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广东省广州市培正中学2015-2016学年高一数学上学期期中试题


广州市培正中学 2015-2016 学年第一学期期中考试 高一数学试题
(满分:150 分;考试时间:120 分钟) 第 I 卷(选择题 共 60 分) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的). 1. 已知 A={0,1,2},B={0,1},则下列关系不正确的是( A. A∩B=B 2.

函数 f ? x ? ? B.?AB ? B C.A∪B ? A ) D.B ? ? A )

3x 2 ? lg ?3x ? 1? 的定义域为( 1? x
B. ? ? , ?

A. ? ??, ? ?

? ?

1? 3?

? 1 1? ? 3 3?

C. ? ? ,1?

? 1 ? ? 3 ?

D. ? ? , ?? ? )

? 1 ? 3

? ?

3 已知函数 y ? f ( x ? 1) 的定义域是 [ ?2,3] ,则 y ? f ( x ? 1) 的定义域是( A

[0,5]

B

[ ?1,4]

C

[3 ,4]

D

[?3 ,2]

4.下列函数中,表示同一函数的是 ( ) A. y ? C. y ?

x2 ?1 与 y ? x ?1 x ?1

B. y ? lg x 与 y ?

1 lg x 2 2
log a x

x2 ?1 与 y ? x ? 1
1

D. y ? x ( x ? 0) 与 y ? a

.

5.给定函数① y ? x 2 ,② y ? log 1 ( x ? 1) ,③ y ?| x ? 1| ,④ y ? 2x?1 ,其中在区间
2

(0,1)上单调递减的函数序号是( ) A. ①④ B. ①② C. ②③

D.③④ )

6.下列幂函数中,定义域为 R 且为偶函数的个数为( (1) y ? x A.1 个
?2

(2) y ? x B.2 个
0.3

(3) C.3 个

y ? x3
0.2

1

(4) D. 4 个

y ? x3

2

7.已知 a ? log2 0.3 , b ? 2 A. a ? b ? c

, c ? 0.3

,则 a, b, c 三者的大小关系是( ) D. c ? b ? a

B. b ? a ? c

C. b ? c ? a

-1-

8. 由表格中的数据可以判定方程 e ? x ? 2 ? 0 的一个零点所在的区间 (k , k ? 1)(k ? N ) , 则k
x

的值为(



x

-1 0.37 1 B.1

0 1 2

1 2.72 3 C.2

2 7.39 4 D.3

3 20.09 5

ex
x?2

A.0 9.函数 y ?

lg | x | 的图象大致是( x



10.已知 y=f (x)是定义在 R 上的奇函数,当 x ? 0 时, f ( x) ? x ? 2 ,那么不等式 f ( x ) ? 的解集是( A. ? x 0 ? x ? )

1 2

? ?

5? ? 2?

B. ? x ?

? ?

3 ? ? x ? 0? 2 ? 3 5? , 或0 ? x ? ? 2 2?

C. ? x ?

? ?

3 5? ? x ? 0, 或0 ? x ? ? 2 2?

D. ? x x ? ?

? ?

11.已知函数 f ( x) ? loga (2x ? b ?1)(a ? 0,a ? 1) 的图象如图所示, 则 a, b 满足的关系是 ( A. 0 ? a C. 0 ? b
?1


?1

y

? b ?1 ? a ?1

B. 0 ? b ? a D. 0 ? a
?1

?1

O

x

?1

? b?1 ? 1

?1

12.设函数

f ( x) ? 2

? x2 ? x ? 2

,对于给定的正数 K,定义函数 f K ( x) ? ?

? f ( x), f ( x) ? K 若 ? K , f ( x) ? K
)

对于函数 f ( x) ? 2

? x2 ? x ? 2

定义域内的任意 x ,恒有 f K ( x) ? f ( x) ,则( B. K 的最大值为 1 D. K 的最大值为 2 2

A.K 的最小值为 1 C.K 的最小值为 2 2

-2-

第 II 卷(非选择题共 90 分) 二、 填空题(共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13. 27 +lg4+2lg5=__________.
2 3

? x 2 ? 1, x ? 0 14.已知 f ( x) ? ? ,则 f ( f (1)) ? ?? 2 x, x ? 0

.

15.函数 f ( x) ? a x?1 ? 3(a ? 0, 且a ? 1) 的图象一定过定点__________. 16.已知函数 f ( x) ? ?

?log 2 ( x ? 1)( x ? 0) 2 ? ? x ? 2 x( x ? 0)

若函数 g ( x) ? f ( x) ? m 有 3 个零点, 则实数 m 的

取值范围是_______________.

三.解答题:(共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤) 17.(本题满分 12 分) 已知集合 A ? { x 3 ? x ? 7} ,

B ? { x 2 ? x ? 10}, C ? { x 5 ? a ? x ? a}

(1)求 A ? B,(CR A) ? B ; (2)若 C ? ( A ? B) ,求实数 a 的取值范围.

18. (本题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ?| x ? 1| ? | x ? 1| ( x ? R) (1)证明:函数 f ( x ) 是偶函数; (2)利用绝对值及分段函数知识,将函数解析式写成分段函数的形式,然后画出函数图像, 并写出函数的值域; (3)在同一坐标系中画出直线 y ? x ? 2 ,观察图像写出不等式 f ( x) ? x ? 2 的解集.

19. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x ) ?

x ?1 ?x ? 1?, x ?1

(1)证明 f ( x ) 在 ?1,??? 上是减函数。 (2)当 x ? ?3,5?时,求 f ( x ) 的最小值和最大值.

-3-

20.(本小题满分 12 分) 如图:A、B 两城相距 100 km,某天燃气公司计划在两地之间建一天燃气站 D 给 A、B 两城 供气. 已知 D 地距 A 城 x km,为保证城市安全,天燃气站距两城市的距离均不得少于 10km . 已知建设费用 y (万元)与 A、B 两地的供气距离(km)的平方和成正比,当天燃气站 D 距 A 城的 距离为 40km 时, 建设费用为 1300 万元.(供气距离指天燃气站距到城市的距离) (1)把建设费用 y(万元)表示成供气距离 x (km)的函数,并求定义域; (2)天燃气供气站建在距 A 城多远,才能使建设供气费用最小.,最小费用是多少?

A

D
(第 20 题图)

B

21.(本题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? 2a ? 4x ? 2x ?1. (1)当 a ? 1 时,求函数 f ( x ) 在 x ? [?3,0] 的值域; (2)若关于 x 的方程 f ( x) ? 0 有解,求 a 的取值范围.

22.(本题满分 12 分 )

对于函数 f ?x? ? ax2 ? ?b ? 1?x ? b ? 2, ?a ? 0? ,若存在实数 x0 , 使

f ?x0 ? = x0 成立,则称 x0 为 f ?x ? 的不动点.
⑴当 a ? 2, b ? ?2 时,求 f ?x ? 的不动点; (2)当 a ? 2 时,函数 f ( x ) 在 (?2,3) 内有两个不同的不动点,求实数 b 的取值范围; (3)若对于任意实数 b ,函数 f ?x ? 恒有两个不相同的不动点,求实数 a 的取值范围.

-4-

班级___________

姓名____________

学号_________

--------------------------------------------密----------------------------------------封------------------------------------线----------------------------------------------------------

二.填空题(共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)

三.解答题:(共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤)

17. (10 分) 选择题成绩 15. ______________ 第Ⅱ卷 非选择题 (共 90 分 ) 14. ______________ 16. ______________ 13. ______________ 高一数学答卷 非选择题成绩 总分

广州市培正中学 2015-2016 学年第一学期期中考试

-5-

18. (12 分)

19. (12 分)

-6-

20. (12 分)

21. (12分)

-7-

22. (12 分)

-8-

广州市培正中学 2015-2016 学年第一学期期中考试 高一数学参考答案 1---6: B.C.A D C.A. 15. (1, 4) 7—12: C. 16. (0,1) B D. D. A C.

13. 11

14. 5

17.(本题满分 12 分)

16.解: (1) A ? B ? {x 2 ? x ? 10} ? C R A ? {x x ? 3或x ? 7} ? (C R A) ? B ? {x 2 ? x ? 3或7 ? x ? 10} ( 2)由(1)知A ? B ? {x 2 ? x ? 10} 1?当C ? ?时,满足C ? (A ? B), 此时5 ? a ? a, a ? 2?当C ? ?时,要C ? (A ? B), ?5 ? a ? a 5 ? 则?5 ? a ? 2, 则 ? a ? 3 2 ?a ? 10 ? 综上, {a a ? 3}为所求
18. (本题满分 12 分) 解: (1)依题可得: f ( x) 的定义域为 R

5 2

f (? x) ?| ? x ? 1| ? | ? x ? 1|?| x ? 1| ? | x ?1|? f ( x)

? f ( x) 是偶函数

……………………4 分

( x ? ?1) ? ?2 x (2) f ( x) ? ? 2 (?1 ? x ? 1) ? ? 2x ( x ? 1) ?

由函数图象知,函数的值域为 [2, ??) ……9 分 (3 由函数图象知,不等式的解集为 {x | x ? 0或x ? 2} ………12 分

19. (本小题满分 12 分)

-9-

(1)证明:设 1 ? x1 ? x2 , 则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ?

x1 ? 1 x2 ? 1 ? x1 ? 1 x2 ? 1

?

?x1 ? 1??x2 ? 1? ? ?x2 ? 1??x1 ? 1? ? ? 2?x2 ? x1 ? ?x1 ? 1??x2 ? 1? ?x1 ? 1??x2 ? 1?

? x1 ? 1, x2 ? 1, ? x1 ? 1 ? 0, x2 ? 1 ? 0, ? ( x1 ? 1)?x2 ? 1? ? 0, ? x1 ? x2 ,? x2 ? x1 ? 0, ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ? f ( x1 ) ? f ( x2 )
? f ( x ) 在 ?1,??? 上是减函数。
(2)? ?3,5? ? ?1,??? ,? f ( x ) 在 ?3,5? 上是减函数, ……10 分 ……12 分 ……8 分

? f ( x) max ? f (3) ? 2, f ( x) min ? f (5) ? 1.5,
20.(本小题满分 12 分)

解: (1)设比例系数为 k ,则 y ? k[ x 2 ? (100? x) 2 ] (10 ? x ? 90) . (不写定义域扣 1 分)
2 2 又 x ? 40, y ? 1300, 所以 1300? k (40 ? 60 ) ,即 k ?

………3 分

1 , 4

…5 分

1 2 1 [ x ? (100 ? x) 2 ] ? ( x 2 ? 100 x ? 5000 ) (10 ? x ? 90) . ……7 分 4 2 1 2 1 2 (2)由于 y ? ( x ? 100 x ? 5000 ) ? ( x ? 50 ) ? 2500 , ………………9 分 2 2
所以 y ? 所以当 x=50 时,y 有最小值为 1250 万元. …………………11 分 所以当供气站建在距 A 城 50km, 电费用最小值 1250 万元. ……12 分

21.(本题满分 12 分)
x x x 2 x 解:(1)当 a ? 1 时, f ( x) ? 2 ? 4 ? 2 ? 1 ? 2(2 ) ? 2 ? 1, x 令 t ? 2 , x ? [?3,0] ,则 t ? [ ,1] , 故 y ? 2t ? t ? 1 ? 2(t ? ) ?
2 2

1 8

1 4

9 1 , t ? [ ,1] , 8 8

故值域为 [ ?

9 ,0 ] 8

…………………6 分

x 2 x (2)关于 x 的方程 2a(2 ) ? 2 ? 1 ? 0 有解, 等价于方程 2ax ? x ? 1 ? 0 在 (0,??) 上有解 .
2

- 10 -

记 g ( x) ? 2ax2 ? x ? 1 当 a ? 0 时,解为 x ? ?1 ? 0 ,不成立

1 ? 0 ,过点 (0,?1) ,不成立 4a 1 ? 0 ,过点 (0,?1) ,必有一个根为正 当 a ? 0 时,开口向上,对称轴 x ? 4a 所以, a ? 0
当 a ? 0 时,开口向下,对称轴 x ? ……………12 分 22.(本题满分 12 分) (1)当 a=2,b=-2 时,f(x)=2x -x-4 ∴ 由 f(x)=x 得 x -x-2=0, ∴ x=-1 或 x=2. ∴ f(x)的不动点为-1,2. (2) 当 a=2 时,f(x)=2x +(b+1)x+b-2, 由题意得 f(x)=x 在(-2,3)内有两个不同的不动点, 即方程 2x +bx+b-2=0 在(-2,3)内的两个不相等的实数根. 设 g(x)=2x +bx+b-2,
2 2 2 2 2

…………………… 2 分

? g (?2) ? 8 ? 2b ? b ? 2 ? 0 ? b?6 ? g (3) ? 18 ? 3b ? b ? 2 ? 0 ? b ? ?4 ? ? ∴ 只须满足 ? ∴ ? b ?2?? ?3 ? ?? 12 ? b ? 8 4 ? ? ? b?4 b 2 ? 8(b ? 2) ? 0 ?
∴ -4<b<4 或 4<b<6
2

……………… 8 分

(3)由题意得:对于任意实数 b,方程 ax +bx+b-2=0 总有两个不相等的实数解. ∴

a?0 ? 2 ∴ b -4ab+8a>0 对 b∈R 恒成立. ? 2 ? ? b ? 4 a ( b ? 2 ) ? 0 ?
2

∴16a -32a<0

∴ 0<a<2

……………………

12 分

- 11 -


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