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高中数学选修1-1(人教A版)第三章导数及其应用3.2知识点总结含同步练习及答案


高中数学选修1-1(人教A版)知识点总结含同步练习题及答案
第三章 导数及其应用 3.2 导数的计算

一、学习任务 1. 2.
了解基本初等函数的导数公式. 了解导数的四则运算法则;能利用导数公式表的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数.

二、知识清单
导数的计算 利用导数求函数的切线方程

>
三、知识讲解
1.导数的计算 描述: 基本初等函数的导数公式 基本初等函数 f (x) = c(c为常数) 基本初等函数的导函数

导数的运算法则

f ′ (x) = 0 f (x) = xα (α ∈ Q? ) f ′ (x) = αxα?1 f (x) = sin x f ′ (x) = cos x f (x) = cos x f ′ (x) = ? sin x f (x) = ax (a > 0且a ≠ 1) f ′ (x) = ax ln a f (x) = ex f ′ (x) = ex 1 f (x) = loga x f ′ (x) = x ln a 1 f (x) = ln x f ′ (x) = x

[f (x) ± g(x)]′ = f ′ (x) ± g ′ (x) ; [f (x) ? g(x)]′ = f ′ (x)g(x) + f (x)g ′ (x); ′ f (x) f ′ (x)g(x) ? f (x)g ′ (x) (g(x) ≠ 0) . [ ] = g(x) [g(x)]2

复合函数的导数 对于两个函数 y = f (u) 和 u = g(x) ,如果通过变量 u , y 可以表示成 x 的函数,那么称 这个函数为函数 y = f (u) 和 u = g(x) 的复合函数(composite function),记作

y = f (g(x)) .
复合函数 y = f (g(x)) 的导数和函数 y = f (u) , u = g(x) 的导数间的关系为
′ = y ′ ? u′ , yx u x

′ 是 y 对 u 的导数,即 y 对 x 的导数等于 y 对 u 的导数与 u 对 x 的导数的乘积. yu

例题: 求下列函数的导数: (1)f (x) = π ;(2)f (x) = x 2 ;(3)f (x) = 解:(1)f ′ (x) = π ′ = 0; (2)f ′ (x) = (x 2 )′ = 2x ; (3)f ′ (x) = (

1 ;(4)f (x) = √x. x8

1 ) = (x?8 )′ = ?8x?9 ; x8 1 1 1 1 (4)f ′ (x) = (√x )′ = (x 2 )′ = x? 2 = . 2 2√x
求下列函数的导数:

ex . x2 解:(1)y ′ = (sin x ? cos x)′ = (sin x)′ ? (cos x)′ = cos x + sin x; (2)y ′ = (x ln x)′ = x ′ ln x + x(ln x)′ = ln x + 1 ; (e x )′ ? x 2 ? e x ? (x 2 )′ ex (x ? 2) ex ′ (3)y ′ = ( . = = ) x2 x3 x4
(1)y = sin x ? cos x (2)y = x ln x;(3)y = 求下列函数的导数: (1)y = x ? sin

x x cos ;(2)y = (2x2 + 3)(3x ? 2) . 2 2 x x 1 1 ′ 解:(1)y = (x ? sin cos )′ = (x ? sin x)′ = 1 ? cos x. 2 2 2 2 (2)y ′ = [(2x 2 + 3)(3x ? 2)] ′ = (6x3 ? 4x2 + 9x ? 6)′ = 18x2 ? 8x + 9.
求下列函数的导数: (1)y = e3x+2 ;(2)ln(2x ? 1).


解:(1)y ′ = (e3x+2 ) = e3x+2 ? (3x + 2)′ = 3e3x+2 ; (2)y ′ = (ln(2x ? 1))′ =

1 2 . ? (2x ? 1)′ = 2x ? 1 2x ? 1

2.利用导数求函数的切线方程 描述: 利用导数求函数的切线方程 步骤一:求出函数 y = f (x) 在点 x0 处的导数 f ′ (x0 ) ; 步骤二:根据直线方程的点斜式,得到切线方程为 y ? f (x0 ) = f ′ (x0 )(x ? x0 ). 例题: 求曲线 y = ex + 1 在 (0, 2) 处的切线方程. 解:因为 y = ex + 1,所以 y ′ = ex ,故曲线 y = ex + 1在 (0, 2)处的切线斜率为

k = e0 = 1,
所以曲线 y = ex + 1 在点 (0, 2) 处的切线方程为

y = x + 2.
求与曲线 f (x) = x 4 相切且斜率为 4 的切线方程. 解:设切点坐标为 (x 0 , y 0 ),因为 f ′ (x) = 4x3 ,所以该切线的斜率为

. f ′ (x0 ) = 4x3 0
由 4x 3 = 4,得 x0 = 1,则 0

= 1, y 0 = x4 0
即切点的坐标为 (1, 1).所以所求切线的方程为

y = 4x ? 3.
已知曲线 y = 方程.

1 3 8 x 上一点 P (2, ),求:(1)在点 P 处的切线方程;(2)过点 P 的切线 3 3 1 3 x ,所以y ′ = x2 ,所以 3 y ′ | x=2 = 2 2 = 4.

解:(1)因为 y =

所以在点 P 处的切线的斜率等于 4 .所以在点 P 处的切线方程是

y?


8 = 4(x ? 2), 3

12x ? 3y ? 16 = 0.
(2)设切点为 (x 0 , y 0 ),则由(1)知切线的斜率 k = x2 ,切线方程为 y ? y 0 = x2 (x ? x 0 ) . 0 0 又切线过点 P (2,

8 1 ) 且 (x0 , y 0 ) 在曲线 y = x3 上,所以 3 3 ? ? 8 ? y = x2 (2 ? x0 ), 0 0 ?3 1 ? ? y = x3 , ? 0 3 0 ? 3x2 + 4 = 0, x3 0 0

整理得



(x0 ? 2)2 (x0 + 1) = 0.
所以 x 0 = 2 或 x 0 = ?1 . 当 x 0 = 2 时,y 0 =

8 ,切线斜率 k = 4,切线方程为 12x ? 3y ? 16 = 0 ; 3 1 当 x 0 = ?1 时,y 0 = ? ,切线斜率 k = 1,切线方程为 3x ? 3y + 2 = 0 . 3
已知函数 f (x) = ex (ax + b) ? x 2 ? 4x,曲线 y = f (x) 在点 (0, f (0)) 处的切线方程为 y = 4x + 4,求 a ,b 的值. 解:求导得

f ′ (x) = ex (ax + a + b) ? 2x ? 4,

因为切线 y = 4x + 4 过点 (0, 4) 且斜率为 4 ,所以

f (0) = 4, f ′ (0) = 4,


f (0) = b = 4, f ′ (0) = a + b ? 4 = 4,
解得a = 4,b = 4 .

四、课后作业

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1. f (x) = x2 ? x + 3,则 f ′ (1) = ( A.5
答案: C

)
C.1 D.0

B.4

2. 设 f (x) = x ln x ,若 f ′ (x 0 ) = 2 ,则 x0 = ( A.e2
答案: B 解析:

)
C.

B.e

ln 2 2

D.ln 2

f ′ (x) = 1 + ln x , 1 + ln x0 = 2 ? x0 = e . )

3. 曲线 y = e?2x + 1 在点 (0, 2) 处的切线与直线 y = 0 和 y = x 围成的三角形的面积为 ( A.

1 3

B.

1 2

C.

2 3

D.1

答案: A 解析:

∵ y ′ = ?2e?2x ,∴曲线 y = e?2x + 1 在点 (0, 2) 处的切线的斜率 k = ?2 ,故切线方程是 y = ?2x + 2 .在直角坐标系中作出示意图得围成的三角形的三个顶点分别为 (0, 0) 、 (1, 0) 、 2 2 ( , ). 3 3 1 2 1 ∴三角形的面积是 S = × 1 × = . 2 3 3

4. 如图,修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连续(相切),已知环湖弯曲路段为某三次 函数图象的一部分,则该函数的解析式为 (

).

1 3 1 x ? x2 ? x 2 2 1 3 C.y = x ? x 4
A.y =

1 3 1 x + x2 ? 3x 2 2 1 3 1 D.y = x + x 2 ? 2x 4 2
B.y =

答案: A 解析: 这个三次函数满足四个条件,过

数值为 3 .

(0, 0) , (2, 0) 点,在 x = 0 处导数值为 ?1 ,在 x = 2 处的导

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