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高二数学(1[1].4全称量词与存在量词)(实用)


1.4

全称量词与存在量词

问题提出 1.对于命题p、q,命题p∧q,p∨q, ﹁p的含义分别如何?这些命题与p、q的 真假关系如何?
p∧q:用联结词“且”把命题p和命题q联结 起来得到的命题,当且仅当p、q都是真命题 时,p∧q为真命题. p∨q:用联结词“或”把命题p和命题q联结 起来得到的命题,当且仅当p、q都是假命

题 时,p∨q为假命题. ﹁p:命题p的否定,p与﹁p的真假相反.

2.在我们的生活和学习中,常遇到 这样的命题: (1)所有中国公民的合法权利都受到中 华人民共和国宪法的保护; (2)对任意实数x,都有x2≥0; (3)存在有理数x,使x2-2=0; . 对于这类命题,我们将从理论上进行 深层次的认识.

探究(一):全称量词的含义和表示

思考1:下列各组语句是命题吗?两者有 什么关系? ( 1 ) x> 3 ; 对所有的x∈R,x>3. (2)2x+1是整数; 对任意一个x∈Z,2x+1是整数. (3)方程x2+2x+a=0有实根; 任给a<0,方程x2+2x+a=0有实根.

思考2:短语“所有的”“任意一个” “任给”等,在逻辑中通常叫做全称量 词,并用符号“ ? ”表示,你还能列举 一些常见的全称量词吗? “一切”,“每一个”,“全体”等

思考3:含有全称量词的命题叫做全称命 题,如“对所有的x∈R,x>3”,“对 任意一个x∈Z,2x+1是整数”等,你 能列举一个全称命题的实例吗? 思考4:将含有变量x的语句用p(x)、q(x) 、r(x)等表示,变量x的取值范围用M表 示,符号语言“x∈M,p(x)”所表达的数 学意义是什么? “对M中任意一个x,有p(x)成立”

思考5:下列命题是全称命题吗?其真假 如何? 假 (1)所有的素数是奇数; (2) ?x∈R,x2+1≥1; 真

(3)对每一个无理数x,x2也是无理数; 假 (4)所有的正方形都是矩形. 真

思考6:如何判定一个全称命题的真假?
元素x,都有p(x)成立;

?x∈M,p(x)为真:对集合M中每一个

个元素x0,使得p(x0)不成立.

?x∈M,p(x)为假:在集合M中存在一

探究(二):存在量词的含义和表示 思考1:下列各组语句是命题吗?二者有 什么关系? (1)2x+1=3; 存在一个x0∈R,使2x0+1=3. (2)x能被2和3整除; 至少有一个x0∈Z,x0能被2和3整除. (3)|x-1|<1; 有些x0∈R,使|x0-1|<1.

思考2:短语“存在一个”“至少有一 个”“有些”等,在逻辑中通常叫做存 在量词,并用符号“ ? ”表示,你还能 列举一些常见的存在量词吗?
?

“有一个”,“ 对某个”,“有的”等

思考3:含有存在量词的命题叫做特称命 题,如“存在一个x0∈R,使2x0+1= 3”,“至少有一个x0∈Z,x0能被2和3 整除”等,你能列举一个特称命题的实 例吗?
?

思考4:符号语言“ ?x0∈M,p(x0)”所 表达的数学意义是什么?

存在M中的元素x0,使p(x0)成立.

思考5:下列命题是特称命题吗?其真假 如何? 真 (1)有的平行四边形是菱形; 2 (2)有一个实数x0,使 x0 ? 2 x0 ? 3 ? 0 ;假 真 (3)有一个素数不是奇数; (4)存在两个相交平面垂直于同一条直 假 线; 真 (5)有些整数只有两个正因数; (6)有些实数的平方小于0. 假

理论迁移 例1 下列命题是全称命题还是特称命 题,并判断其真假. (1)任意实数的平方都是正数; 全称命题(假) (2)0乘以任何数都等于0; 全称命题(真) (3)有的老师既能教中学数学,也能 教中学物理; 特称命题(真)

(4)某些三角形的三内角都小于60°; 特称命题(假) (5)任何一个实数都有相反数. 全称命题(真)

例2 判断下列命题的真假. 2>x; ( 1) x ∈ R , x ?

真 假 真

(2)? x∈Q,x2-8=0; (3)?x∈R,x2+x+1>0;
(4)?a,b∈R, a ? b ? 2 ab



已知:对?x ? R , x ? ax ? 1 ? 0
2

?

恒成立,求a的取值范围.

变式:已知:对?x ? R , 方程 cos x ? sin x ? 3 ? a ? 0有解,
2

求a的取值范围.

2.全称命题与特称命题的含义及其一 般表示形式分别是什么? 含 义 一般表示形式

全称命题 含有全称量 词的命题 含有存在量 特称命题 词的命题

?x∈M,p(x)
?x0∈M,p(x0)

3.如何判断全称命题与特称命题的真 假? 真命题 假命题

?x∈M,
"

p(x)

对任意x∈M 存在x0∈M使 都有p(x)成立 得p(x0)不成立 存在x0∈M 对任意x∈M 使得p(x0)成立 p(x)不成立

?x0∈M,
p(x0)

探究(一):全称命题的否定

思考1:你能写出下列命题的否定吗? (1)本教室内所有学生都是男生; (2)所有的平行四边形都是矩形; (3)每一个素数都是奇数; (4) ?x∈R,x2-2x+1≥0. (1)本教室内至少有一名学生不是男生 (2)有的平行四边形不是矩形 (3)存在一个素数不是奇数 (4) ?x0∈R,x02-2x0+1<0.

思考2:从全称命题与特称命题的类型分 析,上述命题与它们的否定在形式上有 什么变化? 全称命题的否定都变成了特称命题. 思考3:一般地,对于含有一个量词的全 称命题p: ?x∈M,p(x),它的否定﹁p是 什么形式的命题 ?

p: ? x∈M,p(x) (全称命题) ﹁p: ? x0∈M,﹁p(x0)(特称命题)

探究(二):特称命题的否定

思考1:你能写出下列命题的否定吗? (1)本节课里至少有一个人在打瞌睡; (2)有些实数的绝对值是正数; (3)某些平行四边形是菱形; (4) ? x0∈R,x02+1<0; (1)本节课里所有的人都没有瞌睡; (2)所有实数的绝对值都不是正数; (3)每一个平行四边形都不是菱形; (4) ?x∈R,x2+1≥0.

思考2:从全称命题与特称命题的类型分 析,上述命题与它们的否定在形式上有 什么变化? 特称命题的否定都变成了全称命题. 思考3:一般地,对于含有一个量词的特 称命题p: ? x0∈M,p(x0),它的否定﹁p 是什么形式的命题 ? p: ?x0∈M,p(x0) (特称命题) ﹁ p: ?x∈M,﹁p(x) (全称命题)

理论迁移 例1 写出下列全称命题的否定: (1)p:所有能被3整除的整数都是奇数 (2)p:每一个四边形的四个顶点共圆 (3)p:?x∈Z,x2的个位数字不等于3.

(1)﹁p:存在一个能被3整除的整数不 是奇数; (2)﹁p:存在一个四边形,其四个顶 点不共圆; (3)﹁p:?x0∈Z,x02的个位数字等于3.

例2 写出下列特称命题的否定: (1)p: ? x0∈R,x02+2x0+2≤0; (2)p:有的三角形是等边三角形; (3)p:有一个素数含有三个正因数.
2+2x+2>0; (1)﹁p: x ∈ R , x ?

(2)﹁p:所有的三角形都不是等边三角形
(3)﹁p:每一个素数都不含三个正因数.

例3 写出下列命题的否定,并判断 其真假: (1)p:任意两个等边三角形都相似 (2)p:? x0∈R,x02+2x0+2=0;
(1)﹁p:存在两个等边三角形,它们 不相似; 假命题
2+2x+2≠0; (2)﹁p: x ∈ R , x ? 真命题

(3)p: ? a∈R,直线(2a+3)x-(3a- 4)y+a-7=0经过某定点; (4)p: ?k∈R,原点到直线kx+2y- 1=0的距离为 ? 1. (3)﹁p:? a0∈R,直线(2a0+3)x- (3a0-4)y+a0-7=0不经过该定点; 假命题 (4)﹁p: ?k∈R,原点到直线kx+2y -1=0的距离不为1. 真命题

练习: 写出下列命题的否定
(1)所有自然数的平方是正数. (2)任何实数x都是方程5x-12=0的根. (3)对任意实数x,存在实数y,使x+y >0. (4) 有些质数是奇数

全称命题、特称命题常用表述形式 同一个全称命题、特称命题,由于自然语言 的不同,可以有不同的表述方法。
命 题 全称命题
(1)所有x ? A, p( x)成立.

特称命题
(1)存在x0 ? A, 使p( x0 )成立.

表 (2)对一切x ? A, p( x)成立. (2)至少有一个x0 ? A, 使p( x0 ) 述 (3)对每一个x ? A, p( x)成立. 成立. 方 (4)任选一个x ? A, 使p( x) (3)对有些x0 ? A, 使p( x0 )成立. 法 成立. (4)对某个x0 ? A, 使p( x0 )成立.
(5)凡x ? A, 都有p( x)成立.
(5)有一个x0 ? A, 使p( x0 )成立.


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