5 ? 1560 ?4 4 3 2 ? 540Cn Cn ?3 ? 62 ?2 ? Cn?1

上述列的 6 个方程虽然很方便的求出了
k k k k “ 1 ? 2 ? 3 ? ? ? n ”的前 6 个解,但是进

题时,如果每一项都一一对应数列{ an }中的 每一项,不难看出数列{ an }的通项公式是一 个 k 次函数,因此可以求得如下结果:
1 若 a n ? n ? Cn

行每次求解时都须将 k 次多项式转化为相应的 组合数形式的多项式, 根据本文第 2 部分的推导 结论可知, 此时需要列一个 k+1 元一次方程组来 求解各组合数项的系数, 依然很繁琐。 为了进一 步简化求解过程, 我们将前 6 个解中所有组合数 项的系数(省略常数项 0)提取出来,引入“ n
k

则 Sn ? C

2 n ?1

n?n ? 1? ? 2

2 1 若 an ? n 2 ? 2Cn ?1 ? Cn

求和三角”来探索求解这个问题的一般性规律:

k 3>组合数规律:首项为 Cn ?k ?1 ,之后的每 k 一项均为 Cn ?k ?1 的上下角标依次同时减去 1 得 1 到的,直到最后一项 C n

根据以上规律, 我们就能很轻松的无需繁琐 通过观察,可以发现如下规律: 的计算写出来 an ? n 7 和 an ? n8 的情况了: 根据“ n k 求和三角”的规律可得到第七行 和第八行的数字依次是“5040、15120、16800、 8400、 1806、 126、 1” 和 “40320、 141120、 191520、 126000、40824、5796、254、1” 即“ n 求和三角”的特征为: 1>最右端那一列均为 1 2>最左端那一列为 n 的阶乘 (例如, 第三行 最左端的那一个数字为 3!? 3 ? 2 ? 1 ? 6 ) 3>类似于“杨辉三角” ,剩下所有中间的数 都能通过它上方的两个数求和得到, 只不过每一 行从右边数第二项开始, 还需将所求得的和依次 ×2、×3、×4、×5??即可得到每一行各个中 间数 [例如:利用第 4 行的数求解第 5 行的数:
5 4 3 2 ? 8400 Cn Cn Cn ?4 ? 1806 ?3 ? 126 ?2 ? Cn?1 8 7 若 an ? n8 ? 40320 Cn Cn ?7 ? 141120 ?6 ? 6 5 4 191520 Cn Cn Cn ?5 ? 126000 ?4 ? 40824 ?3 ? 3 2 1 ? 5796 Cn Cn ?2 ? 254 ?1 ? Cn 9 8 则 S n ? 40320 Cn Cn ?8 ? 141120 ?7 ? 191520 7 6 5 4 Cn Cn Cn Cn ?6 ? 126000 ?5 ? 40824 ?4 ? 5796 ?3 3 2 ? 254Cn ? 2 ? Cn?1
k

因此根据“ n 求和三角”得到的结果为:
7 6 若 an ? n 7 ? 5040 Cn Cn ?6 ? 15120 ?5 ? 16800 5 4 3 2 1 Cn Cn Cn Cn ?4 ? 8400 ?3 ? 1806 ?2 ? 126 ?1 ? Cn 8 7 6 则 S n ? 5040 Cn Cn Cn ?7 ? 15120 ?6 ? 16800 ?5

k

62 ? (30 ? 1) ? 2 , 540 ? (150 ? 30) ? 3, 1560? (240 ? 150) ? 4 , 1800? (120? 240) ? 5 ]
利用“ n 求和三角”写数列的通项公式
k

an ? n k 时,一共有 k 项,其中每一项都遵循一
定的规律: 1>正负性规律:首项均为正,之后每项(包 括首项)的系数成“正负交替”的规律,即“一 正一负一正一负??” 2>数字规律: 每一项的系数均从左到右依次 对应“ n 求和三角”第 k 行的每一个数字
k

通过列方程组的方法检验, 得到跟上述两个 运算结果完全相同的结论。 (2)证明 “ n 求和三角”规律的证明,还得通过一 个引理来说明, 我们首先来运用本文第 2 部分的
k

推导结论来求解以下式子:
1 1 Cn ? Cn ?

?

n 2 (n ? 1) 2 1 ? 2C n ?1 ? C n 2 n 2 (n ? 1)(n ? 2) 3 2 ? 3C n ? 2 ? 2C n ?1 6

an r ?1

?左边=右边

, ?引理得证。 当然, 其实这个引理实际上是一个大家很熟 悉的公式的变形公式,这个公式为:
m?1 m (m ? 1)Cn ?1 ? (n ? 1)Cn

2 1 Cn ?1 ? C n ?

C

3 n?2

n 2 (n ? 1)(n ? 2)(n ? 3) 3 ?C ? ? 4C n4?3 ? 3C n ?2 24
1 n

(m , n 均为正整数,且 n≥m) (

?

?n ? 1?! ? n! ? n ? 1 ?m ? 1?!?n ? 1?! m!?n ? m?! m ? 1
n ?1 m Cn m ?1
)

??
观察这组式子的特征:
1 1 2 1 Cn ? Cn ? 2Cn ?1 ? Cn 2 1 3 2 Cn ?1 ? Cn ? 3Cn?2 ? 2Cn?1 3 1 4 3 Cn ?2 ? Cn ? 4Cn?3 ? 3Cn? 2

1 ? C nm?? 1 ?

m?1 m ? (m ? 1)Cn ?1 ? (n ? 1)Cn

用 r ? 1 替换上式中的 m ,n ? r ? 2 替换上 式中的 n 即可得到:
r r ?1 rCn ?r ?1 ? (n ? r ? 1)Cn?r ?2

??
可以得到以下引理:
r ?1 1 r r ?1 引理: Cn ?r ?2 ? Cn ? rCn?r ?1 ? (r ? 1)Cn?r ?2

移项并合并同类项得:
r ?1 r r ?1 nCn ?r ?2 ? rCn?r ?1 ? (r ? 1)Cn?r ?2 r ?1 1 r r ?1 即: Cn ?r ?2 ? Cn ? rCn?r ?1 ? (r ? 1)Cn?r ?2

(r 为正整数) 证明:我们首先令

?引理得证。
运用这个引理我们来求解以下这些式子, 从 而探讨“ n 求和三角”的规律:
1 n ? Cn 1 1 2 1 2 1 n 2 ? Cn ? Cn ? 2Cn Cn ?1 ? Cn ? 2 ?1 ?1 ? Cn 2 1 1 n3 ? (2Cn ?1 ? Cn )Cn 3 2 2 1 ? 2(3Cn ? 2 ? 2Cn?1 ) ? (2Cn?1 ? Cn ) 3 2 1 ? 3 ? 2Cn ? 2 ? 2(2 ? 1)Cn?1 ? Cn 3 2 1 ? 6Cn ? 2 ? 6Cn?1 ? Cn 3 2 1 1 n 4 ? (6Cn ?2 ? 6Cn?1 ? Cn )Cn 4 3 3 2 ? 6(4Cn ?3 ? 3Cn?2 ) ? 6(3Cn?2 ? 2Cn?1 )
k

n?n ? 1??n ? 2????n ? r ? 2? a? 1 ? 2 ? 3 ? ?? ? ?r ? 2?
r ?1 1 ?左边 ? Cn ? r ? 2 ? Cn

n 2 ?n ? 1??n ? 2????n ? r ? 2? an ? ? 1? 2 ? 3 ? ??? ?r ? 1? r ?1
r r ?1 右边 ? rCn ?r ?1 ? (r ?1)Cn?r ?2

?

n?n ? 1??n ? 2????n ? r ? 1? 1 ? 2 ? 3 ? ?? ? ?r ? 1?

n?n ? 1??n ? 2????n ? r ? 2? ? 1 ? 2 ? 3 ? ?? ? ?r ? 2?
? a?n ? r ? 1? ? a?r ? 1? r ?1

2 1 ? (2Cn ?1 ? Cn ) 4 3 2 1 ? 4 ? 6Cn ?3 ? 3(6 ? 6)Cn?2 ? 2(6 ? 1)Cn?1 ? Cn 4 3 2 1 ? 24Cn Cn Cn ?3 ? 36 ?2 ? 14 ?1 ? Cn 4 3 2 1 1 n5 ? (24Cn Cn Cn ?3 ? 36 ? 2 ? 14 ?1 ? Cn )Cn 5 4 4 3 ? 24(5Cn ? 4 ? 4Cn?3 ) ? 36(4Cn?3 ? 3Cn? 2 )

?根据引理:
r ?1 1 r r ?1 Cn ?r ?2 ? Cn ? rCn?r ?1 ? (r ? 1)Cn?r ?2 化简得: 1 k ?1 k n k ?1 ? n k ? Cn ? (k ? 1)a1Cn ?k ? k (a1 ? a2 )Cn?k ?1 k ?1 k ?2 ? (k ? 1)(a2 ? a3 )Cn ?k ?2 ? (k ? 2)(a3 ? a4 )Cn?k ?3
2 1 ? ?? ? 2(ak ?1 ? ak )Cn ?1 ? Cn

? 14(3C ? 5 ? 24C

3 n? 2

? 2C

2 n?1

) ? (2C
4 n?3

2 n?1

?C )
1 n 3 n? 2

? b1 ? (k ? 1)a1



b2 ? k (a1 ? a2 )

5 n? 4

? 4(24 ? 36)C

? 3(36 ? 14)C

b3 ? (k ? 1)(a2 ? a3 ) , b4 ? (k ? 2)(a3 ? a4 )
??

2 1 ? 2(14 ? 1)Cn ?1 ? Cn 5 4 3 2 1 ? 120Cn Cn Cn Cn ?4 ? 240 ?3 ? 150 ?2 ? 30 ?1 ? Cn
k

bk ? 2(ak ?1 ? ak )



bk ?1 ? 1

同理,当 k 为偶数时:
k k ?1 k ?2 n k ? a1Cn ?k ?1 ? a2 Cn?k ?2 ? a3Cn?k ?3 ? ??

根据上述五个式子可以看出: “ n 求和三角” 的规律显然成立。 下面我们来讨论一下“ n 求和三角”第五 行往下是否满足规律: 设 “ n 求和三角” 第 k 行的各数字分别为:
k k

1 ? ak Cn k ?1 k k ?1 n k ?1 ? b1Cn ?k ? b2 Cn?k ?1 ? b3Cn?k ?2 ? ??
2 1 ? bk Cn ?1 ? bk ?1Cn 1 k k ?1 ? (a1Cn ? nk ?1 ? nk ? n ? nk ? Cn ?k ?1 ? a2 Cn?k ?2

a1 , a2 , a3 , ?? , ak
“ n 求和三角” 第 k+1 行的各数字分别为:
k

k ?2 1 1 ? a3Cn ?k ?3 ? ?? ? ak Cn )Cn

?根据引理:
r ?1 1 r r ?1 Cn ?r ?2 ? Cn ? rCn?r ?1 ? (r ? 1)Cn?r ?2 化简得: 1 k ?1 k n k ?1 ? n k ? Cn ? (k ? 1)a1Cn ?k ? k (a1 ? a2 )Cn?k ?1 k ?1 k ?2 ? (k ? 1)(a2 ? a3 )Cn ?k ?2 ? (k ? 2)(a3 ? a4 )Cn?k ?3
2 1 ? ?? ? 2(ak ?1 ? ak )Cn ?1 ? Cn

b1 , b2 , b3 , ?? , bk ?1
当 k 为奇数(k≥6)时:

n ? a1Cn?k ?1 ? a2Cn?k ?2 ? a3Cn?k ?3 ? ??
k k

k ?1

k ?2

1 ? ak Cn k ?1 k k ?1 n k ?1 ? b1Cn ?k ? b2 Cn?k ?1 ? b3Cn?k ?2 ? ??
2 1 ? bk Cn ?1 ? bk ?1Cn 1 k k ?1 ? nk ?1 ? nk ? n ? nk ? Cn ? (a1Cn ?k ?1 ? a2 Cn?k ?2

同样能得到:

b1 ? (k ? 1)a1



b2 ? k (a1 ? a2 )

b3 ? (k ? 1)(a2 ? a3 ) , b4 ? (k ? 2)(a3 ? a4 )
??

k ?2 1 1 ? a3Cn ?k ?3 ? ?? ? ak Cn )Cn

bk ? 2(ak ?1 ? ak )



bk ?1 ? 1

又?规律“最左端那一列为 n 的阶乘”等 价于 “第 k+1 行最左端的数是第 k 行最左端的数 的 k+1 倍” “ n k 求和三角”的数字规律 ?综上所述, 得证 同样,在上述证明过程中可以发现, “ nk 求 和三角”的正负性规律和组合数规律显然成立。 “ n k 求和三角” 的规律得证。 ?综上所述, (3)拓展 此求解方法可以进一步拓展: 比如说我能用 此方法来求解几个大家比较熟悉的公式,例如 “ 12 ? 32 ? 52 ? ? ? (2n ? 1) 2 ” “ 13 ? 33 ? 53 ? ? ? (2n ? 1) 3 ” :
1 1 2 1 若 an ? (2n ? 1) 2 ? (2Cn ? 1) 2 ? 4(Cn ) ? 4Cn ?1 2 1 1 2 1 ? 4(2Cn ?1 ? Cn ) ? 4Cn ? 1 ? 8Cn?1 ? 8Cn ? 1
3 2 则 S n ? 8C n ? 2 ? 8C n ?1 ? n ?

an ? m ? ? f (i)
i ?1

k

(m 为常数)

则数列{ an }的前 n 项和公式为:

S n ? nm ? ? g (i)
i ?1

k

4 结束语 本文从一个引例着手, 引出了前 n 项和数列 系的基本理论体系, 然后又引申出了一些推导结 论,并运用这些推导结论解决了一些实际问题, 但这些研究还是远远不够的, 远远没有达到探索 出新的处理数字信息的方法的预期。 现在的处理 数字信息的方法非常系统, 是利用傅里叶变换引 申出来的 DTFT、DFS、DFT、FFT 等一系列非常系 统的处理方法来实现的, 而运用本理论要想实现 处理数字信息, 要做的工作还应该有: 系统的研 究出等差数列数字信号、 等比数列数字信号等的 数字信息处理方法, 找到可以将一般数列分解为 一系列等差数列或等比数列的桥梁, 并且系统的 研究出此方法的逆变换方法等等。 由于一些客观 原因, 本次研究只能暂时遗憾收官, 论文也只能 暂时草草收尾, 但对本理论的研究不会停止, 我 会继续把研究工作做的更好, 也会在后续论文中 展示最新的研究成果以及本次论文省略掉的证 明过程,希望大家能继续关注我的论文。 参考文献 [1] 普通高中课程标准实验教科书 .数学必修 2. 人民教育出版社.2007 年 2 月. [2] 普通高中课程标准实验教科书.数学选修 2-3. 人民教育出版社.2007 年 1 月. [3] 潘 承 洞 . 代 数 数 论 . 哈 尔 滨 工 业 大 学 出 版 社.2001 年.

n?2n ? 1??2n ? 1? 3

1 1 3 1 2 1 若 an ? (2n ? 1) 3 ? (2Cn ? 1)3 ? 8(Cn ) ? 12(Cn ) ? 6Cn ?1 3 2 1 2 1 1 ? 8(6Cn ?2 ? 6Cn?1 ? Cn ) ? 12(2Cn?1 ? Cn ) ? 6Cn ? 1 3 2 1 ? 48Cn Cn Cn ?1 ? 2 ? 72 ?1 ? 26 4 3 2 2 2 则 S n ? 48Cn ?3 ? 72Cn?2 ? 26Cn?1 ? n ? n (2n ? 1)

这样我们就可在此基础上将此方法拓展为: 在数列{ an }中,若对于任意正整数 n 均 满足:
k ?1? x k ? 2? x 设 f ( x) ? rx Cn ? k ? x , g ( x) ? rx Cn?k ? x ?1

若通项公式为 k 次函数的数列{ an }的通 项公式为:


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