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平面向量的模与夹角


龙文教育一对一个性化辅导教案
学生 陈家肃 科目 数 学 课题
教学 重点 教学 难点 教学 目标
平面向量的坐标运算

学校 教师

86 肖

中 瑶

年级 日期

高一 2016-3-26

次数 时段

>第4次 19:30-21:30

平面向量的模与夹角

平面向量的坐标的运用 1、掌握平面向量的坐标运算; 2、掌握模的运算方法。 一、课前热身: 1、检查学生的作业,及时指点;

教 学 步 骤 及 教

2、通过沟通了解学生的思想动态和了解学生的本周学校的学习内容。

二、内容讲解: 题型 1、平面向量的坐标运算; 题型 2、平面向量的数量积; 题型 3、平面向量的模; 题型 4、模与夹角公式; 题型 5、平面向量的简单应用。

三、课堂总结与反思:

学 内 容

带领学生对本次课授课内容进行回顾、总结

四、作业布置: 安排 少量具有代表性的题目让学生回家后巩固练习

管理人员签字:

日期:







1

作 业 布 置

1、学生上次作业评价: 备注: 2、本次课后作业:

○ 好

○ 较好

○ 一般

○ 差

课 堂 小 结

家长签字:

日期:







2

高中的教案
平面向量的模与夹角 学习要点: 1、向量的坐标运算:设 a ? ( x1, y1 ), b ? ( x2 , y2 ) ,则: (1)向量的加减法运算: a ? b ? ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) 。 (2)实数与向量的积: ? a ? ? ? x1 , y1 ? ? ? ? x1 , ? y1 ? 。 (3)若 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则 AB ? ? x2 ? x1, y2 ? y1 ? ,即一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线 段的终点坐标减去起点坐标。 (4)平面向量数量积: a ? b ? x1x2 ? y1 y2 (5)向量的模: | a |? 2、平面向量的数量积: (1)两个向量的夹角:对于非零向量 a , b ,作 OA ? a ,OB ?b , ?AOB ? ? ? 0 ? ? ? ? ? 称为向量 a ,

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?2 ? x 2 ? y 2 , a ?| a |2 ? x 2 ? y 2

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? ??? ?

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? 时, a , b 垂直。 2 ? ? (2)平面向量的数量积:如果两个非零向量 a ,b ,它们的夹角为 ? ,我们把数量 | a || b | cos ? 叫做 a 与 ? ? ,记作: a ? b ,即 a ? b = a b cos? 。规定:零向量与任一向量的数量积 b 的数量积(或内积或点积)
b 的夹角,当 ? =0 时, a , b 同向,当 ? = ? 时, a , b 反向,当 ? =
是 0,注意数量积是一个实数,不再是一个向量。

(3)向量数量积的性质:设两个非零向量 a , b ,其夹角为 ? ,则: ① a ? b ? a ?b ? 0; ②当 a , b 同向时, a ? b = a b ,特别地, a ? a ? a ? a , a ? a ;当 a 与 b 反向时, a ? b

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b 不同向,a ? b ? 0 可得 ? 为锐角;当 ? 为钝角时,a ? b < =- a b ;当 ? 为锐角时, a ? b >0,且 a、 b 不反向, a ? b ? 0 不可得 ? 为钝角; 0,且 a、
? ? a ?b ③非零向量 a , b 夹角 ? 的计算公式: cos ? ? ? ? ; a b ? ? ? ? ④ | a ? b |?| a || b | 。 ? ? ? ? ?2 ?2 ? 2 ? 2 ? ? (4)乘法公式: a ? b ? a ? b ? a ? b ? a ? b ; a ? b

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2

?2 ? ? ?2 ? ? ? ? ? a 2 ? 2a ? b ? b 2 ? a ? 2a ? b ? b

3

例题选讲: 题型 1:向量的坐标运算法则

例 1:已知 MA =(-2,4), MB =(2,6),则 A.(0,5) B.(0,1)

1 AB = ( 2
C.(2,5)

) D.(2,1)

例 2:若向量 a = (1,1), b = (1,-1), c =(-1,2),则 c 等于( A.-



1 3 a+ b 2 2

B.

1 3 a- b 2 2

C.

3 1 a- b 2 2

D.-

3 1 a+ b 2 2


例 3:已知点 A?? 1,?5?和向量 a ? ?2,3? ,若 AB ? 3a ,则点 B 的坐标是 练习: 1、已知: M ?2,4 ? 、 N ?? 2,3? ,那么 MN ? ; NM ?



2、已知向量 a =(3,-2), b =(-2,1), c =(7,-4),且 c =λ a +μ b , 则λ =

,μ =



3、设点 A(-1,2)、B(2,3)、C(3,-1),且 AD =2 AB -3 BC ,则点 D 的坐标为 4、已知 AB =(5,-3),C(-1,3), CD =2 AB ,则点 D 坐标是 .



例 4:若 A(x,-1)、B(1,3)、C(2,5)三点共线,则 x 的值为( A. -3 B. -1 C. 1 D. 3



练习: 1、若 A(-1, -1), B(1,3), C(x,5) 三点共线,则 x= 2、若向量 a =(-1,x), b =(-x,2),且 a 与 b 同向,则 a -2 b =

. .

AD =(2, AB =(-2, 例 5: 已知点 O 是平行四边形 ABCD 的对角线交点, 5), 3), 则 CD 坐标为



DO 坐标为
练习:

, CO 的坐标为



已知平行四边形 ABCD 的顶点 A?? 1,?2?、 B?3,?1? 、 C ?5,6? ,求顶点 D 的坐标.

例 6:已知向量 a =(1, x ) , b =( y ,1) , e1 = a +2 b , e2 =2 a - b 且 e1 =2 e2 ,求 x 、 y 的值.

4

练习: 已知向量 a =(1,2) , b =(x,1) , e1 = a +2 b , e2 =2 a - b 且 e1 ∥ e2 ,求 x.

例 7:已知 A、B、C 三点坐标分别为(-1,0),(3,-1),(1,2), AE = (1)求点 E 、 F 及向量 EF 的坐标; (2)求证: EF ∥ AB .

1 1 AC , BF = BC 3 3

题型 2:向量的模与夹角 例 1.判断下列各命题正确与否: (1) 0 ? a ? 0 ; (2) 0 ? a ? 0 ; (3)若 a ? 0, a ? b ? a ? c ,则 b ? c ; (4)若 a ? b ? a ? c ,则 b ? c 当且仅当 a ? 0 时成立; (5) (a ? b ) ? c ? a ? (b ? c ) 对任意 a, b , c 向量都成立;
2 (6)对任意向量 a ,有 a ? a 。

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?2

例 2:如果 a ? (2x ? 2,?3)与b ? ( x ? 1, x ? 4) 互相垂直,则实数 x 等于( A. 练习:
1 2

) D.
7 或-2 2

B.

7 2

C.

1 7 或 2 2

已知平面向量 a =(1,-3) , b =(4,-2) , ? a ? b 与 a 垂直,则 ? 是( A. -1 B. 1 C. -2 D. 2

?

?

? ?

?



例 3:已知 a ? (3,?4)b ? (?2,3), 则a ? (a ? b) ? ( A.-13 练习: B.7

) C.6 D.26

1、已知 a ? (1, 3), b ? (? 3,3), 则a, b的夹角为 (



5

A.

? 6

B.

? 3

C.

? 2

2 D. ? 3

2、已知 a=(1, 3 ),b=( 3 +1, 3 -1),则 a 与 b 的夹角是多少?

b ? 2 且 a 与 b 的夹角为 例 4:若向量 a , b 满足 a ? 1,

?

?

?

?

?

?

? ? ? ,则 a ? b ? 3



练习: 1、已知平面向量 a ? (2, 4) , b ? (?1, 2) ,若 c ? a ? (a ? b)b ,则 c ? 2、已知向量 a 与 b 的夹角为 120 ,且 a ? b ? 4 ,那么 a ? b 的值为
?
2



3、已知 a=(-4,3) ,b=(5,6) ,则 3|a| -4a·b 为 ( A.63 B.83 C.23 4、已知 a=(-2,1) ,b=(-2,-3) ,求 2a ? b 。

) D.57

?

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例 5:已知两单位向量 a 与 b 的夹角为 120 ,若 c ? 2a ? b , d ? 3b ? a ,试求 c 与 d 的夹角。
0

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o 例 6:已知向量 a 与 b 的夹角为 120 , a ? 3, a ? b ? 13, 则 b 等于(

?

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A.5 练习:

B.4

C.3

D.1

1、平面向量 a 与 b 的夹角为 60 ,a=(2,0), | b |=1,则 | a+2b |等于( A. 3 B.2 3 C.4 D.12

0



2、若非零向量 a, b 满足 a ? 3 b ? a ? 2b ,则 a, b 夹角的余弦值为_______.

? ?

?

?

?

?

? ?

例 7:若 a=(λ ,2) ,b=(-3,5) ,a 与 b 的夹角为钝角,则 λ 的取值范围为 10 A.( ,+∞) 3 10 B.[ ,+∞) 3 10 C.(-∞, ) 3





10 D.(-∞, ] 3

6

???? ??? ? BE ? 1 , 则 AB 的长为______. 例 8:在平行四边形 ABCD 中, AD = 1, ?BAD ? 60? , E 为 CD 的中点. 若 AC·

练习: 在四边形 ABCD 中, AC ? (1,2), BD ? (?4,2) ,则该四边形的面积为( A. 5 B. 2 5 C.5 D.10 )

题型 3:平面向量的简单应用

例 1 :已知 | a |? 2 | b | ? 0, 且关于 x 的方程 x2 ? | a | x ? a ? b ? 0 有实根 , 则 a 与 b 的夹角的取值范围是 ( ) A.[0,

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? ] 6

B. [

?
3

,? ]

C. [

? 2?
3 , 3

]

D. [

?
6

,? ]

π π 例 2:已知向量 a=(sinθ,1),b=(1,cosθ),- <θ< . 2 2 (1)若 a⊥b,求 θ; (2)求|a+b|的最大值.

7

平面向量的模与夹角作业 1. OA ? OC ? BO ? CO 等于 ( A. AB
? ?

) C. AC D. DO

B. BA
? ?

2.若向量 a, b 满足 | a |?| b |? 1 , a , b 的夹角为 60°,则 a ? a ? a ? b =______; 3.已知 a ? (1, 3), b ? (? 3,3), 则a, b的夹角为( A. ) C.
? 2
2 D. ? 3

? ?

? ?

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? 6

B.

? 3

o 4.已知向量 a 与 b 的夹角为 120 , a ? 3, a ? b ? 13, 则 b 等于(

?

?

?

? ?

?



(A)5

(B)4

(C)3

(D)1 )

? ? ? ? ? 5.已知向量 a ? ( 3,1) , b 是不平行于 x 轴的单位向量,且 a? b ? 3 ,则 b ? (
A. (

3 1 , ) 2 2

B. (

1 3 , ) 2 2

C. (

133 , ) 4 4

, 1 D. (0



6.已知非零向量 a、b,若 a+2b 与 a-2b 互相垂直,则

a b

?(



A.

1 4
?

B. 4

C.

1 2

D. 2

7.设向量 a 与 b 的夹角为 ? ,且 a ? (3,3) , 2b ? a ? (?1,1) ,则 cos ? ? _______。

?

?

?

?

8.已知向量 a ? (1 , sin ? ) , b ? (1 , cos? ) ,则 a ? b 的最大值为_______。 9.已知向量 a ? (?2,2),b ? (5, k ).若 | a ? b | 不超过 5,则 k 的取值范围是_______。 10、已知两点 A(4,-2),B(-4,4),C(1,1), (1)求方向与 AB 一致的单位向量; (2)过点 C 作向量 CD 与 AB 共线,且 CD ? 4 ,求 D 点坐标; (3)若 A、B、C 都是某个平行四边形的顶点,求另一个顶点 D 的坐标.
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8


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