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2.5简单的幂函数(北师大版教案)


汉中市龙岗学校高二年级

5
教学目标:

简单的幂函数

1.了解指数是整数的幂函数的概念; 2.学会利用定义证明简单函数的奇偶性,了解用函数的奇偶性画函数 图象和研究函数的方法; 3.培养学生从特殊归纳出一般的意识,培养学生利用图像研究函数 奇偶性的能力。

重点难点:
1.教学重点:幂函数的概念,奇偶函数的概念 . 2.教学难点:幂函数图像性质,研究函数奇偶性。

教学过程:
一、情景引入 (1)如果张红买了每千克 1 元的蔬菜 x 千克,那么她需要支付 y ? x (2)如果正方形的边长为 x ,那么正方形的面积 y ? x 2 (3)如果立方体的边长为 x ,那么立方体的体积 y ? x3 (4)如果正方形的面积为 x ,那么正方形的边长 y ?

x

(5)如果某人 x 秒内骑车行进 1 千米那么他骑车的平均速度 y ? 以上问题中的函数有什么共同特征?

1 x

y?x

y?x

2

y?x

3

y ? x (y ? x )

1 2

y?

1 ( y ? x ?1 ) x

答:底数是自变量 x,只是指数不同. 二、知识探究

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1、 幂函数的定义: 如果一个函数, 底数是自变量 x ,指数是常量,即 y ? x?( ? 是常数),这样的函数叫幂函数. 具体特点:①底数是自变量 ②指数是常量 ③ x? 的系数是 1 判一判:判断下列函数是否为幂函数.
(1) y ? axm (2) y ? x ? x2 (3)y ? xn (4) y ? ( x ? 2)5
2 ( 5y ) ? x2

( 6y )?

1 x2

仅(3)⑹是幂函数
2、画出函数 y ? x3 的图像,讨论其图像特征(单调性、对称性等) 解:列表:
x
y

? ?

?2

?1 ?1

?

?8

1 2 1 ? 8

0 0

1 2 1 8

1 1

2

? ?

8

描点连线:

图像特征:
⑴单调性: 在 R 上是增加的 ⑵对称性: 函数图像关于原点对称
3 并且对任意 x, f ? ? x ? ? ? ? x ? ? ? x3 ? ? f ? x ?

y o x

即 f ? ?x ? ? ? f ? x ? ,像这样的函数叫作奇函数 奇函数的特点:

⑴定义域关于原点对称 ⑵对于定义域中的任意的 x,都有 f ? ?x ? ? ? f ? x ?
3、观察函数 f ? x ? ? x2 ,讨论图像特征 函数图像关于 y 轴对称,并且对任意 x,
f ? ? x ? ? ? ? x ? ? x2 ? f ? x ?
2

y
1 -1 o 1 -1

x

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即 f ? ?x ? ? f ? x ? ,像这样的函数叫作偶函数 偶函数的特点:

⑴定义域关于原点对称 ⑵对于定义域中的任意的 x,都有 f ? ?x? ? f ? x ?
注:①如果函数 y ? f ( x) 是奇函数或偶函数,我们就说函数 y ? f ( x) 具有奇偶性;
②根据奇偶性可将函数分为四类:奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、既 不是奇函数也不是偶函数; ③注意: “任意” 、 “都有”等关键词,奇偶性是函数的整体性 ④奇函数的图像关于原点对称,偶函数的图像关于 y 轴对称; ⑤奇、偶函数的定义域关于“0”对称.如果一个函数的定义域不关于“0”对称, 则该函数既不是奇函数也不是偶函数;

三、典型例题 例 2 判断 f ? x ? ? ?2x5 和 g ( x) ? x4 ? 2 的奇偶性. 四、课堂训练 1、画出下列函数的图像,判断其奇偶性.
(1)y ? ? 3 x

( 2)? y

2

x ? , x? ( 3, 3 ] )? (3 y

2

? x

y 3 ( 4)?

2? ( x2 ? 1)

1

2、判断 ⑴函数 y ? f ( x) 在定义域 R 上是奇函数,且在 ? ??, 0? 上是增加的的,则 f ( x) 在
? ?0, ?? ? 上也是增加的.

(正确)

⑵函数 y ? f ( x) 在定义域 R 上是偶函数 , 且在 ? ??, 0? 上是减少的 ,则 f ( x) 在
? ?0, ?? ? 上也是减少的.

(错误) , f (?a) = , f (?a) = . .

3、⑴已知奇函数 f ( x) , 则 f (a) ? b ⑵已知偶函数 f ( x) , 则 f (a) ? b

4、二次函数 f ? x ? ? (m ?1) x2 ? 2mx ? 3 是偶函数,则 f ? x ? 在 ? ??, 0? 上是

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5 、 设 f ( x) 为 定 义 在 R 上 的 偶 函 数 , 且 f ( x) 在 ? ?0, ?? ? 上 是 增 加 的 , 则
f (?2), f (3), f (?4) 由小到大的排列顺序为

五、小结 1.几种简单幂函数的图像及性质. 2.判断函数奇偶性的方法: (1)图像法 图像关于原点对称 图像关于 y 轴对称 (2)解析法
f ?? x ? ? ? f? ?x f ? ?x ? ? f ? x ?
y ? f ( x) 是奇函数. y ? f ( x) 是偶函数.

y ? f ( x) 为奇函数 y ? f ( x) 为偶函数

六、补充 1、常见幂函数图像(右图) 2、总结幂函数性质 ⑴所有的幂函数在 ? 0, ??? 都有定义,
0

并且图象都过点 ?1,1? (原因: 1x ? 1) ; ⑵ a ? 0 时,幂函数的图象都通过原 点,且在 ? ?0, ?? ? 上,是增函数(从左往右 看,函数图象逐渐上升). ⑶ a ? 0 时,幂函数的图象在区间 ? ?0, ?? ? 上是减函数. 在第一家限内, 当 x 向原点靠近时, 图象在 y 轴的右方无限逼近 y 轴正半轴, 当 x 慢慢地变大时,图象在 x 轴上方并无限逼近 x 轴的正半轴.


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