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2014年全国高考文科数学试题分类汇编5 不等式


2014 年全国高考文科数学试题分类汇编 5 不等式
E1 不等式的概念与性质 5. ,[2014· 山东卷] 已知实数 x,y 满足 ax<ay(0<a<1),则下列关系式恒成立的是( A.x3>y3 B.sin x>sin y C.ln(x2+1)>ln(y2+1) 1 1 D. 2 > 2 x +1 y +1 5.A [解

析] 因为 ax<ay(0<a<1),所以 x>y,所以 x3>y3 恒成立.故选 A. 5.[2014· 四川卷] 若 a>b>0,c<d<0,则一定有( ) a b a b A. > B. < d c d c a b a b C. > D. < c d c d 1 1 1 1 5.B [解析] 因为 c<d<0,所以 < <0,即- >- >0,与 a>b>0 对应相乘得, d c d c a b - >- >0, d c a b 所以 < ,故选 B. d c E2 绝对值不等式的解法 9. 、[2014· 安徽卷] 若函数 f(x)=|x+1|+|2x+a|的最小值为 3,则实数 a 的值为( A.5 或 8 B.-1 或 5 C.-1 或-4 D.-4 或 8 9.D [解析] 当 a≥2 时, )

)

? ?x+a-1?-a≤x≤-1?, ? 2 ? f(x)=? a? ? ?-3x-a-1? ?x<-2?.

3x+a+1(x>-1),

a? a a 由图可知,当 x=- 时,fmin(x)=f? ?-2?=2-1=3,可得 a=8. 2 x>- ?, 3x+a+1? ? 2? ? ? a? 当 a<2 时,f(x)? -x-a+1? ?-1≤x≤-2?, ? ?-3x-a-1(x<-1). a

a? -a a 由图可知,当 x=- 时,fmin(x)=f? ?-2?= 2 +1=3,可得 a=-4.综上可知,a 的值为 2 -4 或 8.

? ?cos π x,x∈? ?0,2?, 10.[2014· 辽宁卷] 已知 f(x)为偶函数,当 x≥0 时,f(x)=? 则不 1 ? ? ?2x-1,x∈?2,+∞?,
等式 1 f(x-1)≤ 的解集为( ) 2 1 2? ?4 7? A.? ?4,3?∪?3,4? 3 1 1 2 - ,- ?∪? , ? B.? 3? ?4 3? ? 4 1 3 ? ?4 7? C.? ?3,4?∪?3,4? 3 1? ?1 3? D.? ?-4,-3?∪?3,4? 1? 1 1 10.A [解析] 由题可知,当 x∈? ?0,2?时,函数 f(x)单调递减,由 cos π x≤2,得3≤ 1 1 1 1 3 1 ? 函数 f(x)单调递增, x≤ ; 当 x∈? 由 2x-1≤ , 得 <x≤ .故当 x≥0 时, 由 f(x)≤ , ?2,+∞?时, 2 2 2 4 2 3 1 1 3 1 3 1 ? ? ? 得 ≤x≤ .又因为 f(x)为偶函数,所以 f(x)≤ 的解解集为? ?-4,-3?∪?3,4?,所以不等式 3 4 2 1 2? ?4 7? 1 3 1 1 3 f(x-1)≤ 的解满足- ≤x-1≤- 或 ≤x-1≤ ,解得 x∈? ?4,3?∪?3,4?. 2 4 3 3 4
? ?x(x+2)>0, 3. 、[2014· 全国卷] 不等式组? 的解集为( ?|x|<1 ?

1

)

A.{x|-2<x<-1} B.{x|-1<x<0} C.{x|0<x<1} D.{x|x>1}
?x(x+2)>0, ? ?x>0或x<-2, ? 3.C [解析] 由? 得? 即 0<x<1. ?|x|<1, ?-1<x<1, ? ?

E3

一元二次不等式的解法 )

? ?x(x+2)>0, 3. 、[2014· 全国卷] 不等式组? 的解集为( ?|x|<1 ?

A.{x|-2<x<-1} B.{x|-1<x<0} C.{x|0<x<1} D.{x|x>1}

?x(x+2)>0, ? ?x>0或x<-2, ? 3.C [解析] 由? 得? 即 0<x<1. ? ? ?|x|<1, ?-1<x<1,

E4 E5

简单的一元高次不等式的解法 简单的线性规划问题

x+y-2≥0, ? ? 13.[2014· 安徽卷] 不等式组?x+2y-4≤0,表示的平面区域的面积为________. ? ?x+3y-2≥0 13.4 [解析] 不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示,S△ABD=S△ABD+S△BCD 1 = ×2×(2+2)=4. 2

y≤1, ? ? 13.[2014· 北京卷] 若 x,y 满足?x-y-1≤0,则 z= 3x+y 的最小值为________. ? ?x+y-1≥0, 13.1 [解析] 可行域如图,当目标函数线 z=y+ 3x 过可行域内 A 点时,z 有最小值,
?y=1, ? 联立? 得 A(0,1),故 zmin= 3×0+1×1=1. ?x+y-1=0, ?

x+y-7≤0, ? ? 11. ,[2014· 福建卷] 已知圆 C:(x-a)2+(y-b)2=1,平面区域Ω :?x-y+3≥0,若圆 ? ?y≥0. 心 C∈Ω ,且圆 C 与 x 轴相切,则 a2+b2 的最大值为( A.5 B.29 C.37 D.49 )

x+y-7≤0, ? ? 11.C [解析] 作出不等式组?x-y+3≥0,表示的平面区域Ω (如下图阴影部分所示, ? ?y≥0 含边界),圆 C:(x-a)2+(y-b)2=1 的圆心坐标为(a,b),半径为 1.由圆 C 与 x 轴相切,得
? ?x+y-7=0, ? ?x=6, b=1.解方程组? 得? 即直线 x+y-7=0 与直线 y=1 的交点坐标为(6, 1), ?y=1, ?y=1, ? ?

设此点为 P. 又点 C∈Ω ,则当点 C 与 P 重合时,a 取得最大值, 所以,a2+b2 的最大值为 62+12=37,故选 C.

x+2y≤8, ? ? 4. [2014· 广东卷] 若变量 x, y 满足约束条件?0≤x≤4, 则 z=2x+y 的最大值等于( ? ?0≤y≤3,

)

A.7 B.8 C.10 D.11 4.D [解析] 作出不等式组所表示的平面区域,如图中阴影部分所示.作出直线 l:2x +y=0,平移该直线,当直线经过点 A(4,3)时,直线 l 的截距最大,此时 z=zx+y 取得最 大值,最大值是 11 .

x+y≤4, ? ? 4.[2014· 湖北卷] 若变量 x,y 满足约束条件?x-y≤2, 则 2x+y 的最大值是( ? ?x≥0,y≥0, A.2 B.4 C.7 D.8 x+y≤4, ? ? 4.C [解析] 作出约束条件?x-y≤2, 表示的可行域如下图阴影部分所示. ? ?x≥0,y≥0

)

设 z=2x+y,平移直线 2x+y=0,易知在直线 x+y=4 与直线 x-y=2 的交点 A(3,1) 处,z=2x+y 取得最大值 7. 故选 C. ?y≤x, 13 . [2014· 湖南卷 ] 若变量 x , y 满足约束条件 ?x+y≤4,则 z = 2x + y 的最大值为

?

? ?y≥1,

________. 13.7 [解析] 依题意,画出可行域,如图所示. ? ?x+y=4, 由? 得点 B 的坐标为(3,1),则 z=2x+y 在 B(3,1)处取得最大值 7. ?y=1 ?

2x+y-2≥0, ? ? 14.[2014· 辽宁卷] 已知 x,y 满足约束条件?x-2y+4≥0,则目标函数 z=3x+4y 的最 ? ?3x-y-3≤0, 大值为________. 3 [解析] 不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示,由 z=3x+4y 得 y=- x 4 ? ? ?x-2y+4=0, ?x=2, z + ,当直线经过点 C 时, z 取得最大值.由? 得? 故 C 点坐标为(2,3), 4 ?3x-y-3=0, ? ?y=3, ? 这时 z=3×2+4×3=18. 14.18

x-y≥0, ? ? 15. [2014· 全国卷] 设 x, y 满足约束条件?x+2y≤3,则 z=x+4y 的最大值为________. ? ?x-2y≤1, 15.5 [解析] 如图所示,满足约束条件的可行域为△ABC 的内部(包括边界),z=x+ 1 1 1 1 4y 的最大值即为直线 y=- x+ z 的截距最大时 z 的值.结合题意知,当 y=- x+ z 经过 4 4 4 4

点 A 时,z 取得最大值,联立 x-y=0 和 x+2y=3,可得点 A 的坐标为(1,1),所以 zmax=1 +4=5.

x+y-1≥0, ? ? 9.[2014· 新课标全国卷Ⅱ] 设 x,y 满足约束条件?x-y-1≤0, 则 z=x+2y 的最大值 ? ?x-3y+3≥0, 为( ) A.8 B.7 C.2 D.1 9.B [解析] 作出约束条件表示的可行域(略),可知该可行域为一三角形区域,当目标 函数通过可行域的一个顶点(3,2)时,目标函数取得最大值,zmax=3+2×2=7.
? ?x+y≥a, 11.[2014· 全国新课标卷Ⅰ] 设 x,y 满足约束条件? 且 z=x+ay 的最小值为 ?x-y≤-1, ?

7,则 a=( ) A.-5 B.3 C.-5 或 3 D.5 或-3 11.B [解析] 当 a<0 时,作出相应的可行域,可知目标函数 z=x+ay 不存在最小值.

1 当 a≥0 时,作出可行域如图,易知当- >-1,即 a>1 时,目标函数在 A 点取得最 a 小值.由 A? a-1 a2+a a-1 a+1? ,知 zmin= + =7,解得 a=3 或-5(舍去). , 2 2 2 ? ? 2

?x-y-1≤0, ? 10. [2014· 山东卷] 已知 x, y 满足约束条件? 当目标函数 z=ax+by(a>0, ? ?2x-y-3≥0,

b>0)在该约束条件下取到最小值 2 5时,a2+b2 的最小值为( A.5 B.4

)

C. 5 D.2 10.B [解析] 画出关于 x,y 的不等式组表示的可行域,如图阴影部分所示.

显然当目标函数 z=ax+by 过点 A(2,1)时,目标函数 z=ax+by 取得最小值,即 2 5= 2a+b,所以 2 5-2a=b,所以 a2+b2=a2+(2 5-2a)2=5a2-8 5a+20.构造函数 m(a)= 4 5 5a2-8 5a+20(0<a< 5),显然当 a= 时,函数 m(a)取得最小值 4.故 a2+b2 的最小值为 5 4. 6. 、[2014· 四川卷] 执行如图 12 的程序框图,如果输入的 x,y∈R,那么输出的 S 的 最大值为( )

图 12 A.0 B.1 C.2 D.3 x+y≤1, ? ? 6.C [解析] 题中程序输出的是在?x≥0, 的条件下 S=2x+y 的最大值与 1 中较大 ? ?y≥0 的数.结合图像可得,当 x=1,y=0 时,S=2x+y 取最大值 2,2>1,故选 C. ?x+y-2≥0, 2. [2014· 天津卷] 设变量 x, y 满足约束条件?x-y-2≤0,则目标函数 z=x+2y 的最小

?

? ?y≥1,

值为( ) A.2 B.3 C.4 D.5 2.B [解析] 作出可行域,如图中阴影部分所示.

?x+y-2=0, ?x=1, ? ? 联立? 解得? 可得点 A (1,1). ?y=1, ?y=1, ? ? 当目标函数线过可行域内 A 点时,目标函数有最小值 z=1×1+2×1=3.

x+2y-4≤0, ? ? 12.[2014· 浙江卷] 若实数 x,y 满足?x-y-1≤0, 则 x+y 的取值范围是________. ? ?x≥1, 12.[1,3] [解析] 实数 x,y 满足的可行域如图中阴影部分(包括边界)所示,图中 A(1, 3? 0),B(2,1),C? ?1,2?.令 z=x+y,则 y=-x+z.当直线 y=-x+z 经过 A 点时,z 取最小值 1;经过 B 点时,z 取最大值 3.故 x+y 的取值范围是[1,3].

E6

基本不等式 ab ?

a?b 2

9. 、[2014· 重庆卷] 若 log4(3a+4b)=log2 ab,则 a+b 的最小值是( ) A.6+2 3 B.7+2 3 C.6+4 3 D.7+4 3 4 3 9.D [解析] 由 log4(3a+4b)=log2 ab,得 3a+4b=ab,则 + =1,所以 a+b=(a a b 4 3 4b 3a 4b 3a 4b 3a ? +b)? · =7+4 3, 当且仅当 = , 即 a=4+2 3, ?a+b?=7+ a + b ≥7+2 a b a b b=2 3+3 时等号成立,故其最小值是 7+4 3. 16.[2014· 湖北卷] 某项研究表明:在考虑行车安全的情况下,某路段车流量 F(单位时 间内经过测量点的车辆数, 单位: 辆/小时)与车流速度 v(假设车辆以相同速度 v 行驶, 单位: 76 000v 米/秒)、平均车长 l(单位:米)的值有关,其公式为 F= 2 . v +18v+20l (1)如果不限定车型,l=6.05,则最大车流量为________辆/小时; (2)如果限定车型,l=5,则最大车流量比(1)中的最大车流量增加________辆/小时. 16.(1)1900 (2)100 [解析] (1)依题意知,l>0,v>0,所以当 l=6.05 时, 76 000v 76 000 76 000 F= 2 = ≤ =1900, 当且仅当 v=11 时, 取等号. 121 v +18v+121 121 v+ v +18 2 v· v +18

76 000 ≤2000, 100 v+ v +18 当且仅当 v=10 时,取等号,此时比(1)中的最大车流量增加 100 辆/小时. 14. 、[2014· 江苏卷] 若△ABC 的内角满足 sin A+ 2sin B=2sin C,则 cos C 的最小值是 ______. 14. 6- 2 4 [解析] 设△ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,则由正弦定

(2)当 l=5 时, 76 000v F= 2 = v +18v+100

理得 a+ 2b=2c.故 a +b -c = 2ab
2 2 2

a2+b2-?

cos C = 2

2 ?a+ 2b? ? ? 2 ?

2ab

3 2 1 2 2 3 2 1 2 a + b - ab a+ b 4 2 2 4 2 2 = = - ≥ 2ab 2ab 4

3 2 1 2 a· b 4 2 6- 2 2 - = , 2ab 4 4

a 2 当且仅当 3a2=2b2,即 = 时等号成立. b 3 16.[2014· 辽宁卷] 对于 c>0,当非零实数 a,b 满足 4a2-2ab+b2-c=0 且使|2a+b| 1 2 4 最大时, + + 的最小值为________. a b c 16 . - 1 [ 解 析 ] 因 为 4a2 - 2ab + b2 - c = 0 , 所 以 (2a + b)2 - c = 6ab = (2a+b)2 3×2ab≤3× ,所以(2a+b)2≤4c,当且仅当 b=2a,c=4a2 时,|2a+b|取得最大 4 1 ?2 1 2 4 2 1 +1 -1,其最小值为-1. 值.故 + + = + 2=? a b c a a ?a ? x2 y2 21. , ,[2014· 山东卷] 在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的离心率为 a b 3 4 10 ,直线 y=x 被椭圆 C 截得的线段长为 . 2 5 (1)求椭圆 C 的方程. (2)过原点的直线与椭圆 C 交于 A, B 两点(A, B 不是椭圆 C 的顶点). 点 D 在椭圆 C 上, 且 AD⊥AB,直线 BD 与 x 轴、y 轴分别交于 M,N 两点. (i)设直线 BD,AM 的斜率分别为 k1,k2,证明存在常数 λ 使得 k1=λk2,并求出λ 的 值; (ii)求△OMN 面积的最大值. a2-b2 3 21.解:(1)由题意知, = ,可得 a2=4b2. a 2 椭圆 C 的方程可简化为 x2+4y2=a2. 将 y=x 代入可得 x=± 因此 2× 5a . 5

2 5a 4 10 = ,即 a=2,所以 b=1, 5 5

x2 2 所以椭圆 C 的方程为 +y =1. 4 (2)(i)设 A(x1,y1)(x1y1≠0),D(x2,y2),则 B(-x1,-y1).

y1 因为直线 AB 的斜率 kAB= ,且 AB⊥AD, x1 x1 所以直线 AD 的斜率 k=- . y1 设直线 AD 的方程为 y=kx+m, 由题意知 k≠0,m≠0. y=kx+m, ? ?2 由?x 消去 y,得(1+4k2)x2+8mkx+4m2-4=0, 2 + y = 1 , ?4 ? 8mk 所以 x1+x2=- , 1+4k2 因此 y1+y2=k(x1+x2)+2m= 由题意知 x1≠-x2, y1+y2 1 y1 所以 k1= =- = . 4 k 4x1 x1+x2 所以直线 BD 的方程为 y+y1= y1 (x+x1). 4x1 2m . 1+4k2

令 y=0,得 x=3x1,即 M(3x1,0). y1 可得 k2=- . 2x1 1 1 所以 k1=- k2,即 λ=- . 2 2 1 因此,存在常数 λ=- 使得结论成立. 2 y1 (ii)直线 BD 的方程 y+y1= (x+x1), 4x1 3 ? 3 令 x=0,得 y=- y1,即 N? ?0,-4y1?. 4 由(i)知 M(3x1,0), 1 3 所以△OMN 的面积 S= ×3|x1|× |y1|= 2 4 9 |x ||y |. 8 1 1
2 x1 |x1| 2 因为|x1||y1|≤ +y2 =|y1|= 时,等号成立, 1=1,当且仅当 4 2 2

9 此时 S 取得最大值 , 8 9 所以△OMN 面积的最大值为 . 8 E7 不等式的证明方法 20. 、 、 [2014· 天津卷] 已知 q 和 n 均为给定的大于 1 的自然数, 设集合 M={0, 1, 2, …, - q-1},集合 A={x|x=x1+x2q+…+xnqn 1,xi∈M,i=1,2,…,n}. (1)当 q=2,n=3 时,用列举法表示集合 A.

(2)设 s,t∈A,s=a1+a2q+…+anqn 1,t=b1+b2q+…+bnqn 1,其中 ai,bi∈M,i=1, 2,…,n.证明:若 an<bn,则 s<t. 20.解:(1)当 q=2,n=3 时,M={0,1},A={x|x=x1+x2·2+x3·22,xi∈M,i=1, 2,3},可得 A={0,1,2,3,4,5,6,7}. - - (2)证明:由 s,t∈A,s=a1+a2q+…+anqn 1,t=b1+b2q+…+bnqn 1,ai,bi∈M,i =1,2,…,n 及 an<bn,可得 - - s-t=(a1-b1)+(a2-b2)q+…+(an-1-bn-1)qn 2+(an-bn)qn 1 - ≤(q-1)+(q-1)q+…+(q-1)q n-2-qn 1 n-1 (q-1)(1-q ) n-1 = -q 1-q =-1<0, 所以 s<t.
- -

E8 不等式的综合应用 16.[2014· 浙江卷] 已知实数 a,b,c 满足 a+b+c=0,a2+b2+c2=1,则 a 的最大值 是________. 16. 6 3 [解析] 方法一:令 b=x,c=y,则 x+y=-a,x2+y2=1-a2,此时直线 x+y |a| 2 ≤ 1-a2,解得 a2≤ ,所以 3 2

=-a 与圆 x2+y2=1-a2 有交点,则圆心到直线的距离 d= a 的最大值为 6 . 3

方法二:将 c=-(a+b)代入 a2+b2+c2=1 得 2b2+2ab+2a2-1=0,此关于 b 的方程 2 6 有实数解,则 Δ=(2a)2-8(2a2-1)≥0,整理得到 a2≤ ,所以 a 的最大值为 . 3 3 9. 、[2014· 安徽卷] 若函数 f(x)=|x+1|+|2x+a|的最小值为 3,则实数 a 的值为( A.5 或 8 B.-1 或 5 C.-1 或-4 D.-4 或 8 9.D [解析] 当 a≥2 时, )

? ?x+a-1?-a≤x≤-1?, ? 2 ? f(x)=? a? ? ?-3x-a-1? ?x<-2?.

3x+a+1(x>-1),

a? a a 由图可知,当 x=- 时,fmin(x)=f? ?-2?=2-1=3,可得 a=8. 2

x>- ?, 3x+a+1? ? 2? ? ? a? 当 a<2 时,f(x)? -x-a+1? ?-1≤x≤-2?, ? ?-3x-a-1(x<-1).

a

a -a a - ?= +1=3,可得 a=-4.综上可知,a 的值为 由图可知,当 x=- 时,fmin(x)=f? ? 2? 2 2 -4 或 8. 9.[2014· 福建卷] 要制作一个容积为 4 m3,高为 1 m 的无盖长方体容器.已知该容器 的底面造价是每平方米 20 元,侧面造价是每平方米 10 元,则该容器的最低总造价是( ) A.80 元 B.120 元 C.160 元 D.240 元 9.C [解析] 设底面矩形的一边长为 x.由容器的容积为 4 m3,高为 1 m.得另一边长 4 为 m. x 记容器的总造价为 y 元,则 4 x+ ?×1×10 y=4×20+2? ? x? 4? =80+20? ? x+ x ? ≥80+20×2 =160, 4 当且仅当 x= ,即 x=2 时等号成立. x 因此,当 x=2 时,y 取得最小值 160,即容器的最低总造价为 160 元,故选 C. - 19. 、 、 、[2014· 江苏卷] 已知函数 f(x)=ex+e x,其中 e 是自然对数的底数. (1)证明:f(x)是 R 上的偶函数. - (2)若关于 x 的不等式 mf(x)≤e x +m-1 在(0,+∞)上恒成立,求实数 m 的取值范围. - 3 (3)已知正数 a 满足:存在 x0∈[1,+∞),使得 f(x0)<a(-x0 +3x0)成立.试比较 ea 1 与 - ae 1 的大小,并证明你的结论. - - 19.解: (1)证明:因为对任意 x∈R,都有 f(-x)=e x+e -(-x)=e x+ex=f(x), 所以 f(x)是 R 上的偶函数. - - (2)由条件知 m(ex+e x-1)≤e x-1 在(0,+∞)上恒成立. t-1 令 t=ex(x>0),则 t>1,所以 m≤- 2 = t -t+1 x· 4 x



1 对任意 t>1 成立. 1 t-1+ + 1 t-1 1 1 1 (t-1)· +1=3, 所以 - ≥- , 1 3 t - 1 t-1+ + 1 t-1

1 因为 t-1+ + 1≥2 t-1

当且仅当 t=2, 即 x = ln 2 时等号成立. 1? 因此实数 m 的取值范围是? ?-∞,-3?. 1 1 (3)令函数 g(x)=ex+ x- a(-x3+3x),则 g′ (x) =ex- x+3a(x2-1). e e 1 当 x≥1 时,ex- x>0,x2-1≥0.又 a>0,故 g′(x)>0,所以 g(x)是[1,+∞)上的单调 e 递增函数, 因此 g(x)在[1,+∞)上的最小值是 g(1)= e+e 1-2a. 由于存在 x0∈[1, +∞), 使 ex0+e-x0-a(-x3 0+ 3x0 )<0 成立,当且仅当最小值 g(1)<0,


e+e 1 - 故 e+e 1-2a<0, 即 a> . 2


e-1 令函数 h(x) = x -(e-1)ln x-1,则 h′(x)=1- . 令 h′(x)=0, 得 x=e-1. x 当 x∈(0,e-1)时,h′(x)<0,故 h(x)是(0,e-1)上的单调递减函数; 当 x∈(e-1,+∞)时,h′(x)>0,故 h(x)是(e-1,+∞)上的单调递增函数. 所以 h(x)在(0,+∞)上的最小值是 h(e-1). 注意到 h(1)=h(e)=0,所以当 x∈(1,e-1)?(0,e-1)时,h(e-1)≤h(x)<h(1)=0; 当 x∈(e-1,e)?(e-1,+∞)时, h(x)<h(e)=0. 所以 h(x)<0 对任意的 x∈(1,e)成立. 故①当 a∈? e+e 1 ? ? 2 ,e??(1,e)时, h(a)<0,
- - -

即 a-1<(e-1)ln a,从而 ea 1<ae 1; - - ②当 a=e 时,ea 1=ae 1; - - ③当 a∈(e,+∞)?(e-1,+∞)时,h(a)>h(e)=0,即 a-1>(e-1)ln a,故 ea 1>ae 1. 综上所述,当 a∈?
- -

e+e 1 ? a-1 e -1 a-1 e-1 ? 2 ,e?时,e <a ;当 a=e 时,e =a ;当 a∈(e,+∞)


时,ea 1>ae 1. 12. 、[2014· 辽宁卷] 当 x∈[-2,1]时,不等式 ax3-x2+4x+3≥0 恒成立,则实数 a 的 取值范围是( ) 9? A.[-5,-3] B.? ?-6,-8? C.[-6,-2] D.[-4,-3] x2-4x-3 x2-4x-3 12.C [解析] 当-2≤x<0 时,不等式可转化为 a≤ ,令 f(x)= (- 3 x x3 2≤x<0),则 -x2+8x+9 -(x-9)(x+1) f′(x)= = ,故函数 f(x)在[-2, -1]上单调递减,在(- x4 x4 1+4-3 1,0)上单调递增,此时有 a≤fmin(x)=f(-1)= =-2. -1

当 x=0 时,不等式恒成立. x2-4x-3 当 0<x≤1 时,a≥ , x3 x2-4x-3 令 g(x)= (0<x≤1), x3 -x2+8x+9 则 g′(x) = ,故函数 g(x)在 (0,1]上单调递增,此时有 a≥ gmax(x) = g(1)= x4 1-4-3 =-6. 1 综上,-6≤a≤-2. m 21. 、 、[2014· 陕西卷] 设函数 f(x)=ln x+ ,m∈R. x (1)当 m=e(e 为自然对数的底数)时,求 f(x)的极小值; x (2)讨论函数 g(x)=f′(x)- 零点的个数; 3 f(b)-f(a) (3)若对任意 b>a>0, <1 恒成立,求 m 的取值范围. b-a x-e e 21.解:(1)由题设,当 m=e 时,f(x)=ln x+ ,则 f′(x)= 2 , x x ∴当 x∈(0,e)时,f′(x)<0,f(x)在(0,e)上单调递减; 当 x∈(e,+∞)时,f′(x)>0,f(x)在(e,+∞)上单调递增. e ∴x=e 时,f(x)取得极小值 f(e)=ln e+ =2, e ∴f(x)的极小值为 2. x 1 m x (2)由题设 g(x)=f′(x)- = - 2- (x>0), 3 x x 3 1 令 g(x)=0,得 m=- x3+x(x>0), 3 1 设 φ(x)=- x3+x(x≥0), 3 则 φ′(x)=-x2+1=-(x-1)(x+1), 当 x∈(0,1)时,φ′(x)>0,φ(x)在(0,1)上单调递增; 当 x∈(1,+∞)时,φ′(x)<0,φ(x)在(1,+∞)上单调递减. ∴x=1 是 φ(x)的唯一极值点,且是极大值点,因此 x=1 也是 φ(x)的最大值点, 2 ∴φ (x)的最大值为 φ(1)= . 3 又 φ(0)=0,结合 y=φ(x)的图像(如图所示),可知

2 ①当 m > 时,函数 g(x)无零点; 3

2 ②当 m= 时,函数 g(x)有且只有一个零点; 3 2 ③当 0<m< 时,函数 g(x)有两个零点; 3 ④当 m≤0 时,函数 g(x)有且只有一个零点. 2 综上所述,当 m> 时,函数 g(x)无零点; 3 2 当 m= 或 m≤0 时,函数 g(x)有且只有一个零点; 3 2 当 0<m< 时,函数 g(x)有两个零点. 3 f(b)-f(a) (3)对任意的 b>a>0, <1 恒成立, b-a 等价于 f(b)-b<f(a)-a 恒成立.(*) m 设 h(x)=f(x)-x=ln x+ -x(x>0), x ∴(*)等价于 h(x)在(0,+∞)上单调递减. 1 m 由 h′(x)= - 2-1≤0 在(0,+∞)上恒成立, x x 1 2 1 x- ? + (x>0)恒成立, 得 m≥-x2+x=-? ? 2? 4 1 1 1 对m= ,h′(x)=0仅在x= 时成立?, ∴m≥ ? 4 2 ? 4? 1 ? ∴m 的取值范围是? ?4,+∞?.


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