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高中数学 1.1.2导数的概念课件 新人教A版选修2-2


1.1.2

导数的概念

问题2 高台跳水 在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高 度h(单位:米)与起跳后的时间t(单位:秒) 存在函数关系 h h(t)=-4.9t2+6.5t+10. 如何用运动员在某些时 间段内的平均速度粗略 地描述其运动状态?
o t

65 计算运动员在0 ? t ? 这段时间

里的平均速度, 49
65 h( ) ? h(0) ? 10 49

?h v? ?0 ?t

思考下面问题; 1)运动员在这段时间里是静止的吗?
2)你认为用平均速度描述运动员的状态有什么问题吗?

瞬时速度.
? 在高台跳水运动中,平均速度不能准确反 映他在这段时间里运动状态. 我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速 度.
又如何求 瞬时速度呢?

如何求(比如, t=2时的)瞬时速度? 当Δt趋近于0时,平均

速度有什么变化趋势? 通过列表看出平均速度的变化趋势 :

瞬时速度
? 我们用
?t ? 0

lim h(2 ? ?t ) ? h(2) ? ?13.1
?t

表示 “当t=2, Δ t趋近于0时,平均速度趋于 确定值-13.1”.
局部以匀速代替变速,以平均速度代替瞬时速度,然后通过 取极限,从瞬时速度的近似值过渡到瞬时速度的精确值。

? 那么,运动员在某一时刻t0的瞬时速度?

h(t0 ? ?t ) ? h(t0 ) lim ?t ? 0 ?t

导数的定义:
从函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是:

问题:
? 求函数y=3x2在x=1处的导数. 分析:先求Δf=Δy=f(1+Δx)-f(1) =6Δx+(Δx)2
再求 再求

?f ? 6 ?? x ?x
?y lim ?6 ? x ?0 ? x

应用:
1 2 s 例1 物体作自由落体运动,运动方程为: ? 2 gt 其 2

中位 移单位是m,时间单位是s,g=10m/s .求: (1) 物体在时间区间[2,2.1]上的平均速度; (2) 物体在时间区间[2,2.01]上的平均速度; (3) 物体在t=2(s)时的瞬时速度. 分析:
1 ?s ? s (t0 ? ?t ) ? s (t0 ) ? 2 g ?t ? g (?t ) 2 2 __ ?s s (t0 ? ?t ) ? s (t0 ) 1 v? ? ? 2 g ? g ( ?t ) ?t ?t 2

解:

__

?s 1 v? ? 2 g ? g ( ?t ) ?t 2

O s(2) s(2+?t)

(1)将 Δ t=0.1代入上式,得: __

v ? 2.05g ? 20.5m / s.

?s

(2)将 Δ t=0.01代入上式,得: __

v ? 2.005g ? 20.05m / s.
__

( 3)当?t ? 0,2 ? ?t ? 2, 从而平均速度 的极限为: v __ ?s v ? lim v ? lim ? 2 g ? 20m / s. ?t ? 0 ?t ? 0 ? t

s

应用:
? 例2 将原油精练为汽油、柴油、塑胶等各种不 同产品,需要对原油进行冷却和加热。如果第 x(h)时,原油的温度(单位:0C)为 f(x)=x2-7x+15(0≤x≤8).计算第2(h) 和第6 (h)时,原由温度的瞬时变化率,并说明它们 的意义。
?f 关键是求出: ? x ? 2 x ?? x ? 7

?f 再求出lim ? 2x ? 7 ? x ?0 ? x

它说明在第2(h)附近,原油 温度大约以3 0C/h的速度下降; 在第6(h)附近,原油温度大 约以5 0C/H的速度上升。

应用:
? 例3.质量为10kg的物体,按照 s(t)=3t2+t+4的规律做直线运动, (1)求运动开始后4s时物体的瞬时速度;
(E ?

(2)求运动开始后4s时物体的动能。

1 mv 2 ) 2

?s 25?t ? 3?t 2 v ? lim ? lim ? lim (25 ? 3?t ) ? 25 ?x ? 0 ?t ?x ? 0 ?x ? 0 ?t 1 2 1 E ? mv ? ? 10 ? 252 ? 3125( J ) 2 2

小结:
? 1求物体运动的瞬时速度:

(1)求位移增量Δ s=s(t+Δ t)-s(t)

(2)求平均速度 ? ? s ; v ?t ?s s (t ?? t ) ? s (t ) ? lim . (3)求极限 lim ?t ?t
? x ?0 ? x ?0

? 1由导数的定义可得求导数的一般步骤: (1)求函数的增量Δy=f(x0+Δt)-f(x0)
?y (2)求平均变化率 ? x

(3)求极限

f ' ( x0 ) ? lim
? x ?0

?y ?x

练习:
? (1)求函数y=
? (2)求函数y=

x

在x=1处的导数.
的导数.

4 2 x


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