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高中数学 1.2.2《组合》课件 新人教A版-选修2-3


新课标人教版课件系列

《高中数学》
选修2-3

1.2.2《组合》

教学目标
? 1.理解组合的意义,掌握组合数的计算公式; ? 2.能正确认识组合与排列的联系与区别 ? 教学重点: ? 理解组合的意义,掌握组合数的计算公式

情境创设
问题一:从甲、乙、丙3

名同学中选出2名去参 加某天的一项活动,其中1名同学参加上午的 活动,1名同学参加下午的活动,有多少种不 同的选法? 2 3

A ?6

问题二:从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参 加某天一项活动,有多少种不同的选法? 甲、乙;甲、丙;乙、丙 3

问题一
从已知的3 个不同元素 中每次取出 2个元素,按 照一定的顺 序排成一列.

问题二
从已知的3个 不同元素中 每次取出2个 元素,并成一 组

有 顺 序

排列

组合

无 顺 序

概念讲解 组合定义:
一般地,从n个不同元素中取出m(m≤n) 个元素并成一组,叫做从n个不同元素中取出m 个元素的一个组合.

?
排列与组合的 概念有什么共 同点与不同点?

概念讲解
排列定义: 一般地,从n个不同元素中取出m (m≤n) 个元素,按照一定的顺序排成一列,叫做从 n 个不 同元素中取出 m 个元素的一个排列.
组合定义: 一般地,从n个不同元素中取出m(m≤n) 个元素并成一组,叫做从n个不同元素中取出m个元 素的一个组合.

共同点: 都要“从n个不同元素中任取m个元素”

不同点: 排列与元素的顺序有关, 而组合则与元素的顺序无关.

概念理解

思考一:aB与Ba是相同的排列 还 是相同的组合?为什么?

思考二:两个相同的排列有什么特点?两个相同 的组合呢?
1)元素相同;
2)元素排列顺序相同. 元素相同

思考三:组合与排列有联系吗? 构造排列分成两步完成,先取后排; 而构造组合就是其中一个步骤.

判断下列问题是组合问题还是排列问题?
(1)设集合A={a,b,c,d,e},则集合A的含有3个元素的 子集有多少个? 组合问题 (2)某铁路线上有5个车站,则这条铁路线上共需准备 多少种车票? 排列问题 有多少种不同的火车票价? 组合问题

(3)10人聚会,见面后每两人之间要握手相互问候,共 需握手多少次?? 组合问题

组合是选择的结果,排列 是选择后再排序的结果.

概念理解

1.从 a , b , c三个不同的元素中取出两个元素的所 有组合分别是: ab , ac , bc (3个) 2.已知4个元素a , b , c , d ,写出每次取出两个元 素的所有组合.

a
b c d

b
c d

c
d

ab , ac , ad , bc , bd , cd

(6个)

概念讲解

组合数
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所 有组合的个数,叫做从n个不同元素中取出m m Cn 个元素的组合数,用符号 表示.

注意: m

Cn

是一个数,应该把它与“组合”区别开来.

如:从 a , b , c三个不同的元素中取出两个元素 2 C3 ? 3 的所有组合个数是: 如:已知4个元素a 、b 、 c 、 d ,写出每次取出 2 两个元素的所有组合个数是: C4 ? 6

练一练
1.写出从a,b,c,d 四个元素中任取三个元素的所有 组合

c a b b c c

d d d

abc , abd , acd ,bcd .

组合 abc abd acd abc acb

排列 bac bca cab cba

你发现了 acd 什么?
adc
bcd bdc

abd adb

bad bda
cad cda cbd cdb

dab dba
dac dca dbc dcb

bcd

(三个元素的)1个组合,对应着6个排列

对于

A

3 4

,我们可以按照以下步骤进行
3

第一步, C 4 ( ? 4)个;

第二步, A3 ( ? 6)个;
3

根据分步计数原理, A4

3

?C?A
3 4

3 3 .

A 从而C ? P ? C ? AP
3 4 3
4

3

43 34 33
3

概念讲解

组合数公式

排列与组合是有区别的,但它们又有联系. 一般地,求从n个不同元素中取出m个元素的 排列数,可以分为以下2步: 第1步,先求出从这n个不同元素中取出m个 m 元素的组合数 C. n
m An . 第2步,求每一个组合中m个元素的全排列数
m m m An ? Cn ? Am 根据分步计数原理,得到:

A n?n ? 1??n ? 2???n ? m ? 1? 因此: ? C ? A m!
m n

这里m,n是自然数,且 m?n ,这个公式叫做组合 数公式.

m n m m

从 n个不同元中取出m个元素的排列数

A ?C ? A
m n m n

m m

组合数公式:

A n(n ? 1)(n ? 2)?(n ? m ? 1) C ? ? A m!
m n m n m m

n! 0 C ? 我们规定:Cn ? 1. m !(n ? m)!
m n

例题分析

例1、计算:⑴

C

4 7
3 n



C
2 n

7 10

(3)已知:
⑴ 35

C

?

A

,求n的值

(2) 120

例2.甲、乙、丙、丁4支足球队举行单循环赛, (1)列出所有各场比赛的双方; (2)列出所有冠亚军的可能情况.
解:(1) 甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁

(2)甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁 乙甲、丙甲、丁甲、丙乙、丁乙、丁丙

例3

m ? 1 m?1 求证 : C ? ? Cn . n?m
m n

n! 证明: ? C ? , m(n ? m) ! !
m n

m ? 1 m?1 m ? 1 n! ? Cn ? ? n?m n ? m (m ? 1)!(n ? m ? 1)! m ?1 n! ? ? (m ? 1)! (n ? m)( n ? m ? 1)!
n! m ? ? Cn . m !(n ? m) !

●思悟小结
1.理解组合的定义,区别排列与组合之间的关系.

(1)有序与无序的区别 (2)同是从n个元素中取m个元素,但是组合 一旦取完就结束,而排列还要继续进行排序
2.理解组合数的的定义与公式
m An n(n ? 1)(n ? 2)?(n ? m ? 1) (1) n ? m ? Cm Am m!

n! C (2) ? m!(n ? m)!
m n

作业P27 习题1.2 2、 9

组合应用
【练习】
1.用m、n表示 C
m n

?

2.从8名乒乓球选手中选出3名打团体赛,共 有 种 不同的选法;如果这三个选手又按照不同顺序安排, 有 种方法. 3.10名学生,7人扫地,3人推车,那么不同 的分工方 法有 种;

例1. 在产品检验中,常从产品中抽出一部分 进行检查.现有100件产品,其中3件次品,97件 正品.要抽出5件进行检查,根据下列各种要求, 各有多少种不同的抽法?
(1)无任何限制条件; (2)全是正品; (4)至少有1件次品; (6)次品最多.
5 97 2 3 (3) 97 ? C3 C 2 97 3 3 5 100

(3)只有2件正品;
(5)至多有2件次品;
5 解答: (1)C100 4 97 1 3

(2)C
3 97 2 3

(4)C

?C ? C ?C ? C ?C ? C ?C ? C ?C
4 97 1 3 3 97

,或 C

?C

5 97

5 0 (5) 97 ? C3 C

2 3

(6) 2 C

97

?C

3 3

练习:
1.有10道试题,从中选答8道,共有 种选法、 又若其中6道必答,共有 不同的种选法.
2.某班有54位同学,正、副班长各1名,现选派6名同学 参加某科课外小组,在下列各种情况中 ,各有多少种 不同的选法? (1)无任何限制条件; (2)正、副班长必须入选; (3)正、副班长只有一人入选; (4)正、副班长都不入选; (5)正、副班长至少有一人入选; (5)正、副班长至多有一人入选;

小结:至多至少问题常用分类的或排除法.

例2 从数字1,2,5,7中任选两个 (1) 可以得到多少个不同的和? 6个 (2)可以得到多少个不同的差? 12个 练习 有不同的英文书5本,不同的中文书7本, 从中选出两本书.
(1)若其中一本为中文书,一本为英文书. 问共有多少种选法? 35种

(2)若不限条件,问共有多少种选法?

66种

例3 在∠MON的边OM上有5个异于O点的点, ON上有4个异于O点的点,以这十个点(含O)为 顶点,可以得到多少个三角形? N
E D · C · B· · A· O · · · · F G H I

M

例4 有12名划船运动员,其中3人只会划左舷, 4人只会划右舷, 其它5人既会划左舷, 又会划 右舷, 现要从这12名运动员中选出6人平均分 在左右舷参加划船比赛,有多少种不同的选法?

练习 如图,在以AB为直径的半圆周上有异于 A,B的六个点C1, C2 ,C3 , C4 ,C5 ,C6 , AB上有异 于A, B的四个点D1 , D2 , D3 , D4,问 (1)以这10个点中的3个点为顶点可作多少 个三角形? (2)以图中12个点(包括A,B)中的四个为顶 点,可作多少个四边形?
C ﹒ C ﹒ ﹒ C ﹒ C C ﹒ ﹒ ﹒﹒ ﹒ B A ﹒ D D D D
C3
4 2 5 1 6 1 2 3 4

组合数的性质
(1)

C ?C
m n

n?m n

(2) C m
97 99 的值

n?1

? C ?C
m n

m?1 n

练习(1)求 C

96 99

?C
?C
m?1 n?2

161700 5或2

(2)求满足 C (3)求证:①

x?2 17

2x 17

的x值
m?1 n

C

?C

?C

m?1 n

? 2C
m?1 n?1

m n

C ? C ?C ?C (4)求 C1 ? C ??C 9

m n?1 2 9

m?1 m n n?1 9 的值 511 9

●思悟小结 1. 排列与组合之间的区别在于有无顺序。组合 中常见的问题有:选派问题、抽样问题、图形问 题、集合问题、分组问题,解答组合问题的关键 是用好组合的定义和两个基本原理,只选不排, 合理分类、分步. 2.理解组合数的性质 3.解受条件限制的组合题,通常有直接法(合 理分类)和间接法(排除法).
P27 习题1.2 10、 11

组合与组合数
通过前面的学习,我们已经知道了组合的定义, 组合数及其一些性质和组合与排列的关系。今天我 们将在此基础上,继续学习它们的一些应用

(一)组合数的 公式及其性质:

n! C ? m!(n ? m)!
m n

m An n(n ? 1)(n ? 2)? (n ? m ? 1) m Cn ? n ? Am m!

组合数性质1: C
m m

m n

?C

n? m n

2: n?1 ? C n ? C n C

m ?1

0 特别地: n

C ? C ?1
n n

练习一
0 C ? C A ? __________
3 7 3 3

4 (1) 10

n?1 (2) 已知3A8

? 4A

n?2 9

7 , 则n ? ______

x (3) 10

C ?C

3 x ?2 10

1,或5 , 则x ? ________
99 100

97 (4) 99
(5)求

C ?C ?C
98 99
1 9 2 9

5050 ? _______
511

C ? C ??C

9 的值 9

练习精选: 证明下列等式 :

(2) C

0 n

?C

1 n?1

?C

2 n? 2

? ?? C

m?1 n?m?1

?C

m?1 n? m

例题解读: 例1.6本不同的书,按下列要求各有多少种 不同的选法: (1)分给甲、乙、丙三人,每人2本;

例題解读:
例1.6本不同的书,按下列要求各有多少种 不同的选法: (2)分为三份,每份2本;

点评: 本题是分组中的“均匀分组”问题.
一般地:将mn个元素均匀分成n组(每组m个元 素),共有 m m m

Cmn ? Cmn?m ???? Cm n An

种方法

例题解读:

例1.6本不同的书,按下列要求各有多少种不同 的选法: (3)分为三份,一份1本,一份2本,一份3本; (4)分给甲、乙、丙三人,一人1本,一人2本, 一人3本; 解:(3)这是“不均匀分组”问题,一共有

C C C ? 60种方法.
1 6 2 5 3 3

(4)在(3)的基础上再进行全排列,所以一共有

C C C A ? 360 种方法.
1 6 2 5 3 3 3 3

例题解读:
例1.6本不同的书,按下列要求各有多少种不同 的选法: (5)分给甲、乙、丙三人,每人至少1本

例题解读 例3.(1)四个不同的小球放入四个不同的盒中,一共 有多少种不同的放法? (2)四个不同的小球放入四个不同的盒中且恰有一个空 盒的放法有多少种? 解:(1)根据分步计数原理:一共有
4

4 ? 256种方法;

(2)(捆绑法)第一步:从四个不同的小球中任取两个 “捆绑”在一起看成一个元素有 2 C
4

种方法;第二步:从

四个不同的盒中任取三个将球放入有 一共有 C 2
4

A

3 种方法,所以, 4

A

3 =144种方法 4

例题解读:
例5. (辽宁卷9)一生产过程有4道工序,

每道工序需要安排一人照看.现从甲、乙、 丙等6名工人中安排4人分别照看一道工序, 第一道工序只能从甲、乙两工人中安排1 人,第四道工序只能从甲、丙两工人中安 排1人,则不同的安排方案共有( ) B A.24种 B.36种 C.48 D.72种

例6.(海南卷9)甲、乙、丙3位志愿者

安排在周一至周五的5天中参加某项志愿 者活动,要求每人参加一天且每天至多安 排一人,并要求甲安排在另外两位前面。 A ) 不同的安排方法共有( A. 20种 B. 30种 C. 40种 D. 60种

课堂练习: 1.5个人分4张同样的足球票,每人至多分一张,而且 4 票必须分完,那么不同的分法种数是 C5 ? 5 . 2.某学生要邀请10位同学中的6位参加一项活动,其中 有2位同学要么都请,要么都不请,共有 98 种邀请方法. 3.一个集合有5个元素,则该集合的非空真子集共有 30个. 4.平面内有两组平行线,一组有m条,另一组有n条,这 2 2 两组平行线相交,可以构成 CmCn 个平行四边形 . 5.空间有三组平行平面,第一组有m个,第二组有n个, 第三组有t个,不同两组的平面都相交,且交线不都平行, 2 2 2 可构成 CmCn Ct 个平行六面体

课堂练习:
6.高二某班第一小组共有12位同学,现在要调换座位, 使其中有3个人都不坐自己原来的座位,其他9人的座位 3 不变,共有 C12 ? 2 ? 440 种不同的调换方法 7.某兴趣小组有4名男生,5名女生: (1)从中选派5名学生参加一次活动,要求必须有2名男 生,3名女生,且女生甲必须在内,有 36 种选派方法; (2)从中选派5名学生参加一次活动, 要求有女生但人 45 数必须少于男生,有____种选派方法; 280 (3)分成三组,每组3人,有_______种不同分法.

课堂练习:
8.九张卡片分别写着数字0,1,2,…,8,从中取出三 张排成一排组成一个三位数,如果6可以当作9使用,问 可以组成多少个三位数?

2 1 1 1 解:可以分为两类情况:① 若取出6,则有2( A8 ? C2C7C7 ) 种方法; 1 2 ②若不取6,则有C7 A7 种方法,

1 2 2 1 1 1 2( A8 ? C2C7C7 ) C7 A7 =602 根据分类计数原理,一共有 + 种方法

9. 某餐厅供应盒饭,每位顾客可以在餐厅提供的菜 肴中任选2荤2素共4种不同的品种.现在餐厅准备了 5种不同的荤菜,若要保证每位顾客有200种以上 的不同选择,则餐厅至少还需准备不同的素菜 _____种.(结果用数值表示) 7 【解题回顾】由于化为一元二次不等式n2-n-40≥0求 解较繁,考虑到n为正整数,故解有关排列、组合的不 等式时,常用估算法.

10. 某电视台邀请了6位同学的父母共12人,请这12位 家长中的4位介绍对子女的教育情况,如果这4位中恰 有一对是夫妻,那么不同选择方法的种数是( C )
(A)60 (B)120 (C)240 (D)270

11. 某次数学测验中,学号是i (i=1、2、3、4)的四位 同学的考试成绩 f(i)∈{86,87,88,89,90},且满足f(1)< f(2)≤f(3)<f(4),则四位同学的成绩可能情况有( C ) (A)5种 (B)12种 (C)15种 (D)10种

12.表达式 nC

2 n

A

n?1 n?1

可以作为下列哪一问题的答案 ( B )

(A)n个不同的球放入不同编号的n个盒子中,只有一个盒子 放两个球的方法数 (B)n个不同的球放入不同编号的n个盒子中,只有一个盒子 空着的方法数 (C)n个不同的球放入不同编号的n个盒子中,只有两个盒子 放两个球的方法数

(D)n个不同的球放入不同编号的n个盒子中,只有两个盒子 空着的方法数

课堂小结
1.按元素的性质进行分类、按事件发生的连续过程 分步,是处理组合应用题的基本思想方法; 2.对于有限制条件的问题,要优先安排特殊元素、 特殊位置; 3.对于含“至多”、“至少”的问题,宜用排除 法或分类解决; 4.按指定的一种顺序排列的问题,实质是组合问 题.

5.需要注意的是,均匀分组(不计组的顺序)问题
不是简单的组合问题,如:将3个人分成3组,每组

一个人,显然只有1种分法,而不是 C1 ? C1 ? C1 ? 6 种,
3 2 1

一般地,将m、n个不同元素均匀分成n组,有

C C

m mn

m ( n-1) m m m

??C

m 种分法; m

A


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