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抛物线复习课.ppt


高中二年级数学公开课

抛物线复习课

2013年8月17日星期六

【知识回顾】 你还记得吗? ★ 抛物线定义 平面内与一个定点F和一条定直线L 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。
★ 抛物线的标准方程和几何性质
标准方程
y 2 ? 2 px( p ? 0) y 2 ? ?2 px( p

? 0)
y y
F

x 2 ? 2 py( p ? 0)
y

x 2 ? ?2 py( p ? 0)
y
o x
F

图 形

.

o

x

F

.

o

x

F

o

x

焦 准

点 线

p F ( ,0) 2 p x?? 2

F (?

p ,0) 2 p x? 2

p F (0, ) 2 p y?? 2

F (0,?

p ) 2 p y? 2

2013年8月17日星期六

【训练一】
1.抛物线
y?
m ) 4

1 2 x (m ? 0) 的焦点坐标是( A m

)。

(A)

(0,

(B) (0,?

m ) 4

(C)

(0,

1 1 ) (D) (0,? ) 4m 4m

2.坐标系中,方程 a 2 x 2 ? b 2 y 2 ? 1 ax ? by 2 ? 0(a ? b ? 0) 的曲线 与 是(D) (A)
y o x y y x y x

(B)

o

(C)

o

(D )

o

x

2013年8月17日星期六

3.动点P到直线x+4=0的距离减它到M(2,0)的距离 之差等于2,则P的轨迹是 抛物线 ,其方程为 y2=8x 。

4.过抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点作直线交抛物线于
A( x1 , y1 )、B ( x2 , y2 ) 两点,如果

AB 为 8



2013年8月17日星期六

,6 ? 2x ? 1x

那么

【例题1】
如图所示,直线L1与L2相交于M点L1⊥L2,N∈L2,以A,B为端点 的曲线段C上的任一点到L1的距离与到点N的距离相等,?AMN 为 锐角三角形,AM ? 17 , AN ? 3, BN ? 6,建立适当坐标系,求曲线C 的方程。 分析:1.如何选择适当的坐标系。 2.能否判断曲线段是何种类型曲线。 l1 B 3.如何用方程表示曲线的一部分。 A l2 M N

2013年8月17日星期六

如图所示,直线L1与L2相交于M点L1⊥L2,N∈L2,以A,B为端点 的曲线段C上的任一点到L1的距离与到点N的距离相等, AMN为 ? 锐角三角形,AM ? 17 , AN ? 3, BN ? 6 ,建立适当坐标系,求曲线C 的方程。

解法一:建立如图所示的直角坐标系,原点为O(0,0)
l1 y B
Rt?ACM , MC ? AD ? AN ? 3
AC ? 2 2, Rt?ACN中, ? 1 NC

D
l2 M O

A
C N x

MN ? 4, 则N为(2,0)
2 即抛物线方程: y ? 8 x

p ? 2得p ? 4 2

4 2 由图得, A为(1, 2) , B为( 4, 2)
y 2 ? 8 x(1 ? x ? 4, y ? 0) 曲线段C的方程为:
2013年8月17日星期六

如图所示,直线L1与L2相交于M点L1⊥L2,N∈L2,以A,B为端点 的曲线段C上的任一点到L1的距离与到点N的距离相等, AMN为 ? 锐角三角形, AM ? 17 , AN ? 3, BN ? 6,建立适当坐标系,求曲线C 的方程。

解法二: 建立如图所示的直角坐标系,原点为O(0,0)
l1 y B

设抛物线方程: y 2 ? 2 px( p ? 0)
p A(3 ? ,2 2 ) 2
8 ? 2 p (3 ? p ) 2

D
l2 M O

A
C N x

得 , p ? 2或 4
?AMN为锐角三角形, xA ? xN
p p 所以3 ? ? 得p ? 3 ;即p ? 4 2 2 y 2 ? 8 x(1 ? x ? 4, y ? 0) 曲线段C的方程为:

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y D A

B

解法三:
建立如图所示的直角坐标系, 原点为 M (0,0)
Rt?ACM中, ? AD ? AN ? 3 MC

M Q

C

N

x

AC ? 2 2, Rt?ACN中, ? 1 NC
MN ? 4, 则N为(4,0)顶点Q为(2, 0)
抛物线方程为: y 2 ? 8( x ? 2)
易得 : x A ? 3, xB ? 6

曲线段C的方程为: y 2 ? 8( x ? 2)(3 ? x ? 6, y ? 0)
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【例题2】 已知抛物线y=x2,动弦AB的长为2,求AB中点纵坐标的
最小值。

解: 设A( x , y ), B ( x y ), AB 中点 M ( x, y )
1 1 2 2

y
M A D F

B

2 MN ? AD ? BC ,
x

MN ?

p 1 ? y ? ? y, 2 4

o
N C

1 AD ? BC ? 2( ? y ) 4

AD ? AF , BC ? BF
AF ? BF ? 2( 1 ? y) 4

?ABF中, AF ? BF ? AB ? 2
2( y ? 1 3 ) ? 2, 即y ? 4 4

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【训练二】
1.已知M为抛物线 y 2 ? 4 x上一动点,F为抛物线的焦点, 定点P(3,1),则 MP ? MF 的最小值为(B) (A)3 (B)4 (C)5 (D)6
N M M

.
P

.

2.过点(0,2)与抛物线 y 2 ? 8 x只有一个公共点的直线有(C ) (A)1条 (B)2条 (C)3条 (D)无数多条

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.
F (1,0)

.
P

x?3

3.过抛物线 y ? ax ( a ? 0) 的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点,
2

1 1 2 1 若PF与FQ的长分别是 p,q则 ? 等于 (C )(A)2a (B) 2a (C)4a (D) a p q A
y y
P

F

Q

F

x

O

x

4.已知A、B是抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0)上两点,O为坐标原点,若
OA ? OB , 且?AOB 的垂心恰是此抛物线的焦点,则直线AB的方

.

B

程是:( D )

x ? p (B) x ? 3 p (C) x ? 3 p(D) x ? 5 p (A) 2 2

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【总结】
1.灵活应用抛物线的定义解决相关题目 2.建立适当的坐标系

3.不同标准方程的几何性质是易混点,性质的 应用是难点

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【思考题】
在抛物线y2=64x上求一点,使它到直线L:4x+3y+46=0的 距离最短,并求此距离。

分析: 抛物线上到直线L距离最短的点,是和此直
线平行的切线的切点。
y

解:∵

y2=64x

无实根
x

4x+3y+46=0

∴直线与抛物线相离 设与4x+3y+46=0平行且与y2=64x相切的 直线方程为y=-4/3 x+b

·

P

L
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则由

y=-4/3 x+b
y2=64x

消x化简得 y2+48y-48b=0

△=482-4×(-48b)=0
∴b=-12 ∴切线方程为:y=-4/3 x-12 解方程组 y=-4/3 x-12 y2=64x 得 x=9 y=-24

∴切点为P(9,-24)

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切点P到L的距离d=

| 4 ? 9 ? 3 ? (?24 ) ? 46 | 4 ?3
2 2

?2

∴抛物线y2=64x到直线L:4x+3y+46=0有最短距离的 点为P(9,-24),最短距离为2。

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