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2-2-1 对数函数(一)——讲(教师版)


第二十一章

基本初等函数(Ⅰ)

第二节 对数函数
第一课时
【教学目标】 1.理解并记忆对数的定义,对数与指数的互化,对数恒等式及对数的性质. 2.理解并掌握对数运算法则的内容及推导过程. 3.熟练运用对数的性质和对数运算法则解题. 4.对数的初步应用. 【教法指导】 本节重点是对数定义、对数的性质和运算法则;难点是对数定义中涉及较多的难以记忆的名称,以及 运算法则的推导。 本节知识的主要学习方法是 :动手与观察,思考与交流,归纳与总结。加强新旧知识之间的联系, 培养自己分析问题、解决问题的能力,从而获得学习数学的方法。 【教学过程】

对数与对数运算

☆情境引入☆
1、 (自学、 思考)已知国民生产总值每年平均增长率为 7.2%, 求 20 年后国民生产总值是原来的多少倍? 20 设原来国民生产总值为 1,则 20 年后国民生产总值 y=(1+7.2%) =1.07220,所以 20 年后国民生产总 20 值是原来的 1.072 倍. 这是个实际应用问题,我们把它转化为数学中知道底数和指数,求幂值的问题.也就是上面学习的指数 问题. 2、(自学、思考)已知国民生产总值每年平均增长率为 7.2%,问经过多年年后国民生产总值是原来的 4 倍? x 仿照上例,设原来国民生产总值为 1,需经 x 年后国民生产总值是原来的 4 倍.列方程得:1.072 =4. 我们把这个应用问题转化为知道底数和幂值,求指数的问题,这是上述问题的逆问题,即本节的对数问 题.

☆探索新知☆
1、探索对数的定义及其相关概念. 〖探究活动〗 (1)什么叫底数,什么叫真数? (2)对数式与相应的指数式有什么联系? 2、探索对数的运算法则. (3)对数的运算法则有哪些?如何证明? 【教师释疑】

(1)式子 x=logaN 中,a 叫做对数的底数,N 叫做真数, (2)?对数式是用 N 来表示 x,指数式是用 x 来表 示 N, (3)见下文四个运算法则及证明. 定义:一般地,如果 a(a>0,a≠1)的 x 次幂等于 N,就是 a ? N ,那么数 x 就叫做以 a 为底 N 的对 数(logarithm),记作 x=logaN,其中 a 叫做对数的底数,N 叫做真数,式子 logaN 叫做对数式. 对数 logaN(a>0 且 a≠1)在底数 a=10 时,叫做常用对数(common logarithm),简记 lgN;底数 a=e 时,叫做自然对数(natural logarithm),记作 lnN,其中 e 是个无理数,即 e≈2.718 28……. 对数的运算法则及证明: (1)正因数积的对数等于同一底数各个因数的对数的和,即
x

loga(MN)=logaM+logaN.
证明:设 logaM=p,logaN=q,由对数的定义可以写成 M=a ,N=a .所以 p q p+q M·N=a ·a =a , 所以 loga(M·N)=p+q=logaM+logaN. 即 loga(MN)=logaM+logaN.
p q

(2)两个正数的商的对数等于被除数的对数减去除数的对数.

证明:设 logaM=p,logaN=q.根据对数的定义可以写成 M=a ,N=a .所以

p

q

(3)正数的幂的对数等于幂的底数的对数乘以幂指数.即

loga(N)n=n·logaN.
(4)正数的正的方根的对数等于被开方数的对数除以根指数.即

【思考与交流】 1、为什么概念中规定 a>0,a≠1? 2、为什么概念中 N>0? 解:1、因为若 a<0,则 N 取某些值时,x 可能不存在,如 x=log(-2)8 不存在;若 a=0,则当 N 不为 0 时,x 不存在,如 log02 不存在;当 N 为 0 时,x 可以为任何正数,是不唯一的,即 log00 有无数个值;若 a=1,N 不为 1 时, x 不存在, 如 log13 不存在, N 为 1 时, x 可以为任何数,是不唯一的, 即 log11 有无数多个值. 因 此,我们规定:a>0,a≠1. 2、在实数范围内,正数的任何次幂都是正数,因而 a =N 中 N 总是正数. 零和负数没有对数.
x

〖探究活动〗学生自主学习对数的运算法则,通过证明理解公式,然后运用公式解决问题. 〖教师释疑〗在学生证明过程中,协助解决可能出现的问题(比如运算问题) .对学生回答加以点评. 总结: (1)证明的核心思路是利用把对数式根据定义转换成相应的指数式. (2)在整理的过程中要注意运算的准确性.

☆经典题型☆
题型一:指数式与对数式互化 (1)将对数式 log127=-3 化为指数式;
3

1- (2)将指数式( ) 2=16 化为对数式; 4 1- 解析: (1)因为 log127=-3,所以( ) 3=27; 3 3 1- (2)因为( ) 2=16,所以 log116=-2; 4 4 题型二:含对数式的运算 (1)求式子 log2(log5x)=0 中的 x; 1 - (2)计算 4 (log29 log25). 2 解析:(1)因为 log2(log5x)=0,所以 log5x=1,所以 x=5; 2log 29 9 (2)原式=2log 29-log 25= = . 2log 25 5

☆易错点☆
x 已知 lg x+lg y=21g(x-2y),求 log 2 的值. y [错解] 因为 lg x+lg y=2lg(x-2y), 所以 xy=(x-2y)2, 即 x2-5xy+4y2=0. 所以(x-y)(x-4y)=0, 解得 x=y 或 x=4y. x x 则 =1 或 =4, y y 所以 log x 2 =log y x 21=0 或 log 2 =log y 24=4.

x>0, ? ? [错因] 错解中忽略了 lg x+lg y=2lg(x-2y)成立的前提是?y>0, 即 x>2y>0,在求出 x,y 的关 ? ?x-2y>0, 系后未检验是否满足前提条件,从而导致产生增根. [解析] 因为 lg x+lg y=2lg(x-2y), 所以 xy=(x-2y)2,即 x2-5xy+4y2=0. 所以(x-y)(x-4y)=0,解得 x=y 或 x=4y. 因为 x>0,y>0,x-2y>0,所以 x=y 应舍去. x x 则 =4,所以 log 2 =log 24=4. y y

☆课堂提高☆
1.把下列指数式写成对数形式:

(1)54 ? 625;(2)2?6 ?
【解析】

1 ?1? ;(3) ? ? ? 5.73 64 ? 3?

m

(1) log 5 65 ? 4; 1 ? ?6; 64 (3) log 1 5.73 ? m (2) log 2
3

2. 把下列对数形式写成指数形式:

(1) log 1 16 ? ?4;(2) lg 0.01 ? ?2;(3) ln10 ? 2.303
2

【解析】

1 () 1 ( )-4 =16 2 (2) 10-2 =0.01 (3)e2.303 =10
3. 求下列各式的值:

【解析】因为 2 =4,所以以 2 为底 4 的对数等于 2.

2

因为 5 =125,所以以 5 为底 125 的对数等于 3. 4.用 logax,logay,logaz 表示下列各式:

3

【解析】

4(3-a) 5.(1)设 log1227=a,求证 log616= ; 3+a (2)已知 14a=2,用 a 表示 log
27.

4(3-a) 4(3-log1227) 解:(1)法一: = 3+a 3+log1227 123 4log12 27 4log1243 log12412 = = = log12(123× 27) log12(43× 36) log12(43× 36) = 6log 1242 log 1216 = =log616, 6log 12(2× 3) log 126

故原式得证. 3 3 法二:a=log1227= = , log312 2log32+1 3 1 ∴log32= - , 2a 2 log22 log616=4log62=4 log26 = 4(3-a) 4 4 = = ; 2a 1+log23 3+a 1+ 3-a

(2)∵14a=2,∴log142=a, log
27=

log147 1-log142 1-a 2-2a = = = . 1 a log14 2 1 log142 a 2 2


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