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2014全国数学竞赛预赛试题分类:数列


2014 数学预赛试题分类:数列 天津 3.等比数列{ an }的前 n 项和为 Sn ,并且对任意正整数 n 成立 Sn?2 ? 4Sn ? 3 ,则 a2 的值是( (A) .2 (B).6 (C) .2 或 6 (D) .2 或-6 天津 9.数列{ an }满足 an?1 ? an ? an?1 , n ? 2 .若 a7 ? 8 ,则 a1 ? a2 ? ? ? a10 等于 . )

河北 11、 设{ an }是等差数列,且满足:① an ∈N *,②项数≥3,③d>0,记{ an }所有项的和为 S. (1)写出满足 S=30 的所有{ an }; (2)求证:对大于 8 的合数 m,总存在{ an }使得 S=m.

河北 14、数列{ an }满足: a1 ? 1, a n ? (1)求证: a n ?

1 1 ? 。 a n?1 2

2 ; 3 10 . 27

(2)求证: a 2 n ? a n ?

山西 1、将正整数数列 1,2,3,…按如下方式自左至右分段,使得第一段有 1×2 个数,第二段有 2×3 个数,…,第 n 段有 n×(n+1)个数,…,则 2014 位于第 段。 山西 10、数列{ an },{ bn }满足条件:a1 ? b1 ? 1, an?1 ? an ? 2bn , bn?1 ? an ? bn ;证明:对每个正整数 n, 下式成立: (1)

a2 n?1 a ? 2 , 2n ? 2 ; b2 n?1 b2n

(2)

a n ?1 a ? 2 ? n ? 2 bn ?1 bn

辽宁 5.正项数列 ?an ? 满足

且成等比数列,Sn 为 ?an ? 的前 n 项和, 则 A.5368 B.5367 C.5363

1 1 1 ? ? ? 1(n ? N* ) , a1 ? a3 ? 6 , a1 , a2 , a3 单调递增 an an?1 an an ? 2 an ?1an ? 2
( ? S2014 ? 的值是(其中表示不超过实数的最大整数) ) D.5362

1

辽宁 15. (本小题满分 25 分) 已知数列 ?an ? 中, a1

? 2 ,对于任意的 p, q ? N* ,有 ap?q ? ap ? aq .

(1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2) 数列 ?bn ? 满足 an ? 通项公式; (3)设 Cn

b b b1 b b ? 2 2 ? 3 3 ? 4 4 ? ? ? (?1) n ?1 n n (n ? N* ) , 求数列 ?bn ? 的 2 ?1 2 ?1 2 ?1 2 ?1 2 ?1

? 3n ? ?bn (n ? N* ) ,是否存在实数 ? ,当 n ? N* 时, Cn?1 ? Cn 恒成立,若存在,求实

数 ? 的取值范围;若不存在,请说明理由.

吉林 5、若五项的数列{ an }: a1 , a2 , a3 , a4 , a5 满足 0 ? a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? a5 ,且对任意的 i ,j (1≤i≤j≤5) ,均有 a j ? ai 在该数列中。 ① a1 =0;② a5 ? 4a2 ;③{ an }为等差数列;④集合 A={ ai ? a j 1≤i≤j≤5 }含 9 个元素。 则上述论断正确的有( )个。 A、1 B、2 C、3 D、4

山东 6、已知数列{ an }满足: a n ? 1 ? 分为 。

1 1 ? (n ? 1) ,且其前 n 项和为 S n ,则 S n 的最大整数部 2 n (n ? 1) 2
k ? an an?1 (n ? 3) ,其中 k、m 均为正整数且 a n?2

山东 14、数列{ an }中, a1 ? a2 ? 1, a3 ? m, an ?1 ? (k,m)=1.

问 k 为何值时,对任意的 n∈N,an 均为整数?

福建 11.已知 ? an

? 为递增的等比数列,且 a1 ? a2 ? 6 , a3 ? a4 ? 24 。 bn ?

an ,数列 ? bn ? 的前 (an ? 1)2

n 项和为 Tn ,求证:对一切正整数 n 均有, Tn ? 3 。

2

江西 1.如果 2014 是一个正整数等差数列的第八项,那么该数列首项的最小值是



S 5n ? 3 江西 6.等差数列 ?an ? , ?bn ? 的前 n 项和分别为 Sn , Tn ,若对任意的正整数 n 都有 n ? ,则 Tn 2n ? 1

a20 ? b7

. 。

2 2 河南 4、等差数列{ an }满足 a1 ? a10 ? 10 ,则 S ? a10 ? a11 ? ... ? a19 的取值范围是

河南 12、递增数列 1,3,4,9,10,12,13,…由一些正整数组成,它们或者是 3 的幂或者是若干个不 同的 3 的幂的和,求第 2014 项的值。

湖北 1. 已知正整数数列 {an } 满足 an?2 ? an?1 ? an , n ? N .若 a11 ? 157,则 a1 =
* *

.

湖北 6. 去掉集合 A ? {n | n ? 10000, n ? N } 中所有的完全平方数和完全立方数后, 将剩下的元素按从小 到大的顺序排成一个数列,这个数列的第 2014 项为 .

湖北 13. 在单调递增数列 {an } 中,a1 ? 2 ,a2 ? 4 ,且 a2n?1 , a2n , a2n?1 成等差数列, a2n , a2n?1 , a2n?2 成等比数列, n ? 1 , 2 , 3 , ?. (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)设数列 {

4n 1 * ,n?N . } 的前 n 项和为 S n ,证明: Sn ? 3(n ? 3) an

四川 3、 已知公差为 d 的等差数列 {an } 满足: d>0, 正整数 n,都有 ,则公差 d 的取值范围是( )

四川 15、已知 k 为给定正整数,数列 {an } 满足

,其中



{an } 的前 n 项和,令
所有可能值。



,求 k 的

3

陕西 2、已知等差数列 {an } 、 {bn } 的前 n 项和分别为 S n 、 Tn ,且对于一切正整数 n,都有

a n 2n ? 1 , ? bn 3n ? 1



S6 ? T5



陕 西 加 2 、 已 知 数 列 {an } 的 各 项 均 为 正 数 , 其 前 n 项 和 为 S n , 且 对 任 意 n ∈ N+ , 都 有
2 Sn ? (n 2 ? n ? 1)S n ? (n 2 ? n) ? 0 。

甘肃 1、在数列{ an }中, a1 ? 1, a2 ? 3 ,且 an?2 ? an?1 ? an (n ? N ) ,则 a2014 =
*



甘肃 11、在数列{ an }中, a1 ? 1 , an?1 ? 2an ? n ? 2, n ? N * .求数列{ an }的前 n 项和 S n .

黑 11、已知数列{ an }满足 an = n ? p n (n ? N * ,0 ? p ? 1) ,下面说法正确的是( A、①② ①当 p= B、③④ C、②④ ②当 D、②③



1 时,数列{ an }为递减数列; 2

1 <p<1 时,数列{ an }为不一定有最大项; 2

③当 0<p<

1 p 时,数列{ an }为递减数列; ④当 为正整数是,数列{ an }必有两项相等的最大项; 2 1? p


江苏 4、 已知等比数列{ an }的公比为 q, 前 n 项和 S n >0 (n=1, 2, 3, …) , 则 q 的取值范围是 江苏 9、设数列{ an }的前 n 项和为 S n , a1 ? 0,2S n?1 ? 3S n ? 2a1 , n ? N * 。 (1)证明数列{ an }为等比数列 (2)若 a1 、 a p ( p ? 3) 两项均为正整数,且存在正整数 m,使 a1 ? m
p ?1

, a p ? (m ? 1)

p ?1

,求 an 。

贵州 9. (本小题满分 16 分) 已知数列 ?an ? 中, a1

? 1 ,且 an?1 ? 2an ? 1 .

(1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)设数列

?

n (an ? 1) 的前 n 项和为 Sn ,求证: Sn2 ≤

?

2n(n ? 1)(4n ? 1) . 3

4

安徽10. 设数列 {an } 满足 a1 ? 1, an ?1 ?

2 an ?3 , n ? 1 .求证: 2an

(1) 当 n ? 2 时, an 严格单调递减. (2) 当 n ? 1 时, | an?1 ? 3 |? 2 3

r2

n

1? r2

n

,这里 r ? 2 ? 3 .

2014

浙江 4.已知等比数列{an}:a1=5,a4=625,则

? log
k ?1

1 =( 5 ak log 5 ak ?1
D.



A.

2014 2015

B.

2013 2014

C.

2012 4028

2013 4030

浙江 20.设数列{an}定义为 a1=a,an+1=1+

1 ,n≥1,求所有实数 a,使得 0<a1<1,n≥2. a1 ? a2 ? ??? ? an ? 1

湖南 3.若 ?an ? 是等差数列,首项 a1 的最大自然数 n 是( )

? 0 , a2013 ? a2014 ? 0 , a2013 ? a2014 ? 0 ,则使前 n 项和 Sn ? 0 成立
B. 4026 C. 4027 D. 4028

A. 4025

湖南 10.已知一无穷等差数列中有 3 项(顺次排列但不一定相连) :13,25,41,则可以判断得出 2013 (填“是” 、 “不是” 、 “不能确定” )数列中的一项. 湖南 16. (本小题满分 20 分) 已知数列 ?xn ? 满足:xn?2 ? 2 xn?1 ? xn ,x1 ? 2 ,x2 ? 6 ; 数列 ? yn ? 满足:yn?2 ? yn?1 ? 2 yn ,y1 ? 3 ,

y2 ? 9 .
求证:存在正整数 n0 ,使得对任意 n ? n0 都有 xn ? yn .

新疆 1、 已知一个等比数列前 2014 项之和为 200, 前 4028 项之和为 380, 则前 6042 项之和为 全国 4、



全国 10、

5


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