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山东省菏泽市2015届高三数学上学期期末考试试题 文


菏泽市 2015 届高三上学期期末考试 高三数学试卷(文)
本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分. 试卷总分为 150 分. 考试时间 120 分钟. 第Ⅰ卷(选择题 共 50 分) 注意事项: 1.答第Ⅰ卷前,考生务必将自己的姓名、考号、考试科目、试卷类型用 2B 铅笔涂写在答题卡上。 2.每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干

净后,再 选涂其他答案,不能答在试题卷上。 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是符合 题目要求的. 1? i z? i (i 是虚数单位)在复平面内对应的点在( 1.复数 ) A. 第一象限 B.第二象 限 C.第三象限 2 f ( x) ? lg( ? a) 1? x 2.设 是奇函数,则使 f ( x) ? 0 的 x 的取值 ( ). 5 ( ? 1, 0) A. B.(0,1) C. (??, 0) D. (??, 0) ? (1, ??) 3.一个几何体的三视图及其尺寸(单位:cm)如图所示,则 该几何体的侧面积为( )cm2. A.50 B.60 C.70 D.80
2 .31 , ? l2 o0g c, ? 4.三个数 a ? 0.31 b 0.31

D.第四象限 范 围 是 5 8 5 8 5
侧(左)视图

正(主)视图

2

之间的大小关系是 C . a?b?c

8
俯视图





A. a ? c ? b D. b ? c ? a

B. b ? a ? c

(第 3 题图)

5.设 m,n 为空间两条不同的直线,? , ? 为空间两个不同的平 面,给出 下列命题: ①若 m / /? , m / / ? ,则 ? / / ? ; ②若 m / /? , m / / n 则 n / /? ; ③若 m ? ? , m / / ? ,则 ? ? ? ; ④若 m ? ? , ? / / ? ,则 m ? ? . 其中的正确命题序号是( ) A.③④ B.②④ C.①② D. ①③ 6. 等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 S2=10,S6=36,则过点 P(n,an)和 Q (n+2,an+2) (n∈N*)的直线的斜率是 ( ) 1 1 A. 4 B. 2 C.2 D.4 ? ? ( , 0) ? ? f ( x ) ? sin(2 x ? ? ) ? 3 cos(2 x ? ? ) 2 )的图像关于点 6 7.函数 ( 对称,则 f ( x) 的增区间( ) 5? ? ?? ? ? ? ? ? 3 ? k? , 6 ? k? ? , k ? Z ?? 6 ? k? , 3 ? k? ? , k ? Z ? ? A. ? B. ?

? ? 7? ? ?? 12 ? k? , ? 12 ? k? ? , k ? Z ? C. ?
?x ? 1 ? ?x ? y ? 4 ? 0 ?x ? y ? 0 ?

5? ? ? ? ?? 12 ? k? , 12 ? k? ? , k ? Z ? D. ?
y ,则 x 的最大值为 4 C. 3

8.若变量 x , y 满足约束条件 A.2
2

(

) D.5

B.3

9.过抛物线 C: x ? 2 y 的焦点 F 的直线 l 交抛物线 C 于 A、B 两点,若抛物线 C 在点 B 处的切线斜率为 1,
-1-

则线段 | AF |? ( A. 1

) B. 2 C. 3 D. 4

? ? 10. 已知定义在实数集 R 上的函数 f ( x) 满足 f (1) =3,且 f ( x) 的导数 f ( x) 在 R 上恒有 f ( x) ? 2 ( x ? R) ,则不

等式 f ( x) ? 2 x ? 1 的解集为( A.
(1, ??)

) C. ( ?1,1) D. ( ??, ?1) ∪ (1, ??)

B.

( ??, ?1)

第Ⅱ卷(非选择题 共 100 分) 二、填空题: (本大题有 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案填在答题卷的相应位置.) 11.执行如右图所示的程序框图,若输入的 x 的值为 10, 则输出的 x ? . 12.已知抛物线的准线方程为 x ? ?1 ,则抛物线的 标准方程为 .
2 13 已知函数 在 ( 2,4) 上单调递增, 则 a 的取值范围 . 14 已知球与棱长均为 3 的三棱锥各条棱都相切, 则该球的表面积为 . 15 在三角形 ABC 中,已知 AB=4,AC=3 ,BC=6 , P 为 BC 中点,则三角形 ABP 的周长为_______.

y ? log (ax ?1)

三、解答题: (本大题共 6 小题,满分 75 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.)

0 ?? ? ? ? 0, 2 )图象如图,P 是图象 16. (本题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? A sin(?x ? ? ) ( x ?R, A ? 0 , 第 11 题图 y 的最高点, Q 为图象与 x 轴的交点, O 为原点. 且 | OQ |? 2 ,
5 13 | PQ |? 2 , 2 . (1)求函数 y ? f ( x) 的解析式; (2)将函数 y ? f ( x) 图象向右平移 1 个单位后得到函数 y ? g ( x) 的图象, 当 x ? [0, 2] 时, 求函数 h( x) ? f ( x) ? g ( x) 大值. | OP |?

?

P

O

Q
(第 16 题)

x

的 最

17. (本小题满分 12 分)如图,四棱锥 P ? ABCD 的底面 ABCD 为 ⊥底面 ABCD,E,F 分别是 AC,PB 的中点. (1)求证:EF∥平面 PCD; (2)求证:平面 PBD⊥平面 PAC;

正方形, PA

18. (本小题满分 12 分) 为预防一种强行流感病毒爆发,某生物技术公司研制出一种病毒 疫苗, 为测 试该疫苗的有效性(若疫苗有效的概率小于 90%,则认为测试没有通过) ,公司选定 2000 个样本分成三组, 测试结果如下表: 分组 A组 B组 C组 疫苗有效 673

a

b

c 77 90 疫苗无效 已知在全体样本中随机抽取 1 个,抽到 B 组疫苗有效的概率是 0.33. (1)现用分层抽样的方法在全体样本中抽取 360 个测试结果,应在 C 组抽取样本多少个?
(2)已知 b ? 465, c ? 30, 求通过测试的概率.
-2-

19. (本小题满分 12 分)
n 已知等比数列{an}的前 n 项和 Sn ? 2 ? a, n ? N * .设公差不为零的等差数列{bn}满足:

b1 ? a1 ? 2, (b4 ? 5)2 ? (b2 ? 5)(b8 ? 5)

.

(1)求 a 及 bn; (2)设数列
{log
2

an }

的前 n 项和为 Tn.求使 Tn>bn 的最小正整数 n 的值.

20. (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? sin x ? ax , g ( x) ? bx cos x (a ? R, b ? R) , 1 a? 2 时,求函数 f ( x) 在区间 (0, ? ) 上的单调性; (1)当 2 a? a ? 2 b 3 ,当 x ? 0 时,证明 f ( x) ? g ( x) . (2)若 且

x2 ? y2 ? 1 2 21. (本小题满分 14 分)如图,F1,F2 是椭圆 C: 的左、右焦点,A,B 是椭圆 C 上的两个动点, y

1 且线段 AB 的中点 M 在直线 l :x=- 2 上.

B A F1 M O F2 x

(1)若 B 点坐标为(0,1),求点 M 的坐 标; ???? ? ???? ? (2)求 F2 A ? F2 B 的取值范围.

x=- 1 2 (第 21 题图)

-3-

高三数学文试题(B)参考答案 选择题 题号 答案 1 D 2 A
2

3 D

4 B

5 A

6 B

7 C

8 B

9 A

10 A

填空题 11.4

12. y ? 4 x

?1 ,??) ? 2 ? 13.

9 ? 14. 2
?

14 15. 7+ 2
1

5, 2 | OP || OQ | 16.解(Ⅰ)由余弦定理得 2 1 sin ?POQ ? ( , 1) 5 ,得 P 点坐标为 2 ∴ . ………………………………2 分 2? 1 ? ? 4(2 ? ) ? 6 ? ? 2 3. ∴ A ?1, ? ,

cos ?POQ ?

| OP | 2 ? | OQ | 2 ? | PQ | 2

1 ? ? ? f ( ) ? sin( ? ? ) ? 1 0 ? ? ? ?? 6 2得 3. 由 2 ,
∴ y ? f ( x) 的解析式为 (Ⅱ)

g ( x) ? sin

?

f ( x) ? sin( x ? ) 3 3 . …………………………….6 分

?

?

x 3 ,

? ? ? 1 ? 3 ? ? h( x) ? f ( x) ? g ( x) ? sin( x ? ) sin x ? sin 2 x ? sin x cos x 3 3 3 2 3 2 3 3 2? 1 ? cos x 3 ? 3 sin 2? x ? 1 sin(2? x ? ? ) ? 1 ? 4 4 3 2 3 6 4 …… ………………………9 分.

x ? [0, 2]

2? ? ? 7? x ? ? [? , ] 6 6 6 , 时, 3

2? ? ? 3 x? ? hmax ( x) ? x ? 1 3 6 2 4 . ……………………………..12 分 ∴ 当 ,即 时
17. (1)证明:

?四边形ABCD为正方形,且 E为AC的中点 ? E也是BD的中点 又 ? F为PB的中点

( 2)证明:? PA ? 底面ABCD

? EF为?PBD的中位线 ? EF // PD ? PA ? BD 又 ? EF ? 平面PCD 又 ?四边形ABCD为正方形 PD ? 平面PCD ? AC ? BD ? EF // 平面PCD.......... .......... .......... .......... .......... .....6分 ? BD ? 平面PAC

BD ? 平面 a PBD

a ? 660 2000 平面 PBD ? 平面,∴ PAC.......... .......... .......... .......... .......... .......... ....12分……1 分 18、 【解】 ( I)∵ …………………………………………… b ? c ? 2000 ? 673 ? 77 ? 660 ? 90 ? 500 ∵ ,………………………………………………2 分
500 ? 90 2000 ∴ 应在 C 组 抽取样个数是 (个) ;………………………………………4 分 b ? c ? 500 b ? 465 c ? 30 (II)∵ , , , c b ∴( , )的可能性是(465,35) , (466,34) , (467,33) , (468,32) , 360 ?
-4-

? 0.33

(469,31) , (470,30) ,共 6 种.

若测试通过,则 673 ? a ? b ? 2000 ? 90% ? 1800 ,解得 b ? 467 , ( b , c )的可能性是(467,33) , (468,32) , (469,31) , (470,30) ,共 4 种……10 分

……………………………………………………7 分

4 2 ? 通过测试的概率是 6 3 . …………………………………………………………………12 分
19、解:(Ⅰ) 当 n=1 时,a1=S1=2-a.……………………1 分 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=2n-1. 所以 1=2-a,得 a =1, 所以 an=2n-1. ……………………………… ……………….3 分 设数列{bn}的公差为 d,由 b1=3,(b4+5)2=(b2+5)(b8+5),得 (8+3d)2=(8+d)(8+7d), 故 d=0 (舍去) 或 d=8. 所以 a=1,bn=8n-5,n∈N*.………………………….6 分 (Ⅱ) 由 an=2n-1,知 =2(n-1). 所以 Tn=n(n-1).………………………………………8 分 由 bn=8n-5,Tn>bn,得 n2-9n+5>0,……………………………………………10 分 因为 n∈N*,所以 n≥9. 所以,所求的 n 的最小值为 9. ………………………12 分 20.(本小题 13 分)
an

f ( x) ? sin x ?
解:(1) 且 x ? (0, ? ) ,

1 1 x, f ?( x) ? cos x ? 2 则 2 …………………………….. 2 分

? ? 当 0 < x < 3 时, f ( x) ? 0 ,所以函数 f ( x ) 在区间 (0, ? ) 上单调递增 ……4 分 ? 2? ? 当 3 < x < 3 时, f ( x) ? 0 ,所以函数 f ( x ) 在区 间 (0, ? ) 上单调递减 ……6 分 (2) 要证明 f ( x) ? g ( x) ,只须证明 f ( x) ? g ( x) ? 0
当 a ? 2b 时,

f ( x) ? g ( x) ? sin x ?

a x(2 ? cos x) ? 0 2

……………7 分

sin x a ? x 等价于 2 ? cos x 2 ………………………… ………………………9 分 sin x a ? x M ( x ) ? 2 ? cos x 2 ,则 记 ……………………………………………10 分 2 cos x ? 1 a 1 1 a 1 ? ? ?3( ? )2 ? ? M ?( x) ? (2 ? cos x) 2 2 2 ? cos x 3 2 3 ………………11 分 2 a 1 ? 3 ,即 2 3 时, M ?( x) ? 0 , M ( x) 在区间上 (0, ??) 单调递减, 当 M ( x) ? M (0) ? 0 所以,当 x ? 0 , f ( x) ? g ( x) 恒成立. …………………………………13 分 a?
21.(Ⅰ) 因为点 M 是 AB 的中点,所以可设点 A (?1, m) .

2 2 x2 m?? m? ? y2 ? 1 2 或 2 , 代入椭圆方程 2 ,得
A F1

y B M O F2 x -5x=- 1 2

2 2 ) ( ?1, ) 2 或 2 ,所以 M 点坐标为 则 A 点坐标为 1 2? 2 1 2? 2 (? , ) (? , ) 2 4 4 或 2 .………………4 分 (?1, ?
1 (Ⅱ) 当直线 AB 垂直于 x 轴时,直线 AB 方程为 x=- 2 ,此时 ???? ? ???? ? 11 F2 A ? F2 B = 8 . , , , ,5 分 1 当直线 AB 不垂直于 x 轴时,设直线 AB 的斜率为 k,M(- 2 ,m) (m≠0),A(x1,y1),B(x2,y2).
? x12 ? y12 ? 1, ? ?2 ? 2 ? x2 ? y 2 ? 1, 2 ? 由 ? 2 得 y ? y2 ? 1 x ? x2 (x1+x2)+2(y1+y2) 1 =0 ,
则 -1+4mk=0, 故

1 k= 4m .
此时,直线 AB 的方程为

1 1 y-m= 4m (x+ 2 ),


8m 2 ? 1 1 y= 4m x+ 8m .

? x2 ? y 2 ? 1, ? ?2 ? 2 ? y ? 1 x ? 8m ? 1 , ? 4m 8m 联立 ? 消去 y,整理得 2 2 (8m ? 1) ? 64m2 4(1 ? 8m2 ) x2+x+ =0,………………………8 分
(8m 2 ? 1) 2 ? 64m 2 7 2 1 ? 8m 故 Δ=1- >0,即 0<m2< 8 ,……………9 分 所以 (8m2 ? 1)2 ? 64m2 4(1 ? 8m2 ) x1+x2=-1, x1x2= . 于是 ???? ? ???? ? F2 A ? F2 B =(x1-1)(x2-1)+y1y2
=x1x2+y1y2-(x1+x2)+1 =x1x2+y1y2+2 8m 2 ? 1 1 8m 2 ? 1 1 =x1x2+( 4m x1+ 8m )( 4m x2+ 8m )+2
-6-

3(8m 2 ? 1) 2 ? 8 8(1 ? 8m 2 ) .…………………12 分 = 令 t=1+8m2,则 1<t<8,于是 2 ???? ? ???? ? 3t ? 8 F2 A ? F2 B = 8t

1 8 = 8 (3t+ t ).
6 25 ???? ? ???? ? F A ? F B 2 2 的取值范围为[ 所以, 2 , 8 )………………………14 分

-7-


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