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调和点列的性质与一类竞赛题的证明


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数学通讯 一 2 0 0 9年 第 6期( 下半月)  

4 3  

调 和 点 列 的 性 质 与 一 类 竞 赛 题 的 证 明 
沈文选  
( 湖南师 大数学 系, 4 1 0 0 8 1 )  

肖登 鹏  

( 湖南师大 附o e , 4 1 0 0 8 1 )  

设 A、 B、 C 、 D 是共线 的四点, 若 满 足 条 件 

( ( *) 处用 到等 比定 理 , 同加与 同减 )   推论 1   一 圆的 直径被 另一 圆周调 和分割 的  充要 条件是 , 这个 圆周 与 过 两分 割 点 的 任何 圆 周  相 交成直 角 .   事实上 , 如图 2 , 0 0 的半 径 的平 方 O C 2 , 等  于点 O 对 o 01 ( o01 过 A、 B两点 ) 的幂 O A?  
OB .  

A 面 C=  


则 称 A、 C、 B、 D为调和点 列, 亦 称 线 

段A B被 C 、 D 调 和分 割 , 或线 段 C D 被A 、 B 调和  分割 . 若从 共 点 直 线 外 一 点 P 引射 线 P A, P C,  

P B, P D, 则称 P A, P C, P B, P D为调和线束. 为了   证明一类竞赛题 , 我们先介绍调和点列 的几条结 
论:  

定理 1   设 A、 C、 B、 D 共线, 从 共 线直 线外 


点 P 引射线 P A, P C, P B, P D, 则 A、 C、 B、 D 为 

调和点列的充要条件是, 当P C平分 A P B时, 有 
LC P D =9 0 。 .  



充 分性 . 当P C  

平 分  A P B, 且  C P D   =9 0 。 时, 如图 1 , 则 知 
P D 是  A P B 的外 角 的 
‘  

图  2  

平分线 , 由角的内、 外角 
平分 线 的性质 , 知 
^ ,、 

推论 2 设点 C是AA E F的内心 , 角平分线  A C交边E F于点 B, 射线 A B交z X A E F的外接圆 
图  1  

=  

于点 0, 则射线 A B上的点D 为AA E F的旁心的 

嚣= D A 9 B , 即 c 、 D 调 和 分 割 A B .  
必要性 . 当 C、 D 调 和分割 A B, 且 P C平分  A P B时, 过点 C作 P D 的平行线交射线 P B于 

充 要 条 件 是  : 器.  
事实上 , 若 D为 AA E F 的旁心, 则 由定理 1  

知, 三角形的角平分线被其 内心和相应的旁心调  和分割. 于是有西 AC=  


点E, 交射线 P A 于点 F, 则 I   P F D C= 面 A C, 面 E C= 面 C B
.  

显然 c、 E、 D, F ̄ N J ,  

而面 AC=面 A D 即  =面 C B 从而 F C=C E. 于是 当  
, ,

且 圆心为 O.  

尸 C平 分L A P B, 则 P C_ L E F. 所以 P C上 P D, 即 
C PD =9 0 。 .  
:  

曲 定理 2的 证 明 知 ,  
OB ‘  

=  

=  

=  

定理 2   设 A、 C 、 B、 D共线 , 则 A、 C、 B、 D  

为调和点列 的充要条件是, 从线段 C D 的中点 0   起, 截同向线段 O A及O B, 使这线段的一半长为 
比例 中项 , 即 OC2 =O A? O B.  

反之 , 若有面 A C=  


则 可用 同一 法 , 推 证得 

点 D为AA E F的旁心.   推论 3   AA E F的角平分线 A B交E F于点 
B, 交 AA E F 的 外 接 圆 于 点 0, 则 O E   =O F   :   定理 3   完 全 四边 形一 条对 角线被其 他 两条 



如图 2 , 因 0为C D 中点 , 知 0 C=O D.  

A 、 c 、 B 、 D 为 调 和 点 列 ∞  = A 面 D 筒 粉

    OA ?0B .

:   0C+ oB 一 20C  =   2 0B 甘 … 0c = 。   OA ?OB. ‘  

对角 线调 和分割 .  

数学通讯 一 2 0 0 9 年第 6期( 下半月)   此 结 论 的 证 明 可 参 

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由对角线 调和 分割 性质 ( 即定 理 3 ) , 知A H 被 G、  

见[ 1 ] . 如图 3 , A D、 B F、  
C E 为 完 全 四 边 形  A BC D E F 的三 条 对 角 线 ,   则 点 M 、N 调 和 分 割 

f  
N  E   G 

F调和 分 割 , 从 而知 B A、 B H、 B G、 B F 为 调 和线 
束. 而 B D上 B E, 故 B F 平 分  AB P 的外 角 , 即  B F是  P B C的平 分线 .   ( 2)由 ( 1 ) 的结 论 及 题 设 条 件 , 可求得 t a n  
,  

A D, 若B F与 C E不平行 ,  

C 

LP C B=   6 +4 6


则 设 它们 所 在 直 线 相 交 
于点 G, 有 M、 G 调 和 分 
图  3  

( 过程 略 )  

例2   ( 1 9 9 6年全 国 高 中联 赛题 )如 图 6 , 圆  0l 和 圆 02 与/ X AB C 的三边 所 在 的 三条 直线 都 

割B F, 点 N、 G调和分割 C E. 若B F与 C E平行 ,   则可看作直线 B F与直线 C E相交于无穷远点G,  
这时, 也有 上述结论 .   定理 4   从 圆 外 一点 A 引圆 的割 线 交 圆于 

相切, E、 F 、 G、 H 为切点 , 并且 E G、 刚 的延 长线  交 于点 P. 求证: 直线 P A 与B C垂直 .  
, ,  

C 、 D, 若割线 A C D 与点 A 的切点弦交于点 B, 则 
弦C D 被 A、 B 调和分 割 .  
证  如 图 4 , 设 圆 心 

  |

,   |   ;  
\  

为 O, 过 A 作 oO 的 切  线A P, A Q. 切 点为 P、 Q,   则P Q 为点 A 的切点 弦 ,   连结 A O交 P Q 于 点 L,  
连结 L C, L D, 0C, 0 D,   则 由 AC? A D = AQ  =  
AL? AO, 知 C、 L、 0、 D 
图  6   E B   D  C  F  



  .

证 截线 

设直线 P A交 B C 于 点 D. 对/ X A B D 及  , 对/ X A D C及 截 线 P G E 分 别 应用 梅 涅 

劳斯 定理 . 有 
图 4  
AH 鳗 .   :1 -   … AG — C E  HB F D P A  ‘ _ PA GC E D ‘  


四点共 圆. 从 而  A L C=  
CD0 =   0C D  =  



由切线 性质 , 有B F=F i B, 晒 =C , C, 有 
OL D, 即 知  为/ X L C D 的 内角  C L D 的外 


分平分线. 又P Q_ l _ A L, 则知 L B平分AC L D. 故 
由定理 1 知, C D 被 A、 B调 和分割 .   下面 , 我们运 用上述 结论 , 给 出一类 竞赛 题 的 
另证 .  

AH A G H n ED A G  F D — ED ’   DF —A H ‘  













连 结

0l G, 02 H, 由

R t/ x AC , O1∽ 

R t △ A H 。 : , 知  =   髫 , 连 结 O l E , 0 2 F , 则  
AG
=  


例 1   ( 2 0 0 6年 

连结 0 1 D, 02 D, 贝 J l 在R t △0l E D与 

中国 西 部 地 区数 学 奥 
林 匹克 题 )如 图 5 , 在 
△P B C 中,   P B C=  

R t / x O   F D中, 有面 E D=  

. 

于是 , R t A O1 E D c  ̄ R t AO 2 F D, 即有  01 D E  
=  

6 0 。 , 过点 P 作 / x P B C  
的外接圆 o0 的切线 ,  
图   5  

02 D C, 从 而 直线 D F 为 / x O l D O2的  01 1 3 0 2 的外角平分线.  
设直线 0 l 0 2 与直线 E F 交 于 点 Q( 或无 穷 

与 C B 的延长线 交 于 
点A. 点 D、 E 分别在 线段 P A 和 o0 上 , 使 得  D B E=9 0 。 , P D=P E, 连结 B E与P C相 交于 点  F. 已知 A F、 B P、 C D 三线 共点 .   ( 1 ) 求证 : B F是  P B C 的角 平分线 ;  

远点 Q) , 从 而点 A、 Q 调 和分割 O 1 O 2 , 即I ) 0 1 、  

I X )  D A、 D Q为调和线束 , 于是知 D A上P Q, 故 
P A上B C.  

( 2 ) 求t a n AP C B的值.   解 ( 1 )设 A F、 B P 、 C D 三 线 共 点 于 H, 设  A H与B D交于点G. 在完全四边形 A B C f t P D中,  

例3   ( 1 9 9 7年 C M O 试 题 )如 图 7 , 四边 形 

A B C D内接于圆 O, 其边 A B、 D C的延 长线交 于  点P, A D和B C的延长线交于点 Q, 过 Q作该圆  

?

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数学通讯 一 2 0 0 9 年 第 6期 ( 下半月)  

4 5  

的两 条切 线 , 切 点 分别 为 E, F. 求证 : P、 E、 F 三 
点共 线 .   证 连结 AC、 B D 交 
于点 G, 连结 P C , 并延长,  

等于边 B C上的旁切圆半径 
例 5   ( 2 0 0 5年 全 

国高 中联 赛题 )如 图 9 ,   在 △AB C 中, 设 A B> , 、   A C . 过 点 A 作 AA B C的  外 接 圆 的切 线 1 . 又以 A   为圆 心 , AC为 半 径 作 圆   分 别 交 线段 A B 于 点 D,   交 直 线 z于 点 E、 F. 证 
图 9  

分别 交 A D、 BC 于点 M 、  
N. 对 △AP D 及点 G 应 用 

塞 瓦定理 , 并对/ X AP D 及  截线 QC B 应 用 梅 涅 劳 斯 

定理 , 分 别有 
.  .  一

1  

明: 直线 D E、 D F分别通 
图 7  

BP C D M A

“ 

过AA B C的内心与一个旁心.   证 作  B A C的平分 线, 交 D E于 , 易知 
/ , , ADI C O / x AC I . 所 以 

堂 .   .  

:1  
=   , 即点 M 、 Q 调 和 

B P  C D  Q A  ‘ 。  

上述 两式 相除得  分割A D.  

L AC I =   1( 1 8 0 。 一ZB AC —L A BC) :  1  
L AC B.  

连结 E F与A D交于 M  , 则 知 M  为 点 Q 的  切点 弦上 的点 , 由定理 4 , 亦 即知 M   , Q 调 和分 割 
AD .  

从 而  为 AA B C的 内心 .   设射线 A j 交B C于 M , 交 AA B C 的外 接 圆   于 A1 , 交直线 F D 于  . 连 C I A , 则 知 ZD I A A=  
A  C.  

于是点 M  与 M 重合 , 即知点 M 在直线E F  
上.  

同理 , 点 N 在直线 E F上 , 从而直 线 P C , 与  E F重 合 . 故 P、 E、 F 三点 共线  例 4   ( 1 9 9 8年 高 中   联 赛题 ) 如图 8 , 0、  分别  是 AA B C 的外 心、 内 心,   A D 是边 B C 上 的高 , ,在  线段 O D上, 求证 : / X A B C   的外 接 圆 半 径 等 于边 B C   上的旁 切圆半径 .  
I ●  

延长 C B 到 P, 使 P B =B A, 则  A P C=  


{   B .  

注意到 告 (  A +   B+   C) =9 0 。 =  
F D A+  A D E=( 寺  A+  D I A A) +  I C A  


( 1 zA + ̄ AI A C) +  

c,  

从而 
: 1   l  

C ={ B= ZA P C , 于是, A 、 P 、  
=LA C P=  A Al B,  

证  设 

为 旁 心,  
一 、 

, A 、 C 四点 共 圆 , 有 

A  交 B C 于点 E, 交 o 0 

图  8  

即有 B A。 ∥  , 亦即有 

=  

=  

= 而 A I
. 

于点 M , 则 M 为B C的 中  

由定理 2 的推论 2 , 知  是边B C外的旁心.  
例 6   ( 《 中   等数 学》 2 0 0 8年 
:  
.  

平行线性质 ’ 有A D =面   O M( *)
,  

4期 数 学 奥 林 匹 

由定理 2 的推论 2 , 有  =砀 I a M  


即有j   =  

克 问题 高 2 2 2 )  B  如图 1 0 , A D 为  AA B C的 内角平 

D  C 

… 

: : : : : : : : :  
G  

M 旦 E   = 瓣 A I + I E=   A E . 从而   = I j A   I A M +   J A E  ”   F J 4 M ’ ,  


图  1 O  

亦 即  A D=   I A F  


分线,  A D C=6 0 。 , 点 M 在A D 上, 满足 D M=  
注意到 ( *) 式 及 MI=  


D B, 射线 B M、 C M 交 AC 、 AB于点 E、 F. 证明:  
DF上E F.  

I a M .  

故 O M =r   F. 即△A B C 的 外 接 圆 半 释 OM  



在 AB 上取 AS=AC, 连 S M, DS, 则由  

4 6  

数 学通 讯 一 2 0 0 9年 第 6期 ( 下半月)  

? 课 外 园地 .  

A D 平分  B A C知 , / ' , A S D与/ ' , A C D 关 于A D对 
称, 即有 
BDS=6 0 。 .  

例8   ( 1 9 9 9年 高 中联 赛题 ) 如图 l 2 , 在四  
边形 A B C D中, 对 角线 AC平 分LB AD, 在C D 上 

=   MD C=   ADC=6 0 。 , 亦 即 

取一点 E, B E与A C交于点F, 延长 D F交B C于 
G. 求证 :  G A C=  E A C.  
证   当 AB =  

又 由 D M =D B,知  D S B =   DS M :  
劂 .  

于是  F C B+   AC B=   DC M+   AC B:  
DS B+   AS D=1 8 0 。 .  

A D 时,四 边 形 

A B E D 是筝形 , 结论 
/  

从而 s i n LF C B=s m .   AC B.  
FC B 南 旦 :— s i n  ̄_


成立.   笪 :  
当 AB≠ A D  P   ⅣS  

F C   s i n ZF BC  s i n  ̄_ A BC   AC 。 一 DC ’  



s i n z 2 A C B

知F D 平分  脚、 C .   设 直线 F E 与直线 B C相交 于点 G( 因角 平分  线A D交B C成 6 0 。 角, 必 相交 ) , 则 由完 全 四边形  对角线 调和分割 的性 质 , 知 D、 G 调 和分割 B C, 即   B、 C 、 D、 G 为调和点 列 , 亦即F B、 F C、 F D、 F G为 

时, 过 A作 A C 的 
垂线 与 四 、 ④ 的 

延长线分别交于点 M、 N.   由Lt t 4 C =L1 3  ̄ _ C , 可证 1 3 N、  
A C上 .  

的交点 H 在 

调和线束. 而F D平分 B F C, 则 由定理 1 知D F  
EF .  

在 AB N E与 ̄ " D MG 中 , 因B N与D M 的交  点为 H , B E与D G 的交 点为 F, N E 与 MG 的交点  为 C, 且 C、 F、 H 共线 , 则 由戴沙 格定理 的逆 定理  知B D、 MN、 E G三 线共点 , 设 该点为 P.   设 E G与 F C 交 于 点 Q, 在 完 全 四 边 形  C E D F B G中, P、 Q 调 和分 割 E G. 从而 A P、 A Q、  

例7   ( 2 0 0 7年 国 家 队 选拔 赛 题 )如 图 1 1 ,  
/ 、  

已知 A B 是 o0 的 弦 , M 是 弧  的 中 点 , C 是 

o0外任一点, 过点 C作④0 的切线 C S 、 C T, 连  结 MS 、 MT分别交A B于点 E、 F . 过点 E、 F作 
A B 的垂线 , 分别交 0 5 l 、 O T 于点 X、 y . 再 过点 C   任作 oO 的割 线 , 交 O O 于 点 P、 Q, 连结 MP交 

A E、 A G为调和线束 , 而 


上AQ, 故A Q平分 

E AG. 于是  G AC=/E AC.  

设B N 与A C交于点 H, 只要证 D、 H、 M 

A B于点R, 设 Z是△P Q 尺的外心. 求证 : x、 y 、 z  
三点共线 .   证 连 结相 应 线 

三点 共线 即可 .   连D H, H M, 作B T _ l _ A M 于M 交H M 于 K,   作D S _ l _ N A 于S , 交N H 于 L.   由 A C- l _ MN 及 A C 平 分  B A D, 易 知 
△AS DC o AAT B, 有 

段如 图, 则 0 M 上 

A B.  丽 E X   f } O M.  
即 有  1 5   =   OMS=/XS E, 亦  即X E =XS, 于是 以 

等 B   T = T 坠 A  
又电 D S   } C A   } B T. 奄 
DL

①  
② 

X 为 圆心 , 以 Ⅻ 为  半 径 作 OX, 则 oX  

D5  C A=   BT  
=  

D5

与OO相切于点S .  

图  1 l  

由定理 2的推 论 3 , 有 ME? MS:MA  =MR  
? 
. 

而   器= 嚣   ③   由 ① , ② , ③ 得丽 D L = 器, 而 L I B . . D =  
I - 1 B K, 则 △  ∽ △  .   从而  L I - 1 D=  B N N. 故 D、 H、 K 共线 , 即 

设( 三 ) X 和/  ̄ P Q R 的外 接 圆 半 径 分 别 为 R 1 ,  

R , , 则由圆幂定理, 有X M  :ME   MS+R { =  

M R . M P +R } , X C 2 = C S   + R } , Z Mz : MR ? MP   + R ; , Z C   = C P ? O Q+ R ; =C S   + R i ,  
从而 X l '  ̄2 ~XC   =MR? MP—C S 。 =Z I V I z —  

D、 H、 M 共线 .  
参考文献 :   [ 1 ] 沈文选 . 完全 四边形的一条性质及应用 [ J ] . 中  
学数学 , 2 0 O 6 ( 1 ) : 4 4 —4 5 .   ( 收稿 日期 : 2 0 0 9 —0 2 —1 9 )  

Z C   , 即知 Z X上MC.  

同理 , Z Y上MC . 故 X、 y 、 Z三点共 线 .  


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